材料力学II—能量法方喻飞

1、131 概述132 应变能 余能133 卡氏定理134 用能量法解超静定问题135 虚位移原理及单位力方法 1. 弹性体2. 功能原理：3. 能量法：受力作用要发生变形，同时载荷作用点要产生位移，因此，外力在相应的位移上要作功，而弹性体由于变形要积蓄一定的变形能。外力所作功 W 在数值上等于弹性体的变能U，即W=U用功能原理计算和分析构件及结构的位移、变形和内力等问题。一、能量原理： U = W二、线弹性体的应变能的计算1、轴向拉压杆的变形能计算：LdxEAxNU2)( 2niiiiiAELNU122 或21:u比能2、扭转杆的变形能计算：LPdxGIxTU2)( 2niPiiiiIGLTU1

2、22 或21:u比能3、弯曲杆的变形能计算：LdxEIxMU2)( 2niiiiiIELMU122 或21:u比能4、组合变性杆的变形能计算： 小变形时，各基本变形的变形能可单独计算，然后相加，得到组合变性杆的总变形能。即：LLPLdxEIxMdxGIxTdxEAxNU2)( 2)( 2)( 222 注意:变形能是力的二次函数，因此，引起同一基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，并不等于各力分别作用时产生的变形能之和。例如：21PP EA1PEA2PEA 21212221221222)(UUEALPPEALPEALPEALPPU结论：变形能与加载次序无关三、三、 非线性弹性体的应变能表达式非

3、线性弹性体的应变能表达式对图(a)的拉杆,)关系如图(其bFF在在d 上所作微功为上所作微功为 dW = F d F作的总功为作的总功为：1100ddFWW（F- 曲线与横坐标轴间的面积）曲线与横坐标轴间的面积）AFl(a)FF1FdO1(b)由能量守恒得应变能：由能量守恒得应变能：10dFWV(此为由外力功计算应变能的表达式此为由外力功计算应变能的表达式）类似，可得其余变形下的应变能：类似，可得其余变形下的应变能：wwFV0d而弯曲：梁受F0edMVMe而弯曲：梁受0 xd MVMx而扭转：圆轴受 若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下表面上的力

4、为表面上的力为: :F = 11 = 其伸长量为：其伸长量为： 1 则作用于此单元体上的外力功为：则作用于此单元体上的外力功为：10dW 注意到此单元体注意到此单元体的体积为单位值，从的体积为单位值，从而此时的应变能而此时的应变能( (数数值上等于上式中的值上等于上式中的W) ) 为应变能密度为应变能密度: :10dv( - - 曲线与横坐标轴间曲线与横坐标轴间的面积的面积）Od11(c) 若取边长分别为若取边长分别为dx、dy、dz 的单元体，则此的单元体，则此单元体的应变能为：单元体的应变能为：zyxvVdddd整个拉杆的应变能为：整个拉杆的应变能为：VvVVvvdd(此为由应变能密度计算

5、应变能的表达式此为由应变能密度计算应变能的表达式) )为常量积内特别地，在拉杆整个体vAlvVvV所以有说明：线弹性体的说明：线弹性体的v 、V 可作为非线性体的可作为非线性体的v 、 V 的的特例。由于线弹性的特例。由于线弹性的F与与 或或 与与 成正比，则成正比，则F 曲曲线或线或 曲线与横坐标轴围成一个三角形，其面积曲线与横坐标轴围成一个三角形，其面积等于应变能等于应变能V 和应变能密度和应变能密度v 。lEAEAlFFWV2221212111EEv22121d21211101同理，可得纯剪时的同理，可得纯剪时的应变能密度应变能密度v 为：为：GGv22121d21211101例例11-

6、1 弯曲刚度为弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载的简支梁受均布荷载q作用，作用，如图所示。试求梁内的应变能如图所示。试求梁内的应变能 。解：梁的挠曲线方程为：解：梁的挠曲线方程为：lxlxlxEIlqw44334224荷载所作外力功为：荷载所作外力功为：wxqWld210将前一式代入后一式得：将前一式代入后一式得：EIlqWV24052wxlyABqx例例11-2 11-2 原为水平位置的杆系如图原为水平位置的杆系如图a 所示，试计算在所示，试计算在荷载荷载F1作用的应变能。两杆的长度均为作用的应变能。两杆的长度均为l，横截面面，横截面面积均为积均为A，其材料相同，弹性模量为其材料相同，弹性模量

