大学物理第四章-刚体力学

1、第四章第四章. . 刚体力学刚体力学 质量连续分布的质点系统，采用微质量连续分布的质点系统，采用微积分方法，刚体分割为无数质量为积分方法，刚体分割为无数质量为 dm dm 的质点系。的质点系。4- 1 刚体的运动学刚体的运动学1. 1. 刚体刚体 刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。* 刚体研究方法：刚体研究方法：* 刚体微元质量刚体微元质量刚体质量刚体质量体体分布分布dVdVdmV刚体质量刚体质量面面分布分布dSdSdms刚体质量刚体质量线线分布分布dl

2、dldml4- 1 刚体的运动学刚体的运动学2. 2. 平动和转动平动和转动 刚体最基本的运动形式是刚体最基本的运动形式是平动平动和和转动转动。 如果刚体在运动中，连接刚体上任意两点的直线如果刚体在运动中，连接刚体上任意两点的直线在各时刻始终保持彼此平行，这种运动叫平动。在各时刻始终保持彼此平行，这种运动叫平动。 刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所质点的质点的位移位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的点的速度速度和和加速度加速度也都是相同的。所以也都是相同的。所以刚体内任何刚体内任何一个质点的运动一个质点的运动

3、，都可代表整个刚体的运动，都可代表整个刚体的运动。bca平动和转动平动和转动bcabcab平动和转动bca平动和转动bca平动和转动bca平动和转动bca平动和转动bca平动和转动bca平动和转动 如果刚体上所有质元都绕同一直线作圆周运动，如果刚体上所有质元都绕同一直线作圆周运动，则称为刚体的则称为刚体的转动转动，这一直线就叫做，这一直线就叫做转轴转轴。 平动和转动定轴转动：定轴转动： 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。 刚体的一般运动刚体的一般运动平动平动绕某心的转动绕某心的转动

4、+定轴转动特点：特点： 质点在垂直转轴的平面内做圆周运动；质点在垂直转轴的平面内做圆周运动；角位移，角速度和角加速度均相同。角位移，角速度和角加速度均相同。刚体的定轴转动刚体的定轴转动角位移角位移角速度角速度角加速度角加速度tddtddz1o2oAABB1r2r4. 4. 角速度矢量角速度矢量角速度 角速度的方向：与刚体转动方向呈角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。右手螺旋关系。角速度矢量角速度矢量 在定轴转动中，角速度的方向沿在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。转轴方向。与转轴正向相同为正，否与转轴正向相同为正，否则为负。则为负。* 匀变速转动匀变速转动: 刚体绕定轴转动的角加速度

5、为恒量。刚体绕定轴转动的角加速度为恒量。 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt角速度5. 5. 线量线量xz转动平面转动平面参考轴参考轴imiriv线速度线速度iirv大小大小iirv 切向加速度切向加速度iirdtdva22iiinrrva法向加速度法向加速度irvanaa例例4-1 4-1 一飞轮转速一飞轮转速n= =1500r/min，受到制动后均匀地减，受到制动后均匀地减速，经速，经t t=50s=50s后静止。后静止。（1 1）求角加速度求角加速度和飞

6、轮从制动和飞轮从制动开始到静止所转过的转数开始到静止所转过的转数N；（2 2）求制动开始后求制动开始后t=25=25s 时飞轮的角速度时飞轮的角速度 ；（3 3）设飞轮的半径设飞轮的半径r =1=1m，求在，求在t =25=25s 时边缘上一点的速度和加速度。时边缘上一点的速度和加速度。角速度 0O解解：（1 1）设初角度为）设初角度为 0 0方向如图所示，方向如图所示， 0 0=2=21500/60=501500/60=50 rad/s已知已知t=50=50S 时刻时刻 =0 =0 ，代入方程代入方程 = = 0+t 得得220/14. 3/5050sradsradt角速度 从开始制动到静止

7、，飞轮的角位移从开始制动到静止，飞轮的角位移 radatt125021200转6252N转数转数N 为为（2 2）求制动开始后）求制动开始后t=25=25s 时飞轮的角速度时飞轮的角速度 ；sradsradsradt/5 .78/25/25500 的方向与的方向与 0 0相同相同 ； 0O角速度smrvv/5 .78 0vanatarO（3）设飞轮的半径）设飞轮的半径r=1m，求在，求在t=25s 时边缘上一点时边缘上一点的速度和加速度。的速度和加速度。 t t=25=25s 时飞轮边缘上一点时飞轮边缘上一点P 的速度的速度rv 的方向垂直于的方向垂直于 和和 构成的平面。构成的平面。vr切向

