第九章应力分析1

1、第九章第九章应力和应变分析应力和应变分析 强度理论强度理论（1） 问题的提出问题的提出基本变形横截面应力情况基本变形横截面应力情况u拉、压及弯曲拉、压及弯曲时截面上下顶点时截面上下顶点u扭转及弯曲时截扭转及弯曲时截面中性层面中性层s ss sttu弯曲其它点弯曲其它点s sx xtsEtG ? ss ttu一般情况一般情况s sxs sys szt txyt tyxyxzt tyzt tzyt tzxt txzu1 任意方向的应力应变如任意方向的应力应变如何分析何分析?u2 一般应力情况如何一般应力情况如何进行强度计算进行强度计算?u3如何利用横截面已有分析结如何利用横截面已有分析结果得到问题

2、解答果得到问题解答?返回总目录返回总目录9.1 9.1 应力状态基本概念应力状态基本概念何谓应力状态何谓应力状态如何研究应力状态如何研究应力状态应力状态分类应力状态分类9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述一、一、何何谓谓应应力力状状态态 1、应力概念的进一步讨论、应力概念的进一步讨论应力点的概念和面应力点的概念和面(方向方向)的概念：的概念：TPITMt)(横截面剪应力：横截面剪应力：横截面应力：横截面应力：MzMzyzMyIs9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述 杆件基本变形时的应力分析是通过杆件基本变形时的应力分析是通过横截面的应变分析得到的，它仅能给出横截面的应变分析得到的，它仅

3、能给出 横截面横截面方向各点的应力方向各点的应力:一个特殊方向上一个特殊方向上的应力的应力! 2、斜截面应力：、斜截面应力： 一、一、何何谓谓应应力力状状态态圆轴扭转时无正应力吗？圆轴扭转时无正应力吗？纯弯梁上无剪应力的吗？纯弯梁上无剪应力的吗？9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述观观察察与与分分析析一、一、何何谓谓应应力力状状态态9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述一、一、何何谓谓应应力力状状态态9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述 以上两例说明：以上两例说明： 一点的应力在不同方向上是变化的。一点的应力在不同方向上是变化的。低碳钢拉伸试验低碳钢拉伸试验铸铁扭转试验铸铁扭转试验试

4、验表明：试验表明：45度方向的剪应度方向的剪应力引起力引起“滑移滑移”产生屈服产生屈服试验表明：试验表明： 45度方向的度方向的拉应力引起断裂破坏拉应力引起断裂破坏一、一、何何谓谓应应力力状状态态sxtx y sxxysxsx9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述一、一、何何谓谓应应力力状状态态tx y sxxyt tyxt txyt tyxt txy9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述一、一、何何谓谓应应力力状状态态9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述一、一、何何谓谓应应力力状状态态以上两例说明：以上两例说明：2.2.危险应力不一定在横截面方向上。危险应力不一定在横截面方向上。3.

5、3.材料产生破坏可由不同应力产生。材料产生破坏可由不同应力产生。这些实例说明仅研究横截面应力是不这些实例说明仅研究横截面应力是不够的，必须研究所有斜截面应力。够的，必须研究所有斜截面应力。1 1、不同方位上的应力是变化的。、不同方位上的应力是变化的。9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述3 3、应力状态、应力状态一、一、何何谓谓应应力力状状态态 一点沿所有方向上的应力集合称为该点的应一点沿所有方向上的应力集合称为该点的应 力状态。力状态。 横截面上一点的应力仅是该点应力集合中的横截面上一点的应力仅是该点应力集合中的 一个元素。一个元素。 只有求出一点的应力状态，方能完整描述一只有求出一点的应