7、为E，且均为线弹，且均为线弹性的。性的。解：设两杆的轴力为解：设两杆的轴力为FN ，则两杆的伸长量均为：则两杆的伸长量均为：EAlFlN两杆伸长后的长度均为：两杆伸长后的长度均为：EAFlllN1F111ll(a)EAFllllllllllllllNl22 2112222由图由图a的几何关系可知：的几何关系可知：F111ll(a)22tan2sin2FllFFFFN代入前一式得：代入前一式得：lEAF3或：或：EAlF3（几何非线性弹性问题几何非线性弹性问题）其其F- 间的非线性关系曲线为：间的非线性关系曲线为：应变能为：应变能为：1134103104141dd1FEAlEAlFVFF= ()

8、EA 3O/l2. 余能余能 设设图图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F- 曲线如图曲线如图b 。“余功余功Wc”定义为：定义为：FCFW10d 与余功相应的能称为余能与余功相应的能称为余能Vc，余功余功Wc与余能与余能Vc 在数值上相等。在数值上相等。F(a)FOdF 1F1 (b)FCcFWV10d（代表代表F- 曲线曲线与纵坐标轴间的面积与纵坐标轴间的面积）即：即：FOdF 1F1 (b)另外，也可由余能密度另外，也可由余能密度vc计算余能计算余能V c：VvVcccd其中，余能密度其中，余能密度vc为：为：10dcv（代表图代表图c中中 - 与

9、纵坐标轴间的面积与纵坐标轴间的面积）Od1(c)对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计算方法却截然不同。其概念和计算方法却截然不同。注意：注意：对非线性材料，则对非线性材料，则余能余能V c与应变能与应变能V 在数值上在数值上不一定相等。不一定相等。余功、余能、余能密度都没有具体的物理概余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。念，仅是具有功和能的量纲而已。例例11-3 11-3 试计算图试计算图a 所示结构在荷载所示结构在荷载F1 1作用下的余能作用下的余能Vc c 。结构中两杆的长度均为。结构中两杆的长度均为

10、l，横截面面积均为，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示。所示。解：解：两杆轴力均为：两杆轴力均为：cos21FFN两杆横截面上的应力为：两杆横截面上的应力为：cos211AFAFNO111)(n / 1nK(b)F1CBD(a)11cos) 1()2()(2nnnccFnKAllAvV所以所以余能为余能为余能密度为：余能密度为：110 0ddncKv由已知由已知nK 133 卡氏定理1.1.卡氏第一定理卡氏第一定理设图中材料为非线性弹性，设图中材料为非线性弹性，由于应变能只与最由于应变能只与最后荷载有关，而与后荷载有关，而与加载顺序

11、无关。不加载顺序无关。不妨按比例方式加载，妨按比例方式加载，从而有从而有iniiFWVd101 假设与第假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量个荷载相应的位移有一微小增量d i ,则则应变能的变化为：应变能的变化为：iiVVdd123n123nB 因因仅与第仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量个荷载相应的位移有一微小增量,而与其而与其余各余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量小增量d i ，仅，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：作了外力功，外力功的变化为：iiFWdd注意到上式与下式在数值上相等注意到上式与下式在数值上相等iiVVdd从而

12、有：从而有：iiVF（卡氏第一定理卡氏第一定理 ）注意：注意：卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。性弹性体。式中式中Fi及及 i分别为广义力、广义位移。分别为广义力、广义位移。必须将必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。写成给定位移的函数，才可求其变化率。例例11-4 由两根横截面面积均为由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平的等直杆组成的平面桁架，在结点面桁架，在结点B处承受集中力处承受集中力F，如图，如图a 所示。两所示。两杆的材料相同，其弹性模量为杆的材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范，且均处于线弹性范围内。试按卡

