量子力学基础ppt课件

1、第一章 量子力学根底第一章第一章 量子力学基础量子力学基础一、经典物理学力学方面力学方面 Newton Newton 力学体系力学体系经典物理学体系经典物理学体系电、磁、光学方面电、磁、光学方面 Maxwell Maxwell 方程组方程组热景象方面热景象方面热力学及热力学及 Boltzmann Boltzmann、GibbsGibbs等人建立的等人建立的 统计物理学统计物理学这些实际构成了一个完好的体系，可以解释各种常见的物理景象。宏观体系微观体系但是，单就力学体系而言，其讨论对象又分两大类第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限1.经典物理学经典物理学第一章第一章

2、 量子力学基础量子力学基础相对论力学两个主要结果： a. 物体的质量m和v有关，v越大，m也越大。在v=0时物体的质量 称为静止质量m0， 。当vc时，m = m0，相对论力学又复原为经典力学。021mmVc1. 宏观体系 服从牛顿力学的宏观体系： 速度远小于光速，v c， c =31010 cms-1，此时amF 服从相对论力学的宏观体系：v 1.经典物理学经典物理学1. 宏观体系宏观体系第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2. 微观体系服从量子力学。微观物理景象两个根本特征： 能量量子化 具有统计的特性，符合测不准原理 所以微观粒子的运动规律不服从经典力学而服从量子力学。 第一节第一节

3、经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限1.经典物理学经典物理学2. 微观体系微观体系第一章第一章 量子力学基础量子力学基础二、旧量子论的局限1. 黑体辐射第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限1.旧量子论的局限旧量子论的局限1. 黑体辐射黑体辐射 但随着科学的开展，又发现了一些新的实验景象，用经典物理学实际无法解释。其中三个最著名的实验景象是黑体辐射、光电效应和原子光谱。 黑体定义黑体定义能吸收全部外来电磁波的物体。能吸收全部外来电磁波的物体。黑体辐射定义黑体辐射定义当将黑体加热时能发射出当将黑体加热时能发射出 各种波长的电磁波。各种波长的电磁波。经典

4、电磁实际的解释经典电磁实际的解释假定黑体辐射是由假定黑体辐射是由 黑体中带电粒子振动发出的。黑体中带电粒子振动发出的。经典热力学和统计力学实际计算得到的黑体辐射能量随波长的变化同实验所得的曲线相矛盾第一章第一章 量子力学基础量子力学基础能量量子化的概念1900年，Planck提出了能量量子化的概念： 假设黑体中带电粒子以频率作简谐振动，能量只能取采取一个最小能量hv的整数倍， = nhv，n = 0，1，2，h = 6.62610-34 Js-1。这个假设称为能量量子化假定。用这一观念可以很好的解释黑体辐射景象。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限1.旧量子论的局

5、限旧量子论的局限1. 黑体辐射黑体辐射第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2. 2. 光电效应光电效应1905年，爱因斯坦(Einstein) 提出了光子说： 光是一束光子流，有一定的能量E和动量P，其大小由v及决议E= hv，P= h/光电效应光电效应 一定条件下，光照射到金属外表时能够产生光电流的景象。光电效应实验景象光电效应实验景象能否产生光电流及光电子的运动能大小只与光的频率有关，与光的强度无关。经典实际观念以为是光的强度而不是光的频率决议了能否产生光电流 及光电子的动能的大小，频率只决议光的颜色。 只需当v足够大时，吸光后的电子才有能够抑制金属晶格的束缚而逸出金属外表变成光电子，光

6、电子， 并在电场作用下从阴极飞向阳极产生光电流。光电流。不同的金属有不同的临阈频率临阈频率v0v0，v越大，光电子的E越大。这就胜利解释了光电效应的实验景象。入射光的v超越v0才能够产生光电子，且第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限1.旧量子论的局限旧量子论的局限2. 光电效应光电效应第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. 3. 原子光谱原子光谱经典实际：经典实际： 原子中的电子不断发射出电磁波的结果势必是其能量逐渐衰减，最后原子中的电子不断发射出电磁波的结果势必是其能量逐渐衰减，最后掉到原子核中，原子便不能稳定存在；掉到原子核中，原子便不能稳定存在； 由于能

7、量逐渐变化，发射出的电磁波的频率也随之而变并延续分布。由于能量逐渐变化，发射出的电磁波的频率也随之而变并延续分布。是由电子绕核运动加速运动发射出电磁波产生的实验景象：原子光谱的分布是一条条分立的谱线而不是延续光谱。实验景象：原子光谱的分布是一条条分立的谱线而不是延续光谱。1913，Bohr提出了原子构造的提出了原子构造的Bohr实际：实际： 假定电子绕核作圆周运动能稳定存在；假定电子绕核作圆周运动能稳定存在； 在一定的轨道上运动的电子有一定的能量在一定的轨道上运动的电子有一定的能量定态；定态； 定态能量只能取一些分立的数值，是量子化的；定态能量只能取一些分立的数值，是量子化的； 原子由一种定态

8、原子由一种定态(Em)变到另一种定态变到另一种定态(En)过程中发射或吸收电磁波；过程中发射或吸收电磁波； 电磁波的频率电磁波的频率v由决议：由决议：|Em-En|=hv。推行：推行：Sommerfeld推行了推行了Bohr实际，制定更为普遍的量子化条件。实际，制定更为普遍的量子化条件。 第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限1.旧量子论的局限旧量子论的局限3. 原子光谱原子光谱第一章第一章 量子力学基础量子力学基础4. 4. 旧量子实际的胜利与失败旧量子实际的胜利与失败成就：成就： 冲破了经典物理学中能量延续变化的束缚；冲破了经典物理学中能量延续变化的束缚； 解释

