高等数学概论1

1、 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院微微 积积 分分彭雨明彭雨明 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院 为什么要学习微积分？为什么要学习微积分？ 学习微积分需要很多中学数学学习微积分需要很多中学数学基础知识吗？基础知识吗？ 如何学习微积分？如何学习微积分？ 微积分基础知识介绍；微积分基础知识介绍； 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然要辨证而又唯物地了解自然 , ,就必须熟悉数学就必须熟悉数学; ;一门科学一门科学, , 只有当它成功地运用数学时只有当它成功地运用数学时, ,才能达到真正完善的地步才能

2、达到真正完善的地步 ; ;(1)为什么要学习微积分？为什么要学习微积分？ 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院(1)为什么要学习微积分？为什么要学习微积分？ 学科作用学科作用：可以锻炼人的多项能力，包可以锻炼人的多项能力，包括逻辑思维括逻辑思维、运算运算、空间想象等；空间想象等； 工具作用工具作用：数学建模：数学建模、计算机编程等计算机编程等 -考研考研、工理科专业基础课工理科专业基础课、战争。战争。 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院(2)需要很多基础数学知识吗？需要很多基础数学知识吗？ 不需要很多中学数学知识做基础；不需要很多中学数学知识做基础； 高等数学和中

3、学数学思想方法有些不同；高等数学和中学数学思想方法有些不同；“以直代曲以直代曲” ” 、“以等代以等代不等不等” 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院(3)学习高等数学的方法学习高等数学的方法学数学最好的方式是做数学学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习 , , 天才在于积累天才在于积累 . .学而优则用学而优则用 , , 学而优则创学而优则创 . .由薄到厚由薄到厚 , , 由厚到薄由厚到薄 . .华罗庚华罗庚 会做笔记，掌握概念，多做习题，会做笔记，掌握概念，多做习题，抓住复习环节抓住复习环节. . 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院(4)高等数学

4、基础知识高等数学基础知识概念一概念一集集 合合 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院元素元素 a 属于集合属于集合 M , 记作记作元素元素 a 不属于集合不属于集合 M , 记作记作集集 合合定义定义 ： 具有某种特定性质的事物的总体称为集合具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集不含任何元素的集合称为空集 , 记作记作 . Ma( 或或Ma) .Ma注注: M 为数集为数集 M表示表示 M 中排除中排除 0 与负数的集与负数的集 ;M表示表示 M 中排除中排除 0 与正数的集与正数的集 . 广州白云学院广州

5、白云学院 广州白云学院广州白云学院表示法：表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例例: 有限集合naaaA,21自然数集,2,1,0Nn(2) 描述法： xM x 所具有的特征例例: 整数集合 ZxNx或N x有理数集qpQ,N,Zqp p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数x0 x0有理点有理点无理点无理点有趣的思考：有趣的思考：实数轴上有理点多还是无理点多？实数轴上有理点多还是无理点多？ 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院有趣的数学小故事一有趣的数学小故事一（1 1）实数的发展史）实数的发展史 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云

6、学院 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院（2 2）阿拉伯数字）阿拉伯数字有趣的数学小故事二有趣的数学小故事二定义 ：给定两个集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:ABABBABABx或集合的运算集合的运算 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院(4)高等数学基础知识高等数学基础知识概念二概念二区区 间间（）ab 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院 ),xbabxa ,(xbabxa无限区间无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx半开区

7、间半开区间开区间开区间 ),(xbabxa闭区间闭区间 ,xbabxa 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院小贴士小贴士 为了直观考察数集，一定要为了直观考察数集，一定要将区间和在数轴上的对应部分将区间和在数轴上的对应部分联系在一起！联系在一起！x03-1-1 , 3x03-1(-1 , 3x03-1(-1 , 3) 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院(4)高等数学基础知识高等数学基础知识概念三概念三邻邻 域域 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院)(aa ),(Uxa点点 a 的的 邻域邻域a ),(xaaxa xaxax0其中, a 称为邻域中心

8、 , 称为邻域半径 .去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :, ),(aa右右 邻域邻域 :. ),(aa 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院(4)高等数学基础知识高等数学基础知识概念四概念四一元二次方程一元二次方程一元二次不等式一元二次不等式 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院一元二次方程一元二次方程0, 02acbxxa其中一元二次不等式一元二次不等式0022cbxaxcbxax 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院一元二次方程解法一元二次方程解法0, 02acbxxa其中 配方法配方法 因式分解法因式分解法 公式法公式法01322 xx求解一元二次

