量子力学曾谨言第五版第三章讲课稿(知识点)

1、 东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major 第三章 一维定态问题 §1、一维运动问题的一般分析(General analysis for 1D problems)一、 一维定态薛定谔方程的解的一般性质(General properties of solutions of stationary 1D SchrÖdinger equation ) 考虑质量为的粒子在势场中运动，薛定谔方程为 ，式中是哈密顿量。 对定态（即具有确定能量的状态），波

2、函数表示为：，其中满足一维定态薛定谔（或能量本征）方程：。定态薛定谔方程的解有如下的规律：(i)、共轭定理(Conjugate Theorem)： 若是定态薛定谔方程的解，对应的能量本征值为, 则也是该方程的解，且对应于同一能量。证 由于是实函数，则有是实的。若满足能量本征方程：，则有，即也是方程的解，且对应于同一能量。简并和非简并(Degeneracy and Non-degeneracy)： 若对一个给定的能量，只存在一个线性独立的本征函数，则称该能级是非简并的； 反之，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并， 而把对应的独立本征函数的个数称为它的简并度。(ii)、当为

3、实函数时，一维定态波函数可取为实函数。证 分能级无简并和有简并两种情况来证明(1)、能级无简并情况：对应能级，只有一个独立的本征波函数。 设为能量值为的本征波函数，能量本征方程：，取复共轭，因，则，即也是与对应的本征波函数。 因能级无简并， 有 ，可取，即可取为实函数。(2)、能级有简并情况：对应某一能级，有两个或两个以上独立的本征波函数。 设与能级所对应的本征波函数为波函数集合，能量本征方程为 取共轭，得 ， 则集合也是与对应的本征波函数。 只要中有一个波函数（例如）不是实函数，那么就可用实函数 或来取代，最后总能组合成一组实函数。 所以，当为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。下面一条性

4、质涉及空间反射变换和宇称。做空间反射变换： ，用算符代表空间反射变换：宇称本征方程： 可证为实数。只有当为实数时，该方程才是本征方程。因为按照基本假定，本征值与测量值相对应，而测量值总是实数。宇称（Parity）：空间反射变换算符的本征值。宇称的可能取值： ，即波函数满足，则称有正的(对“+”号)或负的(对“-”号)宇称。还有一些波函数没有确定的宇称, 它们不是空间反射算符的本征态。宇称是态的重要量子力学性质，它具有“纯量子力学”的特征，在经典力学中没有对应物。(iii)、反射定理(Reflection Theorem)设势能函数是关于原点对称（或空间反射不变性），即。若是能量本征方程属于能量

5、本征值的解，则也是该方程同一能量本征值的解。证 设是与一个能级对应的本征波函数，即做空间反射变换， 因，故空间反射不变，则 所以，也是属于能量值的本征波函数。推论（Corollary）：当具有空间反射不变性时，则(1)、对于无简并的能级，定态波函数必有确定的宇称。(2)、若能级有简并，则总能找到一组简并的定态波函数，其中每一个波函数都有确定的宇称。证明：(1)、能级无简并情况： 因能级无简并，则，即具有确定的宇称。(2)、能级有简并情况： 设集合是与能级对应的本征波函数 （是简并度）空间反射得： （），所以，集合也是与对应的定态波函数。 只要中有一个无确定宇称的波函数， 例如，就可用有确定宇称

6、的组合来取代，而, 最后总能组合成一组具有确定宇称的解。 总之，若空间反射不变，则无简并的定态波函数必有确定的宇称。对于简并的能级，总可以组合成有确定宇称的一组简并波函数。例 对于自由粒子，由于为实函数，且具有空间反射不变性。解 哈密顿量的本征值是二度简并的，对应两个独立的定态波函数：，它们不是实函数，也不具有确定的宇称。但总能组合成一组实的定态波函数 它们具有确定宇称。除了波函数的自然条件外，有时还要用到波函数一阶导数的连接条件。 (iv)、. 在某处点，若连续或发生阶梯形跃变，则波函数的一阶导数连续；. 在点处，若处间断且为无限大，则不连续，其连接条件可由在点的性质推导得到。证 定态薛定格

