第8章轴向拉伸与压缩

1、7-1第8章 轴向拉伸与压缩81 引言引言82 轴力和轴力图轴力和轴力图83 拉压杆的应力与圣维南原理拉压杆的应力与圣维南原理84 材料在拉伸与压缩时的力学性能材料在拉伸与压缩时的力学性能85 应力集中的概念应力集中的概念86 失效、许用应力与强度条件失效、许用应力与强度条件87 胡克定律与拉压杆的变形胡克定律与拉压杆的变形88 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题89 连接部分的强度计算连接部分的强度计算810 应变能概念应变能概念7-28-1 8-1 引言引言 受力特点受力特点：外力 (或外力的合力)的作用线与杆的轴线重合具有上述受力和变形特点的杆件称为具有上述受力和变形特点的杆件称为轴向

2、拉（压）杆轴向拉（压）杆PPP P变形特点：变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。7-382 轴力和轴力轴力和轴力图图一、一、轴向拉（压）时的内力(轴力)PPP轴向拉压时，其内力与杆轴线重合，称为轴力。轴力符号规则：与截面外法线 方向一致时为正；否则为负。即把拉伸时的轴力规定为正，即把拉伸时的轴力规定为正，把压缩时的轴力规定为负把压缩时的轴力规定为负N=PN=PPmmX=0N = P7-4M LM LABC202030304040N201050 x（kN）+-二、二、轴力图例例 求图示等截面直杆的内力20NANA 20 解:020, 0ANX2030NBNB 1003020, 0BNX50CN2

3、02030304040CNc0, 2030400XN1、绘制轴力图时按载荷进行分段。、绘制轴力图时按载荷进行分段。绘制轴力图的注意事项：绘制轴力图的注意事项：5kN8kN3kN3kN+5kN8kN3、计算轴力时，轴力等于所有外力的代数和，、计算轴力时，轴力等于所有外力的代数和，外力如果相对于所取段为拉则为正，反之为负。外力如果相对于所取段为拉则为正，反之为负。2、拉伸为正，画在坐标轴之上。压缩为负，、拉伸为正，画在坐标轴之上。压缩为负，画在坐标轴之下。画在坐标轴之下。7-6M LM L83拉压杆的应力与圣维南原理拉压杆的应力与圣维南原理一、一、应力PPPN=P变形前变形前变形后变形后实验现象：

4、实验现象：1所有纵线的伸长均等；所有纵线的伸长均等；2横线保持为直线，并与横线保持为直线，并与纵线垂直。纵线垂直。平面假设：平面假设：原为平面的横原为平面的横截面在变形后仍为平面，截面在变形后仍为平面，且仍垂直于轴线。且仍垂直于轴线。结论：结论：正应力正应力 均匀分布在均匀分布在横截面上横截面上。AN7-7例例1 吊车的三角架如图所示，已知AB杆由2根截面面积为10.86cm2的角钢制成，P=130kN，=30。求AB杆横截面上的应力。解：(1)计算AB杆内力取节点A为研究对象，受力分析，由平衡条件0Y0sin PNABKNNAB260（2）计算AB杆应力231086.10210260ANAB

5、ABMPa7 .1197-8AP/M LM L 二、直杆轴向拉压时斜截面上的应力二、直杆轴向拉压时斜截面上的应力PPkk设直杆的轴向拉力P，横截面积A，则横截面上的正应力PkkP p斜截面k-k与横截面成角，其面积A与横截面积A之间的关系为：cos cosAAAA斜截面k-k上的应力由平衡方程：P=P coscosAPAPp7-9Pkkp t t 将应力将应力p 分解成垂直与斜截面的正应力分解成垂直与斜截面的正应力 和相切于斜截面的和相切于斜截面的剪应力剪应力t t ，则，则p 2coscos pt2sin2sincossin p讨论：讨论：1. 当 = 0时， )(max即横截面上存在最大正

