电路分析基础_14耦合电感和理想变压器

1、第十四章第十四章 耦合电感和理想变压器耦合电感和理想变压器14-1 14-1 耦合电感的伏安关系耦合电感的伏安关系14-2 14-2 耦合电感线圈间的串联和并联耦合电感线圈间的串联和并联14-3 14-3 空心变压器电路的分析空心变压器电路的分析14-4 14-4 耦合电感的去耦等效电路耦合电感的去耦等效电路14-5 14-5 理想变压器的伏安关系理想变压器的伏安关系14-6 14-6 理想变压器的阻抗变换性质理想变压器的阻抗变换性质14-7 14-7 理想变压器的实现理想变压器的实现14-8 14-8 铁芯变压器的模型铁芯变压器的模型14-1 14-1 耦合电感的伏安关系耦合电感的伏安关系耦

2、合电感是耦合线圈的理想化电路模型，也称互感。耦合电感是耦合线圈的理想化电路模型，也称互感。一、概念与定义一、概念与定义1.1.孤立电感：一个电感线圈孤立电感：一个电感线圈LiN) i (fdtdiLu Ni+ +u udtdiLdtdu（1 1）磁链是线圈中电流的函数）磁链是线圈中电流的函数（2 2）磁场随时间变化产生电压）磁场随时间变化产生电压2. 2. 耦合电感：耦合电感：定义：具有磁耦合的两个线圈。定义：具有磁耦合的两个线圈。1211121222+_+_u1u2i1i21121221212自磁通互磁通1211121222自磁链互磁通 意义：互感大小反映一个线圈电流在另一个线意义：互感大小

3、反映一个线圈电流在另一个线 圈中产生磁链的能力。单位：亨利圈中产生磁链的能力。单位：亨利 (H)(H)1212121212iMiM 可以证明可以证明 MMM2112仿照仿照自感自感系数定义，定义系数定义，定义互感互感系数为系数为22221111iLiL2211122121LLMk偶合系数偶合系数 K K 定义定义意义：意义：k k值的大小取决于两个线圈的相对位置值的大小取决于两个线圈的相对位置 及磁介质的性质。及磁介质的性质。衡量两个线圈耦合程度。衡量两个线圈耦合程度。一般地：一般地：0K10K1当当 K=1 K=1 时，全耦合时，全耦合当当 K=0 K=0 时，无耦合时，无耦合当当 K1 K

4、1 时，紧耦合时，紧耦合当当 K K1 1时，松耦时，松耦合合22122111iLiMiMiL耦合电感特点：表征两线圈的参数有三个，即：耦合电感特点：表征两线圈的参数有三个，即： L1 、 L2 自感自感， M互感互感二、耦合电感的伏安关系：二、耦合电感的伏安关系：dtdu11dtdu22dtdiMdtdiLu2111dtdiLdtdiMu22121211121222+_u1u2L1L2i1i2M12M1L1uuu2L21M2uuu互感电压，自感电压，21M12M2L1LuuuudtdiMdtdiLu2111dtdiLdtdiMu2212dtdiMdtdiLu2111dtdiLdtdiMu22

5、12线圈相对绕向不同：线圈相对绕向不同：+ _ +_u1 u2i111212212i2线圈相对位置不同：线圈相对位置不同：dtdiMdtdiLu2111dtdiLdtdiMu2212+ _ +_u1 u2i1i211212212问题：问题：怎么确定互感电压正负？怎么确定互感电压正负？三、同名端：三、同名端：定义定义1 1：设两电流都从打：设两电流都从打 “ “” ” 的端子流入，若它们的端子流入，若它们 所产生的所产生的总磁通总磁通在其线圈中是在其线圈中是相互加强相互加强（即同（即同 方向）方向）, ,打打 “ “” ” 的两个端子称为同名端。的两个端子称为同名端。不不打打 “ “” ” 的两

6、个端子亦为同名端。的两个端子亦为同名端。1例例1.1.线圈线圈1 1的端子的端子a a打打“”，线圈，线圈2 2的哪个端子应该打的哪个端子应该打“”？abcd12i1122i2例例2.2.两线圈的同名端如图所示两线圈的同名端如图所示, ,右侧线圈的绕向如何？右侧线圈的绕向如何？ i1同名端的含义（应用）：同名端的含义（应用）：产生互感电压的电流与产生互感电压的电流与互感电压的参考方向对同名端一致。互感电压的参考方向对同名端一致。例例3：大小：大小：极性：极性： c c高高d d低低dtdiM1求右侧线圈的互感电压：求右侧线圈的互感电压：abcdL1L2Mi1（1 1）耦合电感伏安关系一般式：）