6、力状态，方能完整描述一 点的应力情况。点的应力情况。9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述二、二、如如何何研研究究一一点点的的应应力力状状态态 一点的应力状态有无数个方向的应力，一点的应力状态有无数个方向的应力，如何描述呢？如何描述呢？2 2、是否可以将横截面上一点的应力进行投、是否可以将横截面上一点的应力进行投影，如同力的分解一样求该点应力状态？影，如同力的分解一样求该点应力状态？对于对于2 2，首先应力与力不同性质量；其次该点还有其它，首先应力与力不同性质量；其次该点还有其它方向应力作用。方向应力作用。对于对于1 1，既无必要也不可能；，既无必要也不可能；问题：问题：1 1、是否可用与横

7、截面应力分析相同的方、是否可用与横截面应力分析相同的方法求该点应力状态？法求该点应力状态？9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述1、单元体的概念、单元体的概念 围绕所研究点用若干边长无限小的平面取围绕所研究点用若干边长无限小的平面取出的微元称为单元体，各微面的外法线表示该出的微元称为单元体，各微面的外法线表示该点的方位。点的方位。 为了方便及表达的为了方便及表达的统一性常用正六面体形统一性常用正六面体形状的单元体。状的单元体。二、二、如如何何研研究究一一点点的的应应力力状状态态yxzs sxs sys szt txyt tyxt tyzt tzyt tzxt txz9.1 9.1 应力状态概

8、述应力状态概述2、应力单元体、应力单元体应力单元体两平应力单元体两平 行面上应力相等、行面上应力相等、均匀、方向相反。均匀、方向相反。由剪应力互等定由剪应力互等定理知它有六个独理知它有六个独立应力分量存在。立应力分量存在。从受力物体中取从受力物体中取出的单元体称为出的单元体称为应力单元体。应力单元体。应力单元体应力单元体二、二、如如何何研研究究一一点点的的应应力力状状态态xysxs syt tyxt txy9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述3、平面应力单元体、平面应力单元体 当其中一个当其中一个面上的应力为零面上的应力为零时，单元体用平时，单元体用平面表示，称为平面表示，称为平面应力单元

9、体，面应力单元体，只有三个独立应只有三个独立应力分量存在。力分量存在。平面应力单元体平面应力单元体二、二、如如何何研研究究一一点点的的应应力力状状态态s syt tyxstxst txydA 9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述4、应力状态求解方法、应力状态求解方法 当平面应力单元体两个面上应当平面应力单元体两个面上应力已知，则不难由单元体平衡求得力已知，则不难由单元体平衡求得任意方向应力：任意方向应力：s s ( )及及t t ( )。二、二、如如何何研研究究一一点点的的应应力力状状态态 已知单元体两个面上的应已知单元体两个面上的应力，由单元体的局部平衡求力，由单元体的局部平衡求得平面应

10、力时的应力状态。得平面应力时的应力状态。9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述二、二、如如何何研研究究一一点点的的应应力力状状态态5、单元体截取原则、单元体截取原则单元体两个面上的应力必须能求出单元体两个面上的应力必须能求出一般从杆件横截面及纵截面截取单元体一般从杆件横截面及纵截面截取单元体根据具体情况或取其它形式的单元体更好根据具体情况或取其它形式的单元体更好FPl/2l/2S平面平面9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述二、二、如如何何研研究究一一点点的的应应力力状状态态1xs s1xs s12t t2t t2xs s2xs s2t t2t t23t t3t t3t t3t t34Pl

11、FMz 4PlFMz PQ2FF PQ2FF S平面5 54 44 43 33 32 22 21 19.1 9.1 应力状态概述应力状态概述二、二、如如何何研研究究一一点点的的应应力力状状态态FPla9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述二、二、如如何何研研究究一一点点的的应应力力状状态态4321S平面平面9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述二、二、如如何何研研究究一一点点的的应应力力状状态态yxzMz FQyMx43211439.1 9.1 应力状态概述应力状态概述二、二、如如何何研研究究一一点点的的应应力力状状态态AA采用其它形式的单元体采用其它形式的单元体9.1 9.1 应力状态概

12、述应力状态概述实例3二、二、如如何何研研究究一一点点的的应应力力状状态态sXsYt X Y9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述q一点的应力状态是确定性的，与如何取单一点的应力状态是确定性的，与如何取单元体无关，所以通过一点的不同单元体表现元体无关，所以通过一点的不同单元体表现形式不同，但表达的是同一应力状态，它们形式不同，但表达的是同一应力状态，它们是完全等效的。是完全等效的。三、三、应应力力状状态态分分类类及及实实例例s syt tyxt txysxxyt tx y s syt ty x s sxxy Pys Pxsypxp单元体的等效性单元体的等效性l 应力状态的概念应力状态的概念9.