13、氏第一定理，求结点围内。试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位的水平和铅垂位移。移。 解：解： 设结点设结点B的水平和铅垂位移分别为的水平和铅垂位移分别为 1和和 2，先假设结点先假设结点B只发生水平位移只发生水平位移 1 （图（图b）10112245cosBCAB则：则：AB(b)CB1ABF45O(a)Cl同理，结点同理，结点B只发生铅垂位移只发生铅垂位移 2（图（图c）则：则：2022245sin0BCAB当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）21122BCABAB(c)CB 221212121221212222lEAlEAlEAVii

14、应用卡氏第一定理得应用卡氏第一定理得FVV21 0 及解得：解得：EAFlEAFl）（及22121桁架的应变能为桁架的应变能为2.卡氏第二定理卡氏第二定理设有非线性弹性的梁，设有非线性弹性的梁，梁内的余能为：梁内的余能为：iniFccFiWVd110假设第假设第i个荷载个荷载Fi有一微小增量有一微小增量dFi ，而其余，而其余荷载均荷载均保持不变，因此，由于保持不变，因此，由于Fi改变了改变了dFi ，外力总余功的外力总余功的相应改变量为：相应改变量为：iicFWdd余能的相应改变量为：余能的相应改变量为：iiccFFVVdd123n123nB由于外力余功在数值上等于余能，得由于外力余功在数值

15、上等于余能，得ccWVdd解得：解得：FVici（称为（称为“余能定理余能定理”） 特别：特别： 对线弹性体，由于力与位移成正比，应对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能变能V 在数值上等于余能在数值上等于余能V c ， 此时上式变为：此时上式变为：FVii（称为（称为“卡氏第二卡氏第二定理定理”）式中的式中的Fi 和和 i分别为广义力和广义位移。分别为广义力和广义位移。注意：注意：卡氏第一定理和卡氏第一定理和余能定理余能定理既适合于线弹性体，既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理 作作为为余能定理的特例，仅余能定理的特例，仅适合于线弹性体。

16、适合于线弹性体。lilipliNNlilpilNiixFMEIMxFTGITxFFEAFxEIMFxIGTFxEAFFdddd2d2d2222所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。当所求位移处无相应广义力时，可在该处当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加虚加”上广义力，将其看成已知外力，反上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该令该“虚加虚加”外力为外力为0 0。实际计算时，常采用以下更实用的形式：实际计算时，常采用以下更实用的形式：例例11-6 11-6 图示桁架结构。已知：图示桁

17、架结构。已知：F=35kN, d1=12mm, d2=15mm, E=210Gpa。求。求A点垂直位移。点垂直位移。 C B 45o 30o 1m A 0.8m F 312,312312,3122121FFFFFFFFNNNNmmEAFlEAFlFFAElFFVniNjjjjNjy365. 13123122222111例例11-7 弯曲刚度为弯曲刚度为 EI的悬臂梁受三角形分布荷载如的悬臂梁受三角形分布荷载如图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。

18、 解：解：在自由端在自由端“虚加虚加”外力外力F任意任意x截面处的弯矩为：截面处的弯矩为：Fxxlq)x(M)x(M)x(MFq3061xF)x(MqqxlyABx00lxFEIlqxxlxqEIxFxMEIxMwllFA30d61d)()(4003000例例11-8 弯曲刚度均为弯曲刚度均为 EI的静定组合梁的静定组合梁 ABC，在，在 AB段上受均布荷载段上受均布荷载q作用，如图作用，如图a 所示。梁材料为线弹性所示。梁材料为线弹性体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰求梁中间铰B两侧截面的相对转角。两侧截面的相对转角。 解：

19、解：在中间铰在中间铰B两侧虚设一对外力偶两侧虚设一对外力偶MB（图（图b)各支反力如图各支反力如图b。 AB段弯矩方程：段弯矩方程：222)(22xqlqMxlMqlxMBBqACBllMBMB222qlMBlMqlBlMBACBqxx由卡氏第二定理得：由卡氏第二定理得：EIlqxxxMEIxMBMBMlB247d)()(300 结果符号为正，说明相对转角结果符号为正，说明相对转角B的转向与图的转向与图b中虚加外力偶中虚加外力偶MB的转向一致。的转向一致。BC段弯矩方程段弯矩方程xlM)x(MB例13-1-1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。APR解

