第4章刚体力学正式

1、第第4章章 刚体力学刚体力学一、一、理解描述刚体定轴转动的物理量，熟练掌握刚体绕定轴理解描述刚体定轴转动的物理量，熟练掌握刚体绕定轴作匀加速转动的运动学特点。作匀加速转动的运动学特点。二、理解力矩与转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动二、理解力矩与转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定律。定律。三、熟练掌握刚体绕定轴转动情况下的角动量定理和角动量三、熟练掌握刚体绕定轴转动情况下的角动量定理和角动量守恒定律的应用。守恒定律的应用。四、理解刚体定轴转动的转动动能概念，掌握功能原理在定四、理解刚体定轴转动的转动动能概念，掌握功能原理在定轴转动问题中的应用。轴转动问题中的应用。五、熟练掌握角动量守

2、恒定律和机械能守恒定律的条件，提五、熟练掌握角动量守恒定律和机械能守恒定律的条件，提高应用守恒定律解决具体问题的能力。高应用守恒定律解决具体问题的能力。作业：作业： 10,12,14,16,20,21,26,35,44,48 4.0 概述概述 实际的物体是有大小的，并且有不同的形状。实际的物体是有大小的，并且有不同的形状。当物体受力作用时，可能还有大小形状的变化，当物体受力作用时，可能还有大小形状的变化，此时将物体当作质点就不合适了，而应该考虑物此时将物体当作质点就不合适了，而应该考虑物体各动部分的运动情况及其大小形状的变化。显体各动部分的运动情况及其大小形状的变化。显然，这类问题是非常复杂的

3、。如果物体受力作用然，这类问题是非常复杂的。如果物体受力作用时形状的变化很小，可以忽略不计，则会使问起时形状的变化很小，可以忽略不计，则会使问起题简化。于是提出题简化。于是提出“刚体刚体”模型。模型。 刚体刚体-在外力作用下，形状和大小都不发生变在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）点组） 研究刚体运动国防、工业、医学都有重要意义。研究刚体运动国防、工业、医学都有重要意义。刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动 . 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完

4、全平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线它们的初始位置间的连线 .4.1 刚体的基本运动刚体的基本运动 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动动. 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚体的平面运动刚体的平面运动 . 刚体运动的分类x4.2 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述z参考平面参考平面)(t)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标约定约定r沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 r沿逆时针方向转动沿逆时针

5、方向转动 tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向参考轴参考轴4.2.1. 刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度角加速度角加速度t dd1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 .,a, v定轴转动的定轴转动的特点特点 刚体刚体定轴定轴转动（一转动（一维转动）的转动方向可维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表以用角速度的正负来表示示 .00zz4.2.2 匀变速转动的公式匀变速转动的公式

6、 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度rad75)6(2)5(22202210srad6srad3050t 例例 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因因受制动而均匀减速，经受制动而均匀减速

7、，经 30 s 停止转动停止转动 . 试求：试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开）制动开始后始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .解解（1）,srad510. 0 t = 30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动00时，时， t = 0 s （2）s6t时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度110srad4srad)665(t（3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点

8、的线速度大小22sm5 . 2sm42 . 0rv该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度22tsm105. 0sm)6(2 . 0ra转过的圈数转过的圈数r5 .372752N2222nsm6 .31sm)4(2 . 0ra 例例 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速开始时，它的角速度度 ，经，经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转已知转子的角加速度与时间成正比子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转问

9、在这段时间内，转子转过多少转？过多少转？00解解 由题意，令由题意，令 ，即，即 ，积分，积分 ctcttddtttc00dd得得221ct当当t=300s 时时11srad600minr18000所以所以3322srad75srad30060022tc转子的角速度转子的角速度232srad15021tct由角速度的定义由角速度的定义23srad150ddtt得得tttdsrad150d0230有有33srad450t在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022N32srad)75(2tc角线量关系Pz*OFdFrMsinM1Frd : 力臂力臂d 刚体绕刚

