信号时频分析-讲义

1、数字信号处理-信号时频分析讲义从Fourier分析到小波分析1 Fourier分析所有客观存在的事物都包含着大量标志其本身所存的时间空间特征的数据，这就是该事物的信息。当人们要了解事物某方面的情况时，通常要以各种手段把所需的信息表达出来，供人们观测和分析，这种对信息的表达形式称之为“信号”，所以信号是信息的载体。信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，发电机组运行时的温度信号和振动信号等。 对一个给定的信号或过程，如，我们可以用众多的方法来描述它，如的函数表达式，通过Fourier变换所得到的的频谱，即，再如的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中

2、，有两个最基本的物理量，即时间和频率。Fourier变换和反Fourier变换作为桥梁建立了信号与其频谱之间的一对一映射关系，从时域到频域的映射关系为Fourier变换： (1-1)反过来，从频域到时域的映射关系为反Fourier变换： (1-2)Fourier变换的本质思想是用一些简单的基本函数的加权和来近似和表示一个复杂的函数，这样的近似和表示有很多优点，它给我们分析和认识复杂现象提供了一种有效的途径，一些在时域内难以观察的现象和规律，在频域内往往能十分清楚地显示出来。 Fourier变换和反Fourier变换属于整体或全局变换，即只能从整体信号的时域表示得到其频谱，或者只能从整体信号的频

3、域表示得到信号的时域表示。也就是说频谱的任一频点值都是由时间过程在整个时域(-,)上的贡献所决定；反之，过程在某一时刻的状态也是由其频谱在整个频域(-,)上的贡献所决定。也就是说，在任何时刻的微小变化都会牵动整个频谱，而任何有限频段上的信息都不足确定任意小时间范围内的过程。因此，Fourier变换建立的只是一个域到另一个域的桥梁，并没有把时域和频域组合在一起，所以频谱只是显示了信号中各频率分量的振幅和相位，而无法表现信号各频率分量随时间变换的关系。 t / s t / s(a) x1(t) (b) x2(t)图2.1 信号x1(t)和x2(t)图2.1中的两个信号x1(t)、x2(t)可很好地

4、说明Fourier变换的局限性，它们的时域表示如下： 0t4s (1-3) (1-4)这两个信号都是由三种频率分量组成，但它们的持续过程是不一样的，在x1(t)中，三种分量一直存在；而在x2(t)中，只有一个分量一直存在，另两个只是分别占信号整个过程的前一半和后一半。 f / Hz f / Hz(a) (b)图2.2 信号x1(t)和x2(t)的频谱图2.2是这两个信号的频谱、，显然这两个不同的信号有相同的频谱，这说明Fourier分析不能将这两个信号区分开。2 短时Fourier分析2.1 基本定义为了克服Fourier变换不能同时进行时间频率局域性分析的缺点，因发明全息照相技术而获诺贝尔奖

5、的Gabor于1946年提出了短时Fourier变换(STFT)。短时Fourier变换的思想是把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过时间域加窗来实现，所以也称为加窗Fourier变换，定义如下： (2-6)式中是分析窗函数，它在时域是紧支的，一般选用能量集中在低频处的实偶函数。随着的不断变化，由所确定的窗口在时间轴上移动，使分析信号逐步进入被分析的状态，因此该变换反映了信号在时刻为、频率为的分量的相对含量。Gabor采用Gauss函数(式2-7)作为分析窗函数，因此用Gauss函数作为窗函数的短时Fourier变换也称Gabor变换。Gauss函数是紧支的，它的Four

6、ier变换也是Gauss函数(式2.2-8)，从而保证了Gabor变换在时域和频域都具有局域化功能。 (2-7) (2-8)t / s rad/s (a) (b)图2.3 Gauss函数及其Fourier变换可以证明，对于Gabor变换，式2-9是成立的 (2-9)这说明信号x(t)的Gabor变换按窗口宽度精确地分解了x(t)的频谱，提取了它的局部频谱信息，当在整个时间轴上平移时，就给出了x(t)的完整的Fourier变换，因此没有损失x(t)在频域上的任何信息。短时Fourier变换是能量守恒变换，对于任何窗函数下式都成立 (2-10)在归一化条件下，即1，短时Fourier变换是可逆的，

7、其逆变换公式如下 (2-11)这里用短时Fourier变换对上节中的信号x1(t)和x2(t)进行了分析，图2.4和图2.5给出了变换结果和相应的3D显示效果。1260f / Hz t / s 图2.4 信号x1(t)的Gabor变换(窗口长度为1/8的信号长度)40200f / Hz t / s图2.5 信号x2(t)的Gabor变换(窗口长度为1/8的信号长度)通过图2.4和图2.5可以很容易地辨识出信号x1(t)和x2(t)，它们各个频率分量的持续时间也可轻易地知道，如对x1(t)，它的三个频率成份就一直存在，而x2(t)中，只有一个频率成份一直存在，而其它两个频率成份只是占据了信号整个

