大学物理下热学 02

1、8.4 8.4 能量均分定理能量均分定理 理想气体的内能理想气体的内能 实际气体分子具有一定实际气体分子具有一定 的大小和比较复杂的结构的大小和比较复杂的结构,不能看作质点。因不能看作质点。因此，分子的运动不仅有平动此，分子的运动不仅有平动,还有转动还有转动,以及分子内原子间的振动。分子以及分子内原子间的振动。分子热运动的能量应把这些运动的能量都热运动的能量应把这些运动的能量都 包含在内。为了说明分子无规则包含在内。为了说明分子无规则运动的能量所遵从的统计规律运动的能量所遵从的统计规律,并在此基础上计算理想气体的内能并在此基础上计算理想气体的内能,下面下面将介绍力学中自由度的概念。将介绍力学中

2、自由度的概念。一、自由度一、自由度i :决定一个物体在空间的位置所需的决定一个物体在空间的位置所需的独立坐标独立坐标的个数。的个数。1.自由质点的自由度：自由质点的自由度：i=3（x、y、z）；）；2.自由刚体自由度：自由刚体自由度：i=6（x、y、z、）。）。oYXZP(x,y,z)确定刚体上某一点位置确定刚体上某一点位置:确定刚体转轴的方位确定刚体转轴的方位:确定刚体绕转轴转过的角度确定刚体绕转轴转过的角度,需要一个自由度需要一个自由度();需要二个自由度需要二个自由度(,);需要三个自由度需要三个自由度(x,y,z);vrti 自由度数目自由度数目3.气体分子模型自由度气体分子模型自由度

3、单原子分子模型单原子分子模型:质心需要三个平动自由度质心需要三个平动自由度;两原子连线方位需要二个转两原子连线方位需要二个转动自由度动自由度,一共五个自由度一共五个自由度;刚性双原子分子模型刚性双原子分子模型:弹性双原子分子模型弹性双原子分子模型:质心需要三个平动自由度质心需要三个平动自由度;两原子连线方位需要二个转动两原子连线方位需要二个转动自由度自由度,一个沿连线方位的振动自由度。一个沿连线方位的振动自由度。如氦原子如氦原子 如氧气分子如氧气分子i=t+r=3+2=5三个平动自由度三个平动自由度 i=t=3;i=t+r+s=3+2+1=6刚性三原子以上分子模型刚性三原子以上分子模型:i=t

4、+r=3+3=6OHHH2OHeO2 这说明平动自由度对能量而言是等价的。还可进一步这说明平动自由度对能量而言是等价的。还可进一步证明：证明：这就是这就是。在经在经典物理学中这一结论同样适用于液体和固体分子热运动。典物理学中这一结论同样适用于液体和固体分子热运动。kTvmvmvmvvvvvvmvmkTzyxzyxzyx21212121)(2121232222222222 ，又又 一个系统内所有分子的动能（质心系）和分子间相互一个系统内所有分子的动能（质心系）和分子间相互作用势能的总和称为系统的内能。作用势能的总和称为系统的内能。 对理想气体而言，其分子间无相互作用，其内能就是对理想气体而言，其

5、分子间无相互作用，其内能就是其所有分子动能之和。设其所有分子动能之和。设N为理想气体分子总数，则其内为理想气体分子总数，则其内能为：能为：单元子分子（单元子分子（ i=3 ）：）： 双原子分子（双原子分子（ i=5 ）：）：多原子分子（多原子分子（ i=6 ）：）：2/3kTk 2/5kTk kTk3 几种分子结构的平均总动能：几种分子结构的平均总动能：说明说明： （1）内能完全决定于分子的自由度和气体的热力学温度。内能完全决定于分子的自由度和气体的热力学温度。（2）“不计分子间的相互作用力不计分子间的相互作用力”是上述结论成立的条件。是上述结论成立的条件。（3）理想气体再不同的状态变化过程中

