弹性力学简明教程第四版 第四章 极坐标解答

1、Northeastern university第四章第四章 平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答Northeastern university第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答研究对象： 圆形、扇形、楔形体等物体内 容： 极坐标下平面问题的基本方程 应力法的基本方程讨论问题： 轴对称问题、圆环或圆筒受均 布压力、应力集中、半平面体 的受力问题Northeastern university4 41 1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程Northeastern university41 极坐标中的平衡微分方程一、极坐标各分量的表示方法一、极坐标各分量的表示方法xyo

2、dd1、单元划分 厚度为1的薄板 坐标系 , P点坐标： 单元：ddNortheastern university二、极坐标各分量的表示方法二、极坐标各分量的表示方法2.2.应力分量应力分量 径向正应力 环向正应力径向体力分量ff环向体力分量 环向切应力 法向切应力3.3.体力分量体力分量41 极坐标中的平衡微分方程符号：正面正向，负面负向；反之为负。符号：正面正向，负面负向；反之为负。符号：与坐标轴方向一致为正，反之为负。符号：与坐标轴方向一致为正，反之为负。ffNortheastern university三、两个坐标系的区别三、两个坐标系的区别直角坐标系：直角坐标系： 正交坐标系， 为直

3、线坐标、方向固定，量纲为长度量纲。x y41 极坐标中的平衡微分方程ff极坐标系：极坐标系： 正交坐标系， 在不同点有不同的方向， 为直线坐标、量纲为长度量纲； 为曲线坐标、量纲为一的量纲。 Northeastern university41 极坐标中的平衡微分方程平衡微分方程推导的基本思路平衡微分方程推导的基本思路（1）画出极坐标下的微元；（2）标出微元体所受的应力（受力分析）；（3）列 出力和力矩的平衡方程；（4）处理方程组，得到平衡微分方程。Northeastern university四、平衡微分方程四、平衡微分方程0F0F10f 210f 考虑考虑 、 增量引起应力增量引起应力的增量

4、的增量dd注意：注意：PAPA面与面与BCBC面不平行，面不平行， PBPB面与面与ACAC面面积不同。面面积不同。ddddPABCff41 极坐标中的平衡微分方程受力平衡受力平衡0M Northeastern university应力分量3个，平衡方程2个。极坐标下的平衡微分方程:10210ff 41 极坐标中的平衡微分方程讨论讨论00yxxxxyyyfxyfxy直角坐标下的平衡微分方程:Northeastern university4 42 2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程Northeastern university42 极坐标中的几何方程及物理方程推导几何方

5、程的思路推导几何方程的思路:（1）在物体上作两条互相垂直的线（一直，一弧）；（2）画出两条线的变形增量；（3）考虑直线变形造成的应变；（4）考虑弧变形造成的应变；（5）两者叠加得到极坐标下的几何方程。Northeastern university将变形分两部分：径向位移将变形分两部分：径向位移( (图图4 42a)2a)、环向位移（图、环向位移（图4 42 2（b b）42 极坐标中的几何方程及物理方程一、几何方程一、几何方程图图4 42 2u：径向位移；：径向位移； ：环向位移：环向位移u：径向线应变；：径向线应变； ：环向线应变；：环向线应变； ：切应变：切应变Northeastern u

6、niversity42 极坐标中的几何方程及物理方程1、只有径向位移由径向应变引起的：由径向应变引起的：1径向线应变：径向线应变：1环向线应变：环向线应变：1切应变：切应变：径向线段径向线段 移动到移动到 环向线段环向线段 移动到移动到PAP APBP BPPuuAAuduBBud径向线段径向线段PAPA的线应变：的线应变：1uuduuP APAPAdNortheastern university42 极坐标中的几何方程及物理方程1、只有径向位移由径向应变引起的：由径向应变引起的：1径向线应变：径向线应变：1环向线应变：环向线应变：1切应变：切应变：由径向位移引起的环向线段的线应变由径向位移引

7、起的环向线段的线应变1P BPBPCPBPBPBuddud Northeastern university1、只有径向位移由径向应变引起的：由径向应变引起的：1径向线应变：径向线应变：1环向线应变：环向线应变：1切应变：切应变：42 极坐标中的几何方程及物理方程由径向位移引起的切应变由径向位移引起的切应变径向线段径向线段PAPA的转角的转角0环向线段环向线段PBPB的转角的转角1uuduuBBPPPBd 1切应变：切应变：11uNortheastern university42 极坐标中的几何方程及物理方程2、只有环向位移由环向位移引起的：由环向位移引起的：2径向线应变：径向线应变：2环向线应