20、：用能量法（外力功等于应变能）、求内力sin)(:PRM弯矩)cos1 ()(: PRT扭矩PA RntTM、外力功等于应变能、变形能：LLPLdxEIxMdxGIxTdxEAxNU2)( 2)( 2)( 222022202222)(sin2)cos1 (RdEIRPRdGIRPPEIRPGIRPP4433232UfPWA2EIPRGIPRfPA22333APR例13-1-2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。qCPfW21解：外力功等于应变能LdxEIxMU2)( 2)0( ; 2)(axxPxM在应用对称性，得：EIaPdxxPEIUa12)2(2123202PaaA AC CB Bf

21、xEIPafUWC63思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？此时还不行。LPA例13-4-1 结构如图，用卡氏定理求A截面的挠度和转角。EI求变形 求内力解：求挠度，建立坐标系xPxPxMA)(xO 将内力对P A求偏导xPxMA)(LAAAdxPxMEIxMPUf)()( EIPL33LdxEIPx021、求 fA2、求转角 A：xO LP 求内力AMxPxM)(MAA由于没有与A向相对应的力（广义力），加MA。EIPL22“负号”说明A 与所加广义力MA反向。 将内力对MA求偏导后，令MA=01)(0AMAMxMLAAdxMxMEIxM)()( LdxEIPx0 求变形（ 注意：MA =

22、 0）22APLEI LPPxx例13-4-2 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。fxO求挠曲线任意点的挠度 f（x） 求内力 将内力对P x求偏导后，令Px =0没有与f（x）相对应的力，加Px。x1)()()(111xxPxLPxMxAB)()(11xLPxMBCxxPxMxPxAB10)(ABC0)(0 xPxBCPxM变形（ 注意：Px = 0）LxxdxPxMEIxMPUxf)()( )(xdxxxxLPEI0111)(1)2)(3(223LxxxLxEIP。间的铅垂方向相对位移用卡氏第二定理求刚架例AB3413PaMFEPxMBFxaPMDEPaMDCPxMAC2:)(:21：程解

23、：列出各段的弯矩方EIPaEIyaPaEIxPxEIyPaEIxxaxaPEIxPxxPMEIMVaaaaalAB301202220230110211d22ddd)(ddAPPa2aaCDEFB间的铅垂方向相对位移求刚架 AB间的相对角位移。用卡氏第二定理求刚架例AB4413PaMMFEPxMMBFPxMPaMDEMPaMCDMPxMACeeeee2:221）列各段的弯矩方程APa2aaCDEFBPeMBA相等方向相反的力偶处加一对大小、）在解： 1eMeMEIPaEIyPaEIxPxEIxPxPaEIyPaEIxPxxMMEIMaaaaaelAB201202230110204d)2(d)(d

24、)(ddd方向相反）(处的挠度。点用卡氏第二定理求梁中例A5413EIqalEIqlEIqalEIqaEIdxqxxqaxEIdxxqaxll7685)2(16)3(16)2(48)4283(284433201311120ABC2lq2l方向集中力，如图点加）在解：yA1ABCqP28Pqa 283Pqa 0PEIdxPMMyAxqxPqaMCAxPqaMBA2112)283(:)22(:、3）列弯矩方程、求变形PqaRPqaRCB28328、2）求支反力处的转角。用卡氏第二定理求刚架例A6413ACBllEIBREI2eMA处加力偶）在解：1eMeeMlqMCBxqMMAC222:2:2 ）

25、列各段弯矩方程EIqlEIdylqEIdxxqll127222302020eMleAEIdxMMM的水平位移。用卡氏第二定理求刚架例A7413qaPHqaPVqaPVBBA22、lAEIdxPMMXEIqaEIdyyaqyaqaEIdxxqaaa247)(22(22402020PACBaaqEIEI2PA点加水平力）在解： 1P2qaP 2qaP qaP 2)2(:)2(:32qyPyaqaPMCBxqaPMAC变形）列各段弯矩方程、求）求支反力2。为相同材料，相同截面，的铅垂位移。架用卡氏第二定理求三角例ACABA8413杆内力，）求解：ACAB1aABC30PPABNACN)(32压、PN

