第三节位移法的基本概念.

1、8-3 位移法的基本概念位移法的基本概念n 位移法的基本未知量是位移法的基本未知量是结点角位移结点角位移和和结点线位移结点线位移。 n1 1结点角位移基本未知量数目结点角位移基本未知量数目 n 作为基本未知量的结点角位移的数目就等于结构刚结作为基本未知量的结点角位移的数目就等于结构刚结点的数目。点的数目。 一、位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量第第8章位移法章位移法 本章教学基本要求：掌握位移法的基本原理和方法；熟练掌本章教学基本要求：掌握位移法的基本原理和方法；熟练掌握用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内力；会用典握用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内力；会用典型方程法计算

2、超静定结构在支座移动和温度变化时的内力；掌型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力；掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力握用直接平衡法计算超静定刚架的内力 本章教学内容的重点：位移法的基本未知量；杆件的转角本章教学内容的重点：位移法的基本未知量；杆件的转角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力。典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力。 本章教学内容的难点：对位移法方程的物理意义以及方本章教学内容的难点：对位移法方程的物理意义以及方程中系数和自由项的物理意义的正确理解和确定。

3、程中系数和自由项的物理意义的正确理解和确定。 本章内容简介本章内容简介:8.1位移法的基本概念位移法的基本概念8.2等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 8.3位移法的基本未知量位移法的基本未知量 8.4位移法的基本结构及位移法方程位移法的基本结构及位移法方程8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力8.6用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化 时的内力时的内力8.7用直接平衡法计算超静定结构的内力用直接平衡法计算超静定结构的内力*8.8混合法混合法8.1位移法的基本概念位移法

4、的基本概念位移法尤其适用于高次超静定刚架的计算，而且是常用的位移法尤其适用于高次超静定刚架的计算，而且是常用的渐近法（如第渐近法（如第9章将介绍的力矩分配法、无剪力分配法）和章将介绍的力矩分配法、无剪力分配法）和第第11章将介绍的适用于计算机计算的矩阵位移法的基础。章将介绍的适用于计算机计算的矩阵位移法的基础。对于线弹性结构，其内力与位移之间存在着一一对应的关系，对于线弹性结构，其内力与位移之间存在着一一对应的关系，确定的内力只与确定的位移相对应。因此，在分析超静定结确定的内力只与确定的位移相对应。因此，在分析超静定结构时，既可以先设法求出内力，然后再计算相应的位移这便构时，既可以先设法求出内

5、力，然后再计算相应的位移这便是力法；也可以反过来，先确定某些结点位移，再据此推求是力法；也可以反过来，先确定某些结点位移，再据此推求内力，这便是位移法。内力，这便是位移法。 两种方法的基本区别之一，在于基本未知量的选取不同：两种方法的基本区别之一，在于基本未知量的选取不同：力法是以多余未知力（支反力或内力）为基本未知量，力法是以多余未知力（支反力或内力）为基本未知量，而位移法则是以结点的独立位移（角位移或线位移）为而位移法则是以结点的独立位移（角位移或线位移）为基本未知量。基本未知量。 为了说明位移法的概念，我们来分析图示刚架的位移。为了说明位移法的概念，我们来分析图示刚架的位移。 AAAqB

6、DCABAAAAACAADqA由于结点由于结点A为刚结点，杆件为刚结点，杆件AB、AC、AD在结点在结点A处有处有相同的转角相同的转角A。若略去受弯。若略去受弯直杆的轴向变形，并不计由直杆的轴向变形，并不计由于弯曲而引起杆段两端的接于弯曲而引起杆段两端的接近，则可认为三杆长度不变，近，则可认为三杆长度不变，因而结点因而结点A没有线位移，而没有线位移，而只有角位移只有角位移 。 AAAqBDCABAAAAACAADqA对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量A的的值。值。 BAABABBMABFNABABQFAP3FBFP2P3FP1FAB

7、AMBANFFQBAABAFP3BBBABAlAB2BB1A1AA11BB2A11BB2从刚架中取出杆件从刚架中取出杆件AB进行分析进行分析在位移法分析中，需要解决的三个问题：在位移法分析中，需要解决的三个问题： 第一，确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数第一，确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系（即杆件分析或单元分析）。关系（即杆件分析或单元分析）。 第二，选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。第二，选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。第三，建立求解这些基本未知量的位移法方程（即整体分第三，建立求解这些基本未知量的位移法方程（即整体分析）。析）。这些问题将在以下各节中予