6、，只要温度变化量）理想气体再不同的状态变化过程中，只要温度变化量 相等，则它们的内能变化也相等，即：内能与过程无关相等，则它们的内能变化也相等，即：内能与过程无关RTiMMNENNMMNRkkTiNNEmolkAmolAk2:2 ，又又1摩尔气体的内能摩尔气体的内能( )。分子的平均平动动能分子的平均平动动能( );分子的平均总动能分子的平均总动能( );分子的平均总能量分子的平均总能量( );1摩尔气体分子的总转动动能摩尔气体分子的总转动动能( );2.写出下列各量的表达式：写出下列各量的表达式： 某种刚性双原子分子的理想气体处于温度为某种刚性双原子分子的理想气体处于温度为T的平衡态下的平衡

7、态下:1.三个容器内分别储有三个容器内分别储有1mol氦气氦气(He),1mol氢气氢气(H2),1mol氨氨气气(NH3)( 三种气体均三种气体均 视为刚性分子的理想气体视为刚性分子的理想气体),若它们的若它们的温度都升高温度都升高 1K , 则三种气体内能的增加分别是多少？则三种气体内能的增加分别是多少？思考题：思考题：(答案答案:12.5J, 20.8J, 24.9J)2/3kT2/5kT2/5kTRT2/5RT (答案答案: 1:8; 1:1; 5:24)（答案（答案: 不变不变,变变)（答案（答案:3 /5倍倍)3.有一个处于恒温条件下的容器有一个处于恒温条件下的容器,其内贮有其内贮

8、有1mol某种理想气体某种理想气体, 若容器发生缓慢漏气若容器发生缓慢漏气,试问容器内气体分子的平均平动动能是试问容器内气体分子的平均平动动能是否改变否改变?气体的内能是否改变气体的内能是否改变?4.两个容器中分别贮有理想气体氦和氧，已知氦气的压强是氧两个容器中分别贮有理想气体氦和氧，已知氦气的压强是氧气的气的1/2,氦气的容积是氧气的氦气的容积是氧气的2倍。试问氦气的内能是氧气内能倍。试问氦气的内能是氧气内能的多少倍的多少倍?5.质量相等的的理想气体氧和氦质量相等的的理想气体氧和氦,分别装分别装 在两个容积相等的容在两个容积相等的容器内器内,在温度相同的情况下在温度相同的情况下,氧和氦的压强

9、之比为氧和氦的压强之比为 ;氧氧分子和氦分子的平均平动动能之比为分子和氦分子的平均平动动能之比为 ;氧和氦内能之氧和氦内能之比为比为_.练习练习1、一容器被中间的隔板分成相等的两半、一容器被中间的隔板分成相等的两半,一半装有氦气一半装有氦气, 温度为温度为250K;另一半装有氧气另一半装有氧气,温度为温度为310K，二者压，二者压 强相等。求：去掉隔板两种气体混合后的温度。强相等。求：去掉隔板两种气体混合后的温度。混合前混合前,对于氦对于氦:由于压强相同由于压强相同:混合前混合前,对于氧对于氧:221121221111TTRTVPRTVP解：解：混混 合前的总内能合前的总内能:11221102

10、010282523RTRTRTEEE混混 合后的总内能合后的总内能:RTTTRTRTEEE1212121)2523(2523由于混合前后的总内能不变由于混合前后的总内能不变:T=284KEE 0RTTTRT12111)2523(28练习练习2:一个大热气球的容积为一个大热气球的容积为 2.110 4 m3,气球本身和负载质气球本身和负载质量共量共4.5 10 3 Kg ,若外部空气温度为若外部空气温度为20C,要想使气球上升要想使气球上升,其内部空气最低要加热到多少度其内部空气最低要加热到多少度?nkTp 标准状态下空气的密度标准状态下空气的密度:3kg/m29. 1o由于热气球内外空气压强相

11、同由于热气球内外空气压强相同(均取一个大气压均取一个大气压):ooTTT2211设热气球外空气的密度设热气球外空气的密度:1温度温度:1T设热气球内空气的密度设热气球内空气的密度:2温度温度:2T温度温度:K2730TT1T212由热气球所受浮力与负载重量平衡可得由热气球所受浮力与负载重量平衡可得:VgmgVg21mVTTToo)11(21C84o112mTTVTTVToooomgVg )(21T1T2128.5 8.5 气体分子的速率分布率气体分子的速率分布率 处于平衡态下的气体，处于平衡态下的气体，并非所有分子都以方均根并非所有分子都以方均根速率运动，方均根速率只速率运动，方均根速率只是分