10、体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用作用在刚体上点在刚体上点 P , 且在转动平面内且在转动平面内, 为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的径矢的径矢 . Fr2FrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFF4.3.1 力矩力矩 M4.3 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量F2F力矩( (大小大小, ,方向方向) )(由位置矢量描述)力对 Z 轴的力矩合力矩先设定转轴的正方向先设定转轴的正方向( (设向上为正设向上为正) )转动定律4.3.2 转动定律fiFiFi+ f =aiint tij jFisin+if sin it t=ai=

11、riri=+riifsin iiFij jsinriririt tnFiOrifiij jI续t tnFiOrifiij j转动惯量的计算4.3.3 转动惯量及其计算 质量，描述刚体平动时惯性大小的物理量转动惯量，描述刚体转动时惯性大小的物理量分立质点的算例0.75直棒算例平行移轴定理平行移轴定理对对新轴新轴的转动惯量的转动惯量对质心轴的转动惯量对质心轴的转动惯量新轴新轴对心轴的平移量对心轴的平移量例如：例如：时时代入可得代入可得端圆盘算例取半径为 ,宽为 的窄带园环,其质量为:球体算例匀质实心球对心轴的可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量 的迭加距 为 、半径为 、微厚为的薄圆盘的转动

12、惯量为其中球体算例此外，还可以用填充法加平行轴定理求解转动惯量此外，还可以用填充法加平行轴定理求解转动惯量半径半径R，质量，质量M的均匀圆盘，的均匀圆盘，被挖去一个小圆洞，求绕圆被挖去一个小圆洞，求绕圆心轴的转动惯量心轴的转动惯量.Rrd2RM221MRI 小洞III22小洞21mdmrI未挖时密度未挖时密度未挖时未挖时挖后挖后2rm其它典型匀质矩形薄板匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I = (a + b ) 22m12匀质细圆环匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I = m R 2匀质细圆环匀质细圆环转轴沿着环的直径2I =2m R匀质厚圆筒匀质厚圆筒转轴沿几何轴I = (R1 + R2 ) 22

13、m2匀质圆柱体匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI = R + 22m124L匀质薄球壳匀质薄球壳转轴通过球心2I =2m R3转动定律例题一转动定律例题二T1T2a（以后各例同）（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轮轴无摩擦轻绳不伸长轻绳不伸长轮绳不打滑轮绳不打滑T2T1G1G2T2T1a ab b T1 m1 g = m1am2 g T2 = m2a( T2 T1 ) R = I a = R I = m R 22转动转动平动平动线线- -角角联立解得联立解得a=m1m1+ m2+ gm2m21gT1 = m1 ( g + a )T2 = m2 ( g a )m1 gm2 g如果考虑有转动

14、摩擦力矩如果考虑有转动摩擦力矩 Mr , ,则则 转动式为转动式为( T2 T1 ) R Mr= I 再联立求解。再联立求解。转动定律例题三Rm1m细绳缠绕轮缘细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力恒力F滑轮角加速度滑轮角加速度 细绳线加速度细绳线加速度 a（A）（B）ORORr dr 例例 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，平放在的均匀圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦因数为粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦因数为 ，令圆盘最初以角速度令圆盘最初以角速度 绕通过盘中心绕通过盘中心 O 并与盘面垂并与盘面垂直的轴旋转，问它将经过多少时间才停止转动？直的轴旋转，问它将经过

15、多少时间才停止转动？mR 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在，在盘上取半径为盘上取半径为 ，宽为，宽为 的的圆环，质量为圆环，质量为rrd2Rmrrmd2d圆环所受的阻力矩为圆环所受的阻力矩为332Rg由于由于整个圆盘所受的阻力矩为整个圆盘所受的阻力矩为0rgmMddRrrgrmgrM0d2d所以所以mgRM32根据转动定律，有根据转动定律，有设圆盘经过时间设圆盘经过时间 停止转动，对上式运算即可停止转动，对上式运算即可最后得最后得043gRt tmRImgRdd213220t00d21d32Rtgv4.4.1 质点的角动量质点的角动量vmrprLvrLLrpmo 质点以角速度质点以角速

