第9章 杆件的强度分析

1、 第9章 杆件的强度分析重点： 1构件强度、刚度、稳定性的概念；2轴向拉伸（压缩）的内力-轴力和轴力图 ,截面法 ；3应力的概念。应力的分量-正应力和剪应力，轴向拉压杆横截面上的应力，许用应力4轴向拉压杆的强度条件及其应用；4材料拉压时的力学性能；5. 应力与应变的关系（虎克定律）。 难点：应力的概念、虎克定律第一节概 述 工程结构在工作时，其组成部分构件的承载能力与其受力有关，也与构件材料、截面形状、尺寸等有关。前面已探讨过构件的受力情况分析，本部分内容（材料力学）研究构件在受力时的规律，为（机械）零件的设计（材料、形状、尺寸等）提供计算方法。一、材料力学研究对象一、材料力学研究对象变形固体

2、的基本假设变形固体的基本假设 均匀连续性假设均匀连续性假设: 假定变形固体内部毫无空隙地充满物质，且各点处的力学性能都是相同的。 各向同性假设各向同性假设: : 假定变形固体材料内部各个方向的力学性能都是相同的 。 弹性小变形条件弹性小变形条件: :在载荷作用下，构件会产生变形。构件的承载能力分析主要研究微小的弹性变形问题，称为弹性小变形弹性小变形。弹性小变形与构件的原始尺寸相比较是微不足道的，在确定构件内力和计算应力及变形时，均按构件的原始尺寸进行分析计算。 第一节 概述二、构件承载能力分析的内容二、构件承载能力分析的内容 强度强度 构件抵抗破坏的能力称为构件的强度。 刚度刚度 构件抵抗变形

3、的能力称为构件的刚度。 稳定性稳定性 压杆能够维持其原有直线平衡状态的能 力称为压杆的稳定性。 构件的安全可靠性与经济性是矛盾的。构件承载能力分析的内容就是在保证构件既安全可靠又经济的前提下，为构件选择合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸，提供必要的理论基础和实用的计算方法。 三、杆件变形的基本形式三、杆件变形的基本形式 工程实际中的构件种类繁多，根据其几何形状，可以简化为四类：杆杆、板、壳、块、板、壳、块 。 本章研究的主要对象是等截面直杆(简称等直杆等直杆) 等直杆在载荷作用下，其基本变形的形式有： 1.1.轴向拉伸和压缩变形；轴向拉伸和压缩变形；2.2.剪切变形；剪切变形； 3.3.扭转

4、变形；扭转变形；4.4.弯曲变形弯曲变形。 两种或两种以上的基本变形组合而成的，称为组合变形组合变形。 而在实际应用中，受外力作用产生轴向拉伸或压缩变形的构件非常多，因此，本章主要研究拉（压）杆件的变形。第二节第二节 轴向拉伸与压缩的内力、轴向拉伸与压缩的内力、应力与变形应力与变形 一、杆件轴向拉伸与压缩的概念及特点一、杆件轴向拉伸与压缩的概念及特点FFFF受力特点：受力特点： 外力(或外力的合力)沿杆件的轴线作用，且作用线与轴线重合。 变形特点变形特点 ：杆沿轴线方向伸长(或缩短)，沿横向缩短(或伸长)。 发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉(压压)杆。杆

5、。 二、二、 拉拉( (压压) )杆的轴力和轴力图杆的轴力和轴力图 轴力轴力: 拉压杆的内力拉压杆的内力 外力引起的杆件内部相互作用力的改变量。 FFmmFFNFFN由平衡方程可求出轴力的大小 ：FFN规定规定：FN的方向离开截面为正(受拉),指向截面为负(受压)。 内力内力：轴力:垂直于杆的横截面,并通过横截面形心的内力系的合力称为轴力。 轴力图： 以上求内力的方法称为截面法截面法，截面法是求内力最基本的方法。步骤：截、弃、代、平 注意注意：截面不能选在外力作用点处的截面上。 用平行于杆轴线的x坐标表示横截面位置，用垂直于x的坐标FN表示横截面轴力的大小，按选定的比例，把轴力表示在x-FN坐

6、标系中，描出的轴力随截面位置变化的曲线，称为轴力图。mFFmFNx例例1 1： 已知F1=20KN，F2=8KN，F3=10KN，试用截面法求图示杆件指定截面11、22、33的轴力,并画出轴力图。 132解:外力FR，F1，F2， F3将杆件分为AB、BC和CD段，取每段左边为研究对象，求得各段轴力为：FRFN1=F2=8 8KNFN2=F2 - F1 = -12KNFN3=F2 + F3 - F1 = -2KN 轴力图如图: F2F1F3ABCD123F2FN1F2F1FN2F2F1F3FN3xFNCDBA三、杆件横截面的应力和变形计算三、杆件横截面的应力和变形计算 1.应力的概念：应力的概