6、应力即横截面上存在最大正应力2. 当 = 90时，0)(min即在平行轴线的纵向截面上无任何应力即在平行轴线的纵向截面上无任何应力0t3. 当 = 45时，即即45斜截面上剪应力达到最斜截面上剪应力达到最大大2|maxt7-10 在静力等效的条件下，不同的加载方式只对加载处附近区域的应力分布有影响，而对远离加载处较远部分的应力分布并没有显著的影响。PP三、三、圣维南(Saint-Venant)原理PP7-11一、试验条件及实验仪器一、试验条件及实验仪器M LM L8 84 4材料在拉伸与压缩时的力学性能材料在拉伸与压缩时的力学性能1. 试验条件：常温常温(20)(20)2. 标准试件dl55倍

7、试样：dl1010倍试样：ld标准圆截面试件标准圆截面试件:Al65. 55倍试样：Al3 .1110倍试样：标准矩形截面试件标准矩形截面试件:lA 力学性能：是指材料在外力作用下表是指材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面现出的变形、破坏等方面的特性。的特性。静载（及缓慢地加载）静载（及缓慢地加载）7-123. 试验仪器：万能材料试验机万能材料试验机7-13M LM L二、低碳钢拉伸时的力学性能二、低碳钢拉伸时的力学性能( (a) ) 低碳钢试件低碳钢试件的拉伸图的拉伸图( (P- - L图图) )( (b) ) 低碳钢试件低碳钢试件的应力的应力-应变曲应变曲线线( ( - 图图) )7-

8、141.1. 弹性阶段弹性阶段 ( (OA段段) )(1)(1)OA - 比例段: p - 比例极限EtgE(2)(2)AA -曲线段: e - 弹性极限)(nfAA弹性模量弹性模量虎克定律虎克定律7-152. 屈服屈服( (流动流动) )阶段阶段( (BC 段段)s -屈服极限屈服极限出现与轴线大致成出现与轴线大致成4545 倾角的滑移线倾角的滑移线3. 强化阶段强化阶段( (CD 段段) ) -强度强度极限极限4. 颈缩阶段颈缩阶段( (DE 段段) ) 7-165. 卸载定律和冷作硬化卸载定律和冷作硬化6. 延伸率和断面收缩率延伸率和断面收缩率1 1 延伸率延伸率: : 001100LL

9、L2 2 截面缩率：截面缩率： 001100AAA脆性材料:5塑性材料:5屈服极限屈服极限 s s强度极限强度极限 b b强度指标强度指标塑性指标塑性指标延伸率延伸率: : 截面缩率：截面缩率： 7-18三、其它塑性材料拉伸时的力系性能三、其它塑性材料拉伸时的力系性能7-19四、铸铁拉伸时的力学性能四、铸铁拉伸时的力学性能7-20五、材料在压缩时的力学性能五、材料在压缩时的力学性能dh7-218-58-5应力集中概念应力集中概念一、一、应力集中如图如图(a)为一带孔的板为一带孔的板条，未受力之前在其条，未受力之前在其表面上画许多细小方表面上画许多细小方格，加轴向拉力后，格，加轴向拉力后，可看到

10、可看到1-1截面上，孔截面上，孔边方格的变形程度比边方格的变形程度比离空稍远的方格变形离空稍远的方格变形程度严重。这说明程度严重。这说明1-1截面上孔边应力比同截面上孔边应力比同截面上其它应力大。截面上其它应力大。如图如图(c) 应力集中应力集中：这种由于试件这种由于试件截面尺寸突然变化而引起截面尺寸突然变化而引起局部应力急剧增大的现象。局部应力急剧增大的现象。 7-22二、二、理论应力集中系数K设发生应力集中的截面上的最大应力为设发生应力集中的截面上的最大应力为 max，同一截面上的平，同一截面上的平均应力为均应力为 ，则，则/maxK称为理论应力集中系数理论应力集中系数三、三、不同材料对应

11、力集中的敏感性1塑性材料可不考虑应力集中；塑性材料可不考虑应力集中；2脆性材料对应力集中敏感；脆性材料对应力集中敏感；3铸铁不必考虑应力集中；铸铁不必考虑应力集中；4动荷都应考虑应力集中动荷都应考虑应力集中(塑性、脆性材料塑性、脆性材料)7-238-68-6失效、许用应力与强度条件失效、许用应力与强度条件对于脆性材料，如铸铁，当应力达到对于脆性材料，如铸铁，当应力达到 b，出现断裂，出现断裂;对于塑性材料，如碳钢，当出现塑性变形，就不能对于塑性材料，如碳钢，当出现塑性变形，就不能保持原有的形状。保持原有的形状。失效包括断裂和出现塑性变形失效包括断裂和出现塑性变形许用应力许用应力 =ssnbbn

