大学物理吴百诗课件

1、 为迎接香港回归，柯受良为迎接香港回归，柯受良19971997年年6 6月月1 1日驾车飞跃黄河壶口。日驾车飞跃黄河壶口。东岸跑道长东岸跑道长265m265m，柯受良驾车从跑道东端起动，到达跑道终端，柯受良驾车从跑道东端起动，到达跑道终端时速度为时速度为150km/h150km/h，他随即以仰角，他随即以仰角5 5 冲出，飞跃跨度为冲出，飞跃跨度为57m57m，安，安全落到西岸木桥上。全落到西岸木桥上。第第1章章 质点运动学质点运动学本章内容本章内容1.1 质点运动的描述质点运动的描述1.2 质点运动学的基本问题质点运动学的基本问题1.3 抛体运动抛体运动1.4 自然坐标及自然坐标中的速度、加

2、速度自然坐标及自然坐标中的速度、加速度1.5 相对运动相对运动1.1 质点运动的描述质点运动的描述主要内容：主要内容：1. 质点质点 参考系参考系 坐标系坐标系2. 位置矢量与运动方程位置矢量与运动方程3. 位移与路程位移与路程4. 速度速度5. 加速度加速度1.1.1 质点质点 参考系参考系 坐标系坐标系 说明：说明： (1) (1)质点是一个理想模型；质点是一个理想模型； (2)(2)质点的概念是相对的。质点的概念是相对的。l 参考系：参考系：l 坐标系：坐标系：常用坐标系：常用坐标系：其他坐标系：其他坐标系：质点：质点：在所研究的问题中，在所研究的问题中，可忽略形状和大小的物体可忽略形状

3、和大小的物体 有质量而无形状和大小。有质量而无形状和大小。为描述物体的运动而选取的一组相对静止的物体。为描述物体的运动而选取的一组相对静止的物体。为了对物体的运动作出定量描述而对参考系的一为了对物体的运动作出定量描述而对参考系的一种数学抽象。种数学抽象。 柱柱(面面)坐标系坐标系 (轴对称问题轴对称问题)球球(面面)坐标系坐标系( (球对称问题球对称问题) )极坐标系极坐标系 ( (某些平面问题某些平面问题) )直角坐标系、自然坐标系。直角坐标系、自然坐标系。zyx参考点引向质点所在处的参考点引向质点所在处的矢量，用符号矢量，用符号 表示。表示。1.1.2 位置矢量与运动方程位置矢量与运动方程

4、 1. 位置矢量位置矢量在直角坐标系中在直角坐标系中位矢的大小：位矢的大小：位矢的方向余弦：位矢的方向余弦：kzj yi xrrr222zyxrzryrxcos ,cos ,cos定义：定义：ro),(Pzyxrjki 2. 运动方程运动方程定义定义: :质点的位矢随时间变化的函数关系。质点的位矢随时间变化的函数关系。 矢量式矢量式分量式分量式质点被约束在二维平面（如沿质点被约束在二维平面（如沿 x , y 平面）内运动时平面）内运动时3.3.轨迹方程轨迹方程ktzjtyitxtr)()()()()(tyy )(txx )(tzz )(txx )(tyy 质点被限在一直线（如沿质点被限在一直线

5、（如沿x轴）运动时轴）运动时)(txx 从运动方程中消去参数从运动方程中消去参数 t 可得到运动轨迹方程。可得到运动轨迹方程。这是大家熟悉的抛物线方程。这是大家熟悉的抛物线方程。式中式中 x0 , y0 ,v0 x , v0y , ay 等为常量。等为常量。（1 1）（2 2）例例20021tatyyyyvtxxx00vyxxyaxxxxyxy2000000)(21)()(vvv已知一质点的运动方程为已知一质点的运动方程为质点的运动轨迹。质点的运动轨迹。求求解解 从式（从式（1 1）中解出参数）中解出参数t t，代入式（，代入式（2 2）中得到轨迹方程）中得到轨迹方程1.1.3 位移与路程位移