7、方程为：对上式先积分再取极限 得 . 在点，当连续或阶梯形跃变时，由于有限，当时积分，即 。因此，即在点，连续。. 在点，当间断且为无限大时，如势阱： 。因此，在点，不连续， 连接条件为： 。(v)、若和都是能级本征值所对应的本征波函数，则有。而对于束缚态（即），则为。证 由已知得由得： 。当和为束缚态时，有和，则有。(vi)、规则的势场（无奇点）中的一维束缚态必定无简并。证 设和属于能级的两个束缚态，则。在和等于零的点之外区域，由上式可得，故能级无简并。二、 一维定态的分类（Classification of 1D stationary states）1、分为束缚态(Bound states

8、)与非束缚态(Unbound states)（散射态scattering states）两类：假设在时有确定的极限，记为。(i)、如果，那么在时，从而使粒子在无穷远处出现的几率为零，这种状态称为束缚态（Bound states）。(ii)、若或或二者兼有，则在或或二者兼有时，粒子可在无穷远处出现，这种状态称为非束缚态(Unbound states)，或称散射态。束缚态和散射态有重要的区别。2、 一维束缚态的性质（Properties of 1D bound states）(i)、不简并定理(Non-degeneracy Theorem)：一维束缚态必是非简并态。(ii)、推论（Corollar

9、y）：一维束缚态波函数的位相必是常数。(iii)、宇称定理(Parity Theorem)：若，则一维束缚态波函数必有确定的宇称。(iv)、能量量子化(Quantized energy)：束缚态的能级是不连续地(离散地)变化的，换言之，仅当能量取某些离散的数值时，定态薛定谔方程才有符合单值、有限、连续条件的解。这就是通常意义的“量子化(quantization)”。(v)、如图下所示，束缚态的能量满足条件：， 其中是势能的最小值；而代表势能在外区（包括点）的最小值。 证 (1)、证成立。在外区： 若，则外区解为，显然不是束缚态。因为不满足条件。因此，成立。(2)、证成立。能量是的平均值其中。而

10、，其中，所以 成立。总之，束缚态的能量满足条件: 。§2、平底方势阱与离散能级（Square-well potentials and discrete energy levels）一维问题的实际背景是平面型固体器件例如“超晶格”，以及从高维问题约化下来的一维问题。一、一维无限深对称方势阱, 分立谱(1D symmetrical square-well potential of infinite depth and discrete spectrums)考虑一个质量为的粒子在阱宽为的一维无限深势阱中运动， 其势能函数为, 见右图示 。求该粒子运动的波函数及能级？解 在势阱外, 粒子不能

11、穿过去，必有：。在势阱内，满足的能量本征方程为： 显然(因为使得穿透阱壁)，令，则能量本征方程变成： 其宇称解：或。接下来确定能量的取值，利用波函数的连续性条件在处衔接起来。(1)、正宇称解(solution for positive/even parity )(2)、负宇称解(solution for negative/odd parity ) 。将二者合并起来可以写为： 。能级公式(energy levels formula): 能量本征函数(energy eigenfunction): ；由波函数的归一化条件：，确定归一化系数为。因此，能量本征波函数表示为 。将能级和波函数用图表示如下:

12、 能级图波函数图 对结果进行物理分析:1、从能量公式分析(i)、能级是量子化的，但经典动能, 连续取值。而最低能量，这与经典粒子不同，是微观粒子波动性的表现。因为“静止的波”是没有意义的。通常地，称为零点能(zero-point energy)， 对应的这个状态称为基态(ground state)。(ii)、相邻能级间距：。当时，能级差最小。当（即在大量子数）时，说明能级间隔与能级本身比较是可忽略不计的，即具有“准连续”性。 2、从波函数分析(iii)、波函数是驻波(stationary state)，阱中粒子波函数是两个反向传播的德布罗意行波叠加而成的驻波，是阱中德布罗意波在边界处多次反射相

13、干叠加的结果，类似于两端固定的一段弦振动。这里强调指出，这两个行波并不严格单色，因为它们仅仅存在于有限区间内。如同光学中有限长度的光波波列不会是严格单色波一样。驻波的波长为 。波函数在全空间连续，但其一阶导数在端点处不连续 。(iv)、态的宇称是偶奇相间，且基态为偶宇称；而第态奇偶性为。(v)、第能级的波函数的节点数为(端点除外) 。(vi)、空间分布几率：，在量子情况，粒子的空间分布与粒子的位置有关。(vii)、经典粒子空间分布几率：，即经典粒子出现几率是“平均（等几率）分布”的。小结: 一维对称无限深势阱中运动的粒子, 能级和相应的本征函数分别为: ; 若对称势阱的坐标原点沿轴负方向平移,

