第2讲 整式及其运算

1、实验中学数学整式及其运算整式及其运算 第二讲1单项式：由_数与字母_或_字母与字母_相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做_单项式的次数_，数字因数叫做_单项式的系数_单独的数、字母也是单项式2多项式：由几个_单项式相加_组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个_多项式的次数_，其中不含字母的项叫做_常数项_3整式：_单项式和多项式_统称为整式4同类项：多项式中所含_字母_相同并且_相同字母的指数_也相同的项，叫做同类项 6整式乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式单项式乘多项式：m(a

2、b)_mamb_；多项式乘多项式：(ab)(cd)_acadbcbd_.7乘法公式(1)平方差公式：_(ab)(ab)a2b2_；(2)完全平方公式：_(ab)2a22abb2_8整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加 6(2013河北)如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏： 假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y(B)A2 B3 C6 Dx37(2012河北)已知yx1，则(xy)2(yx)1的值为_1_8(2009河北)若m

3、、n互为倒数，则mn2(n1)的值为_1_9(2008河北)若m、n互为相反数，则5m5n5_5_.10(2011河北)若|x3|y2|0，则xy的值为_1_11(2007河北)若a2a0，则2a22a2007的值为_2007_ 12(2010河北)已知x1是一元二次方程x2mxn0的一个根，则m22mnn2的值为_1_. 整式的加减运算 【例1】(1)(2014邵阳)下列计算正确的是(A)A2xxxBa3a2a6C(ab)2a2b2 D(ab)(ab)a2b2(2)(2014威海)已知x22y，则x(x3y)y(3x1)2的值是(B)A2B0C2D4(3)计算：3(2xyy)2xy_4xy3

4、y_【点评】整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果 同类项的概念及合并同类项 【例2】若4xayx2yb3x2y，则ab_3_解析：4xayx2yb3x2y，可知4xay，x2yb，3x2y是同类项，则a2，b1，所以ab3【点评】(1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并 (2)(2014济宁)化简5ab4ab的结果是(D)A1 Ba Cb Dab 幂的运算 【例3】(1)(2014济南)下列运算中，结果是a5的是(A)Aa3a2 Ba10a2C

5、(a2)3 D(a)5(2)(2012南京)计算(a2)3(a2)2的结果是(B)Aa Ba2 Ca3 Da4解析：(a2)3(a2)2a6a4a2【点评】(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理 整式的混合运算及求值 【点评】注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算 4(2012杭州)化简2(m1)mm(m1)(m1)mm(m1)，若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个

6、什么数？ 解：2(m1)mm(m1)(m1)mm(m1)2(m2mm2m)(m2mm2m)8m3.原式(2m)3，表示3个2m相乘，或者说是一个立方数，8的倍数等 乘法公式 【例5】(2013义乌)如图，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图的等腰梯形 (1)设图中阴影部分面积为S1，图中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式(ab)(ab)a2b2【点评】(1)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：a2b2(ab)22ab；a2b2(ab)22ab；(ab)2(ab

7、)24ab；(ab)2(ab)24ab.注意公式的变式及整体代入的思想(2)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的原则 5(1)整式A与m22mnn2的和是(mn)2，则A_4mn_(2)(2014广州)已知多项式A(x2)2(1x)(2x)3.化简多项式A；若(x1)26，求A的值试题一个两位数，将它的十位数字与个位数字对调，证明所得的数与原来的两位数之差是9的倍数审题视角通过举例子的办法来理解题意，例如28，将它的十位数字与个位数字对调，得82，它与原来的两位数之差为54，是9的倍数但是，两位数很多，要一个一个去验证，显然很麻烦为此想到利用字母去表示这个两位数的十位数字和个位数字，用式子表示这个两位数和对调数字后所得的新两位数，通过计算来证明一般的结论 规范答题证明：设两位数的十位数字是a，个位数字是b，那么这个两位数就等于10ab.将十位数字与个位数字对调，所得的新数的十位数字是b，个位数字是a，它等于10ba.于是，所得的新数与原来的两位数之差为：(10ba)(10ab)10ba10ab9b9a9(ba)因为ba是一个整数，所以9(ba)是9的倍数，即所得的新数与原来的两位数之差是9的倍数答题思路第一步：先考虑特殊的情形，写出任意