6、与路程 1. 位移位移)(tr在直角坐标系中：在直角坐标系中： 注意注意: 位矢位矢与坐标的选取有关，与坐标的选取有关， 位移位移与坐标的选取无关。与坐标的选取无关。)()(trttrr),(BBBzyxB),(AAAzyxAr)(ttrzyxo)( )(AAABBBkzjyixkzjyixrkzzjyyixx)()()(ABABABkzj yi x(描述质点位置变化的物理量描述质点位置变化的物理量)zyxo)(tr)(ttrrAB即即当当t 0 时时 即即 2. 路程路程定义定义: :当当t 很小时近似相等，即很小时近似相等，即srsrtt00limlimsrdd质点沿运动轨迹所经过的实质点

7、沿运动轨迹所经过的实际路径长度，用际路径长度，用 s 表示。表示。路程与位移的比较路程与位移的比较: :(1)路程是标量，位移是矢量。路程是标量，位移是矢量。(2)位移的大小一般不等于路程。位移的大小一般不等于路程。srs)(trxyz)(ttrABo1.1.4 速度速度trv1.平均速度平均速度大小：大小：tr |v方向：方向：r的方向。的方向。2.瞬时速度瞬时速度trtrtddlim0v（描述物体运动快慢及运动方向的物理量）（描述物体运动快慢及运动方向的物理量）ro)(tr)(ttrAB1B2Br速度等于位矢对时间的一阶导数。速度等于位矢对时间的一阶导数。 速度的大小：速度的大小：(瞬时速

8、率瞬时速率)瞬时速率等于路程对时间的一阶导数。瞬时速率是恒取正值的标量。瞬时速率等于路程对时间的一阶导数。瞬时速率是恒取正值的标量。大小：大小：在直角坐标系中在直角坐标系中tststrttddlimlim00vvktzjtyitxddddddvkjizyxvvv222zyxvvvvv 根据路程和速度的定义根据路程和速度的定义|v|trdd由图可知，位移由图可知，位移 路程路程 速度增量速度增量 速度增量的大小速度增量的大小 速率的增量速率的增量 质点作半径为质点作半径为R，速率为，速率为v 的匀速率圆周运动。的匀速率圆周运动。试写出由试写出由A点到点到B点下列各物理量：位移点下列各物理量：位移

9、 、路程、路程s、速度变、速度变化化 、速度变化的大小、速度变化的大小 、速率的变化、速率的变化 。rv| vRs21jijiABvvvvvvv)(vvvv2220vvv例例求求解解vjRiRiRjRrrrAB)(yoxAvBR)(tr)(ttrxyzo)(tv)(ttvv1.1.5 加速度加速度1. 平均加速度平均加速度2. 瞬时加速度瞬时加速度描述质点运动速度变化快慢的物理量描述质点运动速度变化快慢的物理量 加速度等于速度对时间的一阶导数，位矢对时间的二阶导数。加速度等于速度对时间的一阶导数，位矢对时间的二阶导数。 )(tvA)(ttvBtttta)()(vvtv220ddddlimtrt

10、tatvv在直角坐标系下在直角坐标系下2.2.一维运动情况下一维运动情况下 与与 的方向在同一直线上。的方向在同一直线上。 taddvktjtitzyxddddddvvvktzjtyitx222222ddddddkajaiazyx222zyxaaaaat 0 vrr,v,a,av1.2 质点运动学的基本问题质点运动学的基本问题主要内容：主要内容：1. 运动学第一类问题运动学第一类问题2. 运动学第二类问题运动学第二类问题1. 第一类问题第一类问题 已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的位置，速已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的位置，速度和加速度。度和加速度。 trrtrddv22ddddt

11、rtavl 只要知道运动方程，就可以确定质点在任意时刻的位置、只要知道运动方程，就可以确定质点在任意时刻的位置、 速度和加速度。速度和加速度。 l 从运动方程中消去时间参数从运动方程中消去时间参数t，还可得质点运动的轨迹方程。，还可得质点运动的轨迹方程。微分法微分法已知一质点的运动方程为：已知一质点的运动方程为：式中式中a, b均为正常数。均为正常数。本题属于运动学第一类问题本题属于运动学第一类问题: : 例例证证j tbi tar2sin2cosj tbi tatr2cos22sin2ddvj tbi tata2sin42cos4dd22v证明质点的加速度恒指向椭圆中心。证明质点的加速度恒指

