数学建模讲座

1、数学建模讲座数学建模讲座王武王武天津理工大学中环信息学院天津理工大学中环信息学院数学最基本的学科特征在于数学最基本的学科特征在于:来源的实践性、来源的实践性、结构的抽象性、结构的抽象性、模型的多样性、模型的多样性、推理的精密性、推理的精密性、计算的精确性、计算的精确性、体系的统一性、体系的统一性、应用的广泛性。应用的广泛性。一、数学建模竞赛简介一、数学建模竞赛简介全国高校规模最大的课外科技活动全国高校规模最大的课外科技活动 全国大学生数学建模竞赛创办于全国大学生数学建模竞赛创办于19921992年，每年一届，目前已年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大成为

2、全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。天津赛区竞赛由天津市教育委员会主办，天津的数学建模竞赛。天津赛区竞赛由天津市教育委员会主办，天津商业大学承办。数学建模竞赛旨在提高大学生运用数学方法和计商业大学承办。数学建模竞赛旨在提高大学生运用数学方法和计算机技术解决实际问题的能力及培养学生的创新意识和团队精神。算机技术解决实际问题的能力及培养学生的创新意识和团队精神。20142014年的全国大学生数学建模竞赛定初步于年的全国大学生数学建模竞赛定初步于9 9月中旬举行。月中旬举行。 为了培养学生的创新意识及运用数学方法、计算机技术解决为了培养学生的创新意识及运用数学方法、计

3、算机技术解决实际问题和相互协调的能力，今年学院计划学院数学建模竞赛，实际问题和相互协调的能力，今年学院计划学院数学建模竞赛，选拔优秀队伍继续参加全国大学生数学建模竞赛。选拔优秀队伍继续参加全国大学生数学建模竞赛。答卷按省（市、自治区）和全国两级评奖答卷按省（市、自治区）和全国两级评奖 全国组委会网址：全国组委会网址：http:/ 团队精神团队精神 重在参与重在参与 公平竞争公平竞争中国的大学生数学建模竞赛基本上是中国的大学生数学建模竞赛基本上是MCMMCM的翻版，所不同的是：的翻版，所不同的是： 1 1、政府部门（教育部门）组织；、政府部门（教育部门）组织； 四大赛四大赛： （1 1）电子设计

4、；）电子设计； （2 2）数学建模；）数学建模； （3 3）机械设计；）机械设计； （4 4）结构设计）结构设计 2 2、时间为、时间为9 9月中旬旬第一周末（月中旬旬第一周末（7272小时）；小时）； 3 3、所有专业的本、专科生都可参加；、所有专业的本、专科生都可参加； 4 4、A A、B B题本科生（除农、林、医）做，题本科生（除农、林、医）做， C C、D D题专科生、农、林、医专业的学生做。题专科生、农、林、医专业的学生做。2004年开始全国高校研究生数学建模年开始全国高校研究生数学建模2008年开始网络形式全国大学生数学建模竞赛年开始网络形式全国大学生数学建模竞赛各高校、各地区组织

5、联赛各高校、各地区组织联赛竞赛内容：竞赛内容：竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学等方竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求预先掌握深入的专面经过适当简化加工的实际问题，不要求预先掌握深入的专门知识，而具有较大的灵活性供参赛者发挥。门知识，而具有较大的灵活性供参赛者发挥。竞赛形式：竞赛形式：开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和互联网，自由的收集资料、调查研究。由三名学生组成一队，互联网，自由的收集资料、调查研究。由三名学生组成一队，各参赛队任选一竞赛题。在三、四天时间内，团结合作、奋各参赛队任选一竞赛题。