9、了许多经典物理学无法解释的微观景象。解释了许多经典物理学无法解释的微观景象。失败：进一步研讨发现，仍与许多现实不符，在某些方面难以自圆其说。失败：进一步研讨发现，仍与许多现实不符，在某些方面难以自圆其说。例如：例如： Bohr实际可以很好解释氢原子和类氢离子光谱，但推行到多电实际可以很好解释氢原子和类氢离子光谱，但推行到多电 子分子或原子时不适用；子分子或原子时不适用； 定态不发出辐射的假定与经典实际矛盾；定态不发出辐射的假定与经典实际矛盾； 量子化的条件无实际根底，比较生硬；量子化的条件无实际根底，比较生硬； 旧量子论推出周期表中第一周期应有旧量子论推出周期表中第一周期应有6个元素，但现实只

10、需个元素，但现实只需2个；个； 以上种种导致旧量子论的失败。以上种种导致旧量子论的失败。 第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限1.旧量子论的局限旧量子论的局限4. 旧量子实际的胜利与失败旧量子实际的胜利与失败第一章第一章 量子力学基础量子力学基础1. 1. 光的干涉光的干涉动摇说：光是一种电磁波，波长不同，颜色不同。图1-1 光的干涉动摇说可以解释，在两个波峰或波谷相遇的地方相互加强，在一个波峰与另一个波谷相遇的地方，两波相互减弱。 当光束重叠时出现明暗相间的条纹的景象当光束重叠时出现明暗相间的条纹的景象第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论

11、的局限1.光的波粒二象性光的波粒二象性一、动摇说及光的电磁实际一、动摇说及光的电磁实际1. 光的干涉光的干涉第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2. 2. 光的衍射光的衍射图1-2 X射线衍射表示图光可以绕过前面的妨碍物而弯曲传播的景象当一束X光射向晶体粉末时，发现E上出现了一系列明暗相间的同心圆，称为衍射环或衍射图X光源晶体粉末屏幕图1-3 光的衍射动摇说的解释晶体是原子在空间有规那么的陈列而成，位于同一平面上的原子构成一个晶面，当波长为的X射线射入一组面间距为d的晶面上时，一部分光在平面反射，一部分光在平面反射，两组反射线相遇后相互关涉，产生明暗相间的园环。 光的衍射景象同时证明，动摇说

12、所预言的光在密介质中的传播速度比在疏介质中慢。但动摇说不能解释光籍以传播的介质是什么，于是假定了一种称为“以太的物质。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限1.光的波粒二象性光的波粒二象性一、动摇说及光的电磁实际一、动摇说及光的电磁实际2. 光的衍射光的衍射第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. 3. 光的电磁实际光的电磁实际 1864年，Maxwell在前人任务的根底上，指出电场和磁场的变化不能局限在空间的某一部分，而是以c = 31010 cms-1的速度向外传播着，这称为电磁波。 光是一种波长约为10-3 10-5 cm的电磁波，可见光是波长约为410-5

13、 cm 7.510-5 cm的电磁波。电磁波是用电场强度向量和磁场强度向量两个向量的振动表征，它们以一样的位相和相等的振幅在两个相互垂直的平面内运动，它的传播速度c的方向与两个向量的方向垂直。光的电磁实际可以解释：光的电磁实际可以解释： 光的反射、衍射、干涉、折射和偏振等景象；光的反射、衍射、干涉、折射和偏振等景象； 可以证明真空中的光速可以证明真空中的光速c = 31010 cms-1； 可以阐明电磁波的传播不需求借助于弹性介质，无须引入可以阐明电磁波的传播不需求借助于弹性介质，无须引入“以太的概念。以太的概念。 以上种种使光的电磁波实际获得了极大胜利，于是光的动摇说又开展成为光的以上种种使

14、光的电磁波实际获得了极大胜利，于是光的动摇说又开展成为光的电磁实际，并战胜了当时盛极一时的粒子说。电磁实际，并战胜了当时盛极一时的粒子说。第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限1.光的波粒二象性光的波粒二象性一、动摇说及光的电磁实际一、动摇说及光的电磁实际3. 光的电磁实际光的电磁实际第一章第一章 量子力学基础量子力学基础二、光的粒子说1. 光电效应光电效应Newton为首的粒子说以为：光是直线传播的粒子流，有不同的种类，因此有不同的颜色光电效应的三条规律： 对于阴极K所用的金属，有一固定的临于阈频率 ，只需当入射光的频率 时才有光电流产生假设 ，那么不论光的强度多

15、大，照射时间多长，都没有光电流产生。不同金属有不同的临阀频率。000 光电子的初动能随着光的频率直线添加，而与光的强度无关。单位时间内光电子的数目即光电流的大小与光子的强度成正比。 第一节第一节 经典物理学与旧量子论的局限经典物理学与旧量子论的局限1.光的波粒二象性光的波粒二象性二、光的粒子说二、光的粒子说1. 光电效应光电效应第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2. Einstein光子说光子说 光的能量量子化：每种频率的光的都有一个最小单位光量子，或光子，记为E0= 。光的能量只能是E0的整数倍。h 光子不但具有能量E0，而且还具有质量m。不同频率的光子具有不同的质量。2hmc1905年

