1-3条件概率与独立性ppt课件

1、一、条件概率一、条件概率1. 条件概率的概念条件概率的概念 一般地一般地 P(A|B) P(A) 在解决许多概率问题时，往往需要在在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息有某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的发生的概率，将此概率记作概率，将此概率记作P(A|B).PA）=432142)( BP=(g, g), (b, b), (b, g), (g, b)A=（b, b）,（b, g）,（g, b）;B=（b, g）,（g, b）记记g表示女孩，表示女孩，b表示男孩，那么表示男孩，那么例例1 考察有两个孩子的家

2、庭，事件考察有两个孩子的家庭，事件A表示至少表示至少 求求PA及及PB）。）。有一个男孩，事件有一个男孩，事件B表示恰好有一个女孩。表示恰好有一个女孩。则在这种情况下事件B的概率为：32 p称这种概率为条件概率。记作称这种概率为条件概率。记作)(ABP一般地古典概型有 )()()(APABPABP =（b，b）,（b，g）,（g，b）;由于信息增加了，样本空间发生了变化，此由于信息增加了，样本空间发生了变化，此时样本空间为时样本空间为: 若已知某家庭至少有一个男孩，求恰好有若已知某家庭至少有一个男孩，求恰好有一个女孩的概率。一个女孩的概率。ABAB 若事件若事件B已发生已发生, 则为则为使使

3、A也发生也发生 , 试验结果必须试验结果必须是既在是既在 B 中又在中又在A中的样本中的样本点点 , 即此点必属于即此点必属于AB. 由于由于我们已经知道我们已经知道B已发生已发生, 故故B变成了新的样本空间变成了新的样本空间 , 于是于是 有有)()()(BPABPBAP 计算计算P(A|B)时，这个前提条件未变，时，这个前提条件未变， 这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我，使我们们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.只是加上只是加上“事件事件B已发生这个新的条件已发生这个新的条件.设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称

4、 2. 条件概率的定义条件概率的定义 为在事件为在事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A发生的条件概率发生的条件概率.定义定义1)()()|(BPABPBAP(1)3. 条件概率的性质条件概率的性质设设B是一事件，且是一事件，且P(B)0,那么那么1. 对任一事件对任一事件A，0P(A|B)1;3.设设A1,An互不相容，那么互不相容，那么P(A1+An )| B = P(A1|B)+ +P(An|B)并且前面对概率所证明的一些重要性质并且前面对概率所证明的一些重要性质 2. P ( | B) =1 ； 都适用于条件概率都适用于条件概率.4. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用

5、定义计算:,)()()|(BPABPBAP P(B)02条件概率计算公式：条件概率计算公式：样本点的个数缩减样本空间中所含的的样本点的个数在缩减样本空间中所含BABP )( 掷骰子掷骰子设设 A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数例例2 掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，例例3 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,解法解法1: )()()|(BPABPBAP 解法解法2: 2163)|( BAP解解: 设设A=

6、掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算21366363 问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10的概率是多少的概率是多少? 由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAP而而 P(AB)=P(BA)二、二、 乘法公式乘法公式若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)假设假

7、设 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率注意注意P(AB)与与P(A | B)的区别！的区别！则则有有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn个个事事件件为为设设推推广广则则有有且且为为事事件件设设, 0)(, ABPCBA()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB 12121312121nnnP A AAP A P A A P A A AP A A AA件是乙厂生产的件是乙厂生产的. 而在这而在这300个零件中，有

8、个零件中，有189个个所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个是个是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件例例4 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中300这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？是标准件，现从这是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问所求为所求为P(AB) .设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少问它是标

9、准件的概率是多少?”求的是求的是 P(A|B) .B发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作为条件中作为条件.甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个是个是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产例例5 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的年以上的 概率为概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现问现年年20岁的这种动物，它能活到岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率岁以上的概率是多少？是多少？解：设解：设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0

10、.4所求为所求为P(B|A) .)()()|(APABPABP5 . 08 . 04 . 0)()(APBPAB 条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设的，设A是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(A)是在是在该试验条件下事件该试验条件下事件A发生的可能性大小发生的可能性大小.P(A)与与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同. 而条件概率而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是

11、在原条件下又添加“B发生这个条件时发生这个条件时A发生的可能性大小，发生的可能性大小，即即P(A|B)仍是概率仍是概率.例例6 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，那么假设在空战中，若甲机先向乙机开火，那么 甲、乙被击落的概率。甲、乙被击落的概率。的概率为的概率为0.4，在这几个回合中，分别计算，在这几个回合中，分别计算机未被击落，再次向乙机进攻，击落乙机机未被击落，再次向乙机进攻，击落乙机就进行还击，击落甲机的概率为就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲；若甲 击落乙机的概率为击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，；若乙机未被击落， 分析：在这几个回合中分析：在这几个回合中,乙机有两次被击

12、落的机会；乙机有两次被击落的机会；iA2 , 1 i=“乙机第乙机第 次被击落次被击落”i甲机只有一次被击落的机会；甲机只有一次被击落的机会；B=“甲机被击落甲机被击落”A=“乙机被击落乙机被击落” 2121,AAAAA且1AB BAA12 知知4 . 0)(, 3 . 0)(, 2 . 0)(1211 BAAPABPAP)()()()(111ABPAPBAPBP 24. 03 . 08 . 0 )()()(21122ABAPBAAPAP 224. 04 . 07 . 08 . 0 )()()(1211BAAPABPAP )()()()(2121APAPAAPAP 424. 0224. 02