8、过程的前一半和后一半。2.2.2 短时Fourier变换的时频分辨率短时Fourier变换是一种时频变换，从上面的例子可以看出，它可以方便地分析非平稳信号，现在很自然会产生这么一个问题，是不是窗口越小越好呢？先看两个极端的例子。当窗口函数选择为时，这时 (2-12)信号的STFT变成了信号x(t)，它保持了信号的所有时间特征，有完美的时域分辨率，却无任何频域分辨率。另外，当取无限宽的窗函数时，即g(t)=1时，此时的短时Fourier变换退化成一般的Fourier变换，这时 (2-13)信号的STFT变成了信号，它有极好的频率分辨率，但没有任何时间分辨率。为了分析Fourier变换的时频局部化

9、特性，引入相空间的概念。所谓一个相空间是指以“时间”为横坐标，以“频率”为纵坐标的欧氏空间，而相空间中的有限区域被称为窗口。相空间的作用是用来刻画一定的物理状态，因此它具有很强的工程背景。从数学上来说，如果函数，且，则被称为窗口函数，相空间的点 (2-14)被称为窗函数的中心。式中，为窗函数的Fourier变换(下同)。定义： (2-15)为窗函数的时宽和频宽。相空间中以为中心，以长为，宽为的平行于坐标轴的矩形称为由(t)所确定的时频窗口。若越小，则说明在时域上的局部化程度越高，当用这么一个窗进行短时Fourier变换时，将取得较好的时域分辨率；同样，若越小，则说明在频域上的局部化程度越高，用

10、于短时Fourier变换时，将取得较好的频域分辨率。可以证明1/2 (2-16)这就是Heisenberg测不准原理在时频变换中的表现，它表明和之间存在一定的制约关系，两者不可能同时都任意小。当且仅当g(t)取Gauss函数时，式(2.2-16)中等号才成立。从物理的直观意义上讲，信号的频率必须至少在一个周期内()进行测量，精确测量并认定某一时刻的频率是多少是没有意义的。图2.6 短时Fourier变换的相空间表示图2.6给出了短时Fourier变换的相空间表示。很明显窗口函数g(t)一旦选定，和也随之确定。因此，对于任意给定的和，短时Fourier变换的时频分辨率可由尺度固定的分辨基元来表示

11、，也就是说，短时Fourier变换在相空间中任何一点()给出的关于信号x(t)的信息，都是由和这两个不确定量限定的。由于短时Fourier变换的时频窗口有相同的时宽和频宽，也就是窗口的大小形状是固定不变的，它在时域和频域的分辨率是固定不变的，即在高频段和低频段有同样的分辨率，这在图2.4和图2.5上有很好的表现，可看出信号中的三个不同的频率成份在图上表现出了同样的带宽。为了更好地说明和之间的相互制约性，这里用不同宽度的窗函数对前面的信号x1和信号x2进行了分析，如图2.7所示。02040f / Hzf / Hz1260 t / s t / s图2.7 信号x1(t)和x2(t)的Gabor变换

12、(窗口长度为1/4的信号长度)和图2.4和图2.5相比，那里的窗口宽度为1/8的信号长度，而现在的窗口用的是1/4的信号长度。可明显看出，图2.7中的频率分辨率提高了，每个频率分量都在上面表现为比图2.4和图2.5中更窄的带。而它在时域的分辨精度下降了，这通过信号x2(t)的分析可看出。在图2.5中，两个各占信号过程一半的分量基本上以2s点为分界，而在图2.7中，这两个分量在时间轴上却出现了交叠。通过上面的分析可知，当用短时Fourier变换分析信号时，如果想对高频分量分析取得很好的时域分辨率，就必须选择宽带的短时窗；如果想对低频分量分析取得很好的频域分辨率，就必须选择窄带的宽时窗，但无法同时

13、达到这两个目的。而实际的信号过程是很复杂的，无论是单一的还是多分量的信号，为了提取高频分量或速变成份的信息，时域窗口应尽量窄，而同时容许频域窗适当放宽，因为更高频率分量即使有较大的绝对频率误差，仍可以使相应的相对误差保持不变；对于慢变信号或低频成份，频域窗口就应当尽量缩小，保证有较高的频率分辨率，以保证频率的相对误差满足提取信息的基本需要。简而言之，实际的信号的分析需要时频窗口具有自适应性，它可按上面的情形自动改变和的大小，高频时频窗宽，时窗窄；低频时则频窗窄，时窗宽。这么一个自适应窗口的相空间特性可用图2.8表示。图2.8 自适应窗的相空间表示短时Fourier变换还有一个缺点就是它的离散形

