北京大学心理统计讲义04

1、第四讲 标准差和 Z分数学习重点w 方差/标准差的逻辑步骤w 和方的定义公式和计算公式w 总体和样本的方差w 总体和样本的标准差w 自由度w 计算Z分数w 根据 Z分数推知原始分数w 标准分布及其应用标准差 (standard deviation)² 量度了分布中的每一个个体与某一标准偏移的距离，这个标准就是均值。² 最重要，最常用的差异量数. ² 考虑了分布中的所有信息 方差/标准差的逻辑步骤1.离差X - m = 离差分数（deviation score） 例: 全班男同学的体重 （公斤） 69, 67, 72, 74, 63, 67, 64, 61, 69,

2、 65, 70, 60, 75, 73, 63, 63, 69, 65, 64, 69, 65 mean = m = 67 S (X - m) = (69 - 67) + (67 - 67) + . + 65 - 67) = ?= 2+ 0 +5 +7+ -4 +0+ -3 +-6 +2 + -2 +3 + -7 + 8 +6 + -4 + -4 +2 + -2 + -3 +2 + -2 = 0 注意：如果分数的值大于均值，离差是正数 如果分数的值小于均值，离差是负数离差的和必定为0。因此，要去掉符号. 将离差平方，再取其和的平方根。2 . 和方和方的操作定义：SS = S (X - m)2

3、xX -m (X -m)269246700S=362SS = 362 和方的计算公式为: SS = SX2 - (SX)2 N此二者为等价。计算公式的优点为 可直接利用 X 值。上例中: XX2 1643876S X=S X2 =SS = SX2 - (SX)2 N注意：以下方差/标准差部分，总体和样本有区别3总体方差和标准差总体方差（Population Variance）： 和方的平均， 即和方除以总体的容量. 总体方差= s2 = SS/N 总体标准差:将总体方差求平方根。 standard deviation = sqroot(variance) = sqroot(SS/N) s =

4、sqroot(s) 上例中: s2 = ？s = ？求总体标准差步骤: step 1: 计算和方 SS- 可用定义公式或计算公式step 2: 确定方差 - 计算均方- 将 SS 除以 Nstep 3: 确定标准差 - 取方差的平方根4 样本的方差和标准差 注意与总体标准差的不同: n s =样本的标准差（sample SD）n 用 （不是 m） 来计算SS n 需要考虑样本常常比其所属的总体较少变异性，标准差的计算需做校正. - 如果样本有代表性, 那么样本与总体的就会非常近似, 两个分布的形状也应该近似。但是, 样本的变异程度仍然低于总体的变异程度. - 因此，样本方差的分母是n - 1

5、而不是 n sample variance = s2 = _SS _ n - 1- 对于样本标准差也是同样sample standard deviation = s = sqroot(SS/(n - 1) 用n-1 作分母，意思是利用自由度来校正样本离差，以利于对总体参数的无1偏差估计。 自由度n - 1意思是除了一个值，其余都可变化。 如: sample mean =5，如果前4 个分数是: 5, 4, 6, 2 最后一个是什么?5 + 4 + 6 + 2 + X = 25X = 8 X必须固定在8。例1：求标准差: 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7 第一步: 计算和方列表：第二

6、步: 确定样本方差 sample variance = s2 = _SS_ n - 1= 28/(8-1) = 28/7 = 4.0第三步: 确定样本的标准差standard deviation = sqroot(SS/(n - 1) = sqroot(28/(8 - 1) = sqroot 4.0 = 2.0 n 粗略估计均值和标准差m = ?s = ?标准差的性质 1) 对分布中的每一个分数加上一个常数不会改变其标准差. 2) 对分布中的每一个分数乘上一个常数，所得分布的标准差是原分布的标准差乘上这个常数. 比较三种离中量数 - 极端分数: 全距（range） 受影响最大, IQR 受影响