12、向椭圆中心。求求)2sin2cos(42j tbi tar24加速度矢量加速度矢量 与位矢与位矢 方向相反，说明加速度恒指向椭圆方向相反，说明加速度恒指向椭圆中心。中心。ar在离水面高为在离水面高为h 的岸边，有人用绳子拉小船靠岸，人以不变的岸边，有人用绳子拉小船靠岸，人以不变的速率的速率u 收绳。收绳。例例 求求当船在离岸距离为当船在离岸距离为x时的速度和加速度。时的速度和加速度。 任意时刻船的位矢任意时刻船的位矢解解j hi xr设船靠岸的速度为设船靠岸的速度为 viitxjthitxtrxvvdd ddddddhuqCCxrhxyrOxq任意时刻小船到岸边的距离任意时刻小船到岸边的距离x

13、 都满足都满足22hrxtrhrrhrttxxdddddd2222v按题意按题意 是人收绳的速率，因为绳长是人收绳的速率，因为绳长r 随时间在缩短，随时间在缩短，故故trudd0ddtr则有则有 uxhxuhrrx2222vi uxhx22v（船速方向沿（船速方向沿x 轴负向）轴负向）船靠岸的速率为船靠岸的速率为uuhxxucos22vv船的加速度为船的加速度为 ittaxddddvvtxhxxhuuxhxttaxxdd)(dddd222222v322xhuixhuiaax322即即( (船的加速度方向沿船的加速度方向沿x 轴负向轴负向) )ox2xx1hl 设设v为为人影头部的移动速度人影头

14、部的移动速度两边求导两边求导路灯距地面高度路灯距地面高度h，身高为，身高为l 的人以速度的人以速度v0 在路上匀速行走。在路上匀速行走。例例求求 人影头部的移动速度。人影头部的移动速度。 hxlxx21212)(hxxlhtxhtxlhdddd)(12txdd2v01ddvtx由几何关系由几何关系lhh0vv2. 第二类问题第二类问题 已知质点运动的速度或加速度，并附以初始条件（即已知质点运动的速度或加速度，并附以初始条件（即t=0时，时，质点的位置质点的位置 和速度和速度 ），求质点的运动方程。），求质点的运动方程。0r0vtaddv积分法积分法ttta00ddvvvtrddvttrrtr0

15、0ddv注意：注意：矢量积分在具体运算时要化为标量积分。矢量积分在具体运算时要化为标量积分。已知质点作匀变速直线运动，加速度为已知质点作匀变速直线运动，加速度为a，a=常量常量，且初始，且初始条件条件t=0 时，时，v =v0 ，x = x0例例解解 taddvtaddv一维运动中，矢量表示可省去单位矢量，方向用正负号表示一维运动中，矢量表示可省去单位矢量，方向用正负号表示两边积分两边积分vvv000dddtttatat ddav由此得由此得at0vv求求 质点的运动方程。质点的运动方程。 又由定义又由定义vtxdd20021attxxv)(2002xxa2vv以上三式为匀变速直线运动的基本公

16、式以上三式为匀变速直线运动的基本公式at0vtxxtatx00d)(d0vxtxtaddddddddvvxvv得得vvvv00ddxxxa（运动方程）（运动方程）由由得得一质点作直线运动，已知其加速度一质点作直线运动，已知其加速度)sm(222ta初始条件为初始条件为x0=0, v0=0例例(1) 质点在第一秒末的速度质点在第一秒末的速度;(2)运动方程；运动方程；(3)质点在前三秒内质点在前三秒内运动的路程。运动的路程。求求(1) 求质点在任意时刻的速度求质点在任意时刻的速度解解tta22ddv分离变量分离变量 tt d)22(dv两边积分两边积分 vv00d)22(dttt质点在任意时刻的

17、速度质点在任意时刻的速度22tt vt =1s 时的速度时的速度11sm1v由由 (2)由质点的速度求运动方程由质点的速度求运动方程 22ddtttxv分离变量分离变量 tttxd)2(d2两边积分两边积分 xttttx002d)2(d质点的运动方程质点的运动方程 3231ttx（m）(3) 质点在前三秒内经历的路程质点在前三秒内经历的路程 ttttsd2d30230v令令 v =2t-t 2 =0 ，得，得 t =2m38d )2(d )2(322202tttttts一质点沿一质点沿x轴作直线运动，已知其加速度轴作直线运动，已知其加速度)s(m 432-xa初始条件为初始条件为x0 = 0,