13、. 0 显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发发生的概率生的概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.三、事件的独立性三、事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 注注 1. 由乘法公式知，当事件由乘法公式知，当事件A、B独立时，独立时， 用用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用定义定义2 设事件设事件A、B满足满足P(AB)= P(A) P(B) (1)则称则称A、B独立，或称独立，或

14、称A、B相互独立相互独立.P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受P(B)0或或P(A)0的制约的制约.P(AB)=P(A) P(B)有有P(AB)=P(B )P(A|B )2. 多个事件的独立性多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：将两事件独立的定义推广到三个事件：P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立四个等式同时成立,则称事件则称事件A、B、C相互独立相互独立. 对于三个事件对于三个事件A、B、C，假设，假设 推广到推广到

15、n个事件的独立性定义个事件的独立性定义,可类似写出：可类似写出：包含等式总数为：包含等式总数为：12)11(0132 nCCCCCnnnnnnnn请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对n(n2)个事件个事件?设设A1,A2, ,An是是 n个事件，如果对任意个事件，如果对任意k(1k n),任意任意1 i1i2 0,P(B)0,下面四个结论中，正确的选项是：下面四个结论中，正确的选项是： 注意注意 独立与互斥的区别和联系，独立与互斥的区别和联系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|

16、B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)2. 设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的选项是：下面四个结论中，正确的选项是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)请你做请你做2个小练习个小练习.1. 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,则则A与与B不独立不独立.2.若若A与与B独立，且独立，且 P(A)0,P(B)0, 则则A 、B不互斥不互斥.B=P(A)1- P(B)= P(A) P( )= P(A)- P(AB)BP(A )= P(A - A B)A、B

17、独立独立故故A与与 独立独立 . B概率的性质概率的性质= P(A)- P(A) P(B)证明证明: 仅证仅证A与与 独立独立B定理定理1 若事件若事件A、B独立，那么独立，那么 BABABA与与与,也相互独立也相互独立.)()(BAPBAP A、B独立独立概率的性质概率的性质往证往证 与与 独立独立BA)(1BAP )()()(1ABPBPAP )()()()(1BPAPBPAP )(1)()(1(APBPAP )(1)(1(BPAP )()(BPAP 故故 与与 独立独立 . BA译出的概率分别为译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中，问三人中解：将三人编号为解：将三人编号为1，

18、2，3，记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,312知知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3)(1321AAAP )(1321AAAP )()()(1321APAPAP 6 . 0534332541 3例例8 三人独立地去破译一份密码，已知各人能三人独立地去破译一份密码，已知各人能至少有一人能将密码译出的概率是多少？至少有一人能将密码译出的概率是多少？ n个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:nAAA,21设事件设事件 相互独立相互独立, ,那么那么）nAAAP 21(1)(121nAAAP P(A1+An)()()

19、(nAPAPAP211也相互独立也相互独立nAAA,21 也就是说，也就是说，n个独立事件至少有一个发生个独立事件至少有一个发生的概率等于的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.如果将上题改为由如果将上题改为由 个人组成小组，在同一个人组成小组，在同一n时间内分别破译某一密码，并假设每人能译出时间内分别破译某一密码，并假设每人能译出的概率都是的概率都是0.7，问，问 至少为多少时，才能以至少为多少时，才能以n99.9999%的把握将密码译出。的把握将密码译出。）nAAAP 21(1)(121nAAAP P(A1+An)()()(nAPAPAP211999999. 0)

20、3 . 0(1 n000001. 0)3 . 0( n47.113 . 0ln000001. 0ln n因而至少需要因而至少需要12人参加工作。人参加工作。 下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率求电路正常工作的概率.ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)解：将电路正常工作记为解：将电路正常工作记为

21、W，由于各元件独立，由于各元件独立其中其中973. 0)()()( EPDPCPP(C+D+E)=1-9375. 0)()( GPFPP(F+G)=1-P(W) 0.782代入得代入得工作，有工作，有HGFEDCABW)( 若某个试验由若某个试验由n n次基本试验构成次基本试验构成, ,且具有以下特点且具有以下特点: : (1) (1) 每次基本试验有且只有两个可能结果：胜利、失败每次基本试验有且只有两个可能结果：胜利、失败; ; (2) (2) 每次基本试验中每个结果出现的概率不变每次基本试验中每个结果出现的概率不变; ; (3) (3) 基本试验之间相互独立基本试验之间相互独立; ; (4) (4) 在相同条件下在相同条件下, ,试验可以重复进行试验可以重复进行. .则称此试验为独立重复试验或贝努里则称此试验为独立重复试验或贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验; ;由由于该试验由于该试验由n n次基本试验构成次基本试验构成, ,故亦称之为故亦称之为n n重贝努里试验重贝努里试验. .贝努里公式贝努里公式 在在n n重贝努里试验中重贝努里试验中, ,假如假如“胜利在每胜利在每次试验中出现的概率为次试验中出现的概率为p,p,令令Bk=“B