16、度 作半径作半径为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的角动量角动量rImrL2Lrxyzom 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原点的角动量点的角动量mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.L4.4 刚体的角动量 角动量定理 角动量守恒定律刚体的角动量4.4.2 刚体的角动量 角动量定理4.4.3 刚体定轴转动的角动量定理例均通过转轴,无力矩.时刹车,均通过转轴,对合力矩无贡献.末角动量(停转)刚体系统的角动量定理*（刚体+质点）系的若一个系统包含多

17、个若一个系统包含多个共轴共轴刚体或平动物体刚体或平动物体系统的总合外力矩系统的总合外力矩 系统的总角动量的变化率系统的总角动量的变化率系统的总冲量矩系统的总冲量矩系统的总角动量增量系统的总角动量增量系统：系统： 轻绳轻绳（忽略质量）（忽略质量）总合外力矩总合外力矩对对O的角动量的角动量对对O的角动量的角动量由由得得同向同向而解得解得例如例如静静止止释释放放求角加速度求角加速度刚体的角动量守恒定律4.4.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律系统的角动量守恒定律不仅适用于“刚体+角动量守恒的另一类现象收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花样滑冰中常见的例子角动量守

18、恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则变小则变大，变大，乘积乘积保持不变保持不变变大则变大则变小变小收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花花 样样 滑滑 冰冰收臂大小张臂张臂大大小小先使自己先使自己转动起来转动起来收臂收臂大小高台跳水共轴系统的角动量守恒共轴系统共轴系统若若外外则则恒矢量恒矢量轮、转台与人系统轮、转台与人系统轮轮人台人台初态初态全静全静初初人沿某一转人沿某一转向拨动轮子向拨动轮子轮轮末态末态人台人台轮轮轮轮末末人台人台人台人台初初得得人台人台人台人台轮轮轮轮导致人台导致人台反向转动反向转动直升飞机图片来自Internet守恒例题一A A

19、、B B两轮共轴两轮共轴A A以以 A A作惯性转动作惯性转动 以以A A、B B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量初态角动量末态角动量态角动量得得两轮啮合后两轮啮合后一起作惯性转动的角速度一起作惯性转动的角速度 ABAB转动与碰撞续上守恒例题三 满足什么条件时，小球（视满足什么条件时，小球（视为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止。直棒起摆角速度小球恰好静止。直棒起摆角速度匀质直棒与单摆匀质直棒与单摆小球的质量相等小球的质量相等两者共面共转轴两者共

20、面共转轴水水平平静静止止释释放放静静悬悬弹碰弹碰忽略摩擦忽略摩擦联立解得联立解得0.5771.861对摆球、直棒系统对摆球、直棒系统小球下摆阶段小球下摆阶段从水平摆到弹碰即将开始从水平摆到弹碰即将开始由动能定理得由动能定理得其中其中 球、棒相碰球、棒相碰瞬间瞬间在铅垂位置，在铅垂位置，系统受合外系统受合外力矩为零力矩为零，角动量守恒。，角动量守恒。刚要碰时系统角动量刚要碰时系统角动量刚碰过后系统角动量刚碰过后系统角动量球球棒棒球球棒棒弹碰阶段弹碰阶段弹碰过程能量守恒弹碰过程能量守恒4.5.1 力矩的功4.5 4.5 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理转动动能4.5.2 4.5.2 定

21、轴转动刚体的转动动能定轴转动刚体的转动动能力矩的功算例拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小总摩擦力矩总摩擦力矩 是是各微环带摩擦元力矩各微环带摩擦元力矩 的积分的积分环带面积环带面积环带质量环带质量环带受摩擦力环带受摩擦力环带受摩擦力矩环带受摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功转一周摩擦力矩的总功得得粗粗 糙糙 水水 平平 面面转轴转轴平放一圆盘平放一圆盘刚体的动能定理4.5.3 刚体定轴转动的动能定理回忆质点的动能定理回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理由由转动定律转动定律则则合外力矩的功合外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量称为称为tIdddddddItIM动能定理例题三段，外力矩作正功段，外力矩作正功段，外力矩作负功段，外力矩作