26、PNACAB)()338(3)3(3222EAPaEAaPEAaPEAlPNNyA）求变形2在铅垂方向。已知，力、的相对位移。材料的两点间、开口圆环上用卡氏定理求水平面内例PdGEBA9413PBRPPPAPMPT求相对铅垂位移解):aPPPPPPPABGIPREIPRGIdPREIdPRGIRdPTTEIRdPMMV332023202320203)cos1 (sin)cos1 (sinPRTPRMPP、PPPeeABGIPRGIdPREIdPRGIRdMTTEIRdMMM220220220204sin)cos1 (cossin0 eMAB求相对转角)beMeMsin)cos1 (cossin

27、11ePePMPRTTTMPRMMM1M1T，如图相反的力偶矩加一对大小相等、方向eM，如图相反的扭矩力偶处加一对大小相等方向，在相对扭转角求eTBAABc)2M2Tcos)cos1 (sinsin22ePePTPRTTTTPRMMM方向相反）与nPPPeeABMGIPREIPRGIdPREIdxPRGIRdTTTEIRdTMM(cos)cos1 (sin22202202220200 eTeTeT解：在点A施加一竖直方向的单位力（图108），并分别求出由载荷P及单位力所引起的各杆内力，如表101所示。例 试求图108所示桁架节点A的竖直位移。ooa a2 2P P2 2PaPa2 22 2Pa

28、PaPaPaa aa aP P2P P1 11 1杆号 长度由P引起的轴力Ni由单位力引起的轴力NiNiNi Liooa a2 2a aP P2 22 2PaPa2 22)Pa)Pa2 24 4(3(3P P1PaPa杆号长度由P引起的轴力Ni由单位力引起的轴力NiNiNi Li故在A点的竖直位移 (34 2)APafEA例134用卡氏定理计算图所示梁跨度中点C 及外伸端点 D 挠度fc、fD 。根据受力与约束情况,弯矩方程需分三段来写。根据静力平衡条件得求支反力ABR =0,R =2P分段列出弯矩方程M(x)解：第一种解法11A1M(x )M(x )=R x =0=0Pa）a）x xCB段（

29、aCB段（a2 222222M(x )M(x )=-P(x -a)=-(x -a)Pa）a）x xAC段（0AC段（01 1a）a）x xBD段（2aBD段（2a3 33333322M(x )=-P(x -a)+2P(x -2a)=P(x -3a)M(x )=-(x -a)P计算挠度计算挠度f fc c、f fD D 。根据卡氏定理，得cla2a3a3311221230a2a2a3a322233a2a333UM(x) M(x)f =dx=PEIPM(x ) M(x )M(x ) M(x )M(x ) M(x )dx +dx +dx =EIPEIPEIPP(x -3a)-P(x -a)0+-(x

30、 -a) dx +(x -3a)dx =EIEIPaPa2Pa0+=3EI3EI3EI3DlUM(x) M(x)2Paf =dx=PEIP3EIF 其结果均为正，表明C点、D点的位移方向均与外力的作用方向一致。但是，这是一个错误的结果。同样的方法，求得 D 的挠度x x1x x2x x3第二种解法第二种解法暂时用 P1 表示点的集中力P，用P2表示点的集中力P，如图所示。此时，支反力为:121232222ABPPPPRR2 2P P2 2P PR R2 21 1A A2 23P3P2 2P PR R2 21 1B BP PP P1 1P PP P2 2分段列出弯矩方程，并对P1 、P2求偏导数

31、a）a）x xAC段（0AC段（01 11211111112PPM(x )xM(x )xM(x )=(-)x=,=-22P2P2a）a）x xCB段（aCB段（a2 2212221222221222PPM(x )=(-)x -P(x -a)22M(x )x1=-(x -a)=-(x -2a)P22M(x )x=-P22 2P P2 2P PR R2 21 1A A2 23P3P2 2P PR R2 21 1B BP PP P1 1P PP P2 2a）a）x xBD段（2aBD段（2a3 331212331333333133332PPP3PM(x )=(-)x -P(x -a)+(+)(x -