6、在三、四天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。评奖标准：评奖标准：没有事先设定的标准答案，多名专家从以下几个没有事先设定的标准答案，多名专家从以下几个方面来综合评定（方面来综合评定（1 1）问题分析及假设的合理性；（）问题分析及假设的合理性；（2 2）模型）模型的正确性和创造性；（的正确性和创造性；（3 3）运算结果的正确性；（）运算结果的正确性；（4 4）结论和）结论和讨论的科学性；（讨论的科学性；（5 5）论文表达的清晰性等。）论文表达的清晰性等。大学阶段难得的一次近似于大学阶段难得的一次近似于“真刀真枪真刀真枪”的训练，模拟了毕

7、的训练，模拟了毕业后工作时的情况，既丰富、活跃了广大同学的课外生活，业后工作时的情况，既丰富、活跃了广大同学的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创造了条件。也为优秀学生脱颖而出创造了条件。历年赛题的分析历年赛题的分析 随着数学建模竞赛的深入开展，竞赛的规模越随着数学建模竞赛的深入开展，竞赛的规模越来越大，竞赛的水平也在不断地提高，竞赛水平的来越大，竞赛的水平也在不断地提高，竞赛水平的提高主要体现在赛题水平的提高，而赛题的水平主提高主要体现在赛题水平的提高，而赛题的水平主要体现在赛题的综合性、实用性、创新性、即时性要体现在赛题的综合性、实用性、创新性、即时性, ,以及多种解题方法的创造性、灵活性等，

8、特别是给以及多种解题方法的创造性、灵活性等，特别是给参赛者留有很大的发挥创造的想象空间。可从问题参赛者留有很大的发挥创造的想象空间。可从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。些简单的分析。 最近建模试题一览：最近建模试题一览：20082008年年 A A题题 数码相机定位数码相机定位 B B题题 高等教育学费标准探讨高等教育学费标准探讨 C C题题 地面搜索地面搜索 D D题题 NBANBA赛程的分析与评价赛程的分析与评价20092009年年 A A题题 制动器试验台的控制方法分析制动器试验台的控制方法分析 B B题题 眼科病

9、床的合理安排眼科病床的合理安排 C C题题 卫星和飞船的跟踪测控卫星和飞船的跟踪测控 D D题题 会议筹备会议筹备20102010年年 A A题题 储油罐的变位识别与罐容表标定储油罐的变位识别与罐容表标定 B B题题 20102010年上海世博会影响力的定量评估年上海世博会影响力的定量评估 C C题题 输油管的布置输油管的布置 D D题题 对学生宿舍设计方案的评价对学生宿舍设计方案的评价20112011年年 A A题题 城市表层土壤重金属污染分析问题城市表层土壤重金属污染分析问题 B B题题 交巡警服务平台的设置与调度问题交巡警服务平台的设置与调度问题 C C题题 企业退休职工养老金制度的改革

10、问题企业退休职工养老金制度的改革问题 D D题题 天然肠衣搭配问题天然肠衣搭配问题20122012年年 A A题题 葡萄酒的评价葡萄酒的评价 B B题题 太阳能小屋的设计太阳能小屋的设计 C C题题 脑卒中发病环境因素分析及干预脑卒中发病环境因素分析及干预 D D题题 机器人避障问题机器人避障问题 20132013年年 A A题题 车道被占用对城市道路通行能力的影响车道被占用对城市道路通行能力的影响 B B题题 碎纸片的拼接复原碎纸片的拼接复原 C C题题 古塔的变形古塔的变形 D D题题 公共自行车服务系统公共自行车服务系统 从问题的实际意义方面分析从问题的实际意义方面分析, ,大体上可以分

11、为大体上可以分为工业、农业、工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七等七个大类。个大类。 有的问题属于交叉的，或者是边缘的有的问题属于交叉的，或者是边缘的。 从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法有几何从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法有几何理论、组合概率、统计分析、优化方法、图论、网络优化、理论、组合概率、统计分析、优化方法、图论、网络优化、层次分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模层次分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论糊数学、随

