大学物理 第三章 刚体的定轴转动

1、第三章第三章刚体的定轴转动刚体的定轴转动3-0 3-0 第三章教学基本要求第三章教学基本要求3-1 3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律刚体定轴转动的动能定理和转动定律3-2 3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念. .二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概 念念 (72(72学时不要求用积分计算转动学时不要求用积分计算转动惯量惯量) .) .三、理解刚体定轴转动的动能

2、定理和刚体服从质点组的功能转换关系三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转换关系. .四、理解刚体定轴转动定律四、理解刚体定轴转动定律. .五、理解角动量的概念五、理解角动量的概念, , 理解刚体定轴转动的角动量守恒定律理解刚体定轴转动的角动量守恒定律. .七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转动的运动学公式计算质点刚体系统七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题的简单动力学问题. .六、会计算力矩的功六、会计算力矩的功 (72(72学时只限于恒定力矩的功学时只限于恒定力矩的功) ) 、定轴转动刚体的转动

3、动能和对轴的角动量、定轴转动刚体的转动动能和对轴的角动量. . 八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. . 明确选择分析解决质点刚体系统力明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序学问题规律时的优先考虑顺序. . 预习要点预习要点注意描述刚体定轴转动的运动学方法注意描述刚体定轴转动的运动学方法.阅读附录阅读附录1中矢量乘法中矢量乘法. 力对转轴的力矩如何计算力对转轴的力矩如何计算?领会刚体定轴转动的动能定理的意义领会刚体定轴转动的动能定理的意义. 注意区分平动动能和转动动能的计算式注意区分平动动能和转动动能的

4、计算式. 注意力矩的功的计算方法注意力矩的功的计算方法.转动惯量的定义是什么转动惯量的定义是什么? 转动惯量与哪些因素有关转动惯量与哪些因素有关?1.刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意它的应用方法注意它的应用方法. 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体（任意两质点间距离：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）保持不变的特殊质点组）.刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动 . 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同. 转动：刚体

5、中所有的点都绕同一直线作圆周运动转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动. 转动分定轴转动和非定轴转动转动分定轴转动和非定轴转动. 转轴不动转轴不动, 刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；垂直于转轴的平面叫转动平刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；垂直于转轴的平面叫转动平面面.任意点任意点P绕同一轴作圆周运动。绕同一轴作圆周运动。特点：特点：BABAAB /ABp转轴转轴A B BA)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标tttddlim0角速度角速度角加速度角加速度tddxz)(tO 定轴定轴(Oz轴轴)条件下，由条件下，由Oz轴正向俯视，逆时针转向的轴正向俯视，逆时针转向的 取正，顺时针取

6、正，顺时针取负取负.、中学的表达式：中学的表达式：FdM MrF o对对O点的力矩点的力矩 sinFr FrM M作用点作用点P： FFF/只有只有 使刚体绕使刚体绕Z轴转动轴转动F FrMZdFrFMZ sinZM可取正负可取正负：1.力矩方向，沿力矩方向，沿Z轴为正，满足右手关系轴为正，满足右手关系.2.总力矩总力矩 (代数和代数和) ZiZMMzodpZMr F/FF Pz*OFdFrMsinMFrd( :力臂力臂)d 刚体绕刚体绕Oz轴旋转轴旋转, O为轴与转动平面的交为轴与转动平面的交点，力点，力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动平面内且在转动平面内, 为由点为由点O

7、到力的作用点到力的作用点 P 的位矢的位矢. Fr 对转轴对转轴z的力矩的力矩 F1. 力矩力矩 MsFrFWdcosdd21dMW力矩的功力矩的功2. 力矩作功力矩作功 orvFxvFOxrtFrdddsindFrM设外力垂直于设外力垂直于Z轴轴 cosdddiiiirFrFA 2 ii sincos ddsindiiiiiMrFA 000d iiiMAF做做功功当当 000dddMMMAAiiizopiriFi d ddMA 1. 1. 转动动能转动动能2ivim21刚体内部质量为刚体内部质量为 的质量元的速度为的质量元的速度为 imirivniiirm122)(212222211k212