8、加速度切向加速度2/14. 3smrat向心加速度向心加速度232/1016. 6smran 边缘上该点的加速度边缘上该点的加速度 ，其中其中 的方向与的方向与 的方向的方向相反相反， 的方向指向轴心，的方向指向轴心， 的大小为的大小为aaanavana角速度23222322/1016.6/14.3)1016.6(smsmaaant 的方向几乎和的方向几乎和 相同。相同。ana 的大小为的大小为a例例4-2 4-2 一飞轮在时间一飞轮在时间t t内转过角度内转过角度 at+bt3-ct4 , ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。解：解：飞轮上某点角位置可用

9、飞轮上某点角位置可用 表示为表示为 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4将此式对将此式对t t求导数，即得飞轮角速度的表达式为求导数，即得飞轮角速度的表达式为324343)(ctbtactbtatdtd角加速度是角速度角加速度是角速度对对t t的导数，因此得的导数，因此得232126)43(ctbtctbtadtddtda由此可见飞轮作的是变加速转动。由此可见飞轮作的是变加速转动。角速度4-2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律Z转动平面rAFMrFMZM 沿沿Z Z 轴分量为轴分量为 对对Z Z 轴力矩轴力矩ZMMFsinrFM FrM对对O O 点的力矩点的力矩：F1.1.力矩力矩O

10、 力不在转动平面内力不在转动平面内 力不在转动平面内力不在转动平面内 注：注：在定轴动问题中，如不加说在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。内的分力对转轴的力矩。FrM 只能引起轴的只能引起轴的变形变形, 对转动无贡献对转动无贡献。1Fr转动平面1FF2F)(21FFr21FrFrr力矩力矩Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢 . FrFrM

11、 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 FM4-24-2刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律力矩力矩zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩zFF3） 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消fdMMjiijjririjijfjifdOijMjiM4）在转轴方向确定后，力对

12、转轴的力矩方向可用在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用+ +、- -号表示。号表示。2. 2. 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量iiiivrmLOzimiriviL 刚体上质元刚体上质元 相对于转轴相对于转轴的角动量为的角动量为im 是质元是质元 到转轴的距离。到转轴的距离。 imir2iirm整个刚体对转轴的角动量为：整个刚体对转轴的角动量为：2iiizrmLL2iirm定义：定义：刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量2iirmJ角动量角动量JLz刚体的角动量dtLdM外JLz刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量质点系的角动量定理质点系的角动量定理dtdLMzzdtJddtd

13、JJ 刚体绕某一定轴转动，它受的合外力矩等于刚体刚体绕某一定轴转动，它受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。的转动惯量与角加速度的乘积。dtdLM 3. 3. 转动惯量转动惯量J J2iirmJdmr2 是质元是质元 到转轴的距离。到转轴的距离。 dmr 转动惯量的转动惯量的大小取决于刚体的大小取决于刚体的质量质量、形状形状及及转轴转轴的位置的位置 .注意注意例例4-3 4-3 求质量为求质量为m m、长为、长为 l l 的均匀细棒对下面三种转的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：轴的转动惯量：（1 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2 2）转轴通过棒的一端

14、并和棒垂直转轴通过棒的一端并和棒垂直; ;（3 3）转轴通过转轴通过棒上距中心为棒上距中心为h h的一点并和棒垂直。的一点并和棒垂直。l/2l/2OxdxlOxdxAlxdxAABh解解 （1 1）在棒上离轴）在棒上离轴x 处，取一长度元处，取一长度元d dx，如棒的质，如棒的质量线密度为量线密度为 ，这长度元的质量为，这长度元的质量为d dm= = d dx。转动惯量的计算xxmrJllodd2/2/22l/2l/2OxdxA当转轴通过中心并和棒垂直时当转轴通过中心并和棒垂直时123lml 2121mlJ 转动惯量的计算（2 2）当转轴通过棒的一端）当转轴通过棒的一端A A并和并和棒垂直时棒

15、垂直时3323mlllxdxAdxxJlA02lOxdxABh（3 3）当转轴通过棒上距中心为）当转轴通过棒上距中心为h h的的B B点并和棒垂直时点并和棒垂直时222/2/212mhmldxxJhlhlB 这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。转动惯量并不相同。例例求均质圆盘求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的转过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量动惯量 .解解242121mRhR xyzrdr盘由许多环组成盘由许多环组成 mrIdd2 mrId2 rhrrd22 Rrrh03d2 tJJMdd4. 4. 刚体定轴转动的应用

