Y(六章4讲)含时微扰

1、光电信息学院 李小飞第六章：微扰理论第六章：微扰理论第第四四讲：讲：含时微扰与量子跃迁含时微扰与量子跃迁( , )( , )ir tHr tt 定态微扰理论讨论的是定态薛定谔方程的近似求解问题. 现在，考虑量子态的演化问题。即已知初始时刻的态函数 ，求其演化到任意时刻t的状态函数 显然，它是含时薛定谔方程的解。含时微扰理论讨论的是含时薛定谔方程的近似求解问题),(0tr ),(tr 含含时微扰理论时微扰理论这种情况的态演化可归结为这种情况的态演化可归结为求解定态薛定谔方程求解定态薛定谔方程。)()(rErHnnn 1 1、不显含时间、不显含时间t t若定态薛定谔方程已解，（当然很可能是近似解）

2、( , )( ,0)niE tr tre 则:( ,0)(0)( )nnnrar0( , )( ,)( ,0)r tU t tr波函数随时间的演化只是一种幺正变换！波函数随时间的演化只是一种幺正变换！2. 2. 显含时间显含时间t t)()(0tHHtH 含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出有微扰时的波函数演化。进而可以求出无微扰体系在受到微扰后，从一个态（初态）跃迁到另一个态（末态）的跃迁概率。（1 1）求薛定谔方程的在）求薛定谔方程的在H H0 0表象中的表象中的形式形式0nnnH 若若H H0 0的本征方程已得解的本征方程已得解它在t时刻的态函数为：则显然有( )nitnn

3、te0( )( )(3)nnitHtt( , )( )( )nnnr ta tt微扰体系： )(0HHti nnnnnnnnnnnntaHtaHttaidttdai)()()()(0由（3）可知，上式的左边第二项与右边第一项相等，得 nnnnnntaHdttdai)()(代入薛定谔方程： 求 归结为求展开系数),(tr )(tan dtHtadtadtdinmnnnmnn )()()(* /*( )( )( )mnitnmnnmnnndia ta tH teddt*( )1nmnmnmnmHH tdBohr其中微扰矩阵元频率以m* 左乘上式后对全空间积分这就是这就是薛定谔方程在薛定谔方程在H

4、H0 0表象中的表象中的表示，求解此方程，表示，求解此方程，可得演化后的波函数可得演化后的波函数( )( )(4)nmitnnmmmdia tHeatdt( )nitnnte 条件：H 远小于H0设 t=0 时体系处于H0 的某一定态k，即有：(t)(0)(0)(0)(0)knknnnnna nkna )0( )(0)nnnka ta( )( )0nmitnnmmmda tHeatdtl零级近似：取零级近似：取 H(t)=0 H(t)=0 ， 微扰矩阵元都为零，有微扰矩阵元都为零，有（2）近似求解法（逐次逼近法）近似求解法（逐次逼近法）/( , )( )( )(0)( )(0)nnnnnnnn

5、iinnnknnnr ta ttataee ( )nitnnte( )nkitnnkda tiH edt得一级近似公式01( )nktitnnka tH edti如果把一级近似的结果再代回方程（4）的右边，可得到二级近似的结果，这样逐级进行，可得多个高级的近似解。l一级一级近似近似：把零级近似结果 代回方程（4）的右边 ( )mmkat( )nmitnmknmmda tiHedt( , )( )( )nnnr ta tt（）跃迁概率（）跃迁概率由前可知，在 t=0 时刻，体系处于H0的某一本征态202)1(1| )(|dteHitaWtimktmmkmk 所以在 时间段内,体系受到微扰 H的激

6、发由初态 k 跃迁到末态m 的概率为：（一级近似）0t( )ktt 时刻发现体系处于态态，它是各本征态的线性叠加： 展开系数|am(t)|2表示体系从 态跃迁到m 态的概率( , )( )( )mmmr tattk例例. . 常微扰常微扰即 H 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但不含时间(常微扰)， 1100)(00ttttrHtH比如体系进入如下势场。 、实际计算、实际计算202)1(1| )(|dteHitaWtimktmmkmk 很明显，实际的跃迁概率大小由微扰矩阵元的大小、微扰作用时间的长短、以及初末态间的能差大小决定。下面分情况进行实际计算计算一级微扰dteHitatimktm