13、1 9.1 应力状态概述应力状态概述三、三、应应力力状状态态分分类类及及实实例例应力状态分类：应力状态分类：三向应力状态三向应力状态 (三个主应力均不为零三个主应力均不为零) 二向应力状态二向应力状态 (两个主应力不为零两个主应力不为零 ) 单向应应力状态单向应应力状态 (一个主应力不为零一个主应力不为零)1、主平面、主平面 t t ()=0给出的方位称为主平面，该方位无剪应力给出的方位称为主平面，该方位无剪应力2、主应力、主应力主平面上作用的正应力称为主应力主平面上作用的正应力称为主应力结论：一点应力单元体存在相互垂直的三个主平面结论：一点应力单元体存在相互垂直的三个主平面( t t ()=

14、0)其上的主应力按代数值大小排列其上的主应力按代数值大小排列 s s1 s s2 s s39.1 9.1 应力状态概述应力状态概述三、三、应应力力状状态态分分类类及及实实例例3、主应力单元体、主应力单元体 用用t t ()=0 给出的主平面组成的单元体称为主应力单给出的主平面组成的单元体称为主应力单元体，它是一点应力状态的最简表达形式，可由元体，它是一点应力状态的最简表达形式，可由t t ()=0计算得到计算得到 。2s s1s s3s s9.1 9.1 应力状态概述应力状态概述3、研究材料破坏因素、研究材料破坏因素4、建立复杂应力状态强度计算理论、建立复杂应力状态强度计算理论2、建立一点任意

15、方向的应力应变关系、建立一点任意方向的应力应变关系1、求主应力及主平面、求主应力及主平面 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例1 二向应力状态的实例二向应力状态的实例l 薄壁圆筒薄壁圆筒已知：已知：p, D, t。u 求求s端部总压力端部总压力42DpPAPsDtDp42tpD4u 求求sAPsDtDp42tpD4u 求求s取研究对象取研究对象如图。如图。u 求求s计算计算N力力0YN2d2Dlpsin0plD2plDN 即：内压力在即：内压力在y方向的投方向的投影等于内压乘以投影面影等于内压乘以投影面积。积。2plDN 所以所以AN sltNtpD2 stpD2 s可以看出：可以

16、看出：轴向应力轴向应力 s是是环向应力环向应力s的一半。的一半。对于薄壁圆筒，有：对于薄壁圆筒，有：20Dt ,4tpDsp10 s,5ps所以，可以所以，可以忽略忽略内表面受到的内压内表面受到的内压p和外表面和外表面受受到的大气压强，近似作为到的大气压强，近似作为二向应力状态二向应力状态处理。处理。例例已知：蒸汽锅炉，已知：蒸汽锅炉，t=10mm, D=1m, p=3MPa 。解：解：求：三个主应力。求：三个主应力。前面已得到前面已得到tpD2 stpD4sMPa,75MPa150ss 1MPa,150ss2MPa,7503s2 三向应力状态的实例三向应力状态的实例l 滚珠轴承滚珠轴承一、典

