数量关系—学习教案

1、数量数量(shling)关系关系 第一页，共28页。四、利用坐标作向量四、利用坐标作向量(xingling)的线性运算的线性运算 一、向量一、向量(xingling)的概的概念念二、向量二、向量(xingling)的线性运算的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七七章 第1页/共28页第二页，共28页。.a或表示法:向量(xingling)的模 :向量(xingling)的大小,21MM记作向量:(又称矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量

2、:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为 1 的向量,.a或记作 a零向量:模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共28页第三页，共28页。规定: 零向量与任何(rnh)向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行(pngxng)向量可平移到同一直线上, 故两向量(xingling)平行又称 两向量共线 .若 k (3)

3、个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k 个向量共面 .记作a ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共28页第四页，共28页。1. 向量向量(xingling)的加法的加法三角形法则(fz):平行四边形法则:运算规律 :交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 bbabbacba )()(cbacbaabcbacb)(cbacba )(aababa第4页/共28页第五页，共28页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas第5页/共28页第六页，共28页。三角(snjio)不等式机动 目录(m

4、l) 上页 下页 返回 结束 ab)( ab有时特别当,ab aa)( aababaabababa0baba第6页/共28页第七页，共28页。aa 是一个(y )数 ,.a规定(gudng) :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa总之:运算律 :结合律)(a)( aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共28页第八页，共28页。设 a 为非零向量(xingling) , 则( 为唯一(wi y)实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的

5、唯一性 .则,0故.即abab设 abba取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共28页第九页，共28页。“ ”则,0 时当例例1. 设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,0时当ba,0时当,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第9页/

6、共28页第十页，共28页。xyz由三条互相(h xing)垂直的数轴按右手规则组成一个空间(kngjin)直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共28页第十一页，共28页。xyzo向径 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标(zubio)面上的点 A , B , C点点 M特殊(tsh)点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(

7、yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;rr机动 目录 上页 下页 返回 结束 M第11页/共28页第十二页，共28页。坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标(zubio)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo第12页/共28页第十三页，共28页。在空间(kngjin)直角坐标系下,设点 M , ),(zyxM则沿三个坐标轴方向(fngxing)的分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r

8、 的坐标分解式坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ixOA, jyOBkzOC第13页/共28页第十四页，共28页。设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行(pngxng)向量对应坐标成比例:，为实数机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第14页/共28页第十五页，共28页。求解(qi ji)以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211

9、,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得bax32)10, 1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第15页/共28页第十六页，共28页。在AB直线(zhxin)上求一点 M , 使解解: 设设 M 的坐标的坐标(zubio)为为, ),(zyx如图所示ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及实数(shsh), 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOBOMOBOA(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共28页第十七页

10、，共28页。得定比分(b fn)点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点(zhn din) ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共28页第十八页，共28页。1. 向量向量(xingling)的模与两点间的距离公式的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理(u dn l)得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx2

11、12212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共28页第十九页，共28页。)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM证证:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点(dngdin)机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第19页/共28页

12、第二十页，共28页。)7, 1 ,4(A等距解解: 设该点为, ),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考(sko): (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹(guj)方程?(2) 如何求在空间(kngjin)与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共28页第二十一页，共28页。(1) 设动点为, )0,(yxM利用(lyng),BMAM得,028814 yx(2) 设动点为, ),(zyxM利用(lyng),B

13、MAM得014947zyx且0z例例6. 已知两点)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共28页第二十二页，共28页。oyzx设有两非零向量(xingling) ,ba任取空间(kngjin)一点 O ,aOA作,bOBOAB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(ba机动 目

14、录 上页 下页 返回 结束 第22页/共28页第二十三页，共28页。oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦(yxin)的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第23页/共28页第二十四页，共28页。)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向(fngxing)余弦和方向(fngxing)角 . 解解:,21,23)20计算(j sun)向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21M

15、M21MM机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第24页/共28页第二十五页，共28页。解解: 已知作业作业(zuy) P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19角依次(yc)为,43求点 A 的坐标 . ,43则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限 ,故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 A 的坐标为 . )3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且OAOAAO第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共28页第二十六页，共28页。解解: 因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 设,853kjim,742kjin求向量(xingling)pnma34在 x 轴上的投影(tuyng)及在 y轴上的分向量.13xa在