物理与人类文明chapter70

1、 第第十五讲非线性物理及科学认识论复杂的世界如何从简单性复杂的世界如何从简单性演化而来？演化而来？千变万化，丰富多彩的宇宙如何能从简单的基本粒子，基本相互作用演化而来的呢？如果人们对基本粒子的性质，基本的物理规律完全掌握后，是否有可能对我们所生活的世界作各种长期的精确预言呢？人们能精确地预言哈雷慧星每76年回归地球一次。但长期的天气预报进展甚微，这是为什么？水果产量的大年小年现象事实上相当普遍，这是为什么？0 C 水冻结成冰水冻结成冰仔细想想，为什么这仔细想想，为什么这1023个水分子，单个水分子结构不变、个水分子，单个水分子结构不变、相互作用不变，会相互作用不变，会“集体地集体地” 、“不约

2、而同地不约而同地”从一个相从一个相“变变”到到100 C 水沸腾成蒸汽水沸腾成蒸汽水的三态变化水的三态变化冰和水的相图冰和水的相图对宇宙的两种不同看法：对宇宙的两种不同看法：还原论还原论 (Reductionism)：一切归结为最基本一切归结为最基本 的组成部分和决定它们行为的最基本规律，的组成部分和决定它们行为的最基本规律， “最终目的最终目的”建立包罗万象的建立包罗万象的 “大统一理论大统一理论”。呈展论（呈展论（Emergence): 客观世界是分层次的，客观世界是分层次的， 每个层次都有自己的基本规律，重要的是每个层次都有自己的基本规律，重要的是 承认客观现实，以它为依据，找出它的基承

3、认客观现实，以它为依据，找出它的基 本规律，理解这些现象是如何本规律，理解这些现象是如何“呈展呈展” 的。的。Philip W. Anderson: More is different (1972)将万事万物还原成简单的基本规律的能力，并不蕴将万事万物还原成简单的基本规律的能力，并不蕴含着从这些规律出发重建宇宙的能力含着从这些规律出发重建宇宙的能力 面对尺度与复杂性的双重困难，重建论的假定就崩溃面对尺度与复杂性的双重困难，重建论的假定就崩溃了。由基本粒子构成的巨大的和复杂的的集聚体的行为了。由基本粒子构成的巨大的和复杂的的集聚体的行为并不能依据少数粒子的性质作简单外推就能理解。正好并不能依据少

4、数粒子的性质作简单外推就能理解。正好相反，在复杂性的每一个层次之中会呈现全新的性质，相反，在复杂性的每一个层次之中会呈现全新的性质，而要理解这些新行为所需要作的研究，就其基础性而言，而要理解这些新行为所需要作的研究，就其基础性而言，与其他研究相比毫不逊色。与其他研究相比毫不逊色。两本书两本书B. Greene, The Elegant Universe:Superstrings, HiddenDimensions, and the Quest for the Ultimate Theory, 1999 “宇宙的琴弦宇宙的琴弦”，湖南科技出版社湖南科技出版社R.B.Laughlin, A Dif

5、ferent Universe: ReinventingPhysics from the Bottom Down, 20057.1 非线性系统及其普遍性非线性系统及其普遍性所谓线性系统是指输出与输入成正比的系统非线性系统非线性系统所谓非线性系统是指除线性系统以外的所所谓非线性系统是指除线性系统以外的所有系统有系统。即输出与输入不成正比的系统。非线性与线性的差别非线性与线性的差别非线性与线性存在着本质的差别非线性与线性存在着本质的差别: 线性系统输入有小的变化必定引起输出小的变化，大的输出变化对应于大的输入变化。非线性系统则不然。小的输入变化可引起大的输出变化，大的输入变化不一定引起大的输出变化

6、。例如某人作长途旅行：先乘公共汽车到火车站， 然后乘高速火车到机场，最后乘飞机到达目的地。整个系统是非线性的，几分钟的初始误差逐渐放大，最后到达目的地相差一天，小的输入变化会引出大的输出变化。外语学习外语学习.2 从一个简单的例子看混沌的本质从一个简单的例子看混沌的本质 混沌混沌是决定论系统决定论系统所表现出来的随机行为随机行为的总称。它的根源在于非线性的相互作用。 决定论系统决定论系统指描述该系统的数学模型不包含任何随机因素的完全确定的系统。 随机运动的典型实例是植物学家布朗 1827年在显微镜下看到的液体中花粉颗粒的无规运动，现称为布朗运动。 自然界中最常见的运动状态，往往既不是完全确定，

7、也不是完全随机的，而是介于二者之间。7.2.1 虫口模型虫口模型 马尔萨斯（T.R.Malthas）在其论人口原理一书中，根据19世纪欧洲、美洲一些地区的人口发展状况，得出了人口增长的如下结论：“在不加控制的条件下，人口每年增长一倍，即按几何级数增长。”YYnn12目前世界人口约60亿，按上式，25年后为120亿，50年后为240亿，100年后为960亿，200年后为15360亿，。 设虫口的繁殖率为。只考虑两两咬斗或接触传染，而不考虑三个以上同时咬斗等状况，则咬斗组合数，设每一咬斗或接触传染导致死亡的几率为，那么显然下一代虫口数为：221(1)/2()2BnnnnnnBYAYBY YAYY选

8、取合适的虫口数作为单位XXXnnn11()7.2.2 倍周期分岔倍周期分岔决定论系统决定论系统 给定，X0已知，可由 得出，X1，X2，X3，也就是说各代的昆虫数完全确定，不存在任何随机因素，因此系统是决定论的。 显然当时，由于(1-Xn)1,所以，逐次迭代后Xn趋向于零，即繁殖率太低的昆虫最后总是趋于绝种。X0XXXnnn11()倍周期分岔倍周期分岔 那么当增大以后，情形如何呢？如=2，则可得X0002 .X100392 .X200753 .X301393 .X402398 .X805000 .X905000 .X002 .X 05000.XXXnnn11() 27 .X004000 .X1

