第2章-2动量守恒定律教材

1、2-2-1 动量车辆车辆超载超载容易容易引发交通事故引发交通事故车辆车辆超速超速容易容易引发交通事故引发交通事故结论：结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物 体的质量有关。体的质量有关。 动量：动量：运动质点的质量与速度的乘积。运动质点的质量与速度的乘积。vmp 单位：单位：kgms-1由由n个质点所构成的质点系的动量：个质点所构成的质点系的动量： iniiniimppv112-2-2 动量定理一、质点的动量定理一、质点的动量定理 运动员在投掷标枪时，伸直手运动员在投掷标枪时，伸直手臂，尽可能的延长手对标枪的作用臂，尽可能的延长手对标枪的作用时间，

2、以提高标枪出手时的速度。时间，以提高标枪出手时的速度。 冲量反映力对时间冲量反映力对时间的累积效应。的累积效应。1、冲量：、冲量：恒力的冲量：恒力的冲量：)(0ttFI单位：单位：Ns冲量：冲量： 作用力与作用时作用力与作用时间的乘积间的乘积有限过程变力的冲量：有限过程变力的冲量：ttttFI0)(d牛顿运动定律：牛顿运动定律：amF()mFmttddddvv元过程的冲量：元过程的冲量：ttFd )(pFdtd动量定理的微分式：动量定理的微分式：Fdtp d如果力的作用时间从如果力的作用时间从 ，质点动量从，质点动量从 tt 0pp0ppttptFI00dd2、质点动量定理：、质点动量定理：p

3、Fdtd动量定理的积分式：动量定理的积分式：000vvmmpptFIttd质点动量定理：质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。冲量等于质点动量的增量。说明：说明：（1 1） 冲量的方向冲量的方向 与动量增量与动量增量 的方向一致。的方向一致。Ip动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。量叠加原理。（2 2）（3 3） 冲量是冲量是过程量过程量, ,动量是瞬时量。动量是瞬时量。ttzzzzttyyyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI000000dddvvvvvv质点动量定理的分量

4、式质点动量定理的分量式000vvmmpptFIttd3、平均冲力：、平均冲力：tttFttF0d10tFI tFt0ttF0ttIFtd00()ttF ttFtd结论：结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体受到的平均冲力越小；反之则越大。物体受到的平均冲力越小；反之则越大。 海绵垫子可以延长运动员下落时与其接触的时间，这样就减小了地面对人的冲击力。 二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理设设 有有n n个质点构成一个系统个质点构成一个系统iFiF内第第i个质点个质点：外力外力iF内力内力iF内质量质量im初速度初速度0iv末速度末速度iv由

5、质点动量定理：由质点动量定理：0d0iiiittiimmtFFvv内 0d0iiiittiimmtFFvv内末时刻系统总动量：末时刻系统总动量：iimpv初时刻系统总动量：初时刻系统总动量：00iimpv合外力的冲量：合外力的冲量： ttitF0d质点系质点系： 0iF内其中：其中：ppptFtti 00d质点系所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。质点系所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。注意：注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。系统的内力不能改变整个系统的总动量。 能使系统内质点的动量发生转移。能使系统内质点的动量发生转移。第第i个质点个质点：iidpFFdt内iFiF内()iid

6、pFFdt内质点系质点系：idpFdtiidpdpdtdpiFdtdpO例例1 质量质量m = 1kg的质点从的质点从O点开始沿半径点开始沿半径R = 2m的的圆周运动。以圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为方程为 。试求从。试求从 s到到 s这段这段时间内质点所受合外力的冲量。时间内质点所受合外力的冲量。25 . 0ts21t22t解：解：22121s211Rs222122s22Rsttsddv11sm2v12sm2v1vm2vm11smkg2vm12smkg2vm)(12vvvmmmI1222221642(smkgvv)vmmm1smkg69

7、. 76I22tan12vvmm44541vm2vm)( vm11smkg2vm12smkg2vmjiijmmI22)2(212vv122642smkgI1vm2vm)( vmxy建立坐标系建立坐标系22tanxyII4454例例2 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F = 400-4 105 t/3，子弹从枪口射出时的速率为，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走）子弹走完枪筒全长所用的时间完枪筒全长所用的时间t。（。（2）子弹在枪筒中所受力）子弹在枪筒中所受力的冲量

8、的冲量I。（。（3）子弹的质量。）子弹的质量。（1）031044005tFs003. 010440035t（2）sN6 . 032104400d3104400d003. 0025003. 005tttttFI（3）0vmIg2kg002. 0kg3006 . 0vIm2-2-3 动量守恒定律00dpptFtti 0iF0pp00dpptFtti 0iF00,vvpp即系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。常矢量iimpv条件：条件： 0iF说明：（1 1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，

9、而是指系统动量总和不变。质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。（2 2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）（3 3）当外力在某一方向上投影的代数和为零时）当外力在某一方向上投影的代数和为零时（或不受力），则系统在该方向上总动量的投影（或不受力），则系统在该方向上总动量的投影的代数和守恒。的代数和守恒。动量守恒定律的分量式：动量守恒定律的分量式：0)0)0)xiixxyiiyyziizzpmpmpm常量(F常量(F常量(Fvvv 动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律动量