7、耦合电感伏安关系一般式： dtdiMdtdiLu2111dtdiLdtdiMu2212总结：总结：（2）互感电压互感电压正、负号的确定：正、负号的确定：a.a.首先根据同名端，由首先根据同名端，由产生互感电压电流的流入产生互感电压电流的流入端确定互感电压的正极性端。端确定互感电压的正极性端。b.b.然后根据然后根据 u u1 1 、u u2 2 的参考极性，确定极性一致的参考极性，确定极性一致 为正，反之为负号。为正，反之为负号。（3）自感电压自感电压正、负号的确定：正、负号的确定： 与孤立电感相同，取决于线圈端电压与电流的与孤立电感相同，取决于线圈端电压与电流的 参考方向是否关联，关联为正号

8、，否则取负号。参考方向是否关联，关联为正号，否则取负号。dtdiMdtdiLu2111dtdiLdtdiMu2212+_u1u2L1L2i1i2M例例: :写出图示互感线圈端电压写出图示互感线圈端电压u u1 1和和u u2 2的表达式的表达式dtdiMdtdiLu2111dtdiLdtdiMu2212+_u1u2L1L2i1i2MdtdiMdtdiLu211dtdiLdtdiMu2212+_Mj1I2I1U2U1Lj2Lj2111IMjILjU2212ILjIMjU1Lj2Lj、ZL1、 ZL2 自感抗MjZM 互感抗（4）耦合电感的相量模型：耦合电感的相量模型：例1+_+_u1u22H2H

9、0.5H求u1 , u2Ae2t2 解：1udtdiL11Ve8t22ut2e2dtd5 . 0t2e2Vt2e2dtd2dtdiM1解：例2求+_+5 . 0 j2 j1 j1U2U3010A1U11LIZ=20120V105 . 0 j30=560V.U,U21102 j 302U1MMIZU 例例3: 3: 在图在图(a)(a)所示电路中，已知两线圈的互感所示电路中，已知两线圈的互感 M=1H1H，电流源，电流源i i1 1( (t t) )的波形如图的波形如图(b)(b)所示，所示， 试求：开路电压试求：开路电压u uCDCD的波形。的波形。i1(t)L1L2M(a)ABDCi1 /A

10、(b)t / s21010uCD / V(c)t / s2101010解：dtdiMu1CD10V 0t1-10V 1t2小结：小结：1 1）耦合电感的耦合电感的本质关系：线圈磁链是自磁链与本质关系：线圈磁链是自磁链与 互磁链的代数和，互磁链的代数和，2111MiiL2212iLMi 2 2）电压电流的伏安关系一般式：）电压电流的伏安关系一般式：牢记：牢记： 电流的流入端与互感电压正极性端是同名端电流的流入端与互感电压正极性端是同名端 端口电压与电流参考方向关联时，自感电压端口电压与电流参考方向关联时，自感电压 取正，否则取负。取正，否则取负。dtdiMdtdiLu2111dtdiLdtdiM

11、u221214-2 14-2 含耦合电感电路的分析方法含耦合电感电路的分析方法一、基本方法：一、基本方法：等效电路法等效电路法 把耦合电感的两个线圈看作是两个支路，由耦合把耦合电感的两个线圈看作是两个支路，由耦合电感的伏安关系，可推知等效电路为：电感的伏安关系，可推知等效电路为：+_u1u2L1L2i1i2M+_u1u2L1L2i1i2M+_u1L2dtdiM2dtdiM1u2L1i1i2+_u1L2dtdiM2dtdiM1u2L1i2i1二、耦合电感线圈间的串联：二、耦合电感线圈间的串联：1.1.串联顺接串联顺接Lab结果：等效为一个电感结果：等效为一个电感dtdiLdtdi)M2LL(dt

12、diMdtdiLdtdiMdtdiL) t (u12121abML1L2i电流电流i均从同名端流入，磁场方向相同而相互均从同名端流入，磁场方向相同而相互增强增强。M2LLL212.2.串联反接串联反接LabdtdiLdtdi)M2LL(dtdiMdtdiLdtdiMdtdiL) t (u12121 电流电流i从从L1的同名端流入，则从的同名端流入，则从L2的同名端流出，的同名端流出，磁场方向相反而相互磁场方向相反而相互削弱削弱。结果：等效为一个电感结果：等效为一个电感M2LLL21abML2L1i三、耦合电感线圈间的并联三、耦合电感线圈间的并联1.1.同名端相接同名端相接abML1L2Lab2