7、mk 0)1(1)(dteiHtitmkmk 0 1 timkmkmkeH 2/2/2/tititimkmkmkmkmkeeeH )sin(2212/tieHmktimkmkmk ttimkmkmkeiiH01 =H (r), H mk 只是位置的函数2) 1 (| )(|taWmmk 2212/)sin(2tieHmktimkmkmk 222122)(sin|4mkmkmktH 有数学公式：22sin ()( )limxxx21212212sin ()()()limmkmktmktt2()mk 2()mk 讨论：当t 时22|()kmkmmkmkWwHt )(|22kmmkmkHtW 跃迁概

8、率跃迁概率l结论 1. 常微扰条件下，体系将跃迁到与初态能量相近的末态。跃迁速率（概率密度）跃迁速率（概率密度）2. 式中的(m -k) 反映了跃迁过程的能量守恒。3. 黄金定则 设体系在末态能量m附近dm范围内态的能态数目是(m)dm，则跃迁到m 附近一系列可能末态的跃迁速率为：()mkmmwd 22()|()mmkmkmHd )(|22mmkH 只考虑平滑变化这个公式就是著名的费米黄金定则态密度：态密度：xyzdndn dn dn（1 1）微扰）微扰t=0 时加入一个简谐 振动的微小扰动： 0cos00)(ttAttH （2 2）求）求 a am m(1)(1)(t)(t)(cos)(ti

9、tieeFtAtH ttimkmt deHitamk01)( 公式：公式： 先要计算微扰矩阵元例例. .简谐微扰简谐微扰小扰动一般可写成简谐的形式小扰动一般可写成简谐的形式* ()i ti tmkmkmkHHdF eed dFeekmtiti*)( mktitiFee)( ttitimkmt deeiFtamkmk0)()()( mktimktimkmkmkeeF11)()( 再代回()()11( )mkmkititmkmmkmkFeeat 讨论讨论：如果微扰是光照（热幅射），如果微扰是光照（热幅射），频率是很大的频率是很大的。 例如例如黄绿光，黄绿光，5000A。1514 10 s1) 1)

10、 当当 时，上式第二项分母很小时，上式第二项分母很小，所以很大，而，所以很大，而第一第一项很小项很小。主要主要贡献贡献来自第二项，来自第二项，mk km即即 ， 吸收跃迁吸收跃迁mk即即 ，发射，发射跃迁跃迁 km2)2) 当当 时，同理，上式中时，同理，上式中第一项的贡献第一项的贡献是主要的是主要的，mk3) 3) 当当 时，所有各项都很小时，所有各项都很小，没有显著跃迁，没有显著跃迁（3 3）求跃迁概率）求跃迁概率当 =m k 时，略去第一项，则 mkmktimkmeFa1)1( 此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换： Hmk Fmk , mk mk-，常微扰的结果可直接使用，简谐微扰

11、情况下的跃迁概率为：)(|2)(|2)(2|212222 kmmkkmmkmkmkmkFtFttFW(1)( )1mkitmkmmkHate 同理,对于 = -m k 有)(|22 kmmkmkFtW二式合并)(|22 kmmkmkFtW说明：只有与体系能级差相当的微扰才能引起显著说明：只有与体系能级差相当的微扰才能引起显著的跃迁，这称为共振跃迁。的跃迁，这称为共振跃迁。（4 4）求跃迁速率（概率密度）求跃迁速率（概率密度）22|()kmkmmkmkWwFt 费米黄金定则为22|()mkmwF mk发射跃迁发射跃迁)(|22 mkkmkmF在在周期性微扰下周期性微扰下, ,体系由体系由 mm k k 的发射跃迁的发射跃迁速率速率等于由等于由 k k