16、Einstein提出光子说，胜利解释了光电效应景象。光子说要点：hhPmccc 光子还具有一定的动量： 光的强度取决于光密度 单位体积内光子的数目。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. 3. 光子说对光电效应实验景象的解释光子说对光电效应实验景象的解释 当光照射到金属外表时，光子的能量 被电子吸收，能量的分配 符合Einstein光电效应方程：h2012mVhW 入射光子的频率越大，电子逸出金属外表后的初动能 越大， 且随频率直线添加。 212mVm电子的质量V电子逸出金属外表后的运动速度W0称为逸出功从上式可以看出，假设照射光的频率不够大，缺乏以抑制逸出功W0，那么不会有光电子发生。

17、入射光的强度越大，光子的数目越多，因此产生的光电子的数目也增 多，但不添加光电子的初动能。 第一章第一章 量子力学基础量子力学基础三、光的本质1. 光是物质光是物质2. 光的波粒二象性光的波粒二象性光在与实物粒子的相互作用中光在与实物粒子的相互作用中表现为粒子性，光也不是经典表现为粒子性，光也不是经典力学中的粒子，但具有经典概力学中的粒子，但具有经典概念中粒子的某些性质。念中粒子的某些性质。光在传播过程中表现为光在传播过程中表现为动摇性，光不是经典概动摇性，光不是经典概念中的波，但具有经典念中的波，但具有经典概念中波的某些性质概念中波的某些性质EhPh粒子性粒子性动摇性动摇性可用可用E、P、和

18、和 表达表达第一章第一章 量子力学基础量子力学基础实物粒子：电子、中子等静止质量不等于零的粒子。实物粒子：电子、中子等静止质量不等于零的粒子。 de Brolie假设：二象性并不是一个特殊的光学景象，而是具有普遍的意义。假设：二象性并不是一个特殊的光学景象，而是具有普遍的意义。 实物粒子也具有动摇性，表征实物粒子粒子性的物理量实物粒子也具有动摇性，表征实物粒子粒子性的物理量E 和和P与表征动摇性的物理量与表征动摇性的物理量v和和之间的关系：之间的关系：Ehde Brolie关系式：关系式： ，其中，其中 不适用于光。不适用于光。mhPhhP de Brolie波：实物粒子具有的波，或称物质波。

19、波长由波：实物粒子具有的波，或称物质波。波长由de Brolie关系式确定关系式确定mh第一章第一章 量子力学基础量子力学基础de Broglie 假设推测电子波的波长：假设推测电子波的波长：电子速度：电子速度：Vemv3001212电子波的波长：电子波的波长：)A(25.12Vmh第一章第一章 量子力学基础量子力学基础二、二、de Brolie假设的证明假设的证明电子衍射实验电子衍射实验1927年年Davisson和和Germer的电子衍射实验：的电子衍射实验： 实验结果阐明电子具有动摇性。经过布拉格实验结果阐明电子具有动摇性。经过布拉格公式即可算出电子波的波长公式即可算出电子波的波长。 2

20、 d Sinnsin2ndn = 0, 1, 2, 这样计算出来的波长与根据de Brolie关系式计算出来的结果完全一致。这阐明，动量为P的自在电子的衍射行为与波长为的平面波的衍射行为一样。因此我们说动量为P的自在电子的波长等于 。 hP第一章第一章 量子力学基础量子力学基础三、测不准原理三、测不准原理w内容：内容：w测不准关系式测不准关系式微观粒子的坐标和动量是不能同时具有确定值的。微观粒子的坐标和动量是不能同时具有确定值的。动摇性粒子的特点动摇性粒子的特点不能在同一时辰具有确定的坐标和动量，它的某个坐标不能在同一时辰具有确定的坐标和动量，它的某个坐标被确定的越准，那么在此方向上的动量分量

21、就越不准，反之亦然。被确定的越准，那么在此方向上的动量分量就越不准，反之亦然。：动摇性粒子在x，y，z方向坐标和动量的不确定程度 的乘积关系 以以x和和Px分别表示微观粒子的横坐标和动量在横坐标方向上的分量的测定分别表示微观粒子的横坐标和动量在横坐标方向上的分量的测定值与平均值之差，那么两者之间的关系为：值与平均值之差，那么两者之间的关系为：yPyzPz同理：同理：xPxhPxxhPyyhPzz第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. 测不准关系可用于检验经典力学适用程度测不准关系可用于检验经典力学适用程度经典场所：经典场所：h是极小的数值，约为是极小的数值，约为0，测不准关系不起作用，测不

22、准关系不起作用， 动摇性不显著。动摇性不显著。量子场所：量子场所：h不能忽略，测不准关系影响大，必需用量子力不能忽略，测不准关系影响大，必需用量子力 学方法处置。学方法处置。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础假设假设：对于一个微观体系，它的形状和有关情况可用波：对于一个微观体系，它的形状和有关情况可用波 函数函数(x,y,z,t)表示，表示，是坐标是坐标(x,y,z,t)的函数，同时的函数，同时 也是时间也是时间t的函数。的函数。例如：一个例如：一个2电子体系，粒子电子体系，粒子1和粒子和粒子2的坐标分别为的坐标分别为(x1, y1, z1)和和(x2, y2, z2)，那，那么描画体系形