16、刚体定轴转动的应用讨论：讨论： 转动惯量是转动惯性大小的量度；转动惯量是转动惯性大小的量度；（1） M M 一定，一定，J J（3 3）J J 和质量分布有关；和质量分布有关；J 和转轴有关，同一个物体和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转动惯量不同。对不同转轴的转动惯量不同。 （2 2）M M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正；为正；（4 4）分析问题，选定转轴正方向；对于质点）分析问题，选定转轴正方向；对于质点- -刚体组成的刚体组成的系统，质点运动正方向选择要与刚体转动正方向自洽系统，质点运动正方向选择要与刚体转动正方向自洽。 （5

17、5）对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律。）对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律。 （6 6）列出关联方程，一般在质点加速度与刚体角加速度）列出关联方程，一般在质点加速度与刚体角加速度之间寻找。之间寻找。 例题例题4-5 4-5 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为端分别悬有质量为m1和和m2的物体的物体1 1和和2 2，m1m1，物体，物体1 1向上运动，物体向上运动，物体2 2向下运动，滑轮以顺向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，时针方向旋转，Mf f的指向如图所示。可列出下列方程的指向如图所示。可列出下列方程从以上各式即可解得从

18、以上各式即可解得 式中式中 是滑轮的角加速度，是滑轮的角加速度，a是是物体的加速度。滑轮边缘上的切向物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即加速度和物体的加速度相等，即ra 定轴转动定律定轴转动定律T2 T1 T1T2G2G1aam1m2MfJMrTrTf12amTG222amGT111ra mmmrMgmmrJmmrMgmmaff21121221212 /mmmrMgmmaf21/1212 mmmrMgmmmagmTf21212121212 / mmmrMgmmmagmTf21212122111 /而而定轴转动定律定轴转动定律 rmmmrMgmmraf 211212/当不计

19、滑轮质量及摩擦阻力矩即令当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M =0=0时，有时，有gmmmmTT1221212gmmmma1212 上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度量重力加速度g g的简单装置。因为在已知的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和和J的情况下，能通过实验测出物体的情况下，能通过实验测出物体1 1和和2 2的加速度的加速度a，再通过加速度把再通过加速度把g g算出来。在实验中可使两物体的算出来。在实验中可使两物体的m1和和m2相近，从而使它们的加速度相近，从而使它们的加速度a和速度和速度v都较小，都较小，这样就能

20、较精确地测出这样就能较精确地测出a来。来。定轴转动定律定轴转动定律例题例题4-6 4-6 一半径为一半径为R R，质量为，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最，令圆盘最初以角速度初以角速度 0 0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？经过多少时间才停止转动？R edrrd 解解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法

21、。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量的质量dm= rd dre，所受到的阻力矩是，所受到的阻力矩是r dmg 。定轴转动定律定轴转动定律此处此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是2002RdrrdegdrredrgdmgrM因因m= e R2，代入得，代入得mgRM32 根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度的角加速度.定轴转动定律定轴转动定律R edrrd 332RegdtdmRJmgR22132dtdRg2132设圆盘经过时间设圆盘经过时间t t停

22、止转动，则有停止转动，则有0002132dRdtgt由此求得由此求得043gRt 定轴转动定律定轴转动定律Rdgdt21324-3 定轴转动中的功和能定轴转动中的功和能 1.1.力矩的功力矩的功 力力 对对P 点作功：点作功：FrFddAsindsF2cosdsFddrs 00 drFrdP因因MFrsinddMA 0ddMMA力矩作功：力矩作功：im力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功,动能动能,动能定理动能定理.力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功,转动动能转动动能,动能定理动能定理.力矩的功力矩的功2. 2. 刚体的转动动能刚体的转动动能 刚体的转动动能应该是

23、组成刚体的各个质点的动刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。能之和。221iikivmE 设刚体中第设刚体中第i i个质点的质量为个质点的质量为 ，速度为，速度为 , ,则该质点的动能为：则该质点的动能为：imiv 刚体做定轴转动时，各质点的角速度刚体做定轴转动时，各质点的角速度 相同。设质相同。设质点点 离轴的垂直距离为离轴的垂直距离为 ，则它的线速度，则它的线速度imiriirv 则该质点的动能为则该质点的动能为222121iiiikirmvmE因此整个刚体的动能因此整个刚体的动能221iiKvmE 2221 iirm221J刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的转动动能。刚体因