12、机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价方法、机理分析等方法。、神经网络、时间序列、综合评价方法、机理分析等方法。 用的最多的方法是优化方法和概率统计的方法用的最多的方法是优化方法和概率统计的方法. . 用到图论与网络优化方法；用到图论与网络优化方法； 用到层次分析方法；用到层次分析方法； 用到插值拟合方法；用到插值拟合方法； 用到神经网络方法；用到神经网络方法； 用灰色系统理论方法用灰色系统理论方法; ; 用到时间序列分析方法用到时间序列分析方法; ; 用到综合评价方法；用到综合评价方法； 机理分析方法和随机模拟都多次用到机理分析方法和随机模拟都多次用到; ;

13、 其它的方法都至少用到一次。其它的方法都至少用到一次。 大部分题目都可以用两种以上的方法来解决大部分题目都可以用两种以上的方法来解决, ,即综合性即综合性较强较强. .数学建模竞赛的竞争日趋激烈数学建模竞赛的竞争日趋激烈 数学建模竞赛的发展趋势数学建模竞赛的发展趋势 由于数学建模在创新人才培养中的地位和作用所在，由于数学建模在创新人才培养中的地位和作用所在，数学建模受到了越来越多的人的重视和关注，特别是引起数学建模受到了越来越多的人的重视和关注，特别是引起了更多领导们的重视。了更多领导们的重视。 另一方面，也是因为数学建模竞赛有很强的可比性和另一方面，也是因为数学建模竞赛有很强的可比性和竞争性

14、，竞赛成绩是反映能力和水平的一个实力型指标竞争性，竞赛成绩是反映能力和水平的一个实力型指标, ,也是高校评估的一个重要指标。也是高校评估的一个重要指标。 从近几年的竞赛题目来看，题目的水平在不断提高、难从近几年的竞赛题目来看，题目的水平在不断提高、难度在增加、实用性在增强度在增加、实用性在增强; ;特别是综合性和开放性也在增强，特别是综合性和开放性也在增强，这是一大潮流，从发展趋势上来看，有逐步走向国际化的趋这是一大潮流，从发展趋势上来看，有逐步走向国际化的趋势，同国际接轨是必然的；随着计算机技术和工具软件功能势，同国际接轨是必然的；随着计算机技术和工具软件功能的增强的增强, ,数据信息量也在

15、逐步地增大，这也是现代应用的特数据信息量也在逐步地增大，这也是现代应用的特点之一。这些变化都为我们提出了更高的要求。点之一。这些变化都为我们提出了更高的要求。全国大学生数学建模竞赛题发展趋势全国大学生数学建模竞赛题发展趋势(1) (1) 综合性增强综合性增强, ,进一步体现创新意识进一步体现创新意识. .(2) (2) 开放性增大开放性增大, ,逐步同国际接轨逐步同国际接轨. .(3) (3) 即时性增强即时性增强, ,扩大竞赛的社会效益扩大竞赛的社会效益. .(4) (4) 实用性增强实用性增强, ,贴近现代实际的科研工作贴近现代实际的科研工作. .(5) (5) 挑战性增强挑战性增强, ,

16、吸引更多青年学生的参与热情吸引更多青年学生的参与热情. .我校开展数学建模的历史、方法、成绩、措施我校开展数学建模的历史、方法、成绩、措施我校于我校于20132013年第一次组队参加全国大学生数学建模竞赛。年第一次组队参加全国大学生数学建模竞赛。我校参加我校参加“全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛”获奖情况获奖情况20132013年天津市二等奖年天津市二等奖 方浩翔方浩翔 杨杨 静静 张张 浩浩20132013年天津市成功参赛奖年天津市成功参赛奖 成艺光成艺光 韩韩 洋洋 张张 超超二、我校数学建模竞赛情况二、我校数学建模竞赛情况2014年全国大学生数学建模竞赛实施方案年全国大学生数