14、 此时势阱为非对称的；相应的能级和能量本征函数为: ; 。这表明：在坐标平移变换下，能级公式不变，但能量本征函数不再具有确定的宇称了。例1 求一维无限深势阱中粒子处于第一激发态时几率密度最大的位置。解 由已知得波函数为。对于第一激发态时，故有粒子处于第一激发态的几率密度为，由得极值点。当时，取极大值。所以。有是几率最大位置。例2 设粒子在宽为（）的一维无限深方势阱中运动， 求粒子的动量分布。解 由已知得，能量本征波函数为。用动量本征函数展开得，则 因此，最后得到： 例3 设粒子处于宽为（）的一维无限深方势阱的基态，时阱壁突然崩塌，求时粒子处于动量取值在内的几率，以及粒子波函数的表达式。解 由于

15、阱壁突然崩塌，粒子变为自由粒子。此时哈密顿量为，能量本征值以及本征函数分别为。将按展开得由此可得：因此，按展开如下：所以，在时粒子处于动量取值在内的几率为在时，粒子波函数的表达式为课后作业 作业四二、有限深对称方势阱(Symmetrical square-well potential of finite depth、bound states )设 , 其中为阱宽，为势阱高度。讨论束缚态情况下, 能级和本征函数。解 能量本征方程为： 对于第二个方程的一般解是： (1)、对区域(经典禁区，因为)要求，故此区域波函数为: ，(2)、对于区域(经典禁区，因为)要求，所以此区域波函数为: ； (3)、对

16、于区域（经典允许区，），波函数为：。因此， 在整个区间波函数是：按说应该把它们在处衔接起来，但是回忆以前讲过的宇称定理，我们可以做得更简单些。 (1)、偶宇称解：和，有 如何确定和呢? 考虑波函数的条件: 在处让和都连续，得， 两式相除就得：，这是含有的一个超越方程，可以从中解出。(2)、奇宇称解：，此时波函数变为： 在处让和都连续, 得 , 这是关于能量的一个超越方程，可以从中解出。因此，得到两组关于能量的超越方程：(1). 偶宇称情况: 能级方程为；(2). 奇宇称情况: 能级方程为。为了看出能级的分布情况，可以采用图解法。引入无量纲参数: , 则它们变为和为变量的超越方程组: 或见图如下

17、：偶宇称解奇宇称解 两个图合并为下列一个图如下： 找出这两族曲线的交点，记交点的值为 则能级就是：。结果讨论: (1)、能级的宇称是偶奇相间，最低的能级是偶宇称。(2)、由于，即 ； 由此可知，每个能级都要比无限深方势阱的相应能级低一些；在时，它们分别趋近于无限深方势阱的相应能级。 当时, 则有, 故得 即, 这正是宽为的无限深方势阱的能级。(3)、不论势阱多浅或多窄，方程组至少有一个解，即无论的值多小，都至少存在一个束缚态（基态），其宇称为偶。当增大使时，开始出现第二个解，即第一激发态， 其宇称为奇。 继续增大，将依次出现更高激发态。(4)、在给定的势阱中，能级的个数是，这里代表最接近的右侧

18、正整数。(5)、当时，即。两个方程组仅交一点，所以只有一个解，而在区域中无零点，即为基态（在这样的势能中仅有一个束缚解）。当时，此时两个方程组交二个点，即有2个分立能级。(6)、基态无零点：第一激发态有一个零点。当时，交个点，有条能级。因此，等高有限方位阱，分立能级数目取决于的大小。但不管如何小，总有分立能级，至少一个（这与分立能级为无限多的无限深方位势不同），它有一个能量最小值，不能小于；(7)、在经典力学中，当时，粒子只能处于区域中。但在量子力学中, 粒子有一定的几率处于区域中，而且必须有。正是由于这一点，无论如何小，方程组至少有一个解。否则，当小到一定程度时，就无束缚态了。附录 关于波函

