两个随机变量的函数的分布ppt课件

1、 3.5 3.5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布一、问题的引入一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布 三、延续型随机变量函数的分布三、延续型随机变量函数的分布 四、小结四、小结 分别表示一个人的分别表示一个人的和和令令YX为理处理类似的问题下面为理处理类似的问题下面 一、问题的引入一、问题的引入.的的分分布布布布确确定定 Z),(,YXgZYX 的函数关系的函数关系,年年龄龄和和体体重重,有一大群人有一大群人与与并且已知并且已知 Z,表表示示该该人人的的血血压压Z的分的分如何通过如何通过YX,我们讨论随机变量函数的分布我们讨论随机变量函数的分

2、布. . 二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布 的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量,ijjipyYxXP 的的分分布布律律为为则则随随机机变变量量函函数数),( YXgZ kzZP )( jikyxgzijp, 2 , 1, ji),(kzYXgP ., 2 , 1 k 三、延续型随机变量函数的分布三、延续型随机变量函数的分布 ，是是二二维维连连续续型型随随机机变变量量设设),(YX).,(yxf密度密度它具有概率它具有概率仍为连续型随机变量，仍为连续型随机变量，则则YXZ 其其概率密度为概率密度为 ,d),()( yyyzfzfYX)1

3、. 5(或或 .d),()(xxzxfzfYX )2 . 5(的分布的分布一一YXZ )(相互独立，相互独立，和和又若又若YX的边缘的边缘关于关于设设YXYX,),(),(),(yfxfYX密密度度分分别别为为分别化为分别化为则则)2 . 5(),1 . 5(,d)()()( yyfyzfzfYXYX和和 .d)()()(xxzfxfzfYXYX )3 . 5()4 . 5(,的的卷卷积积公公式式和和这这两两个个公公式式称称为为YXff,YXff 记记为为即即 YXff yyfyzfYXd)()( .d)()(xxzfxfYX )(zFZzZP ,dd),(yxyxfzyx :G这这里里积积分

4、分区区域域是是zyx 半平面半平面. 将二重积分化成累次积分将二重积分化成累次积分, 及其左下方的及其左下方的直线直线zyx xyOzyx .dd),(yxyxfyz 得得 )(zFZ证证 ),(zFYXZZ的的分分布布函函数数先先来来求求 即有即有作作变变量量变变换换，对对积积分分和和固固定定 yzxyxfyzd),(令令, yux 得得 zyzuyyufxyxfd),(d),(于是于是yuyyufzdd),( )(zFZ .dd),(uyyyufz .)1 . 5(式式由概率密度的定义即得由概率密度的定义即得.)2 . 5(式式类类似似可可证证得得例例1 1 .变量变量是两个相互独立的随机

5、是两个相互独立的随机和和设设YX他们都服他们都服,)1 , 0(分布分布从从其概率密度为其概率密度为 ,e21)(22xXxf ,e21)(22yYyf , y, x.的概率密度的概率密度求求YXZ 解解 由由(5.4)式式,d)()()(xxzfxfzfYXZ xxzxdee212)(222 ,dee212242xzxz ,2zxt 令令得得 )(zfZtzdee2122t -4 42e21z .e2142z .)2 , 0(分分布布服服从从即即NZ阐明阐明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合有限个相互独立的正态随机变量的线性组合),(,211NXYX相相互互独独立立且且设设Y).,(2

6、22N仍仍然然服服式式经经过过计计算算知知由由YXZ )4 . 5().,(222121NZ 且且有有普通普通, 从正态分布从正态分布, 依然服从正态分布依然服从正态分布. .解解 的的概概率率密密度度为为R.d)()()( xxzfxfzfR例例2 2 在一简单电路中在一简单电路中, 串联连接，串联连接，和和两电阻两电阻21RR,21相互独立相互独立设设RR它们的概率密度均为它们的概率密度均为 )(xf,100,5010 xx., 0其其他他. .的概率密度的概率密度求电阻求电阻21RRR 由由(5.4)式式,易知仅当易知仅当 ,100 x,100 xz,100 x,10zxz 即即时上述积