17、学建模竞赛实施方案第一阶段、竞赛宣传讲座及报名第一阶段、竞赛宣传讲座及报名 1 1宣传讲座宣传讲座 为加强学生对数学建模的了解，开展数学建模讲座，宣为加强学生对数学建模的了解，开展数学建模讲座，宣传数学建模的基本情况。传数学建模的基本情况。 2 2组织报名组织报名 (1) (1) 报名对象及要求：全体在校生均可报名，不限系别、不报名对象及要求：全体在校生均可报名，不限系别、不限专业，原则上优先推荐大二、大三学生报名参赛。可自行组队限专业，原则上优先推荐大二、大三学生报名参赛。可自行组队（每队（每队3 3人，鼓励跨专业组队）报名或个人单独报名，单独报名人，鼓励跨专业组队）报名或个人单独报名，单独

18、报名者学院将根据具体情况组队，一旦确定组队，不得自行更换队者学院将根据具体情况组队，一旦确定组队，不得自行更换队员。员。 (2) (2) 报名时间、方式：即日起至报名时间、方式：即日起至3 3月月1515日组织报名基础课部日组织报名基础课部开设的数学建模选修课及院内数学建模竞赛（参赛者原则上必须开设的数学建模选修课及院内数学建模竞赛（参赛者原则上必须参加数学建模选修课），学生到辅导员处填写报名表，请各系教参加数学建模选修课），学生到辅导员处填写报名表，请各系教学秘书汇总后将填好的报名表（电子版）发给教务处王武老师。学秘书汇总后将填好的报名表（电子版）发给教务处王武老师。第二阶段、选修课教学第二

19、阶段、选修课教学 时间及考查方式时间及考查方式（）教师及课时：王武（）教师及课时：王武 2424课时课时（）上课时间：第五至十三周，凡参加选修课学习的学生需遵（）上课时间：第五至十三周，凡参加选修课学习的学生需遵循学院公共选修课的相关要求，对于完成既定学习任务的学生给循学院公共选修课的相关要求，对于完成既定学习任务的学生给予予1 1个选修课学分。个选修课学分。（）主要内容：数学建模基础知识与基础模型介绍。（）主要内容：数学建模基础知识与基础模型介绍。第三阶段、校内竞赛第三阶段、校内竞赛比赛时间初步定于比赛时间初步定于5 5月月1717日日8 8时时-5-5月月2020日日8 8时。时。 竞赛规

20、则：每三人一组，在规定时间内完成论文一篇，可查竞赛规则：每三人一组，在规定时间内完成论文一篇，可查阅书籍、报刊等资料，可使用互联网等工具。严禁抄袭或模仿已阅书籍、报刊等资料，可使用互联网等工具。严禁抄袭或模仿已有论文成果，一经发现，立即取消参加竞赛资格，并禁止参加全有论文成果，一经发现，立即取消参加竞赛资格，并禁止参加全国数学建模竞赛。国数学建模竞赛。 竞赛地点：待定。竞赛地点：待定。 竞赛结果：评出一等奖竞赛结果：评出一等奖 名，二等奖名，二等奖 名，三等奖名，三等奖 名。名。第四阶段、全国赛队伍选拔与暑期集中培训第四阶段、全国赛队伍选拔与暑期集中培训 选拔：校内竞赛前选拔：校内竞赛前 名的

21、队伍参加全国数学建模竞赛并集中名的队伍参加全国数学建模竞赛并集中进行暑期培训。进行暑期培训。 培训时间：待定培训时间：待定 培训地点：第一教学楼培训地点：第一教学楼 指导教师：本院教师指导教师：本院教师暑期学院将组织参赛学生进行集中培训，具体待定。暑期学院将组织参赛学生进行集中培训，具体待定。第五阶段、参加竞赛第五阶段、参加竞赛 时间：时间：9 9月中旬月中旬3 3天天7272小时小时 地点：学院第一教学楼机房地点：学院第一教学楼机房 指导教师：本院教师指导教师：本院教师 报名费用：每队报名费用：每队300300元，由学院承担元，由学院承担 其他：竞赛其他：竞赛3 3天期间，学院给予必要的支持