19、数的归一化系数的求解(1)、奇宇称解：解由归一化条件得边界条件令，则(1)和(2)变为当时, 则有此时， 因此，粒子在阱内和阱外的分布几率分别为：(2)、偶宇称解：解 由归一化条件得边界条件令，则(1)和(2)变为当时, 则有 因此，粒子在阱内和阱外的分布几率分别为：，。三、束缚态和分立谱的讨论（Discuss for bound states and discrete spectrums） 从前面的学习知道：束缚态能级是分立的，是束缚态边界条件产生的必然结果。我们也可以通过对波函数的形状变化规律来定性地分析能量的分立性。对于定态薛定谔方程：(1)、当时，粒子处于经典允许区域。令，则方程为 ，

20、 其解为：是振荡函数， 当越大时（即越大处），波函数震荡越快。另外，由于，说明与符号相反，此时分为两种情形：(i)、在区域，说明曲线向上凸起；(ii)、在区域，表明曲线向下凹。因此，一定是正弦或余弦三角函数总是向轴弯曲。(2)、当时，粒子处于经典禁戒区域。令，此时方程为 其解为：是指数函数衰变函数，无振荡现象。由于，说明与同号。总是背离轴弯曲，即(i)、在区域， 曲线向下凹；(ii)、在区域， 曲线向上凸。利用上述特点，讨论方势阱的能级可能值和波函数的节点数。在区域，由于得指数上升曲线上弯。在区域，由于得曲线开始下弯在区域，由于得指数上升曲线上弯。课后作业 作业五§3、一维散射问题(

21、Problems of 1-D Scatters/unbound states)一、一维散射问题的提法本节不同于前几节，是一个非束缚态问题。即在无穷远处有粒子存在，所以波函数不能归一化。这是一类包括隧道贯穿和势垒散射等问题的概括。例如, 核中 粒子衰变、金属中电子的光电效应、自由中子穿过板状磁场等等。为简化计算，假定势垒为矩形，粒子自左向右朝向势垒运动并经受势垒散射和透射。一般地，假设，且。故在处，和的线性组合，其中是沿轴正向行波，是反向行波。具体地实际情况是：粒子从一边入射，被势场散射而分成了反射和透射两个部分。这给方程提出了一定的定解条件： 粒子从左方入射：时，； 粒子从右方入射：时，。下

22、面以左方入射为例，边界条件是： 时 (入射加反射) 时 (只有透射)在时，粒子的几率流密度是： 其中是粒子的经典速度。所以在上面的边界条件下，入射几率流密度是反射几率流密度是透射几率流密度是由此定义：(i)、反射系数，表示粒子被势垒反弹回去的概率；(ii)、透射系数， 表示粒子穿透过去势垒的概率。二、方势垒的穿透（隧道效应）(Square Barriers and quantum Tunnelling effect) 设质量为，能量为的粒子沿轴正方向从左侧射向方势垒： , 当时，求反射系数(reflection coefficient)和透射系数( tansmission coefficien

23、t)。在经典情况，由于粒子只表现为粒子性。当入射能量时，粒子不能越过势垒只能被反弹回来。在量子力学情况，由于粒子还具有波动性，是否有可能穿过去呢？ 下面让我们来讨论之。1、当时，处于束缚态。能量本征方程为： 其中及。在粒子从左方入射时，在区域，既有入射波又有反射波, 在区域只有透射波； 因此在整个区域波函数为： 考虑和在和处连续，得到下列四个方程： ，将(1)和(2)代入(3)和(4)，消去和得到一个关于以和为变量的二元一次方程组 用行列式来求解如下： 所以，反射系数和透射系数分别是：讨论结果的物理意义：(i)、，即是几率守恒。(ii)、在时，即使粒子的入射能量很小，透射系数。这说明粒子能穿透

24、比它动能更高的势垒，这是经典力学不能解释的，称为量子隧道效应（或势垒贯穿）， 是粒子具有波动性的表现。(iii) 若，有，则近似结果为：其中以及。这表明，对势垒高度()、宽度()和粒子能量()非常敏感。其主要应用：隧道二极管、扫描隧道显微镜、外电场下金属电子的冷发射等等。 2、当时，令，则代入上面得到的反、透射系数公式，并利用公式：得： 透射系数作为的函数在其最大值1和最小值之间振荡，见下图。 当时，在势垒上没有反射，这种情况称为共振散射。结果讨论：(i)、当时，发生全反射现象。(ii)、由知，。因此，粒子透射很容易， 但粒子仍有一定的概率被反射回去。 (iii)、若，则入射波将全部透过势垒，