18、 v0 = 0。例例求求 质点的速度。质点的速度。解解v，t，x 均为变量，作恒等变换均为变量，作恒等变换 txtxxtaddddddddvvv分离变量分离变量 两边积分两边积分 xxx00d)43(dvvvxa43ddxvvxa43ddtvxx d)43(dvv22321xx2v质点速度质点速度 1 -2sm 46xxv解解选向下为选向下为x轴正向轴正向（1）vvBgtadd分离变量并两边积分分离变量并两边积分 ttB00d-gdvvv)1 (BteBgv一石子从空中由静止下落。已知一石子从空中由静止下落。已知 ，例例vBga 石子的速度和运动方程。石子的速度和运动方程。求求（2）由由 求运

19、动方程求运动方程txddvtxtx00ddvteBgxtBtd )1 (0)1 (2BteBgtBg讨论讨论：石子下落速度随时间增长按指数规律变化，石子下落速度随时间增长按指数规律变化，t 时时, , vg/B( (常量常量) )，达到最大速度，称为，达到最大速度，称为收尾速度收尾速度或或终极速度终极速度。式中式中g为重力加速度，为重力加速度，B为常量。为常量。 解题思路解题思路1.1.运动学的第一类问题，用微分法。运动学的第一类问题，用微分法。r要注意描述质点运动的几个物理量的矢量表示方法，分要注意描述质点运动的几个物理量的矢量表示方法，分清清| |与与r，| |与与v。 用求导数的方法求出

20、速度和加速度。用求导数的方法求出速度和加速度。根据已知条件在选定的坐标系中写出运动方程。根据已知条件在选定的坐标系中写出运动方程。2.2.运动学的第二类问题，用积分法。运动学的第二类问题，用积分法。v已知已知)(taa )(xaa )(vaa 及初始条件用积分的方法求出速度和运动方程。及初始条件用积分的方法求出速度和运动方程。或或或或 运动学第二类问题解法总结运动学第二类问题解法总结 00, 0vv xxt初始条件：初始条件： 1.1.匀变速直线运动匀变速直线运动 a常量常量 xaddvv)()(00ttatvvtaddvttxd)(dv)(20202xxavv20000)(21)(ttatt

21、xxvtaddv2.2.加速度是时间函数加速度是时间函数)(taa ttad)(dvttttat0d)()(0vv3.3.加速度是坐标函数加速度是坐标函数)(xaa txxd)(dvxxxxax0d)(2)(202vvxxad)(dvvxxxxtt0)(d0vttttxtx0d)()(0vttxd)(dv4.4.加速度是速度函数加速度是速度函数)(vaa tad)(dvvvvvv0)(d0attttttxx0d)(0vxad)(dvvvtxxd)(dvvvvvv0)(d0axxxxxtt0)(d0vvttxd)(dv欲求速度与时间关系欲求速度与时间关系欲求欲求速度与距离关系速度与距离关系1.3

22、 抛体运动抛体运动主要内容：主要内容：1. 无阻力抛体运动无阻力抛体运动2. 阻力与速度阻力与速度(低速低速)成正比的抛体运动成正比的抛体运动yox0vvx0vy0vg1. 无阻力抛体运动无阻力抛体运动qcos0vv xgtyqsin0vvtxqcos0v2021singttyqv2220cos2antxgxyqqvgxq2sin20mvgtqsin0vgy2sin220mqv该矢量形式还可以写成该矢量形式还可以写成jgtji)sin()cos(00qqvvvt g0vt gvjgti)sin()cos(00qqvvvqcos0vv xgtyqsin0vv0voxy2021t gtrv0vtr

23、 ddvttt g00d)(vttr0dv2021t gtv221t g2. 阻力与速度阻力与速度(低速低速)成正比的抛体运动成正比的抛体运动阻力与速度阻力与速度( (低速低速) )成正比的抛体运动也可以分解为两个直线成正比的抛体运动也可以分解为两个直线运动。运动。小球从距地面高小球从距地面高h处以速度处以速度v0沿水平方向抛出，因阻力原沿水平方向抛出，因阻力原因，小球除具重力加速度外，还具有一与速度方向相反的因，小球除具重力加速度外，还具有一与速度方向相反的加速度加速度 ， 为小球的速度，为小球的速度，k为常量。为常量。以小球为研究对象。初始条件以小球为研究对象。初始条件为为t =0=0时时