22、。天期间，学院给予必要的支持。对参赛同学的基本要求对参赛同学的基本要求1 1）具有一定的计算机操作能力及编程能力，尤其）具有一定的计算机操作能力及编程能力，尤其要能熟练使用要能熟练使用Matlab, Lingo,Mathematica,SPSSMatlab, Lingo,Mathematica,SPSS, ,WordWord等软件，等软件，这这 一方面的要求会越来越高。一方面的要求会越来越高。2 2）一队里至少有一人具有较好的协调能力及写作能力。）一队里至少有一人具有较好的协调能力及写作能力。3 3）每人要求具有较好的数学功底及数学素质，起码是已经学过）每人要求具有较好的数学功底及数学素质，起

23、码是已经学过 高等数学高等数学或或微积分微积分、线性代数线性代数、概率论与数概率论与数 理统计理统计，还要求对，还要求对“运筹学运筹学”、“计算机算法设计计算机算法设计”、“离散数离散数 学学”、“组合学组合学”等等方面有所涉猎。等等方面有所涉猎。4 4）要求每人具备一定的工程背景知识。）要求每人具备一定的工程背景知识。5 5）具有较灵活的思维及快速猎取知识的能力。）具有较灵活的思维及快速猎取知识的能力。6 6）良好的心理素质、及时妥协能力、吃苦的精神、以及与他人）良好的心理素质、及时妥协能力、吃苦的精神、以及与他人 协作的能力。协作的能力。三、数学建模的一般过程三、数学建模的一般过程模型模型

24、准备准备模型模型假设假设模型模型构成构成模型模型评价评价模型模型检验检验模型模型求解求解模型模型应用应用模型准备1、问题分析、问题分析 问题分析是对要建模的问题熟悉、理解并形成建模初步设想问题分析是对要建模的问题熟悉、理解并形成建模初步设想的阶段，是建模过程中的一个基础性的重要阶段。在建模过程中，的阶段，是建模过程中的一个基础性的重要阶段。在建模过程中，这个工作一般都需要递进式的进行多遍。这个工作一般都需要递进式的进行多遍。一般要求：一般要求： 把问题中的各层关系条理化；把问题中的各层关系条理化； 熟悉每层关系的节点和联系；熟悉每层关系的节点和联系； 理清关系层间的顺序和嵌套；理清关系层间的顺

25、序和嵌套； 深入理解问题的含义和背景；深入理解问题的含义和背景；确立解决该问题的最高层目标；确立解决该问题的最高层目标； 从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响最高目标的各个子层；从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响最高目标的各个子层；坚持抓主要因素和主要关系的原则。坚持抓主要因素和主要关系的原则。2、符号设定、符号设定 符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与建立模符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与建立模型过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高目标层的符号型过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高目标层的符号都是相对独立地首先设定的。都是相对独立地首先设定的。 问题分析中得到的各因素的

26、分类特征要体现在符号使用问题分析中得到的各因素的分类特征要体现在符号使用中，以便于模型的数学表达。中，以便于模型的数学表达。 模型假设模型假设1、意义：、意义：假设是简化实际问题的必须手段。假设是简化实际问题的必须手段。 假设能缩小问题的涉及范围，使问题的条件更加明确且假设能缩小问题的涉及范围，使问题的条件更加明确且条理更加清晰。条理更加清晰。 做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。2、作用：、作用：简化问题，有利于辨识并列出与问题的研究目标更紧密简化问题，有利于辨识并列出与问题的研究目标更紧密的相关因素及其关系。的相关因素及其关系。使模型更加

27、严谨。拟建立的数学模型常被认为是对实际问使模型更加严谨。拟建立的数学模型常被认为是对实际问题的近似刻划，这种数学形式应该符合数学的要求，不能题的近似刻划，这种数学形式应该符合数学的要求，不能显示出任何逻辑破绽。显示出任何逻辑破绽。 降低问题难度。降低问题难度。清晰地记录我们所建的模型忽略是哪些因素和关系，为清晰地记录我们所建的模型忽略是哪些因素和关系，为以后改进模型奠定基础。以后改进模型奠定基础。3、原则：、原则：1 1、假设必须合理且典型。、假设必须合理且典型。 2、建模初期由宽到严，模型改进中由严到宽。建模初期由宽到严，模型改进中由严到宽。3、注重与建模其它阶段的配合。注重与建模其它阶段的