8、变：环向线应变：2切应变：切应变：P P，A A，B B三点的位移三点的位移PPuuAAuduBBud由环向位移引起的径向线段由环向位移引起的径向线段PAPA的线应变的线应变20径向线应变：径向线应变：Northeastern university2、只有环向位移由径向应变引起的：由径向应变引起的：2径向线应变：径向线应变：2环向线应变：环向线应变：2切应变：切应变：42 极坐标中的几何方程及物理方程2环向线段环向线段PB的线应变：的线应变：21P BPBBBPPPBPBuuduud Northeastern university42 极坐标中的几何方程及物理方程2、只有环向位移由径向应变引起

9、的：由径向应变引起的：2径向线应变：径向线应变：2环向线应变：环向线应变：2切应变：切应变：2由环向位移引起的切应变：由环向位移引起的切应变：径向线段径向线段PAPA的转角的转角uuduuAAPPPAd环向线段环向线段PBPB的转角的转角uPOP 2uu2切应变：切应变：Northeastern university42 极坐标中的几何方程及物理方程所以，几何方程：所以，几何方程：（42）1212121uuvvuv Northeastern university42 极坐标中的几何方程及物理方程 由于极坐标和直角坐标都是正交坐标系，因此，极坐标和由于极坐标和直角坐标都是正交坐标系，因此，极坐标

10、和直角坐标的物理方程应该有相同的形式。直角坐标的物理方程应该有相同的形式。极坐标下的物理方程：11xxyyyxEE2 1xyxyE(212)1()1()12(1)EEGE（43）平面坐标下的物理方程：Northeastern university42 极坐标中的几何方程及物理方程1()1()12(1)EEGE（43）平面应力：平面应变：221()11()12(1)EEE（44）21EE1平面应力 平面应变Northeastern university物理方程平衡方程几何方程EGEE)1 (21)(1)(1vuvvuu102101bbFF极坐标下的基本方程Northeastern univers

11、ity4 43 3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程Northeastern university相容方程相容方程一、直角坐标的相容方程和应力分量一、直角坐标的相容方程和应力分量4444422420 xxyy不计体力的应力分量不计体力的应力分量22xy22yx2xyx y 体力为常量或零的情况：设应力函数为4 43 3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程Northeastern university1、极坐标和直角坐标的变换公式得到sin,cosanarct,222yxxyyx22cos ,sin ,sincos,xyxyyxxy 二、极坐标的相容

12、方程和应力分量oxy,P x y4 43 3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程Northeastern university4 43 3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程sincoscossinxxxyyy 把把 看成复合函数，根据复合函数的链式求导法则：看成复合函数，根据复合函数的链式求导法则：一阶导数：Northeastern university22222222222222222222222222sincoscossin2sincossin2sincoscossin2sincoscossincosxy 22222222cossinsinco

13、ssincoscossinx y (a)(b)(c)二阶导数：4 43 3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程Northeastern university 在坐标=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达式（常体力）得到应力分量oxy,P x y0 xy220022222002220011()()()()1()()()xyxyyxxy （45）4 43 3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程Northeastern university4 43 3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程（45）的前两

14、式相加）的前两式相加22222222211xy222220 xy222222110直角坐标系的相容方程直角坐标系的相容方程极坐标系的相容方程极坐标系的相容方程Northeastern university相容方程相容方程222222110（46）4 43 3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程当体力不记时，在极坐标中按应力求解平面问题，归结为求当体力不记时，在极坐标中按应力求解平面问题，归结为求 ， 它一般也是用逆解法和半逆解法求得，和直角坐它一般也是用逆解法和半逆解法求得，和直角坐标一样，（标一样，（1）它必须满足相容方程（）它必须满足相容方程（46）；（）；（2）满足