24、, , x =0,=0,0 0 x= =v0 0, ,0 0y =0=0根据加速度公式有根据加速度公式有yyykgtavvdd 解解例例求求 小球的运动方程小球的运动方程0v ddxxxktavvoyhvv ka分离变量，并积分分离变量，并积分 将式（将式（1 1）、（）、（2 2）再积分，可得）再积分，可得式（式（3 3）、（）、（4 4）就是以时间）就是以时间t t为参量的小球运动方程。为参量的小球运动方程。txxtkx0dd0vvvvktxe0vvtyytkgy00ddvvv)1 (ktyekgv)1 (0ktekxv)2() 1 ( )1 (2ktekgtkgy)3()4( 解题思路解

25、题思路3. 抛体运动的运动方程、速度、加速度是相应各直线运抛体运动的运动方程、速度、加速度是相应各直线运动的叠加。动的叠加。抛体运动可看成是两个或三个相互垂直的直线运动的叠加。抛体运动可看成是两个或三个相互垂直的直线运动的叠加。处理抛体问题的步骤：处理抛体问题的步骤：1. 写出沿不同方向的直线运动方程。写出沿不同方向的直线运动方程。2. 求出沿不同方向的速度、加速度分量等。求出沿不同方向的速度、加速度分量等。1.4 自然坐标及自然坐标中的速度、加速自然坐标及自然坐标中的速度、加速度度主要内容：主要内容：1. 自然坐标自然坐标2. 匀速率圆周运动匀速率圆周运动中的加速度中的加速度3. 变速变速率

26、率圆周运动中的加速度圆周运动中的加速度4. 圆周运动圆周运动的角量描述的角量描述5. 一般曲线运动一般曲线运动中的加速度中的加速度6. 自然坐标中的运动学问题自然坐标中的运动学问题so1.4.1 自然坐标自然坐标质点作曲线运动且轨迹已知时，用自然坐标描述。质点作曲线运动且轨迹已知时，用自然坐标描述。)(tss netetddets v自然坐标中的速度：自然坐标中的速度：自然坐标中自然坐标中 ， 不是恒矢量不是恒矢量, ,其方向随质点在轨迹上的位置而变化。其方向随质点在轨迹上的位置而变化。tenenePtenePte1.4.2 匀速率圆周运动中的加速度匀速率圆周运动中的加速度tatlim0vta

27、atlim0vRvrvrRvv 的大小的大小vRoABvvv 质点作半径为质点作半径为R速率为速率为v的匀速圆周运动的匀速圆周运动RtrRat20limvvaBBvAAvroAvBv由几何关系由几何关系的方向的方向)(21q质点在质点在A点处的加速度方向垂直于点处的加速度方向垂直于A点的速度方向，沿半径指点的速度方向，沿半径指向圆心，称为法向加速度，以向圆心，称为法向加速度，以an表示。表示。n2nneReaav当当t0时时，q q 0 0, , /2，即即aRoABrBvAvvoAvBvAav1.4.3 变速圆周运动中的加速度变速圆周运动中的加速度ABvvv tn vvvtttatttt0n

28、00limlimlimvvv反映速度方向变化。反映速度方向变化。反映速度大小变化。反映速度大小变化。nvtvtnaaatatn0nlimvtatt0tlimvBBvAAvRorovBvAvnvtv 反映出质点速度方向的变化，称为法向加速度。反映出质点速度方向的变化，称为法向加速度。法向加速度的方向始终指向曲线凹侧。法向加速度的方向始终指向曲线凹侧。 Rat2n0n|limvt|vnatatlimt0tv反映出质点速度大小的变化，称为切向加速度。反映出质点速度大小的变化，称为切向加速度。taan的大小恒为正，其值为：的大小恒为正，其值为：at 的大小为的大小为ovBvAvnvtvABtvvvvt

29、tlim0vt ddv22ddts切向加速度的方向，与切向加速度的方向，与A点速度的方向或相反。点速度的方向或相反。自然坐标中，变速圆周运动的加速度自然坐标中，变速圆周运动的加速度2n2taaa222ddRtvvtnarctanaa 讨论讨论ttnntneaeaaaaOPanatavRxo q qB1.4.4 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 sq qA沿顺时针转动，沿顺时针转动， q q 为负。为负。)(tqq角速度角速度角加速度角加速度tttddlim0qqtttddlim0逆时针转动，逆时针转动， q q 为正；为正；用角量表示匀变速圆周运动的基本方程：用角量表示匀变速圆周运动的基本