23、状的波函数么描画体系形状的波函数=(x1, y1, z1, x2, y2, z2, t)第一章第一章 量子力学基础量子力学基础1. 波函数波函数频率为频率为，波长为，波长为的沿着的沿着x方向传播的平面波可用下式表示方向传播的平面波可用下式表示 ( , )2xx tACost既然动量为既然动量为P的自在电子的衍射行为与波长为的自在电子的衍射行为与波长为 的光的衍射行为类似，的光的衍射行为类似，将将 和和 代入上式所得之波就可用来描画自在电子的行为：代入上式所得之波就可用来描画自在电子的行为：hPhPEh2( , )x tACosxPEth这就是这就是de Brolie波或物质波。波或物质波。 除

24、电子外，质子、中子等一切微观粒子都具有动摇性，其运动形除电子外，质子、中子等一切微观粒子都具有动摇性，其运动形状都可用一函数状都可用一函数来描画，来描画， 称为波函数或形状函数。称为波函数或形状函数。 第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2.波函数的物理意义波函数的物理意义 (1) 描画光或实物粒子的二象性时，不同的性质采用不同的函数：描画光或实物粒子的二象性时，不同的性质采用不同的函数：描画粒子性的函数：描画粒子性的函数：E，P，描画动摇性的函数：描画动摇性的函数：h ，h/ ，| |2| |2=| * |， = f + i g， *= f i g的物理意义：在时间的物理意义：在时间t t

25、在坐标在坐标x x、y y、z z附近小体积元附近小体积元dd内找到粒子的内找到粒子的 几率与波函数几率与波函数(x(x，y y，z z，t)t)的绝对值的平方成正比。的绝对值的平方成正比。 第一章第一章 量子力学基础量子力学基础(2) 几率：空间某一小体积元几率：空间某一小体积元d内发现粒子数的多少内发现粒子数的多少d 为为x到到x+dx，y到到y+dy，z到到z+dz区域，区域，dw (x，y，z，t)表示在时间表示在时间t和空间和空间d内找到电子的几率，那么：内找到电子的几率，那么：ddx dy dz2( , , , )( , , , )dw x y z tKx y z tdK是比例常数

26、。是比例常数。 (3) 几率密度：在时间几率密度：在时间t及空间某点及空间某点(x，y，z)单位体积内出现粒单位体积内出现粒子的几率子的几率d2( , , , )( , , , )( , , , )dw x y z tw x y z tKx y z tdw(x，y，z，t)称为几率密度称为几率密度第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. 归一化波函数归一化波函数 将波函数乘上一个常数因子并不改动它所描画的形状。将波函数乘上一个常数因子并不改动它所描画的形状。 缘由：粒子在空间各点出现的几率密度之比等于波函数在这些点的缘由：粒子在空间各点出现的几率密度之比等于波函数在这些点的平方之比，而将波函

27、数乘上一个常数后，它在各点的平方之比并不改动，平方之比，而将波函数乘上一个常数后，它在各点的平方之比并不改动，因此粒子在空间各点出现的几率密度之比不变，所以粒子所处的物理形因此粒子在空间各点出现的几率密度之比不变，所以粒子所处的物理形状也就一样。状也就一样。 对于单个粒子体系，在整个空间找到粒子的几率该当等于对于单个粒子体系，在整个空间找到粒子的几率该当等于1，即，即 由此可以求得常数由此可以求得常数K22( , , , )( , , , )( , , , )1w x y z t dKx y z tdKx y z td21( , , , )Kx y z td归一化归一化关系式关系式第一章第一章

28、 量子力学基础量子力学基础乘以乘以 而得到而得到的过程称为归一化。的过程称为归一化。 令令那么那么：K2( , , , )dwx y z td2( , , , )wx y z t为未归一化波函数。为未归一化波函数。K归一化波函数归一化常数绝对值平方等于几率密度第一章第一章 量子力学基础量子力学基础4. 波函数的性质和必需满足的规范化条件波函数的性质和必需满足的规范化条件(1) (x，y，z，t)是微观粒子运动规律的统计结果，其本身的物理意义不是微观粒子运动规律的统计结果，其本身的物理意义不明显，但其平方那么代表几率密度；明显，但其平方那么代表几率密度；(2) K(x，y，z，t)并不改动并不改

29、动所描画的形状，即与所描画的形状，即与所描画形状一样。所描画形状一样。(3) (x，y，z，t)必需满足下面的三个规范化条件才干称为必需满足下面的三个规范化条件才干称为“品优波函数。品优波函数。单值、延续、有限平方可积单值、延续、有限平方可积第一章第一章 量子力学基础量子力学基础二、力学量和算符二、力学量和算符1. 算符：算符：假设假设：对于微观体系的每一个可观测力学量都对应着一个：对于微观体系的每一个可观测力学量都对应着一个 线性厄米算符。线性厄米算符。规定了某种运算的符号称为算符，或称为算子规定了某种运算的符号称为算符，或称为算子 力学量算符化规那么：力学量算符化规那么：1坐标坐标q(x,

30、y,z)和时间和时间t所对应的算符就是坐标和时间本身。所对应的算符就是坐标和时间本身。ttqq , 假设用假设用 表示某一算符，表示某一算符， 表示被施以运算的对象，记为表示被施以运算的对象，记为 ，称为算符称为算符 作用于作用于 。 ( )u x( )u x( )u xMMM第一章第一章 量子力学基础量子力学基础例如，求单个粒子的能量算符例如，求单个粒子的能量算符 。解：由于单个粒子的能量等于动能解：由于单个粒子的能量等于动能T与势能与势能V之和，按经典力学：之和，按经典力学：2. 与坐标相关联的动量的算符是与坐标相关联的动量的算符是3. 对于任一力学量对于任一力学量M，先按经典方法将其表示

