2.1二重积分的概念及性质ppt课件

1、6.16.1二重积分的概念、二重积分的概念、几何意义和性质几何意义和性质 第第6 6章章 数量函数的积分及其应用数量函数的积分及其应用 一、问题的提出一、问题的提出二、二重积分的定义二、二重积分的定义三、二重积分的几何意义三、二重积分的几何意义四、二重积分的性质四、二重积分的性质 一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积顶顶柱柱体体做做曲曲上上连连续续这这样样的的立立体体叫叫在在且且，这这里里面面轴轴的的柱柱面面，它它的的顶顶是是曲曲平平行行于于线线的的边边界界曲曲线线为为准准线线而而母母是是以以，它它的的侧侧面面面面上上的的闭闭区区域域设设有有一一立立体体，它它的的底底是是Dyxfyxfz

2、zDDxoy0),(),(xzo),(yxfz yD定义定义体积体积= =曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求法“分割、近似、求和、取极限的思想方法分割、近似、求和、取极限的思想方法平顶柱体的体积计算平顶柱体的体积计算底面积底面积高高曲顶柱体的体积计算曲顶柱体的体积计算步骤如下：步骤如下：个小闭区域个小闭区域分成分成先用曲线网把先用曲线网把nD.D,D,Dn21xzyoxyzo),(yxfz 并取典型小区域并取典型小区域, ,DiD ),(ii 用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积顶柱体的体积, ,.),(lim10iiniidfV曲顶柱体的体积曲

3、顶柱体的体积. .求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniidM.0),(),(),(,计计算算该该薄薄片片的的质质量量续续上上连连且且在在处处的的面面密密度度为为点点它它在在面面上上的的闭闭区区域域有有设设有有一一平平面面薄薄片片占占DyxyxyxDxOy ),(ii iD xyO二、二重积分的定义,),(),(.,.),(21iiiiiiiinfDDiDDDnDDyxf 作作乘乘积积任任取取一

4、一点点上上在在每每个个的的面面积积个个小小闭闭区区域域表表示示第第用用并并个个小小闭闭区区域域任任意意划划分分成成区区域域将将闭闭上上的的有有界界函函数数是是有有界界闭闭区区域域设设 niiiif1.),( 并并作作和和定义定义即即记记作作的的二二重重积积分分上上在在闭闭区区域域则则称称此此极极限限为为函函数数的的极极限限存存在在这这和和时时径径中中的的最最大大值值如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直,d),(,),(,0 DyxfDyxf .),(limd ),(10iniiidDfyxf对二重积分对二重积分(double integral)定义的说明定义的说明,ddd,)1(yxdDi

5、 积元素积元素在直角坐标系中面在直角坐标系中面和中的和中的表示积分表示积分面积元素面积元素是任意的是任意的的划分的划分对闭区域对闭区域在定义中在定义中xyo此此时时二二重重积积分分为为 DDyxyxfyxfdd),(d),( .,),()2(上的二重积分必定存在上的二重积分必定存在那么它在那么它在上连续上连续在闭区域在闭区域如果函数如果函数DDyxf三、二重积分的几何意义三、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值 二重积分的几何意义二重积分的几

6、何意义 二重积分是各部分区域二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在上柱体体积的代数和，在xoy上方的取正，在上方的取正，在xoy下方取下方取负负xyz 0例例根据二重积分的几何意义判断积分的值根据二重积分的几何意义判断积分的值. .:,d222222ayxDyxaD 3421d 3222ayxaD 解解投影区域为圆域投影区域为圆域.:222ayxD 被积函数半球面为被积函数半球面为,222yxaz 由二重积分得几何意义由二重积分得几何意义xyzO.323a 四、二重积分的性质四、二重积分的性质性质性质当当 为常数时，为常数时，k.d),(d),( DDyxfkyxkf 性质性质 Dyxgy

7、xf d),(),(.d),(d),( DDyxgyxf 性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.d),(d),(d),(21 DDDyxfyxfyxf )(21DDD 性质性质 假设假设 为为D D的面积，的面积，.dd1 DD 性质性质 若在若在D D上上),(),(yxgyxf .d),(d),( DDyxgyxf 特殊地特殊地.d),(d),( DDyxfyxf 则有则有性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） DMyxfm d),( ),(d),(fyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）使使得得上上至至少少存存在在一一点点则则在在的的面面积积为为上上连连续续在在如如果果函函数数),( ,),( DDDyxf上上则在则在的面积的面积为为最小值最小值上的最大值和上的最大值和在在是函数是函数、设设DDDyxfMm ,),( 解解2 yxoxy121D (2,0). (1,1), (1,0), , ,d)ln( d)ln( 2三个顶点各为三个顶点各为是三角形闭区域是三角形闭区域其中