8、以讨论。这些问题将在以下各节中予以讨论。 8.2等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程应用位移法需要解决的第一个问题就是，要确定杆件的杆应用位移法需要解决的第一个问题就是，要确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系，习称为端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系，习称为杆件的杆件的转角位移方程转角位移方程。这是学习位移法的准备知识和重要基础。这是学习位移法的准备知识和重要基础。 利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的转角位移方程。直杆的转角位移方程。一、杆端内力及杆端位移的正负号规定一、杆端内力及杆端位移的正负号规定

9、1、杆端内力的正负号规定、杆端内力的正负号规定杆端弯矩对杆端而言，以杆端弯矩对杆端而言，以顺时针方向顺时针方向为正，反之为负为正，反之为负。对结点或支座而言，。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。与前面规定相同。ABABMMBAABEI, l弦转角BAB2、杆端位移的正负号规定、杆端位移的正负号规定ABABMMBAABEI, l弦转角BAB角位移以顺时针为正，反之为负。角位移以顺时针为正，反之为负。 线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移以杆的一端相对于

10、另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。例如，图中，线位移为正，反之为负。例如，图中，AB为正。为正。 二、单跨超静定梁的形常数和载常数二、单跨超静定梁的形常数和载常数位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁，它位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁，它们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。得。 a)两端固定两端固定b)一端固定一端铰支一端固定一端铰支c)一端固定一端定向一端固定一端定向支承支承由杆端单位位移引起的杆端内力称为由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数形常数，列入表，列入表8-1中。中。

11、表中引入记号表中引入记号i=EI/l，称为杆件的，称为杆件的线刚度线刚度。 由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用杆端弯矩也常称为固端弯矩，用 和和 表示；杆端表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用剪力也常称为固端剪力，用 和和 表示。常见荷表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表载和温度作用下的载常数列入表8-2中。中。 FABMFBAMFABFQFBAFQa)两端固定两端固定b)一端固定一端铰支一端固定一端铰支c)一端固定一端定向一端固定一端定向支承支承三、转角位移方程三、转角位移方程 1、两端固定梁、两端固

12、定梁 BAQFABQFABMMBABABqABPFEI= /lAlMB1利用表利用表8-1和表和表8-2，由叠加原理可得，由叠加原理可得FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM642624（8-1） 2、一端固定另一端铰支梁、一端固定另一端铰支梁 AMAqFPBAMABFQABlFQBAEIB(非独立角位移)1B033BAFABAABMMliiM（8-2） 3、一端固定另一端定向支承梁、一端固定另一端定向支承梁ABMlAAMqPFAEIABQFB(非独立线位移)BB1FBABABAFABBAABMiiMMiiM(8-3)应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超应用以上三组

13、转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的杆端弯矩。至于杆端剪力，则可根据平衡条件导静定梁的杆端弯矩。至于杆端剪力，则可根据平衡条件导出为出为 0QQ0QQ)()(BABAABBAABBAABABFlMMFFlMMF(式中，式中， 和和 分别表示相当简支梁在荷载作用下的杆分别表示相当简支梁在荷载作用下的杆端弯矩。端弯矩。 0QABF0QBAF(8-4)对上述三种基本的单跨超静定梁的杆端剪力表达式，也可对上述三种基本的单跨超静定梁的杆端剪力表达式，也可根据叠加原理，直接利用表根据叠加原理，直接利用表8-1和表和表8-2，写出如下：，写出如下：1）两端固定梁）两端固定梁FBABABAFABBA

14、ABFlililiFFlililiFQ2QQ2Q126612662）一端固定另一端铰支梁）一端固定另一端铰支梁FBAABAFABAABFliliFFliliFQ2QQ2Q33333）一端固定另一端定向支承梁）一端固定另一端定向支承梁0QQQBAFABABFFF8.3位移法的基本未知量位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量位移法选取结点的独立位移，包括位移法选取结点的独立位移，包括结点结点的的独立角位移独立角位移和和独立线位移独立线位移，作为其，作为其基本未知量基本未知量，并用广义位移符号，并用广义位移符号Zi表示。表示。 二、确定位移法的基本未知量的数目二、确定位移法的

15、基本未知量的数目1、位移法基本未知量的总数目、位移法基本未知量的总数目位移法基本未知量的总数目（记作位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独立角）等于结点的独立角位移数（记作位移数（记作ny）与独立线位移数（记作）与独立线位移数（记作nl）之和，即）之和，即 lynnn2、结点独立角位移数、结点独立角位移数结点独立角位移数（结点独立角位移数（ny）一般等于刚结点数）一般等于刚结点数加上组合结点加上组合结点（半铰结点）数（半铰结点）数，但须注意，当有阶形杆截面改变处的转角，但须注意，当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角时，应一并计入在内。或抗转动弹性支座的转角时，应一并计入在内