15、应力）满足应力边界条件；（边界条件；（3）多连体时，还要满足位移单值条件。）多连体时，还要满足位移单值条件。, Northeastern university4 44 4 应力分量的坐标变换应力分量的坐标变换Northeastern university44 应力分量的坐标变换 在工程中，有些问题属于两种坐标系的问题。如板中有孔的应力问题等，坐标变换如图所示。图（43）yyxyxyxxxyyx0 xyNortheastern university2、用极坐标应力分量表示直角坐标应力分量44 应力分量的坐标变换222222cossin2sincossincos2sincossincoscossi

16、nxyxy（48）1、用直角坐标应力分量表示极坐标应力分量222222cossin2sincossincos2sincossincoscossinxyxyxyxyxyxy（47）Northeastern university4 45 5 轴对称问题和相应的位移轴对称问题和相应的位移Northeastern university4 45 5 轴对称问题和相应的位移轴对称问题和相应的位移轴对称问题：轴对称问题：物体的形状或某物理量式绕一轴对称的，凡是通过对称轴的任何面都是对称面。轴对称问题：轴对称问题：在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况及受到的外来因素都是对称于某一轴（通过这个轴的任一平

17、面都是对称面），则所有的应力，应变和位移也都对称于这一轴。轴对称问题轴对称问题：应力分量仅是半径的函数。Northeastern university半逆解法的基本思路半逆解法的基本思路：1 1）针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设部分或全部应力）针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；分量的函数形式；2 2）推出应力函数的形式；）推出应力函数的形式；3 3）代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式；）代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式；4 4）再按（）再按（2-242-24）式由应力函数求得应力分量；）式由应力函数求得应力分量；5 5）

18、考查应力分量是否满足全部边界条件（多连体还要满足位移单值）；）考查应力分量是否满足全部边界条件（多连体还要满足位移单值）；6 6）满足是问题的解，不满足重新假设求解。）满足是问题的解，不满足重新假设求解。4 45 5 轴对称问题轴对称问题和相应的位移和相应的位移Northeastern university4 45 5 轴对称问题轴对称问题和相应的位移和相应的位移轴对称 0 应力函数（1）假设应力分量的函数形式）假设应力分量的函数形式22222211022210dddd轴对称问题的应力函数（2）极坐标下的相容方程）极坐标下的相容方程Northeastern university4 45 5 轴

19、对称问题轴对称问题和相应的位移和相应的位移引入轴对称问题的Laplace operator22211dddddddd 则相容方程可以写成10dddddddd对上面方程积分四次22lnlnABCD（410）（3）求出应力函数的具体表达形式）求出应力函数的具体表达形式Northeastern university（49）2210dddd220022222002220011()()()()1()()()xyxyyxx y 4 45 5 轴对称问题轴对称问题和相应的位移和相应的位移（411）即为轴对称问题的一般解答（4）由应力函数求得应力分量）由应力函数求得应力分量2212ln232ln20ABCAB

20、C （411）Northeastern university4 45 5 轴对称问题和轴对称问题和相应的位移相应的位移由物理方程求出应变将（411）代入物理方程（43）22111 32 1ln2 11132 1ln2 10ABBCEABBCE将上式代入几何方程（42）（a）22111 32 1ln2 111132 1ln2 110uABBCEuuABBCEuuuNortheastern university4 45 5 轴对称问题和相应的位移轴对称问题和相应的位移 处理方程组（a）：先将（a1）积分，代入（a2），再将（a2）积分把两个积分后的式子代入（a3）解微分方程 式中的A、B、C、H、

21、I、K都是待定常数，其中H、I、K代表刚体位移刚体位移。 112 1ln11 32 1cossin4sincosAuBBCIKEBuHIkE（412）Northeastern university4 45 5 轴对称问题和相应的位移轴对称问题和相应的位移Discussion（1 1）方程（）方程（4 41111）（）（4 41212）的适用范围：任何轴对称应力问题；）的适用范围：任何轴对称应力问题；（2 2）待定常数可以用应力边界条件和位移边界条件赖确定；）待定常数可以用应力边界条件和位移边界条件赖确定；（3 3）对于平面应变情况；）对于平面应变情况；21EE1平面应力 平面应变Northea

22、stern university4 46 6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力Northeastern university4 46 6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力图图44Northeastern university4 46 6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力首先判断首先判断轴对称问题轴对称问题，轴对称问题的应力和位移解适用于该问题。，轴对称问题的应力和位移解适用于该问题。 112 1ln11 32 1cossin4sincosAuBBCIKEBuHIkE（412）2212ln232ln20ABCABC （411）Northeastern university