12、对于塑性材料对于塑性材料对于脆性材料对于脆性材料式中式中ns、nb称为安全系数称为安全系数7-24设计截面尺寸：设计截面尺寸：根据强度条件可进行三种强度问题的计算根据强度条件可进行三种强度问题的计算：校核强度：校核强度：许可载荷：许可载荷： AN杆件轴向拉压的强度条件杆件轴向拉压的强度条件已知外力已知外力P，杆件横截面面积，杆件横截面面积A，以及材料的，以及材料的许用应力许用应力，校核杆件是否安全。，校核杆件是否安全。 maxminNA已知外力已知外力P，材料的许用应力，材料的许用应力，设计杆件截面，设计杆件截面 ; maxAN )N(fPi已知杆件横截面面积已知杆件横截面面积A及材料的许用应

13、力及材料的许用应力，求所能承受的最大外力。一般先求出许可的轴求所能承受的最大外力。一般先求出许可的轴力，再求出许可载荷力，再求出许可载荷 7-25例例2 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力 =170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。 解： 轴力轴力：N = P =25kNMPa16214143102544232max.d PAN应力应力：强度校核强度校核： 170MPa162MPamax结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。7-26例例3 图示受力结构，图示受力结构，、杆的横截面和许用应力分别为杆的横截面和许用应力分别为A

14、1=10 102mm2， A2=100 102mm2和和1 = 160MPa ， 2 = 8MPa ， =37 。求该结构的许可载荷。求该结构的许可载荷P。 N2N1P370解：解：1 平衡方程平衡方程X=0，037cos21 NNo1N sin37 -P=0PN351PN342Y=0，2 由强度条件求许可载荷由强度条件求许可载荷P由杆由杆强度条件强度条件得1111AN111AN 1135AP 即KNP96（1）2222AN222AN 2234AP 即KNP60由杆由杆强度条件得强度条件得（2）综合（1）、（2）知P=60KN7-27例例4 已知压缩机汽缸直径D=400mm，气压q=1.2MP

15、a，缸盖用 M20螺栓与汽缸联接，d2 =18 mm，活塞杆1 = 50MPa，螺栓2 = 40 MPa，求：活塞杆直径d1和螺栓个数n。qDd1解：PqAqDN24Ad1124Ad2224考虑加工方便应取考虑加工方便应取 n=16n=16mmPd62504002.14211 111NA(压) 8 .1440184002 . 12222ANn 222Nn A(拉)7-288-7 8-7 胡克定律与拉压杆的变形胡克定律与拉压杆的变形PPlbl1b1E由实验可知，当应力不超过材料的某一限度由实验可知，当应力不超过材料的某一限度( (比例极限比例极限) )时，时，应力与应变成正比，即应力与应变成正比

16、，即一、纵向变形一、纵向变形:AN而轴向拉而轴向拉(压压)时的应力为时的应力为lNlE Alll1绝对变形绝对变形：ll相对变形相对变形：llEAN二、虎克定律二、虎克定律称杆件的纵向应变纵向应变7-29bbb10,0时当bl bb横向应变横向应变三、横向变形三、横向变形:四、横向变形系数四、横向变形系数(泊松比泊松比)PPlbl1b17-30 如果杆各段的轴力不一样，则如果杆各段的轴力不一样，则杆的总伸长为各段伸长之杆的总伸长为各段伸长之和和，即，即niiiiiniiAElNll11 若杆的横截面和轴力沿轴线变化，则若杆的横截面和轴力沿轴线变化，则需取出微段研究，再在整个杆上积分即可需取出微

