高数曲线问题

1、一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, ABLxy求移cosABFW “大化小” “常代变”“近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF11.2对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）oxyABL1 nMiM1 iM2M1Mix iy ,:BAL分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn jyxQiyxPyxF)

2、,(),(),( .)()(1jyixMMiiii 近似近似,),(),(),(),(jQiPFyxFiiiiii ,),(1iiiiiMMFW 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值.),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(*,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时最大值最大值如果当各小弧

3、段长度的如果当各小弧段长度的上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数光滑曲线光滑曲线的一条有向的一条有向到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiiniinnnMMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义定义.),(),(lim)()(*)(lim)(,()(,*)(lim1010110iiiiiniiLniiiLniiiiyQxPdyMQdxMPrMFrdMFyxLMFMMMF 记记作作或或称称第第二二类类曲曲线线积积分分）的的曲曲线线积积分分，上上对对坐坐

4、标标在在有有向向曲曲线线弧弧则则称称此此极极限限为为函函数数存存在在若若极极限限,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(,.FPiQjdrdxidyj其中.LF dr4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdy

5、zyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 5.5.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把(3),LLL设是有向曲线弧是与 方向相反的有向曲线弧 则即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(4)( , )( , )LP x yQ x y可代入，以便简化计算1212(2)( , )( , )( , )( , )LLLF x yF x ydrF x ydrF x ydr三、对坐标的曲线积分的计算法三、对坐标的曲线积分

6、的计算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,证明证明: 下面先证LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在, 且有对应参数设分点根据定义ix,it),(ii点,i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim对应参数连续所以)(t因为L 为光滑

7、弧 ,同理可证LyyxQd),(tttQd )(),()(t特别是, 如果 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧 :类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t( )tdt)(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx( ),( ) ,( )Qttt( ),( ) ,( )RtttdttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为 .)()(,)(,dxxyxy

8、xQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终点为，终点为起点为起点为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则注注：1）曲线向量函数代入被积函数中;2） 积分限从起点起点终点终点；3）曲线L为分段光滑时利用区域可加性计算。例例1. 计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数, 则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数, 则11:,:2yyxL54d2114yy从点xxx

9、d10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，变到变到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 .343a , 0:)2( yL，变到变到从从aax aadx0原式原式 03a)(cos)cos1(2 d yxo例例3. 计算,dd22yxxyxL其中L为(

10、1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11例4计算 (x2+y2) dx 1)L: x2+y2=2y逆时针闭路(正方向）；2）L: x2+y2=2x第一象限弧与x轴所围顺时针闭路。 y yl为顶点的正方形。为顶点的正方形。为以为以计算计算例例)1, 0(),0

11、, 1()1 , 0(),0 , 1(,)1(5 DCBAABCDyxdydxIABCD ABABdydxyxdydx1解：解：0)1(101 dx BCBCdydxyxdydx1. 21110 dx1 yx CDCDdydxyxdydx11 yx0)1(101 dx DADAdydxyxdydx11 yx. 21110 dxABCD例例6. 设在力场作用下, 质点由沿移动到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的参数方程为kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20dBAzyx试求力场对质点所作的功.;,s

12、in,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk 222k其中为),(zxyFsFWdsFWdozyx例例7. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2228()()(),1,1LIyz dxzx dyxy dz LxyxLxz例 已知是椭圆：从 轴正向看去， 的方向是顺时针的。 cos1sincoszyx解：曲线：

13、解：曲线：02 从从 02)sin)(cos1(sin)()()(LdzyxdyxzdxzyI cos)coscos1( dsin)sin(cos.4 的的值值最最小小。的的积积分分到到，使使沿沿该该曲曲线线从从求求一一条条曲曲线线中中，的的曲曲线线族族和和例例：在在过过点点dyyxdxyAOLaxayAOL)2()1()0(sin)0 ,()0 ,0(3 dxxaxaxxaIcos)sin2(sin1303 解：解：3443aa 0442 aI)( 1, 1舍去舍去 aa取最小值。取最小值。时时IaaI108 .sin xyL 为为0 的的最最大大值值。最最大大？并并求求功功所所作作的的取取

14、何何值值时时，力力，问问的的点点上上第第一一卦卦限限球球面面由由原原点点沿沿直直线线运运动动到到椭椭的的作作用用下下，质质点点例例：在在变变力力WWFMczbyaxkxyjxziyzF ),(1222222 OMxydzxzdyyzdxW解：解： zyx 直线：直线：t dtttttttW)(10 dtt2103)1(222222cbaF )1(222222cbaF 022 aF 022 bF 022 cF 222222cba 31 3,3,3cba .93abcWman 对对质质点点所所作作之之功功。力力求求系系数数原原点点距距离离成成正正比比，比比例例原原点点，大大小小和和作作用用点点与与

15、的的方方向向指指向向作作用用着着，过过程程中中，有有一一变变力力移移动动到到从从线线练练习习：在在一一质质点点沿沿螺螺旋旋FkFFbaBaAbabtztaytax, 0)2 , 0 ,()0 , 0 ,()0, 0(sincos nFF 222zyxkF 解：解： zyxl , zyxzyxn ,1222 zyxkF , Lzdzydyxdxkwdtbtbtatatatak)cos(sin)sin)(cos(20 222 kb 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sysxddc

16、os,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt sdxyd12类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd, ),(RQPA )d,d,(ddzyxs )cos,cos,(cost sA d sA dstAd

17、记 A 在 t 上的投影为例例. . 将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圆周二者夹角为 例例. 设,max22QPM曲线段 L 的长度为s, 证明),(, ),(yxQyxP续,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQPLdcoscos设sMsQPLdcoscos说明说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲

18、线积分.在L上连 )cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos1. 定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结3. 计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(

19、t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧 : F原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1. 设一个质点在),(yxM处受恒指向原点,)0,(aA沿椭圆此质点由点12222byax沿逆时针移动到, )

20、,0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t, ),(yxOM F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),(xyk思考思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 )0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz2. 已知为折线 ABCOA(如图), 计算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd3.解解:zxoyAB

21、zk222zyxkzjyi xzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz) 10:(t101d3ttk2ln3k)1 ,2,2(A线移动到, )2,4,4(B向坐标原点, 其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直sFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABr求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点4. 设曲线C为曲面2222azyx与曲面axyx22,)0, 0(的交线az从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分.ddd222zxyzxyC解解: (1)22222)()(aay

22、x222yxaztxaacos22tyasin22sintaz 20:t(2) 原式 =ta38sin3tttadcos)cos1 (2283令tu20uuuaacoscossin2223833uuuadsin)cos1 (2283利用“偶倍奇零”0232auuudcos2cos134attacossin2223一一、 填填空空题题: :1 1、 对对_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的曲曲线线积积分分与与曲曲线线的的方方向向有有关关；2 2、 设设0),(),( dyyxQdxyxPL, ,则则 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_

23、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 在在公公式式 dyyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限对对应应于于L的的_ _ _ _ _点点, ,上上限限 对对应应于于L的的_ _ _ _ _点点；4 4、两两类类曲曲线线积积分分的的联联系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .练练 习习 题题二二、 计计算算下下列列对对坐坐标标的的曲曲线线积积分分: : 1 1、 Lxydx, ,L其其中中为为圆圆周周)0()(222 aayax及及 x轴轴所所围围成成的的在在第第一一象象限限内内的的区区域域的的整整个个边边界界( (按按 逆逆时时针针方方向向绕绕行行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其其中中为为圆圆周周 222ayx ( (按按逆逆时时针针方方向向饶饶行行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其中为有向闭折线其中为有向闭折线ABCD, ,这里这里 的的CBA