8、121nnmmmEvvvniim1212iv动能为动能为刚体定轴转动的总能量（转动动能）刚体定轴转动的总能量（转动动能）ni2ii)(rm121niiirmJ12定义定义转动惯量转动惯量niiirm12相当于描写转动惯性的物理量相当于描写转动惯性的物理量. .2. 2. 转动惯量转动惯量单位：单位：kg m2（千克（千克 米米2）.2k21JE刚体定轴转动动能计算式：刚体定轴转动动能计算式： 对质量连续分布的刚体，任取质量元对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的距离为其到轴的距离为r，则，则转动惯量转动惯量mrJd2与平动动能与平动动能2k21vmEniiirmE122k)(21比较转

9、动动能比较转动动能定义式：定义式： iimrJ2当刚体质量连续分布时：当刚体质量连续分布时： mrJd2 lSVmdddd 其中：其中：平动、转动的类比：平动、转动的类比： JJmvmv;21;21221. 转动惯量是转动惯性大小的量度转动惯量是转动惯性大小的量度 (kgm2)2. 转动惯量转动惯量决定决定于刚体对轴的总质量及对轴的质量分布于刚体对轴的总质量及对轴的质量分布.3. 同一刚体对不同的轴的转动惯量一般是不相同的同一刚体对不同的轴的转动惯量一般是不相同的.)(2iiimrJ mrJdd2 ：质量为：质量为m，长为，长为L的均匀细棒对某轴的转动惯量。的均匀细棒对某轴的转动惯量。1.解：

10、解： mxJdd22222121dmLxxLmJLL 2.解：解：20231dmLxxLmJL Oxxmdd xOxmdxL xxd2 xLmxd2)d2(20 LIJ或或：求密度均匀圆盘：求密度均匀圆盘(R、m)对垂直盘面的中心轴的转动惯量对垂直盘面的中心轴的转动惯量.解解：2Rm mrJdd220321d2mRrrJR ：圆环：圆环(R1, R2, m)，对垂直盘面的中心轴的转动惯量对垂直盘面的中心轴的转动惯量.解解：)(2122RRm )(21d22221321RRmrrJRR 本题还可以应用本题还可以应用“负负”质量法求解。质量法求解。mrRdr质量面密度质量面密度m1R2Rrrrd2

11、2 rrd例例：组合体的转动惯量：组合体的转动惯量： 1. 匀质杆与质点球，匀质杆与质点球， 2 . 匀质盘匀质盘+匀质盘（如滑轮组）匀质盘（如滑轮组）解：解：1.22)2(121LmMLJ 2.2222112121RmRmJ 组合体对某定轴的组合体对某定轴的 J，等于各刚体对同一转轴，等于各刚体对同一转轴 J 之之和。和。常见的刚体转动惯量见表常见的刚体转动惯量见表4.1Mm2L2L11, mR22, mRRr)(222rRMJ R2RMJ R2R2MJ R2R2MJ RL22MRJ RL12422MLMRJ 2R52MR2J 2R322MRJ lrrJ02d32/02121d2lrrJl2

12、31ml 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 rr,mddrrmrJddd22 求质量为求质量为m、长为、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点并与棒垂直的两轴的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量的转动惯量.lO Ordrrd2l2lO O2121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒 刚体的转动惯量与刚体的刚体的转动惯量与刚体的质量质量m、刚体的、刚体的质量分布质量分布和和转轴的位置转轴的位置有关有关.3. 3. 转动惯量的计算举例转动惯量的计算举例4. 4. 部分均匀刚体的转动惯量部分均匀刚体的转动惯