9、方程例： 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院一元二次不等式解法一元二次不等式解法0022cbxaxcbxax所表示的区域；不等式在数轴上表示一元二次例：0232 xx 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院(4)高等数学基础知识高等数学基础知识概念五概念五第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁函函 数数 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院1. 一元函数的概念一元函数的概念 定义定义4. 设D是一个数集，如果对于D上的每一个确定的数值x，按照某个对应关系f，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y

10、就叫做定义在数集D上x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量, D叫做函数的定义域，当 x 取遍 D 中的一切数值时，对应的函数值 y 的集合叫做函数的值域。Dxxfy, )(自变量因变量函数：函数：对应法则定义域 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院2. 函数的表示法函数的表示法 （1）公式法）公式法函数：函数：)arctan(ln1sin2xyxxyxy（2）图象法）图象法Y=|x|绝对值函数绝对值函数 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院（3）列表法）列表法函数：函数：上衣上衣（件）（件）裤子裤子（条）（条）鞋鞋（双）（双）袜子袜子（双）（双）军工厂军工厂A1万万

11、2万万1万万2万万军工厂军工厂B1.5万万1.5万万2万万1万万生产产品数为服装品种的函数生产产品数为服装品种的函数 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院3. 函数值及其求法函数值及其求法 函数：函数：)(),1(),2(, 5302hxfffxxy求)(),2(,2sin0 xxffxy求例例 题题 ：练练 习习 ： 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院3. 函数值及其求法函数值及其求法 函数：函数：如何求解？（的值；讨论求例：设函数)2)(),1 (),2(2sin213211)(2xffffxxxxxxxfy例例 题题 （分段函数）（分段函数） 广州白云学院广

12、州白云学院 广州白云学院广州白云学院4. 函数的相等函数的相等 函数：函数：1) 1 (yxxy|)2(2xyxy例例 题题 ：下面两组函数是否为同一函数？：下面两组函数是否为同一函数？不相同不相同相同相同定义域不同定义域不同要素全相同要素全相同 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院5. 函数的定义域函数的定义域 函数：函数：)2(log, 213210, 1)1(2xyxxxyx对数的规定分母不能为)3arcsin(, 413, 3xyxy反三角函数根式类型 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院5. 函数的定义域函数的定义域 函数：函数：的定义域；例：求函数)3l

13、n(12xxy)3ln(12xxy0yx 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院5. 函数的定义域函数的定义域 函数：函数：的定义域；练习：求函数)4ln(1312xxxy 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院6. 求函数的表达式求函数的表达式 函数：函数：的表达式；求函数例子：设函数)(, 13) 1(2xfyxxxfy 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院函数的性质函数的性质 函数：函数：。的严格单调递减的函数上是则称函数果数；反之，如上的严格单调递增的函是则称函数如果对于设函数单调性ExfyxfxfExfyxfxfExxExxfy)(),()()(

14、),()(,),(, 1212121 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院证明函数单调性的方法证明函数单调性的方法 函数：函数：;2212上的增减性在讨论函数，例上的增减性；在，讨论函数例RyRxyx）商值法（）差值法（212xy 0yxxy20yx 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院函数的性质函数的性质 函数：函数：的有界函数。上是则称函数满足对于设函数有界性ExfyMxfMExExxfy)(,| )(|, 0,),(, 2xyarctan2y0yx2y 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院函数的性质函数的性质 函数：函数：上的奇函数。是，则称函数

15、都成立，）换成：对于如果将上面的条件（上的偶函数。是则称函数，都有）对于（关于原点对称；）（函数满足下面条件：设有函数奇偶性ExfyxfxfExExfyxfxfExEExxfy)()()(2)();()(21,),(, 32xy 0yx3xy 0yx3xy 0yx2xy 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院证明函数奇偶性的方法证明函数奇偶性的方法思考题：思考题：;)1ln(:2的奇偶性讨论函数例xxy常见奇偶函数有那些？图象有那些特点？常见奇偶函数有那些？图象有那些特点？)1ln(2xxy0yx 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院函数的性质函数的性质 函数：函数：

16、一个周期。的为函数则称满足对于如果设函数周期性)(),()(, 0,),(, 4xfyaxfaxfExaExxfyxycos0yx 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院反函数的定义反函数的定义 反函数：反函数：定义定义4. 设有函数y=f (x), D是其定义域，如果对于每一个值域上的y值，按照对应法则f，变量y都有唯一确定的D上的x值和它对应，这样就确定了一个以y为自变量，x为因变量的新函数x=g (y)，这个函数就叫做函数y=f (x)的反函数 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院反函数的求法：反函数的求法：(1)从从 y=f (x)反反解出解出x;(2)确定确