17、段研究，再在整个杆上积分即可 dx微段的伸长可写为微段的伸长可写为AdxxNld)()(所以整个杆件的伸长为所以整个杆件的伸长为2)(200lAAxdxAdxxNlllmmlxAxOdx7-31虎克定律可以计算杆件轴向拉压时的变形或桁架某节点的位移虎克定律可以计算杆件轴向拉压时的变形或桁架某节点的位移C变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量Li ，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。ABCL1L2P1L2LC例例1 画变形图7-32例例2 写出图2中B点位移与两杆变形间的关系ABCL1L21L2LBxByB1LxB解：变形图如图2， B点位移至B点，由图知：sinctg21LLyBP7-33

18、8-8 8-8 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题静定问题静定问题：杆件的轴力可由静力平衡方程求出。杆件的轴力可由静力平衡方程求出。超静定超静定( (静不定静不定) )问题问题：杆件的轴力不能由静力平衡方程全部求出。杆件的轴力不能由静力平衡方程全部求出。21, 0NNXPNNNY321cos)( , 0变形几何关系（变形协调方程）变形几何关系（变形协调方程）变形内力关系（物理方程）变形内力关系（物理方程）P 1N3N2NPA未知力未知力3个；平衡方程只有个；平衡方程只有2个个。P2这个问题就是这个问题就是一次静不定问题。一次静不定问题。补充补充方程方程7-34引例引例 已知：已知： L1 =

19、L2 、 L3 =L ；各杆面积为；各杆面积为A1=A2、 A3 ；各杆；各杆弹性模量为：弹性模量为：E1=E2、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CPABD123解：平衡方程 0X0coscos321PNNNPAN1N3N20sinsin21NN 0Y一、一、拉压静不定问题7-3511111AELNL33333AELNL几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程：物理方程物理方程虎克定律虎克定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。补充方程：由几何方程和物理方程得。解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:cos31LLcos3

20、3331111AELNAELN333113333331121121cos2 ; cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNCABD123A11L2L3L则若,3311AEAE1cos2 ; 1cos2cos333221PNPNN7-36二、二、温度应力温度应力RARB温度应力或热应力：温度应力或热应力：由温度变化引起杆件由温度变化引起杆件内的应力。内的应力。1 . .平衡方程平衡方程BARR 2 . .变形协调方程变形协调方程由于温度的变化，杆件变形为：由于温度的变化，杆件变形为：lTLT 为材料为材料线膨胀系数，线膨胀系数， T为温度变化值。为温度变化值。NTlL变形协调方程变形协调方

21、程7-37EAlRlBN3 . .物理方程物理方程EAlRlTBTEARB 由于温度变化产生的温度应力由于温度变化产生的温度应力TEARBT则若已知,200,1105 .12,80060GPaECCTTE MPa20080105 .121020069ABC12ABDC132A1、几何方程、几何方程解：解：、平衡方程、平衡方程: :2 2、静不定问题存在装配应力。如图，、静不定问题存在装配应力。如图，3 3号号杆的尺寸误差为杆的尺寸误差为 ，求各杆的装配内力。，求各杆的装配内力。 0sinsin21 NNX 0coscos321NNNY 13cos)(LL例：装配应力例：装配应力预应力预应力1

22、1、静定问题无装配应力、静定问题无装配应力A1N3N1N2xy cos)(33331111AELNAELN 、物理方程及、物理方程及补充方程补充方程： 、解平衡方程和补充方程，得、解平衡方程和补充方程，得: : / cos21cos33113211321AEAEAELNN / cos21cos23311331133AEAEAELN AA1L1L2L389 连接部分的强度计算连接部分的强度计算一、剪切实例：一、剪切实例：1、剪切的特点：、剪切的特点：二、剪切的实用计算二、剪切的实用计算剪力剪切面1 1、剪切面、剪切面-A-AQ Q：错动面。：错动面。 剪力剪力-Q-Q： 剪切面上的内剪切面上的内力。力。QAQt t2 2、名义剪应力、名义剪应力-t t：3 3、剪切强度条件（准则）、剪切强度条件（准则）： t tt t AQ njxt tt t:其其中中三、挤压的实用计算、挤压的实用计算1 1、挤压力、挤压力-P-PC C：接触面上的合力：接触面上的合力2 2、挤压面积：接触面在垂直、挤压面积：接触面在垂直P PC C方向上的投影面方向上的投影面 CcccA