7、念： 内力在截面上的集度称为应力应力(垂直于杆横截面的应力称为正应力正应力，平行于横截面的称为切应切应力力)。应力是判断杆件是否破坏的依据。应力是判断杆件是否破坏的依据。 应力单位是帕斯卡，简称帕，记作Pa，即l平方米的面积上作用1牛顿的力为1帕，1 1N Nm m2 21 1PaPa。 1kPa103Pa，1MPa106Pa 1GPa109Pa2.拉(压)杆横截面上的应力 根据杆件变形的平面假设平面假设和材料均匀连续性假设材料均匀连续性假设可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。所以，横截面的正应力计算公式为： AFN=MPaF FN N 表示横截面轴力（表示横截面轴力（N

8、 N）A A 表示横截面面积（表示横截面面积（mmmm2 2） FFmmnnFFN3.拉(压)杆的变形 1）绝对变形：绝对变形： 规定规定：L等直杆的原长 d横向尺寸 L1拉(压)后纵向长度 d1拉(压)后横向尺寸轴向变形 ：横向变形： LLL1ddd1拉伸时轴向变形为正，横向变形为负；压缩时轴向变形为负，横向变形为正。 轴向变形和横向变形统称为绝对变形。绝对变形。 拉(压)杆的变形 2 2）相对变形：）相对变形： 单位长度的变形量。LLdd 和和 都是无量纲量，又称为都是无量纲量，又称为线应变线应变，其中，其中 称为轴向线应变，称为轴向线应变， 称为横向线应变称为横向线应变。 3 3）横向变

9、形系数：）横向变形系数： - -4.4.虎克定律虎克定律：实验表明，对拉(压)杆，当应力不超过某一限度时，杆的轴向变形与轴力F FN 成正比，与杆长L成正比，与横截面面积A 成反比。这一比例关系称为虎克定律虎克定律。引入比例常数E E，其公式为: EALFLNE E 为材料的拉(压)弹性模量，单位是Gpa FN、E、A均为常量，否则，应分段计算。 由此，当轴力、杆长、截面面积相同的等直杆,E E 值越大， 就越小，所以 E 值代表了材料抵抗拉(压)变形的能力，是衡量材料刚度的指标。 L或E例例2 2：如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出轴力图。若杆件较细段横截面面积 ，较粗段 ，材料

10、的弹性模量 ， 求杆件的总变形。 21200mmA 22300mmA GPaE200mmL100解：分别在AB、BC段任取截面，如图示，则： FN2= - -30KN FN1= 10KN1 1 = = FN1 / A1 = 50 MPa2 2 = = FN2 / A2 = 100 MPa轴力图如图：LL10KN40KN30KNABC10KNFN110KN30KNFN2xFN10KN30KN由于AB、BC两段面积不同，变形量应分别计算。由虎克定律：EALFLN可得：LAB10KN X 100mm10KN X 100mm200GPa X X 200 mm2= 0.025mm0.025mmLBC-3

11、0KN X 100mm-30KN X 100mm200GPa X X 300 mm2= -0.050mm-0.050mmL= - - 0.025mm0.025mm第三节第三节 材料拉伸和压缩时的力学性能材料拉伸和压缩时的力学性能 材料的力学性能材料的力学性能：材料在外力作用下，其强度和变形方面所表现出来的性能。它是通过试验的方法测定的，是进行强度、刚度计算和选择材料的重要依据。 工程材料的种类工程材料的种类：根据其性能可分为塑性材塑性材料料和脆性材料脆性材料两大类。低碳钢和铸铁是这两类材料的典型代表，它们在拉伸和压缩时表现出来的力学性能具有广泛的代表性。一、低碳钢拉伸时的力学性能一、低碳钢拉伸

12、时的力学性能 1.1.常温、静载试验常温、静载试验 ：L=510dLdFF低碳钢标准拉伸试件安装在拉伸试验机上，然后对试件缓慢施加拉伸载荷，直至把试件拉断。根据拉伸过程中试件承受的应力应力和产生的应变应变之间的关系，可以绘制出该低碳钢的 曲线。 d2.2.低碳钢低碳钢 曲线分析：曲线分析：试件在拉伸过程中经历了四个阶段，有两个重要的强度指标。 obob段段弹性阶段弹性阶段(比例比例极限极限pp弹性极限弹性极限e e )bcbc段段屈服阶段屈服阶段屈服点屈服点 scdcd段段强化阶段强化阶段 抗拉强度抗拉强度 bdede段段缩颈断裂阶段缩颈断裂阶段 (1)(1)弹性阶段弹性阶段 比例极限比例极限