7、分的被积函数不等于零时上述积分的被积函数不等于零. 参考以下图参考以下图, 即得即得zxOzx 10 zx10 x1020)(zfR zzxxzfxf0,100,d)()( 1010,2010,d)()(zzxxzfxf., 0其其他他 的表达式代入上式得的表达式代入上式得将将)(xf)(zfR., 0其他其他 ,100),60600(15000132 zzzz,2010,)20(1500013 zz例例3 3 ),( Y,相互独立相互独立设随机变量设随机变量YX且分别服从参数且分别服从参数分布分布的的为为 ,;,),( X 分分布布分分别别记记成成的概率密度分别为的概率密度分别为YX,)(x

8、fX, 0, 0 , 0,e)(11 xxx ., 0其其他他 )(yfY. 0, 0 ,分分布布的的服服从从参参数数为为试试证证明明 YXZ).,( YX即即证证 的概率密度为的概率密度为式式由由YXZ )4 . 5( xxzfxfzfYXZd)()()(易知仅当易知仅当 , 0,e)(11 yyy ., 0其其他他 亦即亦即 时上述积分的被积函数不等于零时上述积分的被积函数不等于零, 于是于是(参见以下图参见以下图), 0)(0 zfzZ时时知当知当时有时有而当而当0 z, 0 x, 0 xz, 0 x, zx zxO)(zfZxxzxxzxzde)()(1e)(1)(110 xxzxzz

9、d)()()(e101 )(ztx 令令 tttzzd)1()()(e11011 ,e1 zAz 记成记成其中其中 tttAd)1()()(11101 .A现在来计算现在来计算由概率密度的性质得到由概率密度的性质得到: )5 . 5(zeAzzd01 1zzfZd)( )(d)(01 zezAz ),( A .)(1 A即有即有 于是于是)(zfZ).,( YX即即 , 0,e)(11 zzz ., 0其其他他 )6 . 5(分布分布个相互独立的个相互独立的上述结论还能推广到上述结论还能推广到 n.变量之和的情况变量之和的情况,21相相互互独独立立即即若若nXXX.,1分分布布的的服服从从参参

10、数数为为 nii且且,), 2 , 1(,分布分布的的服从参数为服从参数为 niXii niiX1则则分分布布这这一一性性质质称称为为 的可加性的可加性. ，是是二二维维连连续续型型随随机机变变量量设设),(YX).,(yxf密密度度它具有概率它具有概率仍为连续型随机变仍为连续型随机变则则XYZXYZ ,其概率密度分别为其概率密度分别为 量量, ,d),()( xxzxfxzfXY.d),(1)(xxzxfxzfXY 的分布的分布的分布、的分布、二二XYZXYZ )(.相互独立相互独立和和如果如果YX的边缘的边缘关于关于设设YXYX,),(),(),(yfxfYX密密度度分分别别为为则则.d)

11、()()(xxzfxfxzfYXXY .d)()(1)( xxzfxfxzfYXXY证证 的分布函数为的分布函数为XYZ )(zFXY)7 . 5()8 . 5( 0,dd),(xzxyxyyxfyxyxfGGdd),(21 0,dd),(xzxyxyyxf zXYP )(zFXY xyyxfzxdd),(0 xyyxfzxdd),(0 xyOzyx 1G2GxyO1G2Gzxy 0 zxuy 令令 xuxuxxfzdd),(0 xuxuxxfzdd),(0 xuxuxfxzdd),()(0 xuxuxxfzdd),(0 xuxuxfxzdd),( uxxuxfxzdd),( .d)()()(