31、成，先按经典方法将其表示成q 、P和和t的函数，的函数， ，然后再将相应的算符代入便可得力学量，然后再将相应的算符代入便可得力学量M的算符：的算符：Piiiq ( , , )MM q p tM( , )M qitqH2221( , , )2xyzETVPPPV x y zm第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2221( , , )2xyzETVPPPV x y zmP, P, Pxyziiixyz 222222222222P, P, Pxyzxyz 222222222H( , , )22V x y zVmmxyz H能量算符能量算符 也称为哈密顿算符。也称为哈密顿算符。第一章第一章 量子力学

32、基础量子力学基础 同样可以很容易求出角动量同样可以很容易求出角动量L及其在球坐标系中三个分量及其在球坐标系中三个分量Lx、Ly、Lz的算符及角动量平方的算符及角动量平方L2算符的表达式：算符的表达式：zyxxyxzyzzyxLkLjLiyPxPkzPxPjzPyPiPPPzyxkjiPrLyzzyiyizziyPzPyLyzxzxxziLyxyyxiLz第一章第一章 量子力学基础量子力学基础直角坐标系和球坐标系之间的变换关系直角坐标系和球坐标系之间的变换关系 ：0 ：0 2 r ：0 21222zyxrtgxycos ;sinsin ;cossinrzryrx第一章第一章 量子力学基础量子力学

33、基础直角坐标系和球坐标系中的Laplace算符表示：22222222222222sin1sinsin11 rrrrrrzyxdddrrd sin2第一章第一章 量子力学基础量子力学基础那么算符那么算符 称为线性算符。称为线性算符。 假设算符假设算符 作用在恣意两个函数作用在恣意两个函数 和和 的代数和的代数和 + 上的结果等于这一算符上的结果等于这一算符 分别作用在分别作用在 和和 上的代数和上的代数和 + 上，上，即即A2( )ux1( )u x2( )ux1( )u x2( )ux1( )u x2( )ux1( )u xAA)(A)(A)()(A22112211xucxucxucxuc2.

34、 线性算符线性算符ddxx算符算符 和和 都是线性的，都是线性的，Sin, log和和 不是线性算符不是线性算符第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. 厄米算符自轭算符厄米算符自轭算符假设算符假设算符 对于恣意函数对于恣意函数 下式成立下式成立 就称算符就称算符 为厄米算符为厄米算符 AAAdd A例1：乘号“为厄米算符。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础4. 线性厄米算符线性厄米算符 假设一个算符即是线性的又是厄米的，那么这个算符就是线性厄米算符。假设一个算符即是线性的又是厄米的，那么这个算符就是线性厄米算符。 微观体系中任何一个力学量对应的算符都是线性厄米算符微观体系中任何一个力学

35、量对应的算符都是线性厄米算符量子力学量子力学根本假定之二。根本假定之二。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础5. 算符的运算规那么算符的运算规那么(1) 算符的相等：算符的相等：假设 ，那么)(B)(AxuxuBA(2) 算符的加法：满足交换律和结合律算符的加法：满足交换律和结合律假设 那么假设 那么)(B)(A)(CxuxuxuBACCBAFCBACBAF(3) 算符的乘法：普通不满足交换律算符的乘法：普通不满足交换律假设 ，那么 ，而 。)(BA)(CxuxuBACAAA2。一般情况下不等于 ABBA第一章第一章 量子力学基础量子力学基础算符的对易关系：算符的对易关系：ABBA称为算符对

36、易关系中的对易子，用称为算符对易关系中的对易子，用 表示。表示。B,A算符的对易关系式；常数）(ABBAB,Ac可相互对易；则若B,A0ABBAB,A不可相互对易则若B,A0ABBAB,A0)()(, ixuPxxxuPxPxxx例如：所以不能相互对易。和xPx第一章第一章 量子力学基础量子力学基础三、本征态、本征值和Schrdinger方程1. 本征函数的正交性及归一性本征函数的正交性及归一性假设假设：假设某一力学量：假设某一力学量A的算符的算符 作用于某一形状函数作用于某一形状函数后，后， 等于某一常数等于某一常数 a 乘以乘以 ，即，即 = a ，那么对于，那么对于 所描画的这样一个微观

37、体系的形状，其力学量所描画的这样一个微观体系的形状，其力学量A具具 有确定的数值有确定的数值 a ，a 就称为力学量算符就称为力学量算符 的本征值，的本征值， 称为称为 的本征态或本征函数；的本征态或本征函数； = a 称为称为 的本征方程。的本征方程。AAAAAA假设：假设： ，那么函数，那么函数1(x)和和2(x)彼此正彼此正交。交。0)( )(2*1dxxx第一章第一章 量子力学基础量子力学基础本征函数正交性定理本征函数正交性定理： 属于同一厄米算符属于同一厄米算符 的不同本征值的不同本征值am和和an的本征函数的本征函数 m和和n彼此正交。即，彼此正交。即， 为厄米算符，为厄米算符，m