28、配合。例：例：方桌问题的假设：方桌问题的假设：）视方桌的只脚依次为个点。视方桌的只脚依次为个点。）方桌是规则的，即点在一个平面上。方桌是规则的，即点在一个平面上。）拟放置方桌的地面连续且不特别陡峭。）拟放置方桌的地面连续且不特别陡峭。）把放稳理解为个脚同时着地。）把放稳理解为个脚同时着地。模型建立模型建立、过程、过程 基于基于“问题分析问题分析”阶段的结果，已经理清了问题的各条线阶段的结果，已经理清了问题的各条线路、各个层次、各个片段及其相互关系，建立模型就是把这路、各个层次、各个片段及其相互关系，建立模型就是把这些分析结果先分别表示成数学形式，然后再把这些形式合理些分析结果先分别表示成数学形

29、式，然后再把这些形式合理整合成一个统一的数学形式。整合成一个统一的数学形式。、原则、原则对问题每一个方面所选择的数学表达都应能合理表达该方面对问题每一个方面所选择的数学表达都应能合理表达该方面的因素间的关系。的因素间的关系。有利于模型的整合及模型的求解有利于模型的整合及模型的求解模型求解模型求解模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行.1 1）结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给出求解过程。）结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给出求解过程。2 2）表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算法计算出）表达式或表达式组类型的模型，

30、用相应的数学算法计算出问题的结论。这类模型中的大多数都有很大的运算量，运算结问题的结论。这类模型中的大多数都有很大的运算量，运算结构也较复杂，或者现有数学方法不可能给出其精确解，于是，构也较复杂，或者现有数学方法不可能给出其精确解，于是，不借助于计算机，求解工作一般无法完成。不借助于计算机，求解工作一般无法完成。3 3）数据模型和随机模型，一般都有很大的运算量或者基于大量）数据模型和随机模型，一般都有很大的运算量或者基于大量的模拟才能给出问题的更精确结论，甚至对有些特别复杂的问的模拟才能给出问题的更精确结论，甚至对有些特别复杂的问题，由于涉及的因素太多且不确定性太大，数学模型自身就是题，由于涉

31、及的因素太多且不确定性太大，数学模型自身就是一个计算机模拟过程。一个计算机模拟过程。4 4）必要时对所建模型作适当简化后方可进行求解。有些问题）必要时对所建模型作适当简化后方可进行求解。有些问题的数学模型，现有数学理论并没有给出完善的求解方法，例如的数学模型，现有数学理论并没有给出完善的求解方法，例如多目标非线性规划模型，这时需要我们根据实际问题的属性和多目标非线性规划模型，这时需要我们根据实际问题的属性和要求，适当地简化模型，得到适应于问题要求的参考解。要求，适当地简化模型，得到适应于问题要求的参考解。5 5）有些问题的数学模型本身就是一个数学处理过程，并不能）有些问题的数学模型本身就是一个

32、数学处理过程，并不能明确地把问题集中地表达成某种数学形式，而是采用一系列明确地把问题集中地表达成某种数学形式，而是采用一系列数学处理得出了问题的结果。对这类问题，自然不需要单独数学处理得出了问题的结果。对这类问题，自然不需要单独列出模型求解这一步。列出模型求解这一步。6 6）计算机是数学建模的得力助手。很多模型的求解都面临大）计算机是数学建模的得力助手。很多模型的求解都面临大量的计算，所建模型是否与实际吻合，常需要用模型的解来判量的计算，所建模型是否与实际吻合，常需要用模型的解来判断，而且这种工作，断，而且这种工作， 在建立一个实际问题的数学模型过程中在建立一个实际问题的数学模型过程中也常需要