13、p p oa段是直线，应力与应变在此段成正比关系，材料符合虎克定律，直线oa的斜率 就是材料的弹性模量，直线部分最高点所对应的应力值记作p p，称为材料的比例极限比例极限。曲线超过a点，图上ab段已不再是直线，说明材料已不符合虎克定律。但在ab段内卸载，变形也随之消失，说明ab段也发生弹性变形，所以ab段称为弹性阶段。b点所对应的应力值记作e e ，称为材料的弹性极限弹性极限。 弹性极限与比例极限非常接近，工程实际中通常对二者不作弹性极限与比例极限非常接近，工程实际中通常对二者不作严格区分，而近似地用比例极限代替弹性极限。严格区分，而近似地用比例极限代替弹性极限。 Etan (2)(2)屈服阶

14、段屈服阶段 屈服点屈服点 曲线超过b点后，出现了一段锯齿形曲线，这阶段应力没有增加，而应变依然在增加，材料好像失去了抵抗变形的能力，把这种应力不增加而应变显著增加的现象称作屈服，bc段称为屈服阶段。屈服阶段曲线最低点所对应的应力 称为屈屈服点服点(或屈服极限屈服极限)。在屈服阶段卸载，将出现不能消失的塑性变形。工程上一般不允许构件发生塑性变形，并把塑性变形作为塑性材料破坏的标志，所以屈服点是衡量材料强度的一个重要指标。 sss (3) (3) 强化阶段强化阶段 抗拉强度抗拉强度 经过屈服阶段后，曲线从c点又开始逐渐上升，说明要使应变增加，必须增加应力，材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称作强

15、化，cd段称为强化阶段。曲线最高点所对应的应力值记作 ，称为材料的抗拉强度抗拉强度(或强度极限)，它是衡量材料强度的又一个重要指标。 (4) (4) 缩颈断裂阶段缩颈断裂阶段 曲线到达d点前，试件的变形是均匀发生的，曲线到达d点，在试件比较薄弱的某一局部(材质不均匀或有缺陷处)，变形显著增加，有效横截面急剧减小，出现了缩颈现象，试件很快被拉断，所以de段称为缩颈断裂阶段。 bb3.3.塑性指标塑性指标试件拉断后，弹性变形消失，但塑性变形仍保留下来。工程上用试件拉断后遗留下来的变形表示材料的塑性指标。常用的塑性指标有两个: 伸长率伸长率: :1100LLL% %断面收缩率断面收缩率 ：1100A

16、AA% %L1 试件拉断后的标距L 是原标距A1 试件断口处的最小横截面面积A 原横截面面积 、 值越大，其塑性越好。一般把 5的材料称为 塑性材料塑性材料，如钢材、铜、铝等。把 5的材料称为 脆性材料脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。 二、低碳钢压缩时的力学性能二、低碳钢压缩时的力学性能 比较低碳钢压缩与拉伸曲线,在直线部分和屈服阶段大致重合，其弹性模量比例极限和屈服点与拉伸时基本相同，因此低碳钢低碳钢的抗拉性能与抗压性能是的抗拉性能与抗压性能是相同的相同的。屈服阶段以后，试件会越压越扁，先是压成鼓形，最后变成饼状，故得不到压缩时的抗压强度。因此对于低碳钢一般不作压缩试验。 三、铸铁拉伸时的

17、力学性能三、铸铁拉伸时的力学性能 铸铁是脆性材料的典型代表。曲线没有明显的直线部分和屈服阶段，无缩颈现象而发生断裂破坏，塑性变形很小。断裂时曲线最高点对应的应力值称为抗拉强度抗拉强度 。铸铁的抗拉强度较低。 曲线没有明显的直线部分，应力与应变的关系不符合虎克定律。但由于铸铁总是在较小的应力下工作，且变形很小，故可近似地认为符合虎克定律。通常以割线Oa的斜率作为弹性模量E。 b四、铸铁压缩时的力学性能四、铸铁压缩时的力学性能曲线没有明显的直线部分，应力较小时，近似认为符合虎克定律。曲线没有屈服阶段，变形很小时沿与轴线大约成45的斜截面发生破裂破坏。曲线最高点的应力值称为抗压强度抗压强度 。by铸

18、铁材料抗压性能远好于抗拉性能，这也是脆性材料共有的属性。因此，工程中常用铸铁等脆性材料作受压构件，而不用作受拉构件。 第四节第四节 拉拉( (压压) )杆的强度计算杆的强度计算 一、许用应力和安全系数 极限应力极限应力：材料丧失正常工作能力时的应力：材料丧失正常工作能力时的应力。塑性变形塑性变形是塑性材料破坏的标志是塑性材料破坏的标志。屈服点 为塑性材料的极限应力。断裂是脆性材料破坏的标志断裂是脆性材料破坏的标志。因此把抗拉强度 和抗压强度 ，作为脆性材料的极限应力。 sbby许用应力许用应力：构件安全工作时材料允许承受的最大应力：构件安全工作时材料允许承受的最大应力。构件的工作应力必须小于材料的极限应力