13、量 薄圆盘转轴通过中心与盘面薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直垂直221mrJ2r球体转轴沿直径球体转轴沿直径522mrJl 细棒转轴通过中心与棒垂细棒转轴通过中心与棒垂直直122mlJl 细棒转轴通过端点与棒垂细棒转轴通过端点与棒垂直直32mlJ 刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体做定轴转动时，质点间无相对刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的变化只位移，质点间内力不作功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的变化只有定轴转动动能的变化有定轴转动动能的变化.由质点组动能定理由质点组动能定理0

14、kkinexEEWW, 0inW0dexMW20k02k21,21JEJE 合外力矩合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量增量.得刚体定轴转动的动能定理得刚体定轴转动的动能定理2022121d0JJMW注意注意: 2. 刚体的定轴转动的动能应用刚体的定轴转动的动能应用 计算计算.2k21JE1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能原理和机械能转换与如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论守恒定律讨论. 总之，刚体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系总之，刚体作为特殊

15、的质点组，它服从质点组的功能转换关系.21222121d21JJMW由动能定理：由动能定理：取微分形式：取微分形式：d)21(dd2JJM两边除两边除dtdtdddJtM由于由于ttdd,dd故得故得JtJMdd 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，：刚体作定轴转动时，合外力矩合外力矩等于刚体的转动惯量与角加等于刚体的转动惯量与角加速度的速度的乘积乘积. . 如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物体作定轴转动，处理此问题如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法仍然可以应用隔离法. . 但应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动但应分清

16、哪些物体作平动，哪些物体作转动. . 把平动物体把平动物体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把定轴转动物体隔离出来，按转隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方程动定律写出其动力学方程. . 有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公式补有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公式补充方程，然后对这些方程综合求解充方程，然后对这些方程综合求解. .例例: :一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和和m2的物体，滑轮的物体，滑轮可视为均质圆盘，可视为均质圆盘， 质量为质

17、量为m，半径为，半径为r，绳子，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对滑动不可伸长而且与滑轮之间无相对滑动. .求求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张力物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张力. .受力图如下，受力图如下，T1Fgm1T2Fa12mm设设T2Fgm2aT1Formm1m2JRFRFT1T2amFgm2T22amgmF11T1ra 解解: :得解得解,21)(2112mmmgmmarmmmgmm)21()(2112,21)212(21211mmmgmmmFTmmmgmmmFT21)212(21122221MrJ 2022-6-1631(1)A下滑的加速度;例：已知:如图,m =

18、2.0kg, R = 0.5 m, k =20N/m,J=7.5kgm2 , =37.不计摩擦. 当弹簧无形变时将A由静止释放.求(2)A下滑的最大速率;(3)A下滑的最大距离;A :B :C :kxT 2 JRTT )(21;sin1maTmg 联立求解,得:2sm44 . 2xa 解法1:(1)受力分析如图,取弹簧为原长时物体A位置为原点.当A下滑x 时,有:AmT1mgT1T2B Ra A =37RBCmkOx分析:题目所属范围.2022-6-1632(2)当0;0 a时, A的速率maxvv ;ddddxvvtva (也可用驻点法求极值得到)sm2 . 1max v 设:A由静止释放沿

19、斜面下滑的最大距离为 S ,则以A,B,C为系统,其机械能守恒.得0sin212 mgsks得m2 . 1 s2224 . 221xxv A =37RBCmkOx或EP=02022-6-1633又解(能量微分法):0sin212121222 mgxJmvkx sin)(2mgaRJmkx 可得:2sm44 . 2xa A下滑x时:以原点为势能零点.以A,B,C,地球,斜面为系统,机械能守恒.A =37RBCmkOxEP=00sin2212212212 mgvRvaJvamxvk:ddt 1）系统对轴的转动惯量）系统对轴的转动惯量J是杆的转动惯量是杆的转动惯量J1与小球的转动与小球的转动惯量惯量