16、。至于结构固定支座处，因其转角等于零或为已知的支座位移至于结构固定支座处，因其转角等于零或为已知的支座位移值；值；铰结点或铰支座处，因其转角铰结点或铰支座处，因其转角不是独立的不是独立的，所以，都不作为，所以，都不作为位移法的基本未知量。位移法的基本未知量。 FPADE21D11BBFGGCCBADE1ZBZ23ZZ4CGADEBCGZ65ZFFC C C CnY= 4 如果考虑杆件的轴向变形，则平面内一个结点有两个独立的线位移。如果考虑杆件的轴向变形，则平面内一个结点有两个独立的线位移。为简化计算，引入以下假设为简化计算，引入以下假设(简化条件简化条件) ：（1 1）忽略受弯直杆的轴向变形；

17、）忽略受弯直杆的轴向变形；（2 2）直杆弯曲时两端点距离不变（小变形）。）直杆弯曲时两端点距离不变（小变形）。这样，每一受弯直杆相当于一个约束，使某些结点的线位移相等或等于零。这样，每一受弯直杆相当于一个约束，使某些结点的线位移相等或等于零。作为基本未知量的结点线位移个数是独立的结点线位移个数。作为基本未知量的结点线位移个数是独立的结点线位移个数。 3结点线位移基本未知量数目结点线位移基本未知量数目 怎样确定结构独立的结点线位移个数？怎样确定结构独立的结点线位移个数？ n（1 1）简单情况：）简单情况： 观察确定。观察确定。 位移法基本未知量个数位移法基本未知量个数=刚结点个数刚结点个数+独立

18、的结点线位移个独立的结点线位移个数数 FPADE21D11BBFGGCCBADE1ZBZ23ZZ4CGADEBCGZ65ZFFC C C Cnl= 2 nY= 4 624lynnnn（2 2）复杂情况）复杂情况 采用采用“铰化结点、增设链杆铰化结点、增设链杆”的方法：的方法：把刚架的所有刚结点和固定支座改为铰结点和铰支座，把刚架的所有刚结点和固定支座改为铰结点和铰支座，为使该铰结体系成为几何不变体系所需增设的最少支承为使该铰结体系成为几何不变体系所需增设的最少支承链杆数，即为原结构独立的结点线位移个数。链杆数，即为原结构独立的结点线位移个数。 (2)确定方法确定方法铰化结点，增设链杆铰化结点，

19、增设链杆2ZZ3Z1Z54Z6ZEDABFGCCBADEFGADEFGBC4Z624lynnnFPADE21D11BBFGGCCBADE1ZBZ23ZZ4CGADEBCGZ65ZFFC C C CBACDEFGHIABCFEDGHIABCFABFDGHIDEHGICEZ12Z4ZZ3Z56ZZ7a)原结构原结构b)“铰化结点铰化结点”c)“增设链杆增设链杆”d)基本未知量基本未知量n = ny+nl = 4+3 =7 4、两点说明、两点说明(1)当刚架中有需要考虑轴向变形（当刚架中有需要考虑轴向变形（ ）的二力杆时）的二力杆时 EA需要考虑二力杆的轴向变形的二力杆需要考虑二力杆的轴向变形的二力

20、杆 (2)当刚架中有的刚性杆时（柱全部为竖直柱，与基础相当刚架中有的刚性杆时（柱全部为竖直柱，与基础相连的刚性柱为固定支座）连的刚性柱为固定支座） 1）刚性杆两端的刚结点转角，可不作为基本未知量。）刚性杆两端的刚结点转角，可不作为基本未知量。因为如果该杆两端的线位移确定了，则杆端的转角因为如果该杆两端的线位移确定了，则杆端的转角也就随之确定了。也就随之确定了。 2）刚性杆两端的线位移，仍取决于整个刚架的结点线位移。）刚性杆两端的线位移，仍取决于整个刚架的结点线位移。 3）刚性杆与基础固结处以及与其他刚性杆刚结处，在）刚性杆与基础固结处以及与其他刚性杆刚结处，在“铰化结点铰化结点”时均不改为铰结