33、重复多遍。因此，熟练使用计算机计算数学问题是对也常需要重复多遍。因此，熟练使用计算机计算数学问题是对数学建模工作者的必须要求。这一方面要求具有一定的编程水数学建模工作者的必须要求。这一方面要求具有一定的编程水平，更重要地是能熟练使用现有计算软件包。现时用于数学平，更重要地是能熟练使用现有计算软件包。现时用于数学 建模中较好的软件包有：建模中较好的软件包有：Mathematica; MatlabMathematica; Matlab; SAS.; SAS.模型评价模型评价 对模型解答的意义作出解释，模型对数据依赖性作出分对模型解答的意义作出解释，模型对数据依赖性作出分析，对模型相关因素的敏感性作

34、出分析，对假设条件的现实析，对模型相关因素的敏感性作出分析，对假设条件的现实性作出说明。性作出说明。模型检验模型检验1、模型的事实检验模型的事实检验公理性检验公理性检验. 常用法则检验和自然法则检验常用法则检验和自然法则检验.经验误差分析经验误差分析. 建模碰到的有些问题是已经有研究历史的问建模碰到的有些问题是已经有研究历史的问题题, 如果所得的经验已被几乎所有事实证明如果所得的经验已被几乎所有事实证明, 那么那么,我们的模我们的模型所得出的结论不应该例外型所得出的结论不应该例外.2、模型的数学检验模型的数学检验数值模拟检验数值模拟检验统计检验统计检验. 这种检验多用在数据建模的过程中这种检验

35、多用在数据建模的过程中.预测检验预测检验. . 借用所建模型模型借用所建模型模型, , 用历史预测现实用历史预测现实, , 以验证以验证模型的准确度模型的准确度. .四、数学建模竞赛论文的结构四、数学建模竞赛论文的结构1、摘要、摘要2、问题重述、问题重述3、问题分析、问题分析4、符号说明、符号说明5、模型假设、模型假设6、模型建立、模型建立7、模型求解、模型求解8、模型结果分析、模型结果分析9、模型优缺点、模型优缺点10、改进方向、改进方向11、参考文献、参考文献12、附录、附录五、几个简单建模例子五、几个简单建模例子1、雨中行走问题 一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一

36、公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。1 建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。主要因素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。

37、3）风速保持不变。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。h2 模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。 淋雨总量用 升来记。wdCIvD3 模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。淋雨的面积 )( 222米wddhwhS雨中行走的时间 )(秒vDt 降雨强度)/()3600/01. 0()/(01. 0)/(smIII时米时厘米（升）米SIvDSItC3600/)/(10)(01. 0)3600/(3模型中为变量。为参数，而vSID,结论：结论：淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。米即米米米小时厘米米若取参数22 .

38、 2,20. 0,50. 0,50. 1,/2,1000SdwhID秒。分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。2）考虑降雨方向。vhwd人前进的方向若记雨滴下落速度为 （米/秒）r雨滴的密度为雨滴下落的反方向1 ,pp表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。所以，rpI

39、因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。顶部的淋雨量)sin()/(1prwdvDC 度。表示雨滴垂直下落的速表示顶部面积，表示在雨中行走的时间sin,/rwdvD前表面淋雨量)cos()/(2vrpwhvDC总淋雨量（基本模型）)cos(sin(21vrhdrvpwDCCC61039. 1,/23600,/4pscmIsmr取参数)5 . 1cos6sin8 . 0(1095. 64vvC可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。vC情形190)5 . 18 . 0(1095. 64vC结果表明：淋雨量是速度的减函数，当

40、速度尽可能大时淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得升13. 1103 .1134mC情形2 60/ ) 334 . 0(5 . 1 1095. 64vC结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得升47. 1107 .1434mC情形3 18090此时，雨滴将从后面向你身上落下。5 . 1/ )cos6sin8 . 0(1095. 64vC5 . 1/)90cos(6)90sin(8 . 0(1095.