14、式没有正交展开，难于实现高效算法，这也大大限制了其应用范围。3 连续小波变换从Fourier变换到短时Fourier变换再到对自适应窗口的需求反映了信号分析处理过程中一个共同的基本要求，这就是具有自适应窗口特性和平移功能，为了实现高效算法，要求对信号x(t)进行变换处理的积分核应具有正交基。归结起来，变窗口、平移和正交性是作为信号分析最有效的数学工具的主要条件。小波变换(Wavelet Transform)正是为了满足这个需求而发展起来的。3.1基本定义设x(t)是一有限能量函数，即，则该函数的小波变换定义为以函数族为积分核的积分变换，如下式所示 a>0 (3-17)函数族由基本小波函数

15、通过伸缩和平移产生，如下所示 (3-18)式中a是尺度参数，b是定位参数，因子是归一化常数，用来保证变换的能量守恒，即 (3-19)小波函数的频域表示如下 (3-20)可以看出，当a减小时，小波函数的时宽减小，频宽增大，且的窗口中心向|增大方向移动；当a增大时，小波函数的频宽减小，时宽增大，且的窗口中心向|减小方向移动。这说明连续小波变换的局部化是变化的，在高频处时域分辨率高，频域分辨率低；而在低频处时域分辨率低，频域分辨率高，即具有“变焦”的性质，这也正是我们追求的自适应窗的性质。下面以常用的Morlet小波函数来说明。rad/s rad/s rad/sa = 0.5 a = 1 a = 2

16、图2.9 不同尺度下的Morlet小波函数及其频谱()Morlet小波是最常用的复值小波，由下式给出 (3-21)其Fourier变换为 (3-22)当5时，则Morlet小波函数可简化如下 (3-22)其Fourier变换相应地变为 (3-23)图2.9 给出了不同尺度参数a下的Morlet小波函数及其频谱，可以看出，当a增大时，小波函数被延展，对应的Fourier变换缩小，频域窗口中心减小，反之亦然。另外，可以看出Morlet小波函数的频谱具有带通的特征，事实上，所有满足下面条件的小波函数的频谱都具有这样的性质。小波的选择不是唯一的，很多函数可用来作为小波基函数，但也不是任意的，它的选择应

17、该满足以下条件：1. 定义域是紧支撑的，即在一个很小的区间之外，函数值为零，它保证了函数的速降特性，以便获得时域局域化。2. 平均值为零，也就是，甚至的高阶矩也应该为零，即 k = 0,1,N-1 (3-24)我们称满足这项要求的小波函数具有k阶消失矩，它可以消除信号x(t)的多项式展开中(k<N)各项在小波变换中的贡献，以便突出信号的高阶起伏和高阶导数中可能存在的奇点，因此小波变换能突出信号的高阶变化。均值为零的条件也称小波容许条件，即 (3-25)式，这个条件使函数的波形必定具有振荡性，并且随着k的增大，的振荡性会越来越强。从小波变换的定义可看出，小波变换是一线性变换，它的物理图案就

18、是用一族频率不同的振荡函数作为窗口函数对信号x(t)进行扫描和平移，其中a为改变振荡频率的伸缩参数，b为平移参数。这时小波变换在某种意义上类似于短时Fourier变换，但不同的是，小波变换的时域和频域分辨率与频率有关。在高频段，小波变换能达到高时域分辨率，而频域分辨率比较差，对低频段则刚好相反。而短时Fourier变换在所有频段的时域和频域分辨率都是不变的。对于所有的x(t)，x(t)的连续小波变换的逆变换可由下式给出 (3-26)利用Parseval公式和Fourier变换的相似性，很容易证明上述逆变换公式。这说明信号x(t)的小波变换并没有损失任何信息，变换是守恒的，因而下式成立 (3-2

19、7)2.3 小波变换的分辨率我们同样可以通过相空间来分析小波变换的分辨率，定义相空间的点为小波函数的中心。 (3-28)定义 (3-29)为小波函数的时宽和频宽。不难证明下面各式成立 (3-30) (3-31) (3-32) (3-33)由(3-32)和(3-33)还可推出常数 (3-34)对小波函数而言，它的频谱具有带通特性，而就是它的通频带中心，带宽BW则为2。由上述公式可看出，随着a的增大，减小，这表明带通的中心向低频分量偏移，这时小波变换分析的是信号的低频分量，而此时相应减小，相应增大，因此在低频段，小波变换可达到较高的频率分辨率和较低的时域分辨率，反之亦然。这正是我们所需要的图2.8