21、，以反映刚片无任何变形时均不改为铰结，以反映刚片无任何变形的特点。的特点。 综上所述，对于有刚性杆的刚架，综上所述，对于有刚性杆的刚架，ny等于全为弹性杆汇交等于全为弹性杆汇交的刚结点数与组合结点数之和；的刚结点数与组合结点数之和；nl等于使仅将弹性杆端改等于使仅将弹性杆端改为铰结的体系成为几何不变所需增设的最少链杆数。为铰结的体系成为几何不变所需增设的最少链杆数。 2ZZ10=EIEI =0EI =00=EI3Z123465N=2+1=3a)原结构及其基本未知量原结构及其基本未知量b)“铰化结点，增设链杆铰化结点，增设链杆”8.4位移法的基本结构及位移法方程位移法的基本结构及位移法方程 一、

22、位移法的基本结构一、位移法的基本结构位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂和附加支座链杆）后，得到的臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综三种基本超静定杆的综合体合体。 所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移(但并不阻止其线位移但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号的附加约束，用黑三角符号“ ”表示。表示。 所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移所谓附加支座链杆，

23、就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附加约束。其线位移的附加约束。 2ZZ41Z3Z3ZZ3ACFGDHEBFCADGHEBa)原结构及其基本未知量原结构及其基本未知量b)基本结构基本结构二、位移法的基本体系二、位移法的基本体系 图图a所示刚架的基本未知量为结点所示刚架的基本未知量为结点A的转角的转角Z1。在。在结点结点A加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构（图（图b）。同力法一样，受荷载和基本未知量共）。同力法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为同作用

24、的基本结构，称为基本体系基本体系（图（图c）。）。 APFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAa)原结构原结构c)基本体系基本体系b)基本结构基本结构APFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ

25、1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAd)锁住结点锁住结点e)放松结点放松结点三、位移法方程三、位移法方程 基本结构在结点位移基本结构在结点位移Z1和荷载共同和荷载共同作用下，刚臂上的反力矩作用下，刚臂上的反力矩F1必定为必定为零（图零（图c）。）。 c)基本体系基本体系0P1111FFF式中，式中，Fij表示广义的附加反力矩（或反力），其中第一表示广义的附加反力矩（或反力），其中第一个下标表示该反力矩所属的附加约束，第二个下标表示个下标表示该反力矩所属的附加约束，第二个下标表示引起反力矩的原因。设引起反力矩的原因。设k11

26、表示由单位位移表示由单位位移Z1=1所引起的所引起的附加刚臂上的反力矩，则有附加刚臂上的反力矩，则有 F11=k11Z1，代入上式，得，代入上式，得0P1111FFF01P111 FZk这就是求解基本未知量这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其的位移法基本方程，其实质是平实质是平衡条件衡条件 。为了求出系数为了求出系数k11和自由项和自由项F1P，可利用表，可利用表8-2和表和表8-1，在，在基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和图）和Z1=1引起的弯矩图（引起的弯矩图（ 图）。图）。 1M11kABCFPF1PPF l88lFPPF l8

27、8lFP1PFAABCZ1=14ii 2i 42ik11Ai 44i16lFPPF l64PF l1616lFP32lFP9BCA 0AMik811在图在图 中取结点中取结点A为隔离体，由为隔离体，由 ，得，得 1M在在MP图中取结点图中取结点A为隔离体，由为隔离体，由 ，得，得 0AMlFFP1P81刚臂内之反力矩以顺时针为正刚臂内之反力矩以顺时针为正 01P111 FZk将将k11和和F1P的值代入上式，解得的值代入上式，解得 ilFkFZ64P111P1结果为正，表示结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩可由的方向与所设相同。结构的最后弯矩可由叠加公式计算，即叠加公式计算，即

28、P11MZMM32/516/16/32/58/8/00642442PPPPPPPlFlFlFlFlFlFilFiiiiMMMMCAACABBA11kABCFPF1PPF l88lFPPF l88lFP1PFAABCZ1=14ii 2i 42ik11Ai 44i16lFPPF l64PF l1616lFP32lFP9BCAMP图图 1M图图M图图32/516/16/32/58/8/00642442PPPPPPPlFlFlFlFlFlFilFiiiiMMMMCAACABBA例如，图例如，图8-16a所示刚架的基本未知量为结点所示刚架的基本未知量为结点C、D的水平线的水平线位移位移Z1。在结点。在结