25、这种现象称为共振透射。此时得到： 即入射粒子的能量满足时，粒子发生透射共振，该能级称为透射共振能级。三、方势阱的穿透与共振(Tunneling of Square-well potential )对于方势阱（如右图所示）： 求散射态下，反射系数和透射系数当时，粒子处于散射态。能量本征方程为：取及上式变为 若粒子从左入射时， 在区域， 既有入射波又有反射波， 而在区域仅有透射波； 因此，在整个区域波函数为：考虑和在和处连续，我们很容易得到下列四个方程： 将(1)和(3)代入(2)和(4)得即解得。故反射系数和透射系数分别是：结果讨论：(i) 当时，无势阱，则；即粒子一定穿过去。(ii) 当时，粒

26、子有一定几率被反弹回去。这是量子效应，经典无法解释。(iii) 当给定时，是入射粒子能量的函数。其函数图像如下： (iv) 当时，有是很小的，若时，则取值很小；然而，当时, 反射系数, 透射系数, 此时称为共振透射现象。故由知： ，令称为阱内振荡波长， 则有 称为共振透射产生的条件。物理意义：入射粒子在势阱中运动时，碰到阱壁时将发生反射和透射；若粒子选择适当的能量，能够使其在阱内的波长满足，则经过各次反射而透射出去的波有相同的相位而产生相干叠加，出现透射共振现象。共振能级为： 共振透射现象在波动现象里普遍存在。例如，光学薄膜的无反射透射、波导中的阻抗匹配、低能电子从惰性气体上散射的Ramsau

27、er-Townsend效应等等。(v) 当时，反射最强；此时阱内的波长： 。§4、Delta势垒与Delta势阱一、 Delta势垒的穿透1、单Delta势垒的隧穿效应考虑质量为的粒子(能量)从左入射到势垒上（如右图示）， ，其中常数。求其波函数和反射系数和透射系数。解 能量本征方程为: 在是方程的奇点，故该点不存在。而不连续，对方程(1)两边积分并取极限得 在处方程(1)变为： , 其中。若粒子从左入射，在区域既有入射波又有反射波；而在区域只有透射波。故解为: 由边界条件在点波函数连续得 而点满足跳跃条件(2)得 其中及解(3)和(4)组成的方程组得 讨论结果 (i)、， (ii)

28、、势的特征长度为，特征能量为； (iii)、当时，。2、双Delta势垒的隧穿效应一个质量为的粒子在双势垒的作用下运动， 求反射系数和透射系数，以及发生完全透射的条件。 解 能量本征方程为 对于的区域，方程(1)变为由于，令，则方程(2)的解: 。令是特征长度，则方程(1)可写为 在点附近，对(3)积分得到的跃变条件为 利用处连续和的跃变条件(3)得消掉和得由此可见，这正是粒子概率守恒的表现。若保持不变，当时，合两Delta势垒为单Delta势垒，即，此时透射率： ， 这正是上节学过的粒子在单Delta势垒中透射系数。对于完全透射的条件为，即 ，这就是完全透射的条件。因此，在完全透射时，其透射

29、波的振幅可表示为。对结果进行讨论2、若粒子的入射能量很低，即，这时完全透射条件的条件为，其中。，因此，双Delta势垒散射只有当时才能出现该情况。3、 若很小，而，这时完全透射条件的解为二、Delta势阱中的束缚态1、粒子在单Delta势阱中运动粒子在势阱中运动情况（如图所示）： ， 其中常数。能量本征方程为 定性地分析波函数和能量：(i)、当时，为游离态，可取一切连续的实数值； (ii)、只有当时，存在束缚态，可能取分立值。本节只讨论束缚态，即情况： 在点不存在，而不连续,对方程(1)两边积分并取极限得 在的区域中，能量本征方程(1)变为： 其中。方程(1)的一般解为: 。要使波函数在处有限