17、型的二向应力状态（1）在热套配合条件下的钢轮轮盘在热套配合条件下的钢轮轮盘(b) m点处于两向等压应力状态点处于两向等压应力状态二、典型的三向应力状态（1）(a)表层急剧加热条件下的钢球表层急剧加热条件下的钢球(b) m点处于三向等拉应力状态点处于三向等拉应力状态返回返回sxsxsxsxtx y t tyxt txy剪应力yxxyq方向角ql 方向角为方向角为的截面上的应力的截面上的应力以单元体的一部分为研究以单元体的一部分为研究对象。对象。由平衡条件由平衡条件0nFAdstsin)cosd(Axyscos)cosd(Axtcos)sind(Ayxssin)sind(Ay00tF0nFAdst

18、sin)cosd(Axyscos)cosd(Axtcos)sind(Ayxssin)sind(Ay00tFAdttcos)cosd(Axyssin)cosd(Axscos)sind(Aytsin)sind(Ayx00tFAdttcos)cosd(Axyssin)cosd(Axscos)sind(Aytsin)sind(Ayx0由剪应力互等定理，由剪应力互等定理，txy与与 tyx 大小相等。大小相等。tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyxl 最大正应力和最小正应力最大正应力和最小正应力tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2

19、xyyxsdd令：令：yxxysst22tan0可以看出：当可以看出：当 =0 时，时，0t)2cos2sin2(2tssxyyxt20dds取极值的正应力为主应力。取极值的正应力为主应力。令：令：yxxysst22tan0可以看出：当可以看出：当 =0 时，时，0t0dds取极值的正应力为主应力。取极值的正应力为主应力。若若 0 满足上式，则满足上式，则 0 +90也满足上式，代入也满足上式，代入公式可得：公式可得：22minmax22xyyxyxtssssss若若 0 满足上式，则满足上式，则 0 +90也满足上式，代入也满足上式，代入公式可得公式可得：22minmax22xyyxyxts

20、sssssl 正应力的不变量正应力的不变量l 正应力的不变量正应力的不变量tsssss2sin2cos22xyyxyx截面上的正应力为截面上的正应力为: +90 截面上的正应力为截面上的正应力为:)2sin()2cos(2290tsssssxyyxyxtssss2sin2cos22xyyxyx90ssyxss任意两个互相垂直的截面上的任意两个互相垂直的截面上的正应力之和正应力之和为为常数常数.l 最大剪应力和最小剪应力最大剪应力和最小剪应力tsst2cos2sin2xyyxtdd令：令：xyyxtss22tan1ss2cos)(yx0ddtt2sin2xy若若 1 满足上式，则满足上式，则 1

21、 +90也满足上式，代入也满足上式，代入22minmax2xyyxtsstt公式可得：公式可得：若若 1 满足上式，则满足上式，则 1 +90也满足上式，代入也满足上式，代入22minmax2xyyxtsstt公式可得：公式可得：22minmax22xyyxyxtssssss)(21minmaxssu 剪应力的极值称为剪应力的极值称为主剪应力主剪应力u 主剪应力所在的平面称为主剪应力所在的平面称为主剪平面主剪平面u 主剪平面上的正应力主剪平面上的正应力u 剪应力的极值称为剪应力的极值称为主剪应力主剪应力u 主剪应力所在的平面称为主剪应力所在的平面称为主剪平面主剪平面u 主剪平面上的正应力主剪平

22、面上的正应力tsssss2sin2cos22xyyxyxxyyxtss22tan1将将 1 和和 1 +90 代入公式可得：代入公式可得：9011ss)(21minmaxss)(21yxsss即：即： 主剪平面上的正应力为主剪平面上的正应力为平均正应力平均正应力。xyyxtss22tan1将将 1 和和 1 +90 代入公式可得：代入公式可得：9011ss)(21minmaxss)(21yxsss即：即： 主剪平面上的正应力为主剪平面上的正应力为平均正应力平均正应力。,22tan0yxxysstl 主平面主平面与与主剪平面主剪平面的关系的关系由由 0 和和 1 的公式可得：的公式可得：12tan2tan1022201401即：即：主平面主平面与与主剪平面主剪平面的夹角为的夹角为45。例例已知：已知： 圆轴受圆轴受扭转。扭转。解：解：求：应力状态及