24、转动而具有的动能，因此叫刚体的转动动能。222121iiiikirmvmE区别区别：平动：平动动能平动：平动动能 221mv线动量线动量mv转动：转动动能转动：转动动能 221J角动量角动量J转动惯量是转动中惯性大小的量度转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。3.3.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理JdtdM 外力矩所做元功为：外力矩所做元功为：MddA总外力矩对刚体所作的功为：总外力矩对刚体所作的功为： 212221212121JJdJMdA 物体在物体在 时间内转过角位移时间内转过角位移 时时tdtdd刚体定轴转动的动能定理：总

25、外力矩对刚体所做的功刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。等于刚体转动动能的增量。dJdtddJdtdJd221JE cpmghE 表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。中在质心时所具有的势能一样。4.4.刚体的重力势能刚体的重力势能即：即：iiiiphmgghmE质心高度为：质心高度为：mhmhiic 对于一个不太大的质量为对于一个不太大的质量为 的物体，它的重力的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。m轴和棒之间没有摩擦力

26、；轴和棒之间没有摩擦力；例题例题4-7 一根质量为一根质量为m、长为、长为 l 的均匀细棒的均匀细棒OA，可绕通，可绕通过其一端的光滑轴过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中点位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中点C和和端点端点A的速度。的速度。G AA O 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 N解：先对细棒解：先对细棒OA所受的力作一所受的力作一分析；分析；G重力重力 , ,作用在棒的中心点作用在棒的中心点C C，方向竖直向下；方向竖直向下；N轴对棒作用的支承力轴对棒作用的支承力 ，垂直，垂直于棒和轴的

27、接触面且通过于棒和轴的接触面且通过O O点点，在棒的下摆过程中，此力的，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变的。方向和大小是随时改变的。 支撑力支撑力N N的力矩等于零的力矩等于零重力重力G G的力矩则是变力矩，大小为：的力矩则是变力矩，大小为：dlmgdMdAGcos2在使棒从水平位置下摆到竖直位置过在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是程中，重力矩所作的功是2cos220lmgdlmgdAA应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重力势能的差值来表示。用重力势能的差值来表示。定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 棒转过一

28、极小的角位移棒转过一极小的角位移d d 时，重力时，重力矩所作的元功是矩所作的元功是cos2lmgMGG AA O N2212JlmgA由此得由此得Jmgl代入上式得代入上式得因因231mlJ lg3所以细棒在竖直位置时，端点所以细棒在竖直位置时，端点A A和中心点和中心点C C的速度的速度分别为分别为gllvA3gllvC3212定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 棒在水平位置时的角速度棒在水平位置时的角速度 0 00 0，下摆到竖直位置时的，下摆到竖直位置时的角速度为角速度为 ，根据刚体定轴转动的动能定理得，根据刚体定轴转动的动能定理得G AA O N 刚体在一段时间内所受的冲量矩等于刚

29、体在这段刚体在一段时间内所受的冲量矩等于刚体在这段时间内角动量的增量。时间内角动量的增量。4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律1. 1. 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理刚体定轴转动定理：刚体定轴转动定理：JdtddtdLM00dJJtMtttttM0d为为 时间内力矩时间内力矩M M 对给定轴的冲量矩。对给定轴的冲量矩。0ttt角动量定理的积分形式：角动量定理的积分形式：在外力矩作用下，从在外力矩作用下，从tt 0角动量角动量00JL 变为变为JL ， 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、冲量矩、角动量、角动量定理角动量定理. 力

30、的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理. 分离变量得分离变量得JddLMdt2. 2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 角动量守恒定律：角动量守恒定律：刚体（或质点系）对某一定轴所刚体（或质点系）对某一定轴所受合外力矩为零，则它对这一固定轴的角动量保持不变受合外力矩为零，则它对这一固定轴的角动量保持不变JL恒量恒量讨论：讨论： a. .对于绕固定转轴转动的刚体，若对于绕固定转轴转动的刚体，若J J 保持不变，保持不变，当合外力矩为零时，其当合外力矩为零时，其角速度角速度恒定。恒定。时，当0M时，当0MJ= =恒量恒量= =恒量恒量00

31、dJJtMtt角动量定理角动量定理若若J J 变：变：J 增大则增大则变小；变小； J变小则变小则增大；增大；b. .若系统由若干个刚体构成若系统由若干个刚体构成, ,当合外力矩为零时当合外力矩为零时, ,系系 统的角动量依然守恒。统的角动量依然守恒。时，当0M恒量2211JJLc.c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一轴若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一轴的合外力矩为零的合外力矩为零, ,则系统对该轴的角动量守恒。则系统对该轴的角动量守恒。定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律当滑冰、跳水、体操当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅运动员在空中为了迅速翻转也总