29、点D加一附加支座链杆，就得到基本结构加一附加支座链杆，就得到基本结构（图（图8-16b）。其相应的基本体系如图）。其相应的基本体系如图8-16c所示，它的变形所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。和受力情况与原结构完全相同。 1ZCADBEIEI=EA20kN/m6mZ11ZABDCABCD20kN/mF1=01ZCADBEIEI=EA20kN/m6mZ11ZABDCABCD20kN/mF1=001P111FZk位移法方程位移法方程 CDABDBACDBAC(90)-90CDF1PQFFCA=0DBFFQ1PF72EICDk11EI72EI124512EIZ1=111k(90)225135

30、kN45045QQ1PFDBFCAFFF分别在分别在MP图和图中，截取两柱顶端以上部分为隔离体，如图和图中，截取两柱顶端以上部分为隔离体，如图图8-17所示。由剪力平衡条件所示。由剪力平衡条件 ，得，得 0 xFa)MP图图(kNm)b)M1图图 (1/m)c)M图图(kNm)36727211EIEIEIkCDABDBACDBAC(90)-90CDF1PQFFCA=0DBFFQ1PF72EICDk11EI72EI124512EIZ1=111k(90)225135将将k11和和F1P的值代入位移法方程式，解得的值代入位移法方程式，解得EIZ16201结构的最后弯矩图可由叠加公式结构的最后弯矩图可

31、由叠加公式 计算后绘计算后绘制，如图制，如图c所示。所示。 P11MZMM四、典型方程法和直接平衡法四、典型方程法和直接平衡法关于如何建立位移法方程以求解基本未知量的问题，有两种关于如何建立位移法方程以求解基本未知量的问题，有两种途径可循。途径可循。 一种途径，已如上所述，是通过选择基本结构，并将原结构一种途径，已如上所述，是通过选择基本结构，并将原结构与基本体系比较，得出建立位移法方程的平衡条件（即与基本体系比较，得出建立位移法方程的平衡条件（即Fi =0）。这种方法能以统一的、典型的形式给出位移法方程。）。这种方法能以统一的、典型的形式给出位移法方程。因此，称为因此，称为典型方程法典型方程

32、法。 另一种途径，则是将待分析结构先另一种途径，则是将待分析结构先“拆散拆散”为许多杆件单为许多杆件单元，进行单元分析元，进行单元分析根据转角位移方程，逐杆写出杆端根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力式子；再内力式子；再“组装组装”，进行整体分析，进行整体分析直接利用结点直接利用结点平衡或截面平衡条件建立位移法方程。因此，称为平衡或截面平衡条件建立位移法方程。因此，称为直接平直接平衡法。衡法。 8.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力一、典型方程的一般形式一、典型方程的一般形式qABDC2ZqlZ1l/2/2llABDCql=01FZ11Zq

33、Z22ZZ22ZqF111Zql1PFABDCF2P1ZZ1BADC21FBCAD12F基本未知量为基本未知量为刚结点刚结点B的转角的转角Z1结点结点B、C的水平线位移的水平线位移Z2。其基本体系如图其基本体系如图c所示。所示。由于基本体系的变形和受力情况与原结构由于基本体系的变形和受力情况与原结构完全相同，而原结构上并没有附加刚臂和完全相同，而原结构上并没有附加刚臂和附加支座链杆，因此，基本体系上附加刚附加支座链杆，因此，基本体系上附加刚臂的反力矩臂的反力矩F1及附加支座链杆的反力及附加支座链杆的反力F2都都应等于零。可建立求解应等于零。可建立求解Z1和和Z2的两个位移的两个位移法的典型方程

34、。法的典型方程。 qABDC2ZqlZ1l/2/2llABDCql=01FZ11ZqZ22ZZ22ZqF111Zql1PFABDCF2P1ZZ1BADC21FBCAD12F(a)(c)设基本结构由于设基本结构由于Z1、Z2及荷载单独作用，引起相应于及荷载单独作用，引起相应于Z1的附加的附加刚臂的反力矩分别为刚臂的反力矩分别为F11、F12及及F1P，引起相应于，引起相应于Z2的附加支座的附加支座链杆的反力分别为链杆的反力分别为F21、F22及及F2P（图（图d、e、f）。根据叠加原）。根据叠加原理，可得理，可得002P222121P12111FFFFFFFFqABDC2ZqlZ1l/2/2ll