12、子速率的一种统计平是分子速率的一种统计平均值，实际上个别分子的均值，实际上个别分子的速度大小和方向是毫无规速度大小和方向是毫无规则的或是偶然的，因而分则的或是偶然的，因而分子热运动速率是由子热运动速率是由0 的的连续随机变量。但就大量连续随机变量。但就大量分子整体来看，在平衡态分子整体来看，在平衡态下，它们的速率分布遵从下，它们的速率分布遵从一定的统计规律。一定的统计规律。“伽尔顿板伽尔顿板”统计规律实验图统计规律实验图: :一、测定气体分子速率分布的实验一、测定气体分子速率分布的实验lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵llvv2 1921年毕业于南京高等师范工科，年毕业

13、于南京高等师范工科，1929年自费赴年自费赴 美留学，在南加洲大学攻读物理，美留学，在南加洲大学攻读物理，1930年获硕士学位年获硕士学位 后，入旧金山柏克莱加洲大学研究院攻读博士学位，后，入旧金山柏克莱加洲大学研究院攻读博士学位， 研究课题是研究课题是“用分子束方法证明麦克斯韦波尔兹用分子束方法证明麦克斯韦波尔兹 曼分子速率分布定律实验曼分子速率分布定律实验”，1933年完成重要学术论年完成重要学术论 文文用分子束方法证明麦克斯韦波尔兹曼分子速用分子束方法证明麦克斯韦波尔兹曼分子速 率分布定律，并测定双原子的铋分子的分解热率分布定律，并测定双原子的铋分子的分解热获物获物 理学博士及美国物理学

14、会和数学学会金钥匙各一枚。理学博士及美国物理学会和数学学会金钥匙各一枚。 1933年回国，先后在武汉大学解放军第二军医大学任教，积年回国，先后在武汉大学解放军第二军医大学任教，积极从事教学、科研工作指导制成国内第一架脑电波直流放大器，装配极从事教学、科研工作指导制成国内第一架脑电波直流放大器，装配成成50万倍的场效应发射电子显微镜并与一机部、上海照相器材厂等合万倍的场效应发射电子显微镜并与一机部、上海照相器材厂等合作研制静电复印机。作研制静电复印机。1984年加入中国共产党。年加入中国共产党。1988年年3月因病逝世。月因病逝世。分子速率分布图分子速率分布图N：分子总数分子总数 为速率在为速率

15、在 区间的分子数区间的分子数.Nvvv)/(vNNovvvvS表示速率在表示速率在 区间的分子数占区间的分子数占总数的百分比总数的百分比 .NNSvvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf二、二、 分布函数分布函数SfNNdd)(dvv 表示速率在表示速率在 区间区间的分子数占总分子数的百分比的分子数占总分子数的百分比 .vvvd1d)(d00vvfNNN 归一归一化条件化条件vvv dSdv)(vfo 表示在温度为表示在温度为 T 的平衡状的平衡状态下，速率在态下，速率在 v 附近附近单位速率单位速率区间区间 的分子数占总数的百分比的分子数占总数的百分比 .v)(vfo1v

16、S2vSfNNdd)(dvvvv d)(dNfN 速率位于速率位于 内分子数内分子数vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 区间的分子数区间的分子数:21vv vvvvvvd )()(2121fNNS速率位于速率位于 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比21vv vvvde)2(4d22232kTmkTmNN22232e)2(4)(vvvkTmkTmf麦氏麦氏分布函数分布函数:三、三、 麦克斯韦气体速率分布定律麦克斯韦气体速率分布定律 反映理想气体在热动反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分分子数占总分子数的百分比的规律比