17、定y的取值范围的取值范围;(3)交换交换x y反函数：反函数：的反函数；例，求1)(3xxfy13 xy0yx31xy 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院反函数的求法反函数的求法 反函数：反函数：的反函数；练习，求) 1,(132)(xRxxxxfy23xxy0yx132xxy 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院隐函数与显函数隐函数与显函数函数。数是相对隐函数而言的等。而显函所确定的函数表示的函数。例如：，个方程量的对应规律用一隐函数指因变量与自变)(10y)(22xfyyxxF 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院分段函数分段函数其图像如下：例如

18、：为不同的图形的函数。式，在图像上表现内，具有不同解析表达义域内的不同范围分段函数指函数在其定00)(2xxxxxfy 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院练练 习习的函数图像。作出函数112)(2xxxxxfy 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院复合函数复合函数复合而成的。和可以看成是例如为中间变量。为内层函数，函数，为外层数，通常称经过复合而成的复合函和函数为函数，则称函数如已知两个函数xuuyxyuxuufyxuufyxfyZDZuDxxuZyDuufy1

19、)1 ()()()()()(,),(;,),(22212211 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院例例 子子一个函数？能否复合成，函数的表达式。和函数求函数函数，函数12,arctan2)()(,2)(,)(12xveuuyxfgyxgfyxgyxxfyvx反正切函数反正切函数xyarctan2y0yx2y 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院函数复合注意点：函数复合注意点：一般发生较大的改变。，复合函数图像性质等可以复合的，例如：，不是任意两个函数就2;2,arcsin12xuuy 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院基本初等函数基本初等函数一、常

20、值函数一、常值函数cy 0yxc 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院称为幂函数的函数，形如)0( axya二、幂函数二、幂函数几个特殊幂函数几个特殊幂函数1a0yxxy 几个特殊幂函数几个特殊幂函数2a0yx2xy 几个特殊幂函数几个特殊幂函数3a0yx3xy 几个特殊幂函数几个特殊幂函数1a0yxxxy11几个特殊幂函数几个特殊幂函数2a0yx221xxy几个特殊幂函数几个特殊幂函数21a0yxxxy21幂函数性质幂函数性质a0a0时,函数单调增加 (2)当x0时,函数单调减少yx时，当)3(00)3(yxyx时，当时，当 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院;

21、9 . 08 . 024 . 13 . 112 . 12 . 122的大小和）（和）例：比较（ 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院称为指数函数的函数，形如) 1, 0(aaayx三、指数函数三、指数函数几个特殊指数函数几个特殊指数函数ea 0yxxey 几个特殊指数函数几个特殊指数函数ea10yxxxeey)1(几个特殊指数函数几个特殊指数函数0yx 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院;8 . 08 . 023 . 13 . 111 . 12 . 11 . 22的大小和）（和）例：比较（ 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院cccbccbcbcbc

22、bcbcbbabaaaaaaaaaaa)()(幂运算几个性质幂运算几个性质 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院称为对数函数的函数，形如) 10(logaaxya四、对数函数四、对数函数几个特殊对数函数几个特殊对数函数ea 0yxxyln几个特殊对数函数几个特殊对数函数xey 0yxxyln几个特殊对数函数几个特殊对数函数ea10yxxye1log几个特殊对数函数几个特殊对数函数xye1log0yxxey)1( 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院xyxyabcbbaacbcbcbbcaacabaaaaaaa10loglogln1logloglog01loglogl

23、ogloglogloglog注意对数运算几个性质对数运算几个性质 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院xyxyxyxyxyxycscseccottancossin五、三角函数五、三角函数正弦函数正弦函数0yxxysin余弦函数余弦函数0yxxycos正切函数正切函数0yxxytan余切函数余切函数0yxxycot 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院xxxxxxcottan1seccos1cscsin1三角函数几个关系三角函数几个关系倒数关系倒数关系 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院xxxxxxtancossincotsincos三角函数几个关系三

24、角函数几个关系商数关系商数关系 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院xxxxxx222222cot1csctan1sec1cossin三角函数几个关系三角函数几个关系平方关系平方关系 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院xxxxxxxx2222sin211cos2sincos2coscossin22sin三角函数几个关系三角函数几个关系二倍角关系二倍角关系 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院正弦相减余弦大正弦相加正弦大2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsin三角函数几个关系三角函数几个关系和差化积和差化积 广州白云学院广州白云学院 广州白云学院广州白云学院负二正正余弦差二乘余余余弦加2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos三角函数几个关系三角函数几个关系和差化积和差化积 广州白云学院