35、ABDCql=01FZ11ZqZ22ZZ22ZqF111Zql1PFABDCF2P1ZZ1BADC21FBCAD12F(d)(e)(f)又设单位位移又设单位位移Z1=1及及Z2=1单独作用时，在基本结构附加刚臂上单独作用时，在基本结构附加刚臂上产生的反力矩分别为产生的反力矩分别为k11及及k21，在附加支座链杆中产生的反力分，在附加支座链杆中产生的反力分别为别为k12及及k22，则有，则有 002P222121P12111FFFFFFFF22222121212121211111,ZkFZkFZkFZkF将式（将式（b）代入式（）代入式（a），得），得(a)(b)002P2221211P2121

36、11FZkZkFZkZk上式称为位移法典型方程上式称为位移法典型方程 其物理意义是：基本体系每个附加约束中的反力其物理意义是：基本体系每个附加约束中的反力矩和反力都应等于零。因此，矩和反力都应等于零。因此，它实质上反映了原它实质上反映了原结构的静力平衡条件结构的静力平衡条件。002P2221211P212111FZkZkFZkZk对于具有对于具有n个独立结点位移的结构，相应地在基本结构中个独立结点位移的结构，相应地在基本结构中需加入需加入n个附加约束，根据每个附加约束的附加反力矩或个附加约束，根据每个附加约束的附加反力矩或附加反力都应为零的平衡条件，同样可建立附加反力都应为零的平衡条件，同样可

37、建立n个方程如下：个方程如下： 000P22112P22221211P1212111nnnnnnnnnnFZkZkZkFZkZkZkFZkZkZk上式即为典型方程的一般形式。式中，主斜线上的系数上式即为典型方程的一般形式。式中，主斜线上的系数kii称称为主系数或主反力；其他系数为主系数或主反力；其他系数kij称为副系数或副反力；称为副系数或副反力；FiP称为自由项。称为自由项。 系数和自由项的符号规定是：以与该附加约束所设位移系数和自由项的符号规定是：以与该附加约束所设位移方向一致者为正。主反力方向一致者为正。主反力kii的方向总是与所设位移的方向总是与所设位移Zi的的方向一致，故恒为正，且不

38、会为零。副系数和自由项则方向一致，故恒为正，且不会为零。副系数和自由项则可能为正、负或零。此外，根据反力互等定理可知，可能为正、负或零。此外，根据反力互等定理可知，kij=kji。 000P22112P22221211P1212111nnnnnnnnnnFZkZkZkFZkZkZkFZkZkZk二、系数和自由项的计算方法二、系数和自由项的计算方法F1P=0ql8228ql28qlqlBACDq=11Z=711kii 43i2ik12=l6ii 6lli 6BADCBADC3ilq2ql0=2PFql26ilBC0k21=li 6BCCBli12223il215ilk22=Z2=121kF2P2

39、2kiiik73411lik612088221PqlqlFF1P=0ql8228ql28qlqlBACDq=11Z=711kii 43i2ik12=l6ii 6lli 6BADCBADC3ilq2ql0=2PFql26ilBC0k21=li 6BCCBli12223il215ilk22=Z2=121kF2P22klik6212222215312lililik22PqlF将系数和自由项代入典型方方程，可得将系数和自由项代入典型方方程，可得 02156006722121qlZliZliZliiZ联解以上两个方程求出联解以上两个方程求出Z1和和Z2后，即可按叠加原理作出弯矩后，即可按叠加原理作出弯矩

40、图图 。 三、典型方程法的计算步骤三、典型方程法的计算步骤1）确定基本未知量数目：）确定基本未知量数目：n=ny+nl2）选择基本体系。加附加约束，锁住相关结点，使之不发生）选择基本体系。加附加约束，锁住相关结点，使之不发生转动或移动，而得到一个由若干基本的单跨超静定梁组成的组转动或移动，而得到一个由若干基本的单跨超静定梁组成的组合体作为基本结构（可不单独画出）；使基本结构承受原来的合体作为基本结构（可不单独画出）；使基本结构承受原来的荷载，并令附加约束发生与原结构相同的位移，即可得到所选荷载，并令附加约束发生与原结构相同的位移，即可得到所选择的基本体系。择的基本体系。 3）建立位移法的典型方

41、程。根据附加约束上反力矩或反力等）建立位移法的典型方程。根据附加约束上反力矩或反力等于零的平衡条件建立典型方程。于零的平衡条件建立典型方程。 4）求系数和自由项。在基本结构上分别作出各附加约束发）求系数和自由项。在基本结构上分别作出各附加约束发生单位位移时的单位弯矩图图和荷载作用下的荷载弯矩图生单位位移时的单位弯矩图图和荷载作用下的荷载弯矩图MP图，由结点平衡和截面平衡即可求得。图，由结点平衡和截面平衡即可求得。 5）解方程，求基本未知量（）解方程，求基本未知量（Zi）。）。 6）作最后内力图。按照）作最后内力图。按照叠加得出最后弯矩图；根据弯矩图作出剪力图；利用剪力图叠加得出最后弯矩图；根据