12、xxzfxfxzfYXXY .d)()(1)( xxzfxfxzfYXXY所以所以 类似可得类似可得 例例4 4 某公司提供一种地震保险某公司提供一种地震保险, 度为度为 )(yf , 0,e255 yyy, 0其其他他的概率密度为的概率密度为保险赔付保险赔付X)(xg , 0,e515 xx, 0其其他他的概率密的概率密保险费保险费Y.的概率密度的概率密度求求XYZ ,相互独立相互独立设设YX解解 由由(5.7)式知式知,. 0)( zfZ时，时，当当0 z时，时，当当0 z的的概概率率密密度度为为Z)(zfZxxxzxde25xze51550 xxzzxde1255102 35)1( )3

13、(125zz .)1(23zz ).()(yFxFYX和和分分布布函函数数分分别别为为,变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设YX它们的它们的,min,maxYXNYXM 及及现求现求都都不不和和等等价价于于不不大大于于由由于于YXzYXM,max , z大于大于故有故有 zMP ,zYzXP 的分布的分布及及三三,min,max)(YXNYXM ,相互独立相互独立又由于又由于YX的的得得到到,maxYXM 分布函数为分布函数为 .的的分分布布函函数数.zYPzXP )(maxzFzMP ,zYzXP 即有即有 ).()()(maxzFzFzFYX 类似地类似地, 的分布函数为的

14、分布函数为可得可得,minYXN )(minzF1zNP ,1zYzXP zNP .1zYPzXP 即即 ).(1)(11)(minzFzFzFYX 的的及及,min,max2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(nixFiXi 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为,21个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量是是设设nXXXn那么那么分布函数分别为分布函数分别为 推行推行 )(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 分分布布相相互互独独立立且且具具有有相相同同的的当当nXXX,21,)()(maxnzFzF

15、.)(11)(minnzFzF 时有时有函数函数)(xF例例5 5 连连统统由由两两个个相相互互独独立立的的子子系系设设系系统统21, LLL接而成接而成, 衔接的方式分别为衔接的方式分别为 ,(i)串联串联,(ii)并并联联(iii),(21开始工作开始工作系统系统损坏时损坏时当系统当系统备用备用LL如图如图所示所示.,21YXLL、的寿命分别为的寿命分别为、设设知它们的概率密度知它们的概率密度XY1L2LXY2L1LXY2L1L分别为分别为 , 0,e xx , 0, 0 x)(xfX , 0, 0 y)(yfY, 0,e yy.0, 0 且且其其中中试分别就以上三种衔接试分别就以上三种衔

16、接.的的概概率率密密度度的的寿寿命命方方式式写写出出ZL解解 串联的情况串联的情况(i)就停止就停止系统系统 L,21中有一个损坏时中有一个损坏时由于当由于当LL的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L任务任务, .,minYXZ 的的分分布布函函数数分分布布为为YX, , 0, 0 x)(xFX, 0,e1 xx , 0, 0 y)(yFY, 0,e1 yy的的分分布布函函数数为为,minYXZ )(minzF, 0,e1)( zz. 0, 0 z 的概率密度为的概率密度为,minYXZ )(minzf, 0,e )()( zz. 0, 0 z的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L.,maxYXZ

17、 并联的情况并联的情况(ii),21都损坏时都损坏时由于当且仅当由于当且仅当LL任务任务, 才停止才停止系统系统 L)(maxzF)()(zFzFYX , 0),e1)(e1( zzz. 0, 0 z的的概概率率密密度度为为,maxYXZ )(maxzf, 0,e )(ee)( zzzz. 0, 0 z 才开始才开始系统系统2L备用的情况备用的情况(iii),1损损坏坏时时由由于于这这时时当当系系统统 L之之和和：是是的的寿寿命命因因此此整整个个系系统统21,LLZL任务任务, YXZ 的概率密度为的概率密度为时时当当YXZz 0)(zf zyzy0)(deeyyfyzfYXd)()( zyyzy0)(dee .ee zz ,0时时当当 z的的概概率率密密度度为为于于是是YXZ , 0)( zf )(zf, 0,ee zzz. 0, 0 z四、