20、所示的自适应窗的特点。另外，由式(3-34)可知，在小波函数的相空间中，即使每个分辨基元的宽度(确定了时域分辨率)和高度(确定了频域分辨率)在各处不一样，但它的面积是一常数，这也正是Heisenberg测不准原理在小波变换中的体现。再看看反映小波函数滤波特性的品质因子Q，由(2.3-31)和(2.3-33)还可推出 (3-35)Q为常数说明小波变换相当于一个恒Q的带通滤波器，可用图2.10来表示小波变换的滤波特性。与此相对应，短时Fourier变换的滤波特性可用2.11来表示。0 2 4 8 图2.10 小波变换的滤波特性0 1 2 3 4 5 6 7 8 图2.11 短时Fourier变换的

21、滤波特性图2.12则给出了小波变换的相空间表示。图2.12 小波变换的相空间表示这里用小波变换对上节中的信号x1(t)和x2(t)进行了分析，如图2.13所示的变换结果。t / s t / s图2.13 信号x1(t)和x2(t)的小波变换(Morlet小波 )为了对比，这里进行了尺度和中心频率之间的转换(以后的所有有关小波变换的图如未经标注，都默认经过此转换)，对于任一小波，它的频谱都具有带通性质，因此这样的变换是可行的，变换公式为 (3-35)可以看出，小波变换和短时Fourier变换的结果非常相似，但不同的是，小波变换对高频分量的频域分辨率没有在低频的高，很明显频率越高的分量在小波变换图

22、上对应着越宽的频带。另外，从信号x2(t)的小波变换也可看出，小波变换对低频分量的时域分辨率没有对高频分量的高，很明显，本应只是占据02s的那个分量在小波变换图上直到近3s处还出现，而占据24s的分量在小波变换图上只是延伸到了将近1.8s处。 值得注意的是小波变换存在边界扭曲现象，上面的小波变换虽然采取了一些措施（对信号两端进行了对称拓展），但图中还是可以看出明显的不光滑的边缘效应。之所以发生边界扭曲，是因为进行小波变换需要作卷积，而通常对有限长度的信号进行卷积时，都会产生边界扭曲。这种边界扭曲带来的误差是与实际的信号有关的。一般信号处理都是对实际信号加矩形窗进行截断，所以在卷积时矩形窗外的部

23、分没有值(一般取零值卷积)，这与实际情况不符合，因此就带来了误差。为了解决边界扭曲问题，在进行小波变换之前，需要将信号扩展。对于不同的信号，可能会用到不同的方法来解决边界问题。2.3.3 确定最大和最小尺度参数用连续小波变换分析信号x(t)时，取小的尺度参数时分析的是高频率成份，但为了分析更高的频率，尺度参数a的取值是否要取得非常小呢？相应地，是否可用非常大的尺度参数来分析信号中的超低频率成份呢？事实上尺度参数的选择范围不是任意的，为了节约计算量，也为了消除小波变换结果中的无用信息，尺度参数的选择应该遵守一些原则。以Morlet小波为例，它的频谱具有带通特性，当尺度参数为a时，它的中心频率为，

24、通过公式(2.3-23)不难得出它的半功率带宽为 (3-36)因此，在尺度a下，小波函数频带的上下截止频率分别为 (3-37) (3-38)如果信号的采样间隔是Ts，则它的采用频率为fs=1/ Ts，根据Shannon采样定理，采样频率fs必须高于信号x(t)的最高频率的两倍，因此 (3-39)即 (3-40)这就确定了尺度参数的最小取值，计算比还小的尺度参数下的小波变换将没有任何意义。在实际计算中也可以根据信号的截止频率(2fs)来确定最小尺度参数，这时 (3-41)最大的尺度参数可以通过小波函数的时宽来确定，为了保证小波变换具有一定的时域分辨率，考虑到|的幅值在3之处将降到本身的99.9%

25、，因此一般要求3信号长度/2对Morlet小波来说，就是a信号长度/6 (3-42)这就确定了尺度参数的最大取值。从上面的分析可知，信号的采样频率或截止频率决定了最小尺度参数，即最大分析频率；而信号的采样长度决定了最大尺度参数，即最小分析频率；采样频率和采样长度不会影响小波变换的分辨率，小波变换的频域分辨率和时域分辨率只和所选择的小波函数及尺度参数有关。4 各种变换之间的比较12下面用表格的形式给出Fourier变换、短时Fourier变换和小波变换之间的比较。表2.1 Fourier变换变换类型频率分析函数三角函数（是时域支撑区无限的振荡函数）变量频率提供的信息信号包含的频率成份适用场合平稳信号（其频率成份不随时间变化）备注FFT的计算量为表2.2 短时Fourier变换变换类型时间频率分析函数有限长度的窗函数和三角振荡函数的复合函数 (每次分析时，窗函数的长度是固定的，但窗函数所包络的三角函数的频率是变化的)变量频率；窗口位置 提供的信息窗函数越小，分析得到的时域信息越好，但可能