38、 和和n为为2 个不同本征函数，个不同本征函数，am和和an为为2个与个与m 和和n相对应的本相对应的本 征值，那么征值，那么 。而厄米算符的本征值一。而厄米算符的本征值一 定为实数。定为实数。0)( )(2*1dxxxAA本征函数正交性定理本征函数正交性定理： 属于同一厄米算符属于同一厄米算符 一样本征值一样本征值an的不同本征函数系列的不同本征函数系列 n1，n2，nf恣意线性组合为恣意线性组合为n=c1n1+c2n2+ + cfnf后，后，n依然是依然是 属于同一本征值属于同一本征值an的本征函数。的本征函数。AA第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2. 本征函数的完备系列本征函数的完

39、备系列An1= an1An2= an2Anf= anfAn= an，其中，其中n=c1n1+c2n2+ cfnf假设：假设： ，那么函数，那么函数1(x)和和2(x)彼此正彼此正交。交。1)( )(iin*ndxxx 有一样定义域和一样自变量，并满足边境条件的延续有一样定义域和一样自变量，并满足边境条件的延续函数的恣意线性组合函数的恣意线性组合 就构成了该函数的完备就构成了该函数的完备系列系列n(x)。nnn)(ax第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. Schrdinger 方程方程牛顿第二定律对于速度远小于光速的宏观物理景象是正确的。 微观粒子的运动形状要用波函数微观粒子的运动形状要用

40、波函数(x(x，y y，z z，t)t)来描画，波函数来描画，波函数(x(x，y y，z z，t)t)随时间的变化要由随时间的变化要由SchrdingerSchrdinger方程来表达：方程来表达： 22( , , , )( , , , )( , , , )2x y z tix y z tVx y z ttm -i( , , , )( , , )( )( , , ) etx y z tx y ztx y z化学所讨论的形状化学所讨论的形状多数是定态多数是定态其几率密度分布不随时间而改动的其几率密度分布不随时间而改动的形状。描画定态的形状。描画定态的(x，y，z，t)必定具有以下方式必定具有以下

41、方式常数。常数。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础波函数的这种方式，可保证粒子在空间各点出现的几率密度不随波函数的这种方式，可保证粒子在空间各点出现的几率密度不随t 改动。改动。( , , , )( , , , )( , , )( , , )x y z tx y z tx y zx y z因此，定态粒子的形状可用不显含因此，定态粒子的形状可用不显含 t 的函数的函数 (x，y，z)来描写，来描写，(x，y，z)定态波函数，简称波函数。定态波函数，简称波函数。22( )( , , )( )2( , , )idtx y zVtdtmx y z ),(),( ee),(),( ),(),(),(

42、*ii*2zyxzyxzyxzyxtzyxtzyxtzyxtt第一章第一章 量子力学基础量子力学基础22( , , )( , , )( , , )2x y zVx y zEx y zm22( , , )()( , , )02x y zEVx y zm上式左边只是上式左边只是 t 的函数，右边只是的函数，右边只是(x,y,z)的函数，两边必等于同一常数的函数，两边必等于同一常数(E)整理之得整理之得22( , , )( , , )2Vx y zEx y zm 也可写作也可写作此为定态波函数此为定态波函数 (x，y，z)所应满足的方程所应满足的方程定态定态Schrdinger方程。方程。量子力学可

43、以证明，量子力学可以证明，E就是粒子的能量，就是粒子的能量，E=T+V。或或),(),(HzyxEzyx第一章第一章 量子力学基础量子力学基础Schrdinger方程的几点阐明：方程的几点阐明：(1) Schrdinger方程不是推导而来，而是量子力学的一条根本假定。方程不是推导而来，而是量子力学的一条根本假定。(2) 定态是不依赖定态是不依赖t的运动形状，是原子、分子中电子最能够的形状，不的运动形状，是原子、分子中电子最能够的形状，不显含显含t的的可以解释微观景象中大量的定态性质。可以解释微观景象中大量的定态性质。(3) Laplace算符：算符： 一维箱中粒子的一维箱中粒子的Schrdin

44、ger方程方程 三维箱中粒子的三维箱中粒子的Schrdinger方程方程2222222zyx xExxVxm222zyxEzyxzyxVzyxm,2222222第一章第一章 量子力学基础量子力学基础(4) 定态定态Schrdinger方程也叫能量有确定值的本征方程；方程也叫能量有确定值的本征方程；(5) 满足本征方程的波函数一定是品优波函数；满足本征方程的波函数一定是品优波函数；(6) 退化度简并度：假设有退化度简并度：假设有 f 个线性无关的本征函数个线性无关的本征函数，对应于同，对应于同一一 个本征值个本征值E，那么这些线性无关的本征函数个数，那么这些线性无关的本征函数个数 f 叫简并度，

45、而说叫简并度，而说 本征值本征值E是简并的。是简并的。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础四、态叠加原理四、态叠加原理假设假设：体系属于力学量：体系属于力学量M的本征态的恣意线性组合也是体的本征态的恣意线性组合也是体 系的一个能够形状系的一个能够形状. =c11+c22+ cnn = n1iiic阐明：阐明：(1) ci大小反响大小反响i对对的性质的奉献大小。的性质的奉献大小。 (2) 例如，原子中的电子能够存在于例如，原子中的电子能够存在于s或或p轨道，将轨道，将s与与p轨道的波函轨道的波函数线性组合为杂化轨道后也是电子能够的轨道。数线性组合为杂化轨道后也是电子能够的轨道。第一章第一章 量