17、的规律 .vvNddNf)(v)(vfo四、四、 三种统计速率三种统计速率pv1）最概然速率最概然速率0d)(dpvvvvfmkTmkT41. 12pvmolMRT41. 1pvkNRmNMmolAA,v)(vfopvmaxf根据分布函数求得根据分布函数求得: 气体在一定温度下分气体在一定温度下分布在最概然速率布在最概然速率 附近附近单位速率间隔内的相对分单位速率间隔内的相对分子数最多子数最多 .pv物理意义物理意义NNNNNnniidddd2211vvvvv2）平均速率平均速率vNNfNNN00d)(dvvvvvmkTf8d)(0vvvvmolMRTmkT60. 160. 1vv)(vfo3

18、）方均根速率方均根速率2vmkT32vv)(vfoNNfNNN02022d)(dvvvvv2pvvvmkT32vmolMRT73. 12vmolMRT60.1vmolMRT41. 1pvmolMRT2pvmol8MRTvmolMRT32v 同一温度下不同气体同一温度下不同气体的速率分布的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfo N2 分子在不同温度下分子在不同温度下的速率分布的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfo1.气体处于平衡态时气体处于平衡态时,分子速率分布曲线如图分子速率分布曲线如图(1)所示所示,图中图中 A、B 两部分两部分的面积之比为的面积之比为1:2,则它们

19、的物理意义是什么则它们的物理意义是什么? 3.某气体分子在温度某气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度为时的方均根速率等于温度为T2时的平均速率时的平均速率,则该二则该二温度之比为温度之比为T2/T1=?2.在图在图(2)中中, 两条曲线分别表示相同温度下两条曲线分别表示相同温度下, 氢气和氧气分子的速率分氢气和氧气分子的速率分布曲线布曲线,则则a表示什么表示什么 气体分子的速率分布曲线气体分子的速率分布曲线;b表示什么表示什么 气体分子的气体分子的速率分布曲线速率分布曲线, 又氧气分子和氢气分子的最概然速率之比为又氧气分子和氢气分子的最概然速率之比为 vpO2:vpH2 =? 图图(2)f

20、（v）voabf（v）vo图图(1)ABvp(答案答案:3:8)(答案答案:氧氧;氢氢;1:4)练习练习1、N个假象的气体分子，其速率分布如图所示个假象的气体分子，其速率分布如图所示 （当（当v2v0时，粒子数为零）。时，粒子数为零）。 （1）由）由N 和和 v0 求求a=? （2）求：速率在）求：速率在1.5v0到到2.0v0之间的分子数。之间的分子数。 （3）求：分子的平均速率。）求：分子的平均速率。Nf(v)v02v0a0v解：解：00000220)(vvovvvNavvvNvavf利用归一条件：利用归一条件：1)(0dvvf1)(0002000dvNadvvNvadvvfvvv032v

21、Na 321)(025 . 125 . 10000NavadvdvvNfNvvvv022000911)(0000vdvvNadvvNvadvvvfvvvvCNdvdNvf)(练习练习2:有有N个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为)0(0 vv)(0vv 0)(vf（1）作速率分布曲线）作速率分布曲线（2）由）由 vo求常求常 数数C（3）求粒子的平均速率）求粒子的平均速率f（v）vovo（1）速率分布曲线）速率分布曲线（2）由归一化条件）由归一化条件（3）粒子的平均速率）粒子的平均速率0)(dvvf10ovCvCdvoovC/1dvvvfv)(0CvvCdvov20021oovvv

22、2112120解：解：8.6 气体分子的平均自由程与平均碰撞次数气体分子的平均自由程与平均碰撞次数每两次连续碰撞之间每两次连续碰撞之间一个分子自由运动的平均一个分子自由运动的平均路程。路程。一、一、 平均自由程平均自由程：单位时间内一个分单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平子和其它分子碰撞的平均次数。均次数。二、平均碰撞频率二、平均碰撞频率Z：设分子的平均速率为设分子的平均速率为 vzvddd围绕分子的中心围绕分子的中心,以以 d为半径画出的球叫做分子的作用球。为半径画出的球叫做分子的作用球。(1)假定每个分子都是直径为假定每个分子都是直径为d 的刚性小球的刚性小球;(2)假定一个假定一个A分子以相对速率分子以相对速率 u 运动运动,其它分子都静止不动其它分子都静止不动;当当A分子与其它分子作一次弹性碰撞时分子与其它分子作一