《弯曲变形教学》ppt课件

1、第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形山西农业大学工学院山西农业大学工学院2工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形 挠度：直梁发生弯曲变形时，其横截面的形挠度：直梁发生弯曲变形时，其横截面的形心在垂直于弯曲前的轴线方向所产生的线位移，如心在垂直于弯曲前的轴线方向所产生的线位移，如以下图所示。以下图所示。转角转角)(x 挠度曲线挠度曲线)(xww 在小变形情况下在小变形情况下w tan第第 12 章章 弯曲变形弯曲变形3工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形1. 研讨梁的挠度和转角的目的：研讨梁的挠度和转角的目的：(1) 对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大对梁作

2、刚度校核，即检查梁弯曲时的最大挠度能否超越按要求所规定的允许值；挠度能否超越按要求所规定的允许值；(2) 解超静定梁。如以下图所示梁。解超静定梁。如以下图所示梁。4工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形2. 求梁位移的根本方法求梁位移的根本方法 根据挠曲线的近似微分方程式经过积分求挠度根据挠曲线的近似微分方程式经过积分求挠度方程：方程：w=w(x)和转角方程：和转角方程：wx )( 详细分析，在纯弯曲情况下：详细分析，在纯弯曲情况下：EIM 1察看下梁察看下梁5工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形 纯弯曲情况下，纯弯曲情况下，M与所对应的挠曲线的曲率与所对

3、应的挠曲线的曲率1/r的关系为：的关系为：EIM 1(1)对于以下图横力弯曲的梁有对于以下图横力弯曲的梁有)(, )(xxMM 6工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形 由解析几何知识知：一根平缓的曲线由解析几何知识知：一根平缓的曲线w= w(x)，其曲率其曲率1/r 近似地等于近似地等于w(x)对于对于x的二阶导函数，即的二阶导函数，即)(, )(xxMM 那那么么EIxMx)()(1 (2)(dd)(122xwxwx (3) 将将(3)代入代入(2)，思索到，思索到曲率半径总是正的，对图曲率半径总是正的，对图示坐标有示坐标有)()(xMxwEI EIM 17工程力学教程电

4、子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形 因此，对于某根详细的梁，只需列出它的弯因此，对于某根详细的梁，只需列出它的弯矩方程矩方程M = M(x)，将其代入上式，对，将其代入上式，对x延续积分后延续积分后有：有： 利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方程得转角方程q =q (x) = w(x)和挠度方程和挠度方程 w = w (x) ，从而也就可以求某个详细横截面处的转角和挠，从而也就可以求某个详细横截面处的转角和挠度了。度了。1d)(CxxMwEI 21dd)(CxCxxxMEIw )()(xMxwEI 8工程力学教程电子教案工程力学教程电子教

5、案弯曲变形弯曲变形 求图示悬臂梁的转角方程求图示悬臂梁的转角方程q =q (x)和挠度方程和挠度方程 w=w(x) ，并求最大转角，并求最大转角qmax及最大挠度及最大挠度 wmax。梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI 为知。为知。例题例题 12-19工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形解：解：(1)FxFlxlFxM )()()1(2)FxFlxMwEI )()2(3)122/CFxFlxwEI (4)21326/2/CxCFxFlxEIw 10工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形将将x = 0, w= 0代入代入(3)式

6、有式有C1 = 0(3) 固定端处转角为零固定端处转角为零, 即即固定端处挠度为零固定端处挠度为零, 即即 x = 0, w = 0将之代入将之代入(4)式得式得C2 = 0那么将那么将C1=0，C2=0代入代入(3)、(4)式有式有)/()2/(2EIFxFlxw )/()6/2/(32EIFxFlxw 11工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形(4)EIFllx22max EIFlwwlx33max EIFxFlxw2/2 EIFxFlxw6/2/32 12工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形3. 按叠加原理计算位移按叠加原理计算位移 为了方便，对于简

7、单的梁在简单荷载作用下，为了方便，对于简单的梁在简单荷载作用下，其最大挠度和最大转角事先列出了他们的计算公其最大挠度和最大转角事先列出了他们的计算公式教材和手册中可查到。式教材和手册中可查到。 利用这些公式可按叠加原理较方便地计算某利用这些公式可按叠加原理较方便地计算某些受力较复杂情况下梁的挠度和转角。些受力较复杂情况下梁的挠度和转角。梁在线性弹性范围内梁在线性弹性范围内任务，且变形微小任务，且变形微小13工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形图示简支梁，求图示简支梁，求 wC 和和 qB。例题例题 12-214工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形由叠加原