32、2a)2222M(x )x1=-(x -a)+(x -2a)=0P22M(x )x3=-+(x -2a)=x -3aP22计算挠度fc、fD 。根据卡氏定理，得将P2 =P2= P代入上式，得Dla2a3a3311221230a2a11112122212a2a11220aUM(x) M(x)f =dx=PEIPM(x ) M(x )M(x ) M(x )M(x ) M(x )dx +dx +dx =EIPEIPEIPPPPP(-)x(-)x -P(x -a)x12222dx +- (x -2a) dx +0EI2EI23cPaf =-12EIF 负号表明此处位移方向与所手载荷方向相反，因此点实

33、际位移应向上。2 2P P2 2P PR R2 21 1A A2 23P3P2 2P PR R2 21 1B BP PP P1 1P PP P2 2同样，D 点的挠度fD 为将 P2 =P2= P 代入上式，得3D9Paf =12EI正号表明此处位移方向与所受载荷 P2 方向相同，因此点实际位移应向下。显然，第二种解法是正确的。Dl22a2a3a3311221230a2a222UM(x) M(x)f =dx=PEIPM(x ) M(x )M(x ) M(x )M(x ) M(x )dx +dx +dx =EIPEIPEIP12121212a2a12120aPPPP(-)x(-)x -P(x -

34、a)xx2222(-)dx +(-)dxEI2EI2121231333a332aPPP3P(-)x -P(x -a)+(+)(x -2a)2222(x -a)dxEI本节应用能量法求解静不定系统。 应用能量法求解静不定系统，特别是对桁架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效。 求解静不定问题的关键是建立补充方程。 静不定系统，按其多余约束的情况，可以分为外力静不定系统和内力静不定系统。13-4 用能量法解超静定问题一、外力静不定系统一、外力静不定系统 由于外部的多余约束而构成的静不定系统, 一般称为外力静不定系统。 求解外力静不定系统的基本方法，是解除多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处

35、的变形协调条件建立补充方程进行求解。 解除多余约束后得到的静定结构，称为原静不定系统的静定基本系统，或相当系统。例：作图示梁的弯矩图 。解：变形协调条件为A 0即M lPlA22381202解得MPlA316MPlA316516P532Pl /316Pl另解：变形协调条件为vB 0即R llPllB222238560解得RPB516MPlA316516P532Pl /316Pl例：作图示梁的弯矩图 。解：变形协调条件为vA 0即2223222R llPllA解得解得RPA4332PllPll22223820RPA4332564PlRPC5321132PlPl例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。解：

36、变形协调条件为解：变形协调条件为BV 0即即R aaR aPaBB23322320解得RPB3838P38Pa58Pa例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。解：变形协调条件为解：变形协调条件为BV 0即即R aaR aqaBB23422360解得RqaB8qa8qa28382qa例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。解：变形协调条件为BH 0即R aaR aaPaaBB22223223220解之得RPB/ 4Pa438PaM图图二、内力静不定系统有些结构，支座反力可以由静力平衡条件全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，这类结构称为内力静不定系统。 求解内力静不定系统，需要解除杆件或杆系的内部约束。例：求

37、A、B两点间的相对线位移 AB。由对称性知由对称性知:NP02Q00变形协调条件变形协调条件:D 0MMPR( )(cos )021M01( )DsMME Is0d MPRE IR00221 (cos )dRE IMPRD2221 0由此得MPRD121MPRPR( )(cos ) 12121PRcos21MR01( )(cos ) DMME IR( )( )002dPRE I381ABDPRE I2423例：求图示圆环的最大弯矩Mmax。EI为常量。由对称性知：A、B截面上剪力为零MMNNPABAB3变形协调条件:A 0MMPRMMME IsMPRE IRRE IMPRMPRPRAAsAAA

38、( )(cos )( )(cos ). 31131333320333201000003dd由弯矩方程：知 最大弯矩发生在即 截面 其值为MMPRPRPRPRCMPRPRPRA( )(cos )(cos )cos,cos.max 31333231332060603323236018960对称性的利用：对称结构：对称结构：若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。正对称载荷：正对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且每对力数值相等。反对称载荷：反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方向相反。对称结构在正对