13、.异名端相接异名端相接abL1L2MLabM2LLMLLL21221M2LLMLLL21221.2.22.2.2.1.11.1.1.IMjI )ML(j)II (MjILjUIMjI )ML(j)II (MjILjU2.1.1.2.2.2.1.1.IIIIMjILjUIMjILjUM2LLMLLMM2LL)ML)(ML(L212212121abMjL1jL2UII1I2证明：证明：四、去耦等效电路法四、去耦等效电路法当耦合线圈有公共端时等效电路当耦合线圈有公共端时等效电路1.1.同名端为公共端时：同名端为公共端时：+_u1i1+_u2i2L1-ML2 -MM2.1.1.2.22.2.1.11.

14、IIIIMjILjUIMjILjU.2.22.1.11.IMjI)ML(jUIMjI)ML(jUM2L1Li2i1+_u1u2i2.2.异名端为公共端时异名端为公共端时ML1ML2MM1L2L原电路原电路等效电路等效电路相量模型相量模型j4 42-j2 j6 2I1I+_V041I解：解：异名端为公共端的异名端为公共端的去耦等效电路去耦等效电路2i12H3H-1H4i2Vt2cos24+_2I此电路处于正弦稳态中，求此电路处于正弦稳态中，求 i1 , i2例例+_242Hi2i11Ht2cos24V1H4I6 jI )6 j4 j2(210I )42 j6 j (I6 j21解得解得: :47

15、. 0I124.40A498. 0I276. 4A)76. 4t2cos(2498. 0i2A)24.40t2cos(247. 0i1A相量模型相量模型j4 42-j2 j6 2I1I1I2I+_V04小结：小结：耦合电感有两种等效电路：耦合电感有两种等效电路：+_u1L2dtdiM2dtdiM1u2L1+_u1u2L1L2i1i2M1）ML1ML2M2）L1L2含耦合电感电路分析方法：含耦合电感电路分析方法： 第一步：画去耦的等效电路；第一步：画去耦的等效电路； 第二步：再用相量法（网孔法等）分析。第二步：再用相量法（网孔法等）分析。 二、空心变压器的电路分析二、空心变压器的电路分析14-3

16、 14-3 空心变压器电路分析空心变压器电路分析一、空心变压器：一、空心变压器：不含铁心不含铁心(或磁芯或磁芯)的耦合线圈称为空心变压器。的耦合线圈称为空心变压器。其中一个线圈接电源，称为原边（或初级）；其中一个线圈接电源，称为原边（或初级）；另一线圈接负载，称为副边（或次级）。另一线圈接负载，称为副边（或次级）。空心变压器空心变压器（松耦合）耦合电感（松耦合）耦合电感1 1）用耦合电感等效电路作为模型，再用相量法分析）用耦合电感等效电路作为模型，再用相量法分析2 2）反射阻抗法）反射阻抗法S2111UIMjI )LjR(12L22IMjI )ZRLj (SL221111UZRLjIMjMjI

17、 )LjR(例1R1R2SU+_2I1IMj1Lj2LjLZ求 ，1I2IR1R22I1ILZ+_SU1Lj2Lj+_1IMj2IMj解:L22211S1ZRLj)M(LjRUI22211S1Z)M(ZUIref11S1ZZUI原边等效电路原边等效电路: :( (反射阻抗法反射阻抗法) )+_222refZ)M(Z11Z1ISU令1111ZLjR初级回路自阻抗初级回路自阻抗22L22ZZRLj次级回路自阻抗次级回路自阻抗ref222ZZ)M(令反映阻抗：反映阻抗：次级回路对初级回路次级回路对初级回路2I求 ：L2212ZRLjIMjI221ZIMj22ref11S2ZZZUMjI22ref22

18、11SZZZZUMj22211S)M(ZZUMj另一种副边等效电路：另一种副边等效电路：副边等效电路：副边等效电路：22Z+_1IMj2ILjRUMjIMjU1S1OC11SZUMj221120RLjZ)M(ZL0OC2ZZUIL2211211SZRLjZ)M(ZUMj22112SZZ)M(UMj2