30、方程：t020021ttqq02022qqqddrs trtsddddqtrtddddv22nrravra t2nra rv 匀变速圆周运动匀变速圆周运动匀变速直线运动匀变速直线运动 匀速圆周运动匀速圆周运动匀速直线运动匀速直线运动 法向加速度法向加速度切线加速度切线加速度 角加速度角加速度 加速度加速度 角速度角速度 速度速度 角位移角位移 位移位移 角位置角位置 位置位置 线量和角量的关系线量和角量的关系 角角 量量 线线 量量 r0rrrtr/ddvta/ddvta/ddtvra/2nvtxvat0vvt0tq t/ddt/dd0 rv tra 2nra 角量与线量的比较角量与线量的比较

31、20021ttqq)(20202qq20021attxxv)(20202xxavv1.4.5 一般曲线运动的加速度一般曲线运动的加速度BvBAvAtn vvvABvvv tttatttlimlimlimt0n00vvvtaddtv2nva“以圆代曲以圆代曲”vBvAvtvnv为曲率半径为曲率半径anata 思考题思考题 如果质点的切向加速度和法向加速度为下列各种情况，质点如果质点的切向加速度和法向加速度为下列各种情况，质点作何种运动？作何种运动？ 1.1. ， ；0ta0na2.2. ， ；0ta0na3.3. ， ；0ta0na4. 4. ， 。0ta0na1.4.6 自然坐标中的运动学问题

32、自然坐标中的运动学问题第一类问题：第一类问题： 已知质点运动方程已知质点运动方程 s=s(t) ，求质点在任意时，求质点在任意时刻的速度和加速度。刻的速度和加速度。第二类问题：第二类问题： 已知质点运动的速率已知质点运动的速率v或切向加速度或切向加速度at ，求求曲线曲线运动的运动方程运动的运动方程s=s(t) 。u自然坐标中运动学的两类问题：自然坐标中运动学的两类问题：如图所示，炮弹的出口速率为如图所示，炮弹的出口速率为v0，发射角为发射角为，不计阻力。，不计阻力。例例(1) 任一时刻任一时刻t的切向加速度的切向加速度at 及法向加速度及法向加速度an ； (2) 轨迹最高点的曲率半径轨迹最

33、高点的曲率半径 。 炮弹作抛体运动，设炮弹在炮弹作抛体运动，设炮弹在平面平面Oxy上运动上运动解解(1) 为恒矢量为恒矢量ga任一时任一时t刻炮弹速度在刻炮弹速度在Ox, Oy轴上的分量轴上的分量 xcos0vv gtysin0vv求求gqv0 yxocos0v任一时刻任一时刻t的切向加速度的切向加速度 22tddddyxttavvv2020)sin()cos(ddgttvv20200)sin()cos(singtgtgvvv法向加速度法向加速度 2t2t22t2n)(1gagagaaa20200)sin()cos(cosgtgvvv(2)(2)轨迹最高点的曲率轨迹最高点的曲率ga220n2c

34、osvv 由于顶点处速率由于顶点处速率 最小，且法向加速度最小，且法向加速度 最大最大( (为为什么什么?),?),按按 可知，在顶点处可知，在顶点处 达到最小值。同理可达到最小值。同理可推知，在抛出点和落地点推知，在抛出点和落地点 为最大值。为最大值。vga nn2av 讨论讨论求求 汽车在汽车在t=1s时的加速度。时的加速度。汽车在半径为汽车在半径为200 m的水平圆弧形弯道上行驶，发现路障的水平圆弧形弯道上行驶，发现路障后司机刹车。若将开始刹车的时刻作为记时起点，则刹车后司机刹车。若将开始刹车的时刻作为记时起点，则刹车阶段汽车的运动方程为阶段汽车的运动方程为 。例例32 . 020tts