9、06480 .X206159 .X306388 .X406230 .X506341 .X606264 .X706319 .X2106296 .X2206296 . 32 .X004000 .X107680 .X205702 .X307842 .X405415 .X507945 .X605225 .X707984 .X1605130 .X1707995 .X1805130 .X1907995 . 利用计算器你就可得到不同的参量值，不同的初始值的各种轨道。（你也可编写一个简单的程序来实现）。 当继续增大到一定值时，会出现周期现象，即代为一周期。继而会出现8周期，16周期，32周期等。 这就是所谓的

10、倍周期现象。 如3.5时, 会在0.8750, 0.3828, 0.8269, 0.5009, 四个数据间振荡。虽然也出现大年小年，但每四代为一周期。 你可设想并验证达到某一个值时会出现无穷周期，也就是说无周期，此时系统进入了混沌状态。倍周期分岔倍周期分岔分岔图分岔图 7.2.3 混沌的基本性质混沌的基本性质 系统对初始状态极其敏感系统对初始状态极其敏感： 39 .X004000 .X109360 .X202336 .X306983 .X004001 .X109361 .X202334 .X306977 .X0040005 .X109360 .X202335 .X306980 .X210387

11、9 .X2209260 .X2302672 .X2407636 .X2102243 .X2206785 .X2308508 .X2404951 .X2106896 .X2208348 .X2305379 .X2409694 . 1963年美国气象学家路伦兹（E.N.Lovenz）曾得到现称为洛伦兹方程组的关于温度、气压、湿度等的微分方程。 他将初始的温度、气压、湿度等量代入，可很精确地预言23天后的天气状况。 这个非线性方程的解对初始状态的变化极其敏感， 温度、气压、湿度等的非常微小的误差，经过十天、半个月的演化，误差会达到测量值相同的量级，以致失去了天气预报的意义。 洛伦兹形象地用“蝴蝶效应

12、”来描述之。nnA 费根鲍姆数4.6692016091产生混沌的根源是非线性，但必须注意并不是所有的非线性系统一定能产生混沌现象。 物理学家J.Ford曾认为：混沌是20世纪物理学的第三次革命，混沌与相对论、量子力学一样也冲破了牛顿力学的教规。他说：“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻象；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想。” 首先是理解自然，例如自然界存在着大量的流体湍流现象。 混沌理论在生命科学中的应用特别重要。已经发现各种心律不齐、房室传导阻滞等均与混沌运动有联系，癫痫患者发病时的脑电波呈现明显的周期性，而正常人的脑电波呈现显著

13、的混沌状态。 人们利用混沌可实现保密通讯，解释经济领域的股票、期货的价格波动，探索厄尔尼诺（El Nino）现象，与神经网络相结合创造出所谓的混沌神经网络等等。长期精确预报的可能性长期精确预报的可能性 前面提到混沌动力学的发展排除了对天气作长期精确预报的可能性。 其实人们对短期预报和长期预报的要求是不同的。对于短期预报我们关心的是细节问题，对于长期预报人们更关注的是各种平均量的发展趋势。 根据混沌动力学人们可以作短期的精确预报，长期的概率预报，正好能满足人们对各方面的不同需求混沌因果律 由于混沌状态时，相空间中的吸引子具有分形结构，系统对初始状态极其敏感，几乎相同的初态将导致完全不同的终态，正

14、所谓 反过来，由于非线性,不同的初始状态，却存在相同的终态，即。7.3 自然界的几何自然界的几何分形分形 分形（分形（Fractal)：局部与整体具有相似性，或者说在标度变换下具有相似性的几何形体。 例如中国的海岸线在中国地图上看是弯弯曲曲的，其局部例如浙江的海岸线，放大后从浙江地图上看也是弯弯曲曲的，两者间具有相似性，这样我们就说海岸线是分形的。分形维数分形维数 线段的拓扑维数为，面的拓扑维数为2，体的拓扑维数为3。一根线段其长度是一定的，与你用什么尺来量是无关的（只是精确度有所差异）。NLaD ()DNLalnln()Koch曲线曲线ln4/ln3ln16/ln91.26 Sierpins

15、ki 地毯地毯 ln8/ln31.89 对于象海岸线这样的具有统计自相似的分形，不能用上述方法求其分形维数。一般用所谓的合子计数法，即用不同孔径a 的网格去覆盖地图，计算含有海岸线段的网格数N来，作关于ln（N）和ln(a)的图来确定其分形维数。显然海岸线的分形维数大于1，小于2。来自简单规律的复杂系统来自简单规律的复杂系统 现在人们已经能够利用计算机模拟出各种复杂的分形图象，如细菌群落的生长、各种固体团簇的分形生长、星系的形成等等。也就是说纷繁复杂的世界是有可能用简单的规则来描述的，并产生各种应用。例如通过分形研究来模拟传染病的传播，改进传染病的防治。Sierpinski海绵具有有限体积无限表面积的特性，可研制出高容量的储能电池，或者具有强吸附性的过滤器件和设备等，在能源、环保领域有广阔的应用前景在传播过程中保持形状和速度不变，并且两列波非线性相互作用后能相互贯穿，但互不破坏，就象粒子弹性碰撞一样，碰后各自保持原来的形状和速度不变的波被称为孤立波，孤立波，有时也叫孤立子孤立子。目前人们在各种领域都发现了具有这种孤立子解的物理体系（称为非线性可积系统），例如在核聚变的等离子