41、64vC5 . 1/ )sin6cos8 . 0(1095. 64vC能的。可能取负值，这是不可时，当C900 出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形你的前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即sinrv 这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是vvrpwDh/ )sin(淋雨总量为vvrhdrpwDC/)sin(cos。，则令90090 取到最小值。时，当CrvsincossinwdprrDC 再次代如数据，得)sin4/()cos8 . 0(1095. 64C结果表明：当行走速度等于雨滴

42、下落的水平速度时，淋当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。若雨滴是以12030的速度行走，smv/230sin4此时，淋雨总量为升24. 02/ )2/38 . 0(1095. 634mC这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。从背后落下，你应该以的角的角度落下，即雨滴以当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即sinrv 你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是vrvpwDh/ )sin(淋雨总量为vrvhdrpwDC/)sin(cos/ )sincos(rhvrdpwDrC才可能小。尽可能大，当Cvrd, 0si

43、ncos才可能小。尽可能小，当Cvrd, 0sincos，而sinrv ，所以sinrv 才可能小。C升。时，取77. 06/ )634 . 0(1095. 630,/634mCsmv4 结论若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。5 注意 关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段适应性。问问题题经试验，一盘录象带从头走到尾，经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了时间用了183分分30秒，计数器读数秒，计数器读数从

44、从0000变到变到6152。在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？小时的节目？要求要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与不仅回答问题，而且建立计数器读数与录象带转过时间的关系。录象带转过时间的关系。思考思考计数器读数是均匀增长的吗？计数器读数是均匀增长的吗？2 2、录象机计数器问题、录象机计数器问题录象机计数器的工作原理录象机计数器的工作原理主动轮主动轮压轮压轮0000左轮盘左轮盘右轮盘右轮盘磁头磁头计数器计数器录象带录象带录象带运动方向录象带运动方向录象带运动录象带运动右轮

45、盘半径增大右轮盘半径增大右轮转速不是常数右轮转速不是常数录象带运动速度是常数录象带运动速度是常数计数器读数增长变慢计数器读数增长变慢问题分析问题分析观察观察 计数器读数增长越来越慢！计数器读数增长越来越慢！模型假设模型假设 录象带的运动速度是常数录象带的运动速度是常数 v ； 计数器读数计数器读数 n与右轮转数与右轮转数 m成正比，记成正比，记 m=kn； 录象带厚度（加两圈间空隙）为常数录象带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； 空右轮盘半径记作空右轮盘半径记作 r ； 时间时间 t=0 时读数时读数 n=0 .建模目的建模目的建立建立时间时间t与读数与读数n之间的关系之间的关系（设（设v, ,

46、k, ,w , ,r为已知参数）为已知参数）模型建立模型建立建立建立t与与n的函数关系有多种方法的函数关系有多种方法1. 右轮盘转第右轮盘转第 i 圈的半径为圈的半径为r+wi, m圈的总长度圈的总长度等于录象带在时间等于录象带在时间t内移动的长度内移动的长度vt, 所以所以knm nvrknvwkt222mivtwir1)(22. 考察右轮盘面积的考察右轮盘面积的变化，等于录象带厚度变化，等于录象带厚度乘以转过的长度，即乘以转过的长度，即wvtrwknr)(22nvrknvwkt2223. 考察考察t到到t+dt录象带在录象带在右轮盘缠绕的长度，有右轮盘缠绕的长度，有vdtkdnwknr2)(模型建立模型建立思考思考nvrknvwkt2221. 31. 3种建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。但仔细推算会发现稍有差别，请解释。2.2.模型中有待定参数模型中有待定参数,kvwr一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。mivtwir1)(2wvtrwknr)(22vdtkdnwknr2)(参数参数估计估计另一种确定参数的方法另一种确定参数的方法测试分析测试分析将模型改记作将模型改记作,2bnant只需估计只需估计 a,b理论上，已知理论上，