35、本题为自然坐标中第一类问题。本题为自然坐标中第一类问题。解解26 . 020ddttsv切向加速度切向加速度 tta2 . 1ddtv法向加速度法向加速度 RtRa222n)6 . 020(v总加速度总加速度 tn22tn2 . 1)6 . 020(e teRtaaa当当t t1s1s时时2tsm2 . 1a22nsm88. 1200) 16 . 020(atn2 . 188. 1eeat t1s1s时，加速度的大小时，加速度的大小22ntaaa222sm23. 2)2 . 1(88. 15667. 12 . 188. 1tantnaa 加速度加速度 与速度与速度 的夹角为的夹角为av3312

36、2质点沿半径为质点沿半径为R的圆周按的圆周按 运动，式中运动，式中s为自然为自然坐标，坐标，v0、b为常量。为常量。 例例202tbtsv求求 (1) 质点的加速度；质点的加速度；(2) 质点的角速度、角加速度；质点的角速度、角加速度；(3) 法向加速度和切向加速度数值相等前，质点运动的时间。法向加速度和切向加速度数值相等前，质点运动的时间。解解 (1) 本题是自然坐标的第一类问题。本题是自然坐标的第一类问题。btts0ddvvbtaddtvRbtRa202n)(vv先求出速率先求出速率40222t2n)(1btbRRaaavRbbt20)(tanvq(2) 根据线量和角量关系，写出用角量描述

37、的运动方程根据线量和角量关系，写出用角量描述的运动方程)(t202tRbtRRsvqtRbRt0ddvqRbtdd(3) 由由 可得可得 ntaa Rbtb20)(v解出解出 bRbt0v一质点作半径为一质点作半径为R的圆周运动，其速度随时间变化的规律的圆周运动，其速度随时间变化的规律为为 ，式中，式中v0、b均为正的常量。均为正的常量。t=0时，质点位时，质点位于自然坐标的原点。于自然坐标的原点。例例bt0vv求求 (1) 自然坐标中质点的运动方程；自然坐标中质点的运动方程；(2) 当加速度的大小为当加速度的大小为b时，质点沿圆周运动了几圈？时，质点沿圆周运动了几圈？ (1) 本题为自然坐标

38、中的第二类问题，根据速度的定义本题为自然坐标中的第二类问题，根据速度的定义 解解btts0ddvv分离变量分离变量 tbtsd)(d0 v两边积分两边积分 tstbts000d)(dv2021bttsv(2)根据加速度的定义根据加速度的定义 RbtRa22)(0nvv24022n2t)(Rbtbaaav4022)(1btbRRav由由 bbtbRRa4022)(1v解得解得 bt0v这时质点运行的圈数为这时质点运行的圈数为 Rsn2btaddtvRbbb2)(21)(2000vvvRb420v 解题思路解题思路1. 第一类问题：已知自然坐标中运动方程第一类问题：已知自然坐标中运动方程s(t)，

39、求质点运动，求质点运动的速度、切向加速度、法向加速度，的速度、切向加速度、法向加速度，用求导法用求导法。自然坐标中质点运动学问题也分为两类问题。自然坐标中质点运动学问题也分为两类问题。2. 第二类问题：已知质点运动的速度或切向加速度及初始条第二类问题：已知质点运动的速度或切向加速度及初始条件，求运动方程，件，求运动方程，用积分法用积分法。3. 质点的圆周运动可用质点的圆周运动可用线量线量描述也可用描述也可用角量角量描述。描述。1.5 相对运动相对运动主要内容：主要内容：1. 基本参考系与运动参考系基本参考系与运动参考系2. 伽利略坐标变换伽利略坐标变换3. 伽利略速度变换伽利略速度变换1.5.

40、1 基本参考系与运动参考系基本参考系与运动参考系yxO两个作相对运动的参考系，选其中一个作为基本参考系，两个作相对运动的参考系，选其中一个作为基本参考系，用用S系表示；把另一参考系称为运动参考系，用系表示；把另一参考系称为运动参考系，用S 系表示。系表示。 物体相对于物体相对于S 系的运动系的运动 绝对运动绝对运动；物体相对于物体相对于S 系的运动系的运动 相对运动相对运动； S 系相对于系相对于S S 系系的运动的运动 牵连运动牵连运动。 Su xO yS A AA1.5.2 经典力学中的平动坐标系变换经典力学中的平动坐标系变换质点质点P P 在两个相互作平动运动在两个相互作平动运动的坐标系