42、弯矩图作出剪力图；利用剪力图根据结点平衡条件作出轴力图。根据结点平衡条件作出轴力图。 P2211MZMZMZMMnn7）校核。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协）校核。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协调条件，而位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按调条件，而位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。平衡条件进行校核。可以看出，位移法（典型方程法）与力法在计算步骤可以看出，位移法（典型方程法）与力法在计算步骤上是极其相似的，但二者的原理却有所不同。上是极其相似的，但二者的原理却有所不同。 【例例8-1】试用典型方程法计算图试用典型方程法计算图a所示结构，并

43、作出弯矩图。所示结构，并作出弯矩图。设设EI=常数。常数。 ACEFBD3kN/m10kN4m3m4m4mAD12kN24kNm30kNm10kNCACD12kN24kNmi=111k=11Z342DBFECA24122424241263040ACBCBA1PF30kNmZ110kN30kNm=1i解：解：(1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目:其基本未知量只有结点其基本未知量只有结点C的转角的转角Z1 (a)(b)ACEFBD3kN/m10kN4m3m4m4mAD12kN24kNm30kNm10kNCACD12kN24kNmi=111k=11Z342DBFECA2412242424126

44、3040ACBCBA1PF30kNmZ110kN30kNm=1i(2)选取基本体系，如图选取基本体系，如图c所示。所示。(3)建立典型方程建立典型方程根据结点根据结点C附加刚臂上反力矩为零的平衡条件，有附加刚臂上反力矩为零的平衡条件，有 01P111 FZk( c)(b)ACEFBD3kN/m10kN4m3m4m4mAD12kN24kNm30kNm10kNCACD12kN24kNmi=111k=11Z342DBFECA24122424241263040ACBCBA1PF30kNmZ110kN30kNm=1i(4)求系数和自由项求系数和自由项设设 ，作图，作图 和和MP图，如图图，如图d、c所示

45、。取结点所示。取结点C为隔离体，应用力矩平衡条件，求得为隔离体，应用力矩平衡条件，求得 14EIi1M711k421PF(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量61Z(6)作最后弯矩图作最后弯矩图P11MZMM(7)校核校核ACEFBD3kN/m10kN4m3m4m4mAD12kN24kNm30kNm10kNCACD12kN24kNmi=111k=11Z342DBFECA24122424241263040ACBCBA1PF30kNmZ110kN30kNm=1iACEFBD3kN/m10kN4m3m4m4mAD12kN24kNm30kNm10kNCACD12kN24kNmi=111k=11

46、Z342DBFECA24122424241263040ACBCBA1PF30kNmZ110kN30kNm=1if)M图图(kNm)【例例8-2】试用典型方程法计算图试用典型方程法计算图a所示结构，并作弯矩图。所示结构，并作弯矩图。设设EI=常数。常数。 llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()解：解： (1

47、)确定基本未知量数目确定基本未知量数目可以利用对称性取结构的可以利用对称性取结构的1/4部分（图部分（图b）进行计算，）进行计算，其基本未知量只有结点其基本未知量只有结点A的转角的转角Z1。 llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()(a)(b)llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql

48、1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()(2)选择基本体系选择基本体系 llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(

49、ql82)(ql8228ql()c)基本体系基本体系d)M1图图e)MP图图(kNm)(3)建立典型方程建立典型方程 01P111 FZk(4)求系数和自由项求系数和自由项 iiik6241121P121qlF(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量 iqlZ7221(6)作最后弯矩图作最后弯矩图llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql(

50、)(ql82)(ql8228ql()(7)校核校核【例例8-3】试用典型方程法计算图试用典型方程法计算图a所示连续梁，并作弯矩图。所示连续梁，并作弯矩图。解：解： (1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目 A6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kNm164()=3213)=2(61144()=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=14(4123.7847.561PF80408037.84(120)77.30802ZF

51、2P1Z =111k80基本未知量为结点基本未知量为结点B的转角的转角Z1和结点和结点C的转角的转角Z2。 (2)选择基本体系选择基本体系 A6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kNm164()=3213)=2(61144()=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=14(4123.7847.561PF80408037.84(120)77.30802ZF2P1Z =111k80(3)建立典型方程建立典型方程002P222