7、最小- 样本大小: 全距（range） 可能随n 的增加而增加 , IQR & s 不会- 样本选取：从同一总体中多次取不同样本，全距（range） 没有稳定的值, 但 IQR 和 S 是稳定的，不应波动很大。- 对于有不确定值的分布, 全距 或 S 都无法求得, IQR (或SIQR) 是唯一的选择。Z 分数（Z-Scores）: 分数的位置和标准分布Z 分数的目标：对分布中的每一个原始分数，描述其在分布中的位置。参照点：均值u 用离差(x - m) 或 (x - )描述分数的位置当只涉及一个分布时， 用离差是简便易行的. 但当我们需要比较两个不同分布中的分数的相对位置, 用离差就不

8、够了. u 用Z 分数描述分数的位置例： 你参加了ACT和SAT 两种测验. ACT：26 SAT：620。 申请学校只需任选寄送其中一种，你会送哪一种？ 直接的比较不可能，因为两个分数分布的均值和标准差不同. 1) 看分布图，将两个分数定位再试图比较还是很困难 2) 计算百分位数等级（percentile ranks） 3) 计算标准差要比较两个分布，一个方法就是将两个分布都转换成标准分布。 标准分布（standardized distribution） 由转换分数组成，m 和 s 已经确定,而无论其原始分数如何. 其作用是使不同的分布有可比性。可将其转换为Z分数. 这里需要做的是将每个分数

9、转换为z-score, 从而将整个分布标准化. 标准分数（standard score） is 是一种转换分数提供其分布位置的信息. Z 分数是标准分数的一种。 z-score 指出了每个X 值在分布中的精确位置。z-score 的符号(+ 或 -) 表明其比均值大或小. z-score 的数值部分用X 与 m.间标准差个数的形式指出了其与均值的距离。 对于Z分数分布， mean = 0，standard deviation =1. Z分数为 1, 表示数据点恰位于均值的一个标准差之上。Z分数为 -1, 表示数据点恰位于均值的一个标准差之下。如何转换? population sample Z

10、= deviation= standard deviation = 如果总体/样本的均值和标准差已知，分布中的所有原始分数都可转换为 Z分数。如果分布中的总体/样本的均值和标准差已知，Z分数也可转换回原始分数。 Z = (X - m) -> (Z)( s) = (X - m) -> X = (Z)( s) + m s 如果某人说他的SAT 分数高于均值 2 SD。他得了多少分? Z分数分布的属性形状 - Z分数分布的形状与原始分数分布完全相同。每个分数所在的相对位置亦完全相同。 均值- 当原始分数转换成Z分数, mean = 0. 标准差 -当原始分数转换成Z分数, standar

11、d deviation = 1. 转换程序实际上是对分布轴的一种重新标定。- 将X 轴中心重新标定为0，再将每个SD 间隔标定为1. 例: 美国男人的身高和体重personheight weight166203 2711743742234691755701446742197731848692379692041075237sum7102000 height2 weight2 4356 41209 5041 30276 547649729 476130625 490020736 547647961 532933856 476156169 476141616 562556169 50,486 408

12、,346heightm = 710 / 10 = 71.0 SS = 50486 - (710)2 / 10 = 76.0s = 2.8 weightm = 2000 / 10 = 200.0SS = 408346 - (2000)2 / 10 = 8346.0s = 28.9 Z = (X - m) s Z1 = (66 - 71)/2.8 = -1.8 Z2 = (71 - 71)/2.8 = 0 Z3 = (74 - 71)/2.8 = 1.1 Z4 = (69 - 71)/2.8 = -0.7 Z5 = (70 - 71)/2.8 = -0.4 Z6 = (74 - 71)/2.8 =

13、 1.1 Z7 = (73 - 71)/2.8 = 0.7 Z8 = (69 - 71)/2.8 = -0.7 Z9 = (69 - 71)/2.8 = -0.7 Z10 = (75 - 71)/2.8 = 1.4 Z = (X - m) s Z1 = (203 - 200)/28.9 = 0.1 Z2 = (174 - 200)/28.9 = -0.9 Z3 = (223 - 200)/28.9 = 0.8 Z4 = (175 - 200)/28.9 = -0.9 Z5 = (144 - 200)/28.9 = -1.9 Z6 = (219 - 200)/28.9 = 0.7 Z7 = (184 - 200)/28.9 = -0.6 Z8 = (2