23、4 46 6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力要想求解应力，必须给出应力边界条件要想求解应力，必须给出应力边界条件代入（代入（4 41111）两个方程两个方程3个未知数个未知数问题：为什么给出了所有的应力边界条件却解不出应力？问题：为什么给出了所有的应力边界条件却解不出应力？120,0;,rRrRqq 。（a）122212ln212ln2ABrCqrABRCqR （b）Northeastern university4 46 6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力该问题是一个多连体，因此还要给出位移单值条件该问题是一个多连体，因此还要给出位移单值条件112uu 代入（代入（412）

24、0B 把把B B0 0代入（代入（b b）222221122222;2r Rqqq rq RACRrRr222222221212222222221111;1111pRrRrqqqqRrRrrRrR 圆筒受均布压力的圆筒受均布压力的拉梅解答拉梅解答Northeastern university4 46 6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力讨论讨论：（1 1）如果只有内压）如果只有内压222211222211;11pRRqqRRrr （2 2）如果）如果R 221122;rrqq （3 3）如果只有外压）如果只有外压222222222211;11prrqqrrRR （4 4）以上解答是对圆

25、环还是对圆筒的？）以上解答是对圆环还是对圆筒的？Northeastern university4 47 7 压力隧洞压力隧洞Northeastern university4 47 7 压力隧洞压力隧洞图45Northeastern university4 47 7 压力隧洞压力隧洞问题描述：圆筒和一个无限大弹性体的接触问题。问题描述：圆筒和一个无限大弹性体的接触问题。接触问题：两个弹性体在边界上互相接触，这是要考虑接触条件设：弹性体的材料常数：,E圆筒的材料常数：,E怎样解接触问题？怎样解接触问题？给出接触面上的接触条件即可：RR应力相等RRuu位移相等Northeastern univers

26、ity4 47 7 压力隧洞压力隧洞 圆筒和无限大弹性体的应力分布都是轴对称的，因此可应用应力圆筒和无限大弹性体的应力分布都是轴对称的，因此可应用应力解答（解答（4 41111）和位移解答（）和位移解答（4 41212）；）；（1 1）单值条件）单值条件0BB圆筒解答的系数： ；无限大弹性体, ,A B C,A B C圆筒2222ACAC 无限大弹性体2222ACAC Northeastern university4 47 7 压力隧洞压力隧洞（2 2）边界条件）边界条件圆筒边界条件rq 22ACqr 无限大弹性体边界条件00 ，20C （3 3）接触条件）接触条件RR2222AACCRRRR

27、uu2221 20AAnCRR其中：11EnENortheastern university4 47 7 压力隧洞压力隧洞圆筒及无限大弹性体的应力分量表达式圆筒及无限大弹性体的应力分量表达式22222222222211 2111 2111 2111 212 111 21RnnqRnnrRnnqRnnrRnqRnnr Northeastern university4 47 7 压力隧洞压力隧洞接触问题接触问题简介简介（1 1）完全接触）完全接触 ：不脱离不滑动，接触面上正应力相等，切应力也相等， 法向位移相等，切向位移也相等。（2 2）光滑接触）光滑接触 ：不脱离有可能滑动，接触面上正应力相等，

28、应力为零， 法向位移相等，切向位移有可能不等。Northeastern university课堂习题 内半径为a，外半径为b的狭矩形截面的圆轴曲梁，在两端受大小相等方向相反的弯矩，为轴对称问题。Northeastern university 内半径为a，外半径为b的狭矩形截面的圆轴曲梁，在两端受大小相等方向相反的弯矩，为轴对称问题。02)ln23(2)ln21 (22CBACBA边界切应力都为零。 上述解满足该边界条件。在梁的内外两面，正应力要求:0)(, 0)(0)(, 0)(0ba0)(,0)(baNortheastern university在梁端的边界条件要求:由边界条件得到:Mbab

29、ad0d02)ln1 (02)ln1 (22CbBbACaBaA22dddd0bbbbaaaababa0)(,0)(baNortheastern universityMabCaabbBabA)()lnln(ln2222222dddddddddd()( )( )bbbaaabbaabbbaaa 代入，并由边界条件22lnlnABCD将 的表达式Northeastern university 在这里有三个方程和三个待定常数，解出A、B和C，代入应力分量表达式，得到郭洛文解答:0lnlnln14lnlnln4222222222222abbabababNaMabbababNaM其中：222222ln4