30、，必须有。边界条件(1)、在点连续条件要求, 于是有 ， 即偶宇称波函数。(2)、在点满足跳跃条件(2)要求: 其中和。 故只有一个束缚态： 波函数的归一化:。所以, 归一化的本征波函数：是偶宇称波函数。图示如下: 注意: 对于奇宇称态，不形成束缚态；因为势的作用点处奇宇称态为零，即势对奇宇称态无作用，粒子运动与自由运动无异。2、粒子在双Delta势阱中运动作为氢分子离子的一种近似一维模型，可视为粒子在双势阱中运动，势函数为 ，如下图所示，其中常数。 求束缚态能量及波函数。解 能量本征方程为 为游离态，为束缚态。若令及, 则方程(1)可写为 在点附近，对(2)积分得到的跃变条件为 对于的区域，

31、方程(2)的解可取下列形式：。由于，故束缚态有确定的宇称。 它们被分别表示如下：(1)、偶宇称解由及束缚条件知，解可取为 利用处连续和的跃变条件(3)得 ，即偶宇称能量超越方程。(2)、奇宇称解：由及束缚条件知，其解可表示为 利用处连续和的跃变条件(3)得 ，即奇宇称能量超越方程。令，则能量超越方程变为，其中“”对应偶宇称， “”对应奇宇称。由于，故能量为。能级方程图解如下： 从能级图可看出：(1)、偶宇称能级方程，无论取任何值总有且只有一个解，即偶宇称态仅有一个束缚态能级。由于的取值范围：，故有的可能取值范围：。(2)、奇宇称能级方程，无论取任何值也总有且只有一个解，奇宇称态也只有一个束缚态

32、能级。由于的取值范围：，故有的可能取值范围：。(3)、偶宇称态是基态，奇宇称态是激发态。波函数图解为： 小结: (1)、势阱中运动的粒子，能量量子化。(2)、当位势有对称性时, 有确定的宇称解。(3)、对势, 在跃变点处, 波函数仍连续,但波函数的一阶导数满足跃变条件: 。3、双Delta势垒中粒子的共振现象一个质量为的粒子在双势垒的作用下运动，求共振能级。解 能量本征方程为 对于的区域，方程(1)变为 由于，令，则方程(4)的解: 或。由此可知，在处而呈周期性变化。因此，本题没有严格的束缚态解和分立能级。而所谓的共振态，是指在垒间区域的值远大于垒外区域的值。与此相应的能量就称为共振态能级。令

33、, 则方程(1)可写为在点附近，对(3)积分得到的跃变条件为 由于，故有确定的宇称解。 它们被分别表示如下：(I)、偶宇称态解：由知，其解可取为 利用处连续和的跃变条件(3)得 作为共振态，要求(II)、奇宇称解：由知，其解可表示为 利用处连续和的跃变条件(3)得 四、束缚能级与反射振幅的极点的关系Max Born提出波函数的统计解释时，事实上是从散射来揭示的。因为你如何测量氢原子中空间每点发现电子的几率密度呢？而散射是可以进行实验测定的。因入射粒子经靶散射到不同方向，而其几率的分布是依赖于它们之间的相互作用。于是我们可通过想象的完全相同的散射实验的测量来获得散射时发现粒子的几率分布。Max

34、Born给出定态散射解： （如相互作用力程有限，即当，它比还快）。而称为散射振幅。散射振幅包含了相互作用的所有信息。更普遍地描述一个反应是用S矩阵元来给出。人们研究发现束缚态 S矩阵的极点。矩阵解析性质的研究是很重要的，在高量中将会研究，在此仅给大家一个定性认识。当很大时, 事实上, 是入射球面波，而是出射球面波。所以，是从到有限，然后由有限处散射到。 实际上是入射波的散射波。因此，在一定位势下的束缚态是相应于散射振幅的极点。 在一维情况下，对应的极点应是散射振幅的极点，而不仅是透射振幅的极点。因有些问题是没有透射振幅。但任何散射过程总是存在反射振幅。不能说透射振幅为零时的位势就不存在束缚态。