39、称载荷作用下：对称结构在正对称载荷作用下：结构的内力及变形是对称的位于对称轴上的截面C的内力 QC=0对称结构在反对称载荷作用下：对称结构在反对称载荷作用下：结构的内力及变形是反对称的位于对称轴上的截面C的内力 NC=0， MC=0 例：图示小曲率杆在力偶m与均匀分布剪流q作用下处于平衡状态，已知q、R与EI=常数，试求A截面的剪力、弯矩和轴力。QqRMNAAA,00例：平面框架受切向分布载荷q作用，求A截面的剪力、弯矩和轴力。QqbMNAAA,00例：图示刚架 EI为常量，画出刚架的弯矩图。解：变形协调条件为EV 0即:Q aaQ aaPaaEE2228322220解之得QPE67AP0=1

40、图图c13135 5 虚位移原理及单位力方法 AcfUUU10q（x）f Aq（x）f AA图图aAP0=1图图bLxEIxMUd2)( 2LxEIxMUd2)( 200LCxEIxMxMUd2)()( 20LAxEIxMxMfd)()( 0求图a任意点A的位移f A 。一、定理的证明： 上式即为莫尔定理，也称莫尔积分、单位力法或单位载荷法。莫尔定理是计算线弹性结构位移的一种有效方法。二、普遍形式的莫尔定理LLLpxEIxMxMxGIxTxTxEAxNxNd)()( d)()( d)()(000 D 视为广义位移。若D 为线位移，则在欲求该处沿位移方向加单位力；若D 为角位移，则在欲求 处沿转

41、向加单位力偶。M(x)与 M 0(x)同样视为广义的内力， M(x)为外载引起的内力表达式； M0 (x)为单位载荷引起的内力表达式； M(x)与 M0 (x)的定义域相同，否则应分段利用莫尔定理。LxEIxMxMd)()( 0故计算任一点位移的公式为M(x)与M0(x)坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。莫尔积分必须遍及整个结构。M0(x): 去掉主动力，在所求 处，沿所求的方向加时，结构产生的内力。M(x)：结构在原载荷下的内力。所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。三、使用莫尔定理的注意事项：例13-2-1 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。qaaA AC C

42、B B2)(2qxaqxxM)2( ; )2(2)0( ; 2)(0axaxaxaxxxM d)()(d)()(2000aaaCxEIxMxMxEIxMxMfaxEIxMxM00d)()(2对称性对称性EIqaxxqxqaxEIa245d2)2(2402求变形解：加单位载荷如图求内力xaaA AC CB BP0=1xaaA AC CB BMC 0=1求C点转角，重建坐标系（如图）aaxaxqxqaxEIxaxqxqaxEI022222011211d2)2(1d2)2(12)( :AC211qxqaxxM d)()( d)()()(00)(00aBCaABCxEIxMxMxEIxMxMqaaA

43、AC CB Bx1x2axxM2)( 100 2)( :BC222qxqaxxMaxxM2)(20例13-2-2 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210GPa，G=0.4E，求B点的垂直位移。500300P0=1BAC C20510PxxMAB)(xxMAB)(0PxTCA3 . 0)(13 . 0)(10 xTCA500300P=60NBAC C20510 xx1解：加单位载荷如图求内力PxxMAB)(xxMAB)(0PxTCA3 . 0)(13 . 0)(10 xTCA01110()() d( )( ) dCACABLpABABLTx TxxGIMx MxxEI 3 . 0025 . 001dd3 . 03 . 0 xEIPxxGIPPPACABABABGILPLLEIPL33333101052103123 . 0603410202104 . 0325 . 03 . 0603 . 0mm22. 8求变形500300P0=1BAC C205101223A例外伸梁受力如图，用单位力法求 点转角。求内力)2lxMxqqlMBCMxqMAB0202283:12:、1A解： ）在 点加一单位力矩，如图）求变形）求变形3EIqlxEIlxxqqlxEIxqxEIMMllA48d)(283(d12d30