30、1abababN Northeastern university4 48 8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中Northeastern university4 48 8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中什么叫孔口应力集中？什么叫孔口应力集中？由于开孔，孔口附近的应力将远远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力。下面用一个中心开有圆孔矩形薄板为例子来说明这个问题xyboArrqqqaNortheastern university4 48 8 圆孔的孔口集中应力圆孔的孔口集中应力问题分析：问题分析：（1 1）应该在什么坐标下求解这个问题？）应该在什么坐标下求解这个问题？（2 2）孔会

31、对应力分布会造成什么样的影响？）孔会对应力分布会造成什么样的影响？（3 3）本节和上节的问题有什么相似之处？）本节和上节的问题有什么相似之处？1 1、应力等效、应力等效由31节知道，一个两边受均布拉力的方板，板内的应力为,0 xyxyq本问题中有个孔，板内应力分布肯定会改变，咋办？Northeastern university4 48 8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中应力集中应力集中：杆件外形突然变化，而引起杆件外形突然变化，而引起局部应力局部应力急剧增大的现象。急剧增大的现象。考虑距离孔心b的一点A，ba，可以认为A点的应力分布不受孔的影响xyboArqqqa则微元上的应力：cos2

32、 ,sin2222rrr br bqqq Northeastern university4 48 8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中把应力分成两部分：把应力分成两部分：（a）（b）,02cos2 ,sin222rrr br brrr br bqqq （a）的解答）的解答2222222211,02211rraaqqrraabbba由于由于 上面的解答可近似成上面的解答可近似成 22221,1,022rrqaqarrNortheastern university4 48 8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中下面求（b）的解答cos2 ,sin222rrr br bqq （b）下面用半逆解

33、法解这个问题半逆解法的基本思路半逆解法的基本思路：1 1）针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函）针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；数形式；2 2）推出应力函数的形式；）推出应力函数的形式；3 3）代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式；）代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式；4 4）再按（）再按（2-242-24）式由应力函数求得应力分量；）式由应力函数求得应力分量；5 5）考查应力分量是否满足全部边界条件（多连体还要满足位移单值）；）考查应力分量是否满足全部边界条件（多连体还要满足位移单值）；6 6）满足是问

34、题的解，不满足重新假设求解。）满足是问题的解，不满足重新假设求解。Northeastern university4 48 8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中设应力函数： cos2f r代人相容方程： 43243223299cos20d f rd f rd f rdf rdrrdrrdrrdr删去因子 并求解这个常微分方程cos2 432Df rArBrCr 432cos2Df rArBrCr应力函数：Northeastern university4 48 8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中由应力函数求出应力分量2424224462cos26122cos22662sin2rrCDBr

35、rDArBrCDArBrr cos2 ,sin222rrr br bqq 给出边界条件0,0rrr ar a和（b）220,44qqaABCqaD Northeastern university4 48 8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中（a）的解加上（b）的解，得到齐尔西解答齐尔西解答22222224242323111 3cos22211 3cos22211 3sin22rrrqaqaarrrqaqarrqaarr 讨论：（1） ：ra1 2cos2q（2）沿y轴：242413122aaqrrNortheastern university4 48 8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集

36、中（3）沿x轴：2222312q aarr （4）应力集中图：图48Northeastern university4 48 8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中（5 5）以下情况能不能简单求解？）以下情况能不能简单求解？qqqqqqqq（1） （2）Northeastern university4 49 9 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力Northeastern university4 49 9 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力abc图图49用用半逆解法半逆解法求解怎样求解该问题？求解怎样求解该问题？量纲分析法来假设应力分量的形式：应力分量只可能是 的形式

37、。FNN：无量纲，和 有关。，Northeastern university4 49 9 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力根据应力分量的形式设应力函数 f代入相容方程求解应力函数的具体表达式 42342120d fd ffdd cossincossinfABCDcossincossinABCD应力函数的具体表达式由于cossinABAxBy应力函数的具体表达式 cossinCD（420）Northeastern university4 49 9 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力求出应力分量22222112cossin010DC 考察边界条件考察边界条件002200， ，自动满足考察边界条件集中力作用点处怎么办？根据圣维南原理：Northeastern univ