8、理得：由叠加原理得：)6/(, )24/(e3eEIlMEIqlBMBq 查表可知：查表可知：)16/(, )384/(52e4eEIlMwEIqlwCMCq )16/()384/(52e4EIlMEIqlwC )6/()24/(e3EIlMEIqlBq 15工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形 求以下图求以下图B处的挠度和转角。处的挠度和转角。思索题思索题 12-116工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形 求图示等截面简支梁内的弯曲应变能，并求跨求图示等截面简支梁内的弯曲应变能，并求跨中截面中截面C 的挠度的挠度wC。例题例题 12-217工程力学教程

9、电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形CBACVV)1( 由对称性知由对称性知解：解：xFxMlx2)(,5 . 00 时时当当EIlFxEIxFVlAC192d2)2(322/02 于是整个梁之弯曲应变能为：于是整个梁之弯曲应变能为：EIlFVVAC96232 18工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形(2) 外荷载所作的功外荷载所作的功CFwW5 . 0 由于由于 W = Ve，EIlFFwC965 . 032 故故得得EIFlwC483 此结果与采用积分法求解所得的结果一致！此结果与采用积分法求解所得的结果一致！ 19工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变

10、形弯曲变形超静定梁超静定梁 工程实践中，为减少梁内的应力和位移需求附工程实践中，为减少梁内的应力和位移需求附加多余约束，这样就会产生多余未知力，如以下图加多余约束，这样就会产生多余未知力，如以下图所示：所示： 上图为二次超静定问题，亦即其不可单由平上图为二次超静定问题，亦即其不可单由平衡方程得出结果。衡方程得出结果。20工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形再如：再如： 上图为上图为“一次超静定问题，其解同样也不能一次超静定问题，其解同样也不能单由平衡方程求解得到，还需求变形相容条件，单由平衡方程求解得到，还需求变形相容条件，即：即：0 Bw21工程力学教程电子教案工程力学教

11、程电子教案弯曲变形弯曲变形 求以下图所示超静定梁求以下图所示超静定梁A、B处的约束力及处的约束力及 qB、wC，并画出该梁的剪力图和弯矩图。，并画出该梁的剪力图和弯矩图。解：解：(1) 求求A、B处的约束力处的约束力,设设B处为多余约束，处为多余约束，列补充方程：列补充方程： 0 Bw0 BBFBqBwww(1)即即例题例题 12-322工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形查表可得：查表可得：(2)(84 EIqlwBq(3)(33 EIlFwBBFB将将(2)，(3)式代入方程式代入方程(1)有：有：03834 EIlFEIqlB23工程力学教程电子教案工程力学教程电子教

12、案弯曲变形弯曲变形03834 EIlFEIqlB由由 0yF qlFB83)(85 qlFA得得0)( FMA由由281qlMA 得得 ( )24工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形(2) 绘剪力图和弯矩图：绘剪力图和弯矩图：25工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形(3) 求：求： (叠加原理叠加原理) CBw, (a)EIqlEIlFEIqlBBFBqB1632,6323 EIqlBBFBqB483 ( )26工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形利用右图所示的相当系统利用右图所示的相当系统(b)BCFCqCwww 那那么么EIqlw

13、Cq38454 EIqlEIlMwACMA1281642 从而有：从而有：)(1924 EIqlwwwACMCqC27工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形如以下图所示梁，知：如以下图所示梁，知：E，I。求。求 。CCw ,28工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形EIFlBC221 解解：思索题思索题 12-3参考答案参考答案EIllFlFlllEIFlEIFlllwwBBC6)(32)(23)(12131121311 29工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形作剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图。思索题思索题 12-430工程力学教程电子

14、教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形,0)( FMA0232 aaqqaaFB由由)(35,)(3qaFqaFAB得得思索题思索题9-14参考答案：参考答案：31工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形)20(2135)(21axqxxqaxM )32()3(3)(2axaxaqayM 32工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形 A1B梁用梁用A2C梁加固，两梁的梁加固，两梁的EI一样，试求两一样，试求两接触处的压力。接触处的压力。思索题思索题 12-533工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形上梁上梁C 处：处：EIlFwCEIlFll

15、EIFlwCxCCxC33)3(63131121 处处下梁下梁因因 为：为：CCww 即：即：)3(63212131llFllFCx 求解得到：求解得到：)31(431 llFFCx思索题思索题12-5参考答案参考答案:34工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形FFllCx45,21 则则若若* 没有加固梁时设为 加固梁后设为;,1max1BwM2,max2BwM%50%1005 . 0%100max1max2max1 FlFlFlMMM。减减少少即即%50maxM 35工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形%393)22)2(4524453(3%10032333121 EIFllEIlEIFlEIFlEIFlwwwBBB。减减少少即即%39Bw 36工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案弯曲变形弯曲变形思索题思索题 12-6 荷载荷载 作用在梁作用在梁AB及及CD的衔接处。试求每个的衔接处。试求每个梁在衔接梁在衔接 处受