10、守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观物体。之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观物体。例例3 火箭以火箭以2.5 103m/s的速率水平飞行，由控制器的速率水平飞行，由控制器使火箭分离。头部仓使火箭分离。头部仓m1=100kg，相对于火箭，相对于火箭容器仓容器仓的平均速率为的平均速率为103 m/s 。火箭容器仓质量。火箭容器仓质量m2=200 kg。求容器仓和头部仓相对于地面的速率。求容器仓和头部仓相对于地面的速率。解：解：容器仓和头部仓容器仓和头部仓分离时分离时头部仓速度为头部仓速度为2vx建立坐标系建立坐标系以火箭即以火箭即容器仓和头部仓容器仓

11、和头部仓为研究对象为研究对象容器仓和头部仓容器仓和头部仓没有分离时速度没有分离时速度smi/3102.5v容器仓和头部仓容器仓和头部仓分离时分离时容器仓速度为容器仓速度为1vsmi/103rv容器仓和头部仓容器仓和头部仓分离时头部仓相对于分离时头部仓相对于容器仓速度为容器仓速度为22r21221121)()(vvvvvvmmmmmm1321r12sm1017. 2mmm vvv13r21sm1017. 3vvv221121)(vvvmmmmxrvvv12动量守恒：动量守恒：例例4 宇宙飞船在宇宙尘埃中水平飞行宇宙飞船在宇宙尘埃中水平飞行，尘埃密度为尘埃密度为 。如果质量为如果质量为mo的飞船以

12、初速的飞船以初速vo穿过尘埃穿过尘埃，假如飞船飞，假如飞船飞过空间的尘埃全部过空间的尘埃全部粘在飞船的前底上，求飞船的速度粘在飞船的前底上，求飞船的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积为面积为S的圆柱体）的圆柱体）某时刻飞船速度：某时刻飞船速度：v，质量：，质量：m，以它为研究对象以它为研究对象vvmm00mvx建立坐标建立坐标系系动量守恒：动量守恒：vvmmmm0 )(000vv00mm ttmSo0003ddvvvvvtmS00202)11(21vvv00002vvvmtSmtmSdd003vvv质量增量：质量增量：tSmdd

13、vtSmmddd200vvvvmvvv00mm 2-2-4 火箭飞行原理vvdru设：设： t 时刻：时刻：火箭的质量为火箭的质量为m， 速度为速度为v；t +dt 时刻：时刻： 火箭的质量火箭的质量为为m+dm 速度为速度为v + dv 喷出气体的质量喷出气体的质量为为-dm 相对于火箭的速度为相对于火箭的速度为ury建立坐标系建立坐标系rummmmvv-v)(vvdddd略去二阶无穷小量略去二阶无穷小量 vddmmmuddrv设：设：初始初始00v火箭总质量火箭总质量 m0 ，壳体本身的质量为壳体本身的质量为m1 ，燃料耗尽时火箭的速度为，燃料耗尽时火箭的速度为 v10ddr0mmmmuv

14、v喷出气体的速度：喷出气体的速度：ruvvd动量守恒：动量守恒：10rlnmmuv10mm为质量比为质量比多级火箭：多级火箭：一级火箭速率：一级火箭速率：1rlnNu1v设各级火箭的质量比分别为设各级火箭的质量比分别为N1，N2，N3 ，二级火箭速率：二级火箭速率：2r12lnNu vv3r23ln Nu vv三级火箭速率：三级火箭速率：10mmmmuddr0v1v101mmN 211mmvmmuddrv2v322mmvmmuddrv3v122mmN 233mmN 三级火箭所能达到的速率为：三级火箭所能达到的速率为：)ln()lnln(ln321r321r3NNNuNNNuv设，设，N1 =

15、N2 = N3 = 313rsm105 . 2u得得13133sm102 . 83ln3sm105 . 2v这个速率已超过了第一宇宙速度的大小。这个速率已超过了第一宇宙速度的大小。 2-2-5 质心与质心运动定理一、质心一、质心imO1m2mxyzCCr1rir2rn21nn2211mmmrmrmrmrCi iCimrrmcr设由设由n个质点构成一质点系个质点构成一质点系 质量：质量：m1， m2， mn位矢：位矢： ， ， 1r2rnriiiCmxmxiiiCmymyiiiCmzmzmmxxCddmmyyCddmmzzCdd对于密度均匀，形状对称的物体，其质对于密度均匀，形状对称的物体，其质

16、心都在它的几何中心。心都在它的几何中心。二、质心运动定理二、质心运动定理i iCm rrm质心位置公式：CiirrmmttddddCiimmvv质点系的总动量等于总质量与其质心运动速质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度的乘积。度的乘积。 iiiidpmmdtttddddvvCi imrmridpFdtiCimmttddddvvCmaiCFma 作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量与质心加速度的乘积。与质心加速度的乘积。系统在外力作用下，质心的加速度等于外系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量和除以系统的总质量。力的矢量和除以系统的总质量。（