35、（因如以透射振幅的极点来判断，即透射振幅为零的位势就无束缚态了）1、 讨论半壁势位阱的散射行为能量本征方程：，即 (i)、对于，粒子由右向左入射，由于入射波经位势及的无穷大位势的作用。所以，在的区域，即在和区域都有反射波。 所以，该问题相当于解的问题。解法一 利用反射振幅极点反射求解由波函数在点连续：又在处满足阶跃条件： 即由(1)和(2)组成方程组得消去和得这时，透射振幅为零，只有反射振幅（在远处）。根据前述，若位势有束缚态，其对应的必须是反射振幅的极点 代入分母得 其中 其中令及。这与直接求解双对称势的奇宇称所得的确定本征值的方程完全一致。( 因要求 )解法二 由于粒子被束缚在阱中, 既没

36、反射, 又没透射。故, 即波函数为由波函数在点连续：又在处满足阶跃条件： 即由(1)和(2)组成方程组得 令及(2)、验证时的束缚态解能量本征方程：令，则 ,由波函数连续及其导数的关系（在处）得 消去得：，其中及。2、 考虑有限深方位阱的散射行为，并利用反射振幅的极点反射法求束缚态解：能量本征方程为当时，令、，则其解为，可得 。若位势有束缚态，则，而为反射振幅或透射振幅的极点。 令，则，利用公式得即，这与我们求束缚态的解所满足的条件一致。3、讨论：理论研究表明，对于散射而言，描述它的是散射矩阵。原则上，矩阵可表为 , 称为Jost function.可以证明，将中的, 解析延拓至复平面，若在虚

37、轴上的某值使的解，即为该位势的束缚解，而反射振幅与有关，从而有这一推论。§5、一维线性谐振子(1D Linear Harmonic Oscallator)先回顾一下经典力学中的线性谐振子解法一维线性谐振子就是考虑一个质量为在保守力场中运动，求其运动轨迹。粒子所受到的保守力：由牛顿第二定律：，令，则解之得 和待定常数），这是粒子运动的轨迹，粒子作周期运动。由轨迹方程可知下列信息：(1)、粒子运动的周期：， (2)、粒子运动速度：；(3)、粒子运动允许区域：。当时，速度。(4)、动能：；(5)、势能为：；(6)、粒子总能量：，与时间无关，故在运动过程中能量守恒。(7)、在一个周期内，粒子

38、运动的位置、速度、动能以及势能的平均值：这些平均值在量子力学中也是一致的。而粒子的运动位置和速度是描述经典粒子运动的物理量在量子力学中被抛弃掉。利用量子力学来求解该问题如下一、方程的化简线性谐振子的势能函数：，如右图示其中是谐振子的固有圆频率。能量本征方程的具体形式写为： 作量纲分析：考虑特征长度： ；能量：。引入两个无量纲的量如下： 、无量纲的独立变量，其中； 、无量纲的本征值。则方程(1)变成：。为了使方程求解(2)容易，观察的情形。在的渐进区域，可以忽略，则方程(2)的渐近形式为：。其近似解：。然而，由于不满足束缚态条件应该舍去。因此，可设方程(2)的严格解为，代入方程(2得到关于的方程

39、：-这就是厄米方程。下面求解厄米方程来确定能量本征值，而本征波函数。二、厄米多项式可以用级数法求解，在附近，用幂级数，代入厄米方程得到递推关系： 由此可见，只要知道和，所有偶次项的系数都可确定，所有奇次项系数都由确定。另外，由势能函数为偶函数知，有确定的宇称，故与相同的宇称。因此，被分成两个独立的解，即纯偶次项或纯奇次项构成的级数解如下： 这里，注意到与的级数展开相邻系数的相应比值相同。由此可知 ，在处发散。由束缚态条件要求：和必须在某项截断而变成为多项式。 令处截断, 级数和中止于处，此时变为厄米多项式, 即 这就要求, 由此可得()。从而 -一维线性谐振子的能级公式。这时，满足的方程为：。多项式的系数满足下列递推关系式为 。下面让我们分两种情况求多项式的表达式：(I)、当为偶数时，由上式得令，则有 最初三个多项式分别为 (II)、当为奇数时，由递推关系知令，则上式变为 给出最初的前三个多项式如下： 。我们能将(I)和(II)两种情况下得到的多项式合并成统一的形式如下： ，其中；该多项式被称作厄米多项式（Hermite Polynomials）。经过计算，厄米多项式满足下列递推关系： 厄米还可表为微分形式：。因此，厄米多项式满足正交归一性： 。三、能级和波函数我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级：对应的波函数是：