32、是曲体、速翻转也总是曲体、减小转动惯量、增加减小转动惯量、增加角速度。当落地时则角速度。当落地时则总是伸直身体、增大总是伸直身体、增大转动惯量、使身体平转动惯量、使身体平稳落地。稳落地。直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动txvdd22ddddtxtvatdd22ddddttmvP 221mvEKJL 221JEKFmMJxFAddtF dddMA tM dmaF JM 0dPPtF0dLLtM2022121dmvmvxF2022121dJJM定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律例题例题4-8 4-8

33、一匀质细棒长为一匀质细棒长为l，质量为，质量为m，可绕通过其端点，可绕通过其端点O的水平轴的水平轴转动。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面转动。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为上的物体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心而停止。求相撞后棒的质心C离地离地面的最大高度面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。解：解： 这个问题可分为三个阶段进这个问题可分为三个阶段

34、进行分析。第一阶段是行分析。第一阶段是棒自由摆落棒自由摆落的过程的过程。CO定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律2223121212mlJlmg（1 1） 这时除重力外，其余内力这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所以与外力都不作功，所以机械能守机械能守恒恒。 我们把棒在竖直位置时质心所我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能零点，用在处取为势能零点，用表示棒表示棒这时的角速度这时的角速度, ,则则2223121212mlJlmg（1 1）第二阶段是第二阶段是碰撞过程碰撞过程。（2 2） 223131mlmvlml 式中式中 棒在碰撞后的角速度，它可正可负。棒在碰撞后的角速

35、度，它可正可负。 取取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律CO因碰撞时间极短，冲力极大，物体虽然受因碰撞时间极短，冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的的外力矩为零，所以，这个系统的对对O轴的轴的角动量守恒角动量守恒。我们用。我们用v表示物体碰表示物体碰撞后的速度，则撞后的速度，则第三阶段是物体在碰撞后的第三阶段是物体在碰撞后的

36、滑行过程滑行过程。物体作匀减。物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为mamg （3 3）由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得asv202gsv 22 （4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）与（）与（4 4）联合求解，即得）联合求解，即得 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律CO2223121212mlJlmg（1 1）（2 2） 223131mlmvlmllgsgl233（1 1）、（）、（2 2）与（）与（4 4）联合求解，即得）联合求解，即得CO当当 取正值，则棒向左摆，其条件为取正值，则棒向左摆

37、，其条件为0233 gsgl 亦即亦即l l66 s；当当 取负值，则棒向右摆，其条件为取负值，则棒向右摆，其条件为0233 gsgl 亦即亦即l 6 s棒的质心棒的质心C C上升的最大高度上升的最大高度: : 碰撞后棒上升过程与第一阶碰撞后棒上升过程与第一阶段情况相似，机械能守恒。段情况相似，机械能守恒。(6)(6)223121mlmghslslh632例题例题4-12 4-12 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。以相同的转速一起转动。A和和B两飞轮的轴杆在同一两飞轮的轴杆在同一中心线上，中心线上，A轮的转动惯量为轮的转动惯量为JA=1

38、0kg m2，B B的转动惯的转动惯量为量为JB=20kg m2 。开始时。开始时A A轮的转速为轮的转速为600r/min，B轮轮静止。静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？合过程中，两轮的机械能有何变化？ A ACBACB定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 以飞轮以飞轮A A、B B和啮合器和啮合器C C作为一系统来考虑，在啮合过程作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有

39、力矩，但为系统的内力矩。对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒角动量守恒。解：按角动量守恒定律可得解：按角动量守恒定律可得BABBAAJJJJ 为两轮啮合后共同转动的角速度。为两轮啮合后共同转动的角速度。BABBAAJJJJ以各量的数值代入得以各量的数值代入得srad /9.20 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 ACB解得解得 在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为恒，部分机械能将转化为热

40、量，损失的机械能为222212121BABAJJJJEBAJ41032. 1例例4-13 一长为一长为l 、质量为、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴的匀质细杆，可绕光滑轴O 在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子的子弹水平射入与轴相距为弹水平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到杆能偏转到 =600，求子弹的初速，求子弹的初速v0。解：分两个阶段进行考虑解：分两个阶段进行考虑avmL000JL 22031mlamJ其中其中a0m(1)子弹射入细杆子弹射入细杆,使细杆获得使细杆获得初速度。因这一过程进行得初速度。因这一过程进行得很快很快,细杆发生偏转极小细杆发生偏转极小,可认可认为杆仍处于竖直状态。子弹为杆仍处于竖直状态。子弹和细杆组成系统和细杆组成系统,无外力矩无外力矩,满满足足角动量守恒角动