46、子力学基础量子力学基础1. 力学量平均值定理力学量平均值定理*MMd 体系任何形状的波函数体系任何形状的波函数中，任何力学量中，任何力学量M的平均值的平均值均可表示为：均可表示为：*MM= =iijjiijjjijijijjijijdCCdCC mdC C md *, 1, ,0ijijijijijdij 若若 因：因： =c11+c22+ cnn = n1iiic思索到思索到的正交归一化性质：的正交归一化性质：第一章第一章 量子力学基础量子力学基础*MijjiiiijidC C mC C m 因此因此讨论：讨论：(1) 本征态力学量的平均值：本征态力学量的平均值： 假设假设m1, m2, ,

47、 mn 分别为本征态分别为本征态1, 2, , n对应力学量对应力学量M的本的本征值，那么当体系处于征值，那么当体系处于所描画的形状且所描画的形状且已归一化时，力学量已归一化时，力学量M的平均值为：的平均值为：n1ii2imcM证明：由条件可知，证明：由条件可知， ；而；而iiiMm=c11+c22+ cnn = n1iiic仅是体系一个能够的形状，但非本征态，故对于仅是体系一个能够的形状，但非本征态，故对于所描画的形状，所描画的形状，力学量力学量M没有确定值，而是有一个分布，即平均值。没有确定值，而是有一个分布，即平均值。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础由假设由假设4可知，可知，所描画

48、的形状中，力学量所描画的形状中，力学量M平均值平均值在在1中取中取m1值的几率为值的几率为 |c1|2；在在2中取中取m2值的几率为值的几率为 |c2|2；在在n中取中取mn值的几率为值的几率为 |cn|2；由于在整个空间中，几率密度等于由于在整个空间中，几率密度等于1，所以，所以1n1i2in1ii*in1ii*ii*in1iiin1i*i*icccdccdccddw因此，因此，|ci|2代表代表形状时形状时M平均值取平均值取mi值时的几率。值时的几率。而而M的平均值：的平均值：NNmNmNmNmMnn332211.其中其中2iicNN第一章第一章 量子力学基础量子力学基础所以：所以：n1i

49、i2in2n222121.mcmcmcmcM(2) 非本征态力学量的平均值：非本征态力学量的平均值： 假设假设1, 2, , n不是该体系的本征函数，即对应力学量不是该体系的本征函数，即对应力学量M无本无本征值，那么当体系处于征值，那么当体系处于所描画的形状时，力学量所描画的形状时，力学量M的平均值仍可表示为：的平均值仍可表示为：*MMd 但但n1ii2imcM第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2. 力学量同时具有确定值的条件定理力学量同时具有确定值的条件定理 不同力学量同时具有确定值的充分必要条件：这两个不同力学量同时具有确定值的充分必要条件：这两个力学量算符可相互对易。力学量算符可相互

50、对易。证明：设证明：设n是算符是算符 和和 的属于本征值的属于本征值 ln和和 mn的本征函数，那么的本征函数，那么LM LML=L= MLM=M=nnnnnn nnnnnnnn nnmmm lllm l LMML0n两式相减两式相减 LMML0所以：所以： 例如，坐标例如，坐标x x和动量和动量PxPx的算符不可相互对易，因此它们没有共同的本的算符不可相互对易，因此它们没有共同的本征函数系，从而也不能同时具有确定值征函数系，从而也不能同时具有确定值测不准原理。测不准原理。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础五、五、Pauli原理原理1. 支持支持Pauli原理的实验景象原理的实验景象假设假

51、设：在同一原子轨道或分子轨道上，最多只能包容：在同一原子轨道或分子轨道上，最多只能包容2个电个电 子，且这子，且这2个电子自旋形状必需相反。个电子自旋形状必需相反。Zeeman效应效应磁场中察看到的光谱谱线出现分裂的景象。磁场中察看到的光谱谱线出现分裂的景象。光谱的精细构造光谱的精细构造 阐明电子的运动方式阐明电子的运动方式 描画电子运动形状的完全波函数是描画电子运动形状的完全波函数是轨道运动轨道运动自旋运动自旋运动空间坐标的函数空间坐标的函数自旋坐标的函数自旋坐标的函数第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2. Pauli原理的量子力学表述原理的量子力学表述 假设对描画多电子体系轨道运动和自

52、旋运动的全波函数假设对描画多电子体系轨道运动和自旋运动的全波函数中恣意中恣意2个电子的全部坐标进展交换，一定得反对称波函数。个电子的全部坐标进展交换，一定得反对称波函数。 例如，一个例如，一个2粒子体系，其形状可用波函数粒子体系，其形状可用波函数(q1, q2)描画，描画，(q2, q1)代表粒子代表粒子1和粒子和粒子2交换坐标后的形状。交换坐标后的形状。 假设假设2(q1, q2) =2(q2, q1)，那么阐明，那么阐明2个粒子是不可分辨的，由此个粒子是不可分辨的，由此可得可得(q1, q2)与与(q2, q1)的两种关系：的两种关系：(1) (q1, q2) = +(q2, q1)， 阐