41、中位矢之间的关系的坐标系中位矢之间的关系质点质点P P 在相互作平动运动的在相互作平动运动的坐标系中速度之间的关系坐标系中速度之间的关系00a伽利略速度变换公式伽利略速度变换公式( (经典力学速度变换公式经典力学速度变换公式) )aavv u对速度变换作时间的一阶求导，可得加速度变换关系对速度变换作时间的一阶求导，可得加速度变换关系Rrr r rRxzS x z y ou SyoP P定矢量u该公式在物体运动速度很高，接近于光速时不成立。该公式在物体运动速度很高，接近于光速时不成立。例例用枪瞄准攀伏在树上的猴子，随着枪响，受惊的猴子开始向用枪瞄准攀伏在树上的猴子，随着枪响，受惊的猴子开始向下掉

42、落下掉落, , 设空气阻力可以忽略不计。设空气阻力可以忽略不计。求求试证明不论子弹的初速度试证明不论子弹的初速度v0多大，都会击中自由下落的猴子多大，都会击中自由下落的猴子. . 证证 取地面为基本参考系，取地面为基本参考系，猴子为运动参考系。子猴子为运动参考系。子弹为运动物体，则子弹弹为运动物体，则子弹的速度为的速度为: :0vv猴弹t gu地猴t g0地弹vv地猴猴弹地弹uvv地猴地弹猴弹uvv00vvvt gt g猴弹常矢量常矢量 子弹相对于猴子作匀速直线运子弹相对于猴子作匀速直线运动动, ,只要初始被瞄准，不论子只要初始被瞄准，不论子弹的初速度弹的初速度v0 0为多大，自由下为多大，自

43、由下落的猴子都会被击中。落的猴子都会被击中。 lsinqlyxv0qo221gtP(x0,y0)另一种解法另一种解法：设子弹初速度为设子弹初速度为v0，发射角，发射角为为q，猴子的初始坐标为，猴子的初始坐标为（x0，y0）瞄准时瞄准时要击中猴子，必须在某一时要击中猴子，必须在某一时刻刻 t, 子弹和猴子的坐标一样。子弹和猴子的坐标一样。00tanxyq子弹在子弹在t 时刻的位置为时刻的位置为2010121sincosgttytxvv猴子在猴子在t 时刻的位置为时刻的位置为220221sincosgtlyxlxlsinqlyxv0qo221gtP(x0,y0)子弹击中猴子：子弹击中猴子：同一时刻

44、，子弹和猴子到达同一位置。同一时刻，子弹和猴子到达同一位置。当当x1=x2，即，即 ltcoscos0v0vlt 得得将将 代入代入y1和和y2的表达式得的表达式得0vlt 20001)(21sinvvvlgly2022sinvgll202)(21sinvlgly2022sinvgll即即 21yy 可见，在可见，在 这一时刻，这一时刻，x1=x2，y1=y2，即子弹和猴子到，即子弹和猴子到达同一位置，所以不论初速度达同一位置，所以不论初速度v0 0为多大，只要开始瞄得准，为多大，只要开始瞄得准，总可击中下落的猴子。总可击中下落的猴子。0vlt 飞机上的罗盘指出飞机航向正东（即飞机相对气流方向

45、飞机上的罗盘指出飞机航向正东（即飞机相对气流方向为正东），航速表的读数为为正东），航速表的读数为215 km/h，此时风向正南，此时风向正南，风速为风速为65 km/h。 例例(1) 飞机相对地面的速度；飞机相对地面的速度；(2) 若飞行员想朝相对地面方向正东飞行，他应取什么航向？若飞行员想朝相对地面方向正东飞行，他应取什么航向？基本参考系基本参考系: :地面地面; ;运动参考系运动参考系: :气流气流; ;运动物体运动物体: :飞机。飞机。解解(1) 已知飞机相对气流的速度已知飞机相对气流的速度v =215km/h，方向正东。，方向正东。气流相对地面的速度即风气流相对地面的速度即风速速u=65km/h，方向正北。，方向正北。由速度变换关系可知，飞机相对地面的速度为：由速度变换关系可知，飞机相对地面的速度为：地气气机地机uvvuv(东东)(北北)vq求求其大小为其大小为km/h 225km/h 652152222uvv方