17、2 2）系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量，内力既不能改变质点系的总动量矢量，内力既不能改变质点系的总动量, ,也也不能改变质心的运动状态不能改变质心的运动状态 。（1 1）例例5 有质量为有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为地点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落（以该碎片落等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落（以该碎片落地点为坐标原点，水平方向为地点为坐标原点，水平方向为x轴），另一碎片水平轴），另一碎片水平抛出，它们同时落地。

18、问第二块碎片落在何处。抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。 在爆炸的前后，质心在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为线，它的落地点为xc c 。xc212211mmxmxmxC0,121xmmmmmxxC22Cxx22x2oxmxyzrLpO设：设：t t时刻质点的位矢时刻质点的位矢r质点的动量质点的动量vm 运动质点运动质点相对于参考相对于参考原点原点O的的角动量角动量定义为定义为vmrprL单位：单位：kg m2s-1一、 角动量1、质点对参考点、质点对参考点O的角动量的角动量sinsinvmrrpL

19、 位位矢矢 和动量和动量 的矢积方向的矢积方向vmr如果质点绕参考点如果质点绕参考点O 做圆周运动做圆周运动rpOrmprLv 角动量与参考点角动量与参考点O的位置有关；的位置有关；角动量与所取的惯性系有关。角动量与所取的惯性系有关。 质点对参考点的角动量在通过参考点的任意质点对参考点的角动量在通过参考点的任意轴线上的投影，称为质点轴线上的投影，称为质点对该轴线的角动量对该轴线的角动量。 LOALAcosLLA参考点为参考点为O，通过参考点，通过参考点O的轴线方向为的轴线方向为OA。 2、质点对轴的角动量、质点对轴的角动量2质点对轴的角动量与轴线质点对轴的角动量与轴线OA方向一致；方向一致；2

20、质点对轴的角动量与轴线质点对轴的角动量与轴线OA方向相反方向相反。 大小大小:方向方向:设各质点对设各质点对O点的位矢分别为点的位矢分别为nrrr,21动量分别为动量分别为nppp,21niniiiiprLL11)(3 3、质点系对参考点的角动量、质点系对参考点的角动量L二、力矩质点对参考点质点对参考点O的角动量的角动量 随时间的变化率为随时间的变化率为 LtprptrtprtLdddddddd0ddpptrv式中式中FtpddFrtLdd 质点角动量的改变不仅与所受的作用力质点角动量的改变不仅与所受的作用力 有关，有关，与参考点与参考点O到质点的位矢到质点的位矢 有关，而且与力和位矢的有关，

21、而且与力和位矢的夹角有关。夹角有关。 rFxyzrOMF力矩的大小：力矩的大小：sinrFM FrM力矩的方向由右手螺旋力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于关系确定，垂直于 和和确定的平面。确定的平面。rFmN单位：单位：1、力对参考点、力对参考点O的力矩的力矩tLMdd 质点对质点对某一参考点某一参考点的角动量随时间的变化率的角动量随时间的变化率等于质点所受的合外力对等于质点所受的合外力对同一参考点同一参考点的力矩。的力矩。 2、力对轴的力矩、力对轴的力矩OAAMM力力 对轴对轴OA的力矩：的力矩： F 为力为力 对参考对参考O点的力矩点的力矩 在在过该参考点的轴线过该参考点的轴线OA上的投

22、影。上的投影。FMcosMMA2力对轴的力矩与轴线力对轴的力矩与轴线OA方向一致；方向一致；2力对轴的力矩与轴线力对轴的力矩与轴线OA方向相反方向相反。 大小大小:方向方向:2、力对轴的力矩、力对轴的力矩AOrFF/FMFrFrM/力力 对轴对轴OA的力矩：的力矩： FFrMA/FFF/rFOA的方向与轴垂直设作用于质点系的作用力分别为：设作用于质点系的作用力分别为：nFFF,21作用点作用点相对于相对于参考点参考点O的位矢分别为：的位矢分别为： nrrr,213、对参考点的合力矩、对参考点的合力矩iiFrMOxyz1rir2r1F2FiF三、 角动量定理 角动量守恒定律 tLMdd00LLt

23、Mttd1 1、质点的角动量定理、质点的角动量定理角动量定理的积分式：角动量定理的积分式：tttM0d称为称为“冲量矩冲量矩” 质点对质点对某一参考点某一参考点一段时间的冲量矩等于质一段时间的冲量矩等于质点对点对同一参考点同一参考点的角动量的增量。的角动量的增量。 角动量定理的微分式：角动量定理的微分式：MdtLd元冲量矩元冲量矩（过程量）（过程量）：Mdt质点系的角动量：质点系的角动量：niniiiiprLL11)(两边对时间求导：两边对时间求导：tprptrtLiiiidddddd0ddiiptr上式中上式中iiiiiFFrtpr内dd0iiFr内上式中上式中iiiiFrFrtL内dd合内力矩为零！合内力矩为零！2 2、质点系的角动量定理、质点系的角动量定理tLFrMiidd 质点系对质点系对某一参考点某一参考点的角动量随时间的变化率等的角动量随时间的变化率等于