20、J2之和之和.o例例: 一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以不计的小球，另一端可绕水平一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以不计的小球，另一端可绕水平转轴转动转轴转动. 某瞬时细杆在竖直面内绕轴转动的角速度为某瞬时细杆在竖直面内绕轴转动的角速度为 ，杆与竖直轴的夹角为，杆与竖直轴的夹角为 . 设杆的质量为设杆的质量为 、杆长为、杆长为 l，小球的质量为小球的质量为 .1m2m求：求： 1）系统对轴的转动惯量；）系统对轴的转动惯量； 2）在图示位置系统的转动动能；）在图示位置系统的转动动能； 3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩）在图示位置系统所受重力对轴的力矩.gm1gm2解解:

21、l21JJJ22231lmml2231lmm)(2）系统的转动动能为：）系统的转动动能为：2k21JE22213121lmm)(3）系统所受重力有杆的中立和小球的重力）系统所受重力有杆的中立和小球的重力.则系统所受重力对轴的力矩的大小为：则系统所受重力对轴的力矩的大小为：21MMMgmlgmsinsin212glmmsin)(2121ogm1l预习要点预习要点认识质点对定点的动量矩的定义，认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动量矩如何计算刚体对转轴的动量矩如何计算?刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是怎样的刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是怎样的?1.动量矩守恒定律的

22、内容及守恒定律的条件是什么动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?1. 质点的质点的vvmrprL0vr0L0Lrxyzom 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，在空间运动，某时刻相对原点某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于，质点相对于原点的角动量原点的角动量mrvrmLsin0v大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.0L单位单位 或或12smkgsJ 质点对定点质点对定点O的动量矩的动量矩 在某坐标轴在某坐标轴Oz上的投影上的投影 称为该质点对轴称为该质点对轴Oz的动的动量矩量矩. 质点作圆运动时，其对过圆心质点作圆运动时，其对过圆心O且运动平面垂

23、直的轴且运动平面垂直的轴Oz的动量矩：的动量矩： 0LzL000z0cosLLL或或00zcosLLLmrrmL20sin又又rmv故得故得mrL2z（取正号（取正号LZ与与Oz同向，负号反向）同向，负号反向）z2. 刚体的刚体的JL Oirimiv 刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，刚体刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动量矩之和对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动量矩之和.niiLL1zrmniii12rmniii12)(J即即L为正，其方向沿为正，其方向沿Oz正向，反之沿正向，反之沿Oz负向负向

24、.对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.121221dLLJJtMtt将上式变形后积分将上式变形后积分动量矩定理动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的增量增量.tJMdd由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律tLtJMddd)(dLJtMd)(dd21dtttM表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累, 称为称为冲量矩冲量矩.动量矩守恒定律动量矩守恒定律: : 当刚体转动系统受到的

25、当刚体转动系统受到的合外力矩为零合外力矩为零时，系统的动量矩守恒时，系统的动量矩守恒. .若若 ，0 M花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水注意注意1. 1. 对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时，则此质对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量矩始终保持不变点系相对于该定点的动量矩始终保持不变. .2. 2. 动量矩守恒定律与动量守恒定律一样动量矩守恒定律与动量守恒定律一样, ,也是自然界的一条普遍规律也是自然界的一条普遍规律. .则则JL常量常量. .：直升机尾部的竖直旋转尾翼：直升机尾部的竖直旋转尾翼moLL

26、0Jmlmlvv0（1 1）0v解：解： 杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对轴无力矩；桌面及轴皆光滑，杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对轴无力矩；桌面及轴皆光滑，无摩擦力矩；轴对杆的反作用力过轴也无力矩无摩擦力矩；轴对杆的反作用力过轴也无力矩. .因此，球与杆在碰撞过程中，所受因此，球与杆在碰撞过程中，所受外力矩为零，在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒外力矩为零，在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒. .即：即：例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m、长为、长为2l、可绕过与杆垂直的光滑轴、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆中心转动的细杆. .有一质量为有一质量为m的小球以与杆垂直的速度的小球