52、1211P212111FZkZkFZkZkA6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kNm164()=3213)=2(61144()=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=14(4123.7847.561PF80408037.84(120)77.30802ZF2P1Z =111k80A6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kN

53、m164()=3213)=2(61144()=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=14(4123.7847.561PF80408037.84(120)77.30802ZF2P1Z =111k80A6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kNm164()=3213)=2(61144()=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=14(4123.784

54、7.561PF80408037.84(120)77.30802ZF2P1Z =111k80A6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kNm164()=3213)=2(61144()=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=14(4123.7847.561PF80408037.84(120)77.30802ZF2P1Z =111k80(4)求系数和自由项求系数和自由项3513111k5 . 02112 kk801PF21122

55、k12040802PF(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量Z1和和Z2 将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得35.711Z84.772Z(6)作最后弯矩图作最后弯矩图A6mZ1BCDE8m6m2mEI2EIEI21i =1/6=1/4i23i =1/315kN/m40kNABDC15kN/m40kN80kNm164()=3213)=2(61144()=1)=0.52(41k21ABCDABCDABCDABCDE12kk22=1Z2142()=0.5)=13(31)=14(4123.7847.561PF80408037.84(120)77

56、.30802ZF2P1Z =111k80M图图(kNm) 【例例8-4】试用典型方程法求图试用典型方程法求图8-23a所示结构，并作弯矩图。所示结构，并作弯矩图。 6m6m6m4kN/mEDACB10kNEIEI3EIEI2ZBACED4kN/mi3iii10kN1Z =111kiBADECi 94ii 2k2100BDi21k1Z解：解： (1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目(2)选择基本体系选择基本体系 基本体系基本体系 (3)建立典型方程建立典型方程002P2221211P212111FZkZkFZkZk(4)求系数和自由项求系数和自由项 6m6m6m4kN/mEDACB10kNE

57、IEI3EIEI2ZBACED4kN/mi3iii10kN1Z =111kiBADECi 94ii 2k2100BDi21k1Ziiiik149411ik12=1Z2ABEDCk12ii2i22kD0B12i3iF2P10D00BABDEC93030181PFCDBAE(522)1332960552732456780k222PF1218301PFiiik12531222102PFik21(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量Z1和和Z2=1Z2ABEDCk12ii2i22kD0B12i3iF2P10D00BABDEC93030181PFCDBAE(522)133296055273245

58、6780k222PF(6)作最后弯矩图作最后弯矩图(7)校核校核【例例8-5】试用典型方程法求图试用典型方程法求图8-24a所示结构，并作弯矩图。所示结构，并作弯矩图。ABDCEI2EI4m4mEICDBA4m3m1ZZ20.25ii0.50.2i1Z =1k21BDAC0.8ii0.42ii0.75i(等效)5kN5kNk11ABDCEI2EI4m4mEICDBA4m3m1ZZ20.25ii0.50.2i1Z =1k21BDAC0.8ii0.42ii0.75i(等效)5kN5kNk11解解: (1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目 此结构的基本未知量为结点此结构的基本未知量为结点D的转角

59、的转角Z1和横梁和横梁BD的水平的水平Z2。 (2)选择基本体系，如图选择基本体系，如图b所示。所示。 (a)(b)ABDCEI2EI4m4mEICDBA4m3m1ZZ20.25ii0.50.2i1Z =1k21BDAC0.8ii0.42ii0.75i(等效)5kN5kNk11(3)建立典型方程建立典型方程002P2221211P212111FZkZkFZkZk(4)求系数和自由项求系数和自由项iiiik55. 38 . 0275. 011c)M1图图BCDA1CCD=35C2ABDC2Z =1k220.75ii0.40.75i0.4i41.5ii0.8312kiiik64. 038 . 04

60、5 . 122iiik35. 075. 04 . 012iiliMMCDCDDCCD4 . 0135512 . 063516e)M2图图d)变形图变形图CD=5/3ABC5kNDBDCA(等效)2PF0.816.077.155.264.82O1PF =0=0)(PM00FAyFCx01PF由图由图f的整体平衡条件的整体平衡条件 ，可求得，可求得 0OMkN67. 63202PFf)MP图图(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量Z1和和Z2iZ083. 11iZ98.102(6)作最后弯矩图作最后弯矩图 ABC5kNDBDCA(等效)2PF0.816.077.155.264.82O1PF