53、明阐明为对称波函数；为对称波函数；(2) (q1, q2) = -(q2, q1)， 阐明阐明为反对称波函数。为反对称波函数。 终究是对称还是反对称那么由粒子本身的性质决议。对电子而言，终究是对称还是反对称那么由粒子本身的性质决议。对电子而言，是反对称波函数。是反对称波函数。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础3. Fermi子和子和Bose子子Fermi子子电子、质子、中子等自旋量子数电子、质子、中子等自旋量子数s为半整数的粒子。它们服为半整数的粒子。它们服 从从Pauli禁律的约束。这种粒子组成的体系，其波函数必需是禁律的约束。这种粒子组成的体系，其波函数必需是 反对称的。反对称的。Bo

54、se子子光子、声子、氘光子、声子、氘(2H)和和粒子粒子(42He)等自旋量子数等自旋量子数s为整数的粒为整数的粒 子。它们不受子。它们不受Pauli禁律的约束。这种粒子组成的体系，其波禁律的约束。这种粒子组成的体系，其波 函数必需是对称的。函数必需是对称的。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础5 箱中粒子的箱中粒子的Schrdinger方程及其解方程及其解一、一维箱中的粒子一、一维箱中的粒子一维箱中粒子的一维箱中粒子的Schrdinger方程：方程：222( )( )2dxExmdx在一维箱外，在一维箱外，x 0 x 0和和x ax a，V = V = ，方程的解只能是，方程的解只能是(x

55、)=0(x)=0。 222( )2( )0dxmExdx即即2220mEr 其特征方程为其特征方程为222mEirimE 其特征根为其特征根为第一章第一章 量子力学基础量子力学基础( )exp2exp2iixAmE xBmE x通解为通解为22( )mEmExAB CosxAB iSinx上式也可写作上式也可写作, B=AABAB i+-令：令：22( )mEmExACosxBSinx于是于是边境条件：当边境条件：当 x 0 x 0 和和 x a x a 时，波函数必需等于零，时，波函数必需等于零，即即(0)( )0a由由(0)=0得：得：A cos0 + B sin0 = 0，所以：，所以：

56、A = 02( )mExBSinx这样这样第一章第一章 量子力学基础量子力学基础20mEBSina又由又由(a) = 0得：得：20mESinaB不能为不能为0，欲使上式成立，那么，欲使上式成立，那么 ，n = 1，2，3，。2228n hEma能量能量E必需满足必需满足2mEan即即意义：为满足边境条件，粒子的能量只能是意义：为满足边境条件，粒子的能量只能是的整数倍，即能量是量子化的。的整数倍，即能量是量子化的。 228hma( )n xxBSina此时此时第一章第一章 量子力学基础量子力学基础1. 求归一化常数求归一化常数B2201an xB Sindxa归一化条件归一化条件22122n

57、xCosn xaSin代入上式得代入上式得22220021122aan xCosn xaBaB SindxBdxa2Ba因此积分常数因此积分常数2( )nn xxSinaa2228nn hEma得到的描画一维箱中粒子运动规律的波函数得到的描画一维箱中粒子运动规律的波函数n(x)及相应的能量及相应的能量En为为第一章第一章 量子力学基础量子力学基础2. 结论结论留意留意: :能量能量EnEn与波函数与波函数(x)(x)是一一对应的是一一对应的: :12( )xxSinaa2128hEma222( )xxSinaa22248hEma(1) 一维箱中粒子可以存在的能级一维箱中粒子可以存在的能级En、

58、相应的波函数、相应的波函数n(x)及几率密度及几率密度|n(x)|2：n=1时：axSinax2)(12218mahE lllx2)2(210)(1llx0)0(01x第一章第一章 量子力学基础量子力学基础n=2时：axSinax22)(222284mahE 0)2(22llx0)(2llx0)0(02xlllx2)4(42lllx2)43(432n=3时：axSinax32)(322389mahE lllx2)63(6330)( ,32 ,3 , 03xlllxlxllx2)(65 ,63第一章第一章 量子力学基础量子力学基础(2) 能量只能取分立的数值，是量子化的。经典力学中能量是延续的。

59、能量只能取分立的数值，是量子化的。经典力学中能量是延续的。n=1时，时，E最小，最小， ，称为零点能。，称为零点能。对应的粒子形状，对应的粒子形状， ，称为基态。，称为基态。axSinax2)(12218mahE 一维箱中两个相邻能级间隔：一维箱中两个相邻能级间隔：2218) 12(mahnEEEnn讨论：讨论：m较大、较大、a也较大时，量子化不显著也较大时，量子化不显著 m较小、较小、a也较小时，量子化显著也较小时，量子化显著由于一维箱中粒子的势能由于一维箱中粒子的势能 V = 0，所以粒子的能量全部为动能。，所以粒子的能量全部为动能。第一章第一章 量子力学基础量子力学基础(3) 宏观物体，

60、按经典力学模型，箱中粒子在箱内一切位置出现的几率相宏观物体，按经典力学模型，箱中粒子在箱内一切位置出现的几率相 同，粒子有经典的运动轨迹；同，粒子有经典的运动轨迹； 微观粒子在无力场作用下，在箱中不同位置出现的几率不同，几率密微观粒子在无力场作用下，在箱中不同位置出现的几率不同，几率密度分布呈现动摇性，服从动摇方程，无经典的运动轨迹。度分布呈现动摇性，服从动摇方程，无经典的运动轨迹。(4) 可以可以、=或或0。当。当=0时的点称为节点，在此点粒子不出现，或时的点称为节点，在此点粒子不出现，或 称粒子出现的几率密度为零，称粒子出现的几率密度为零，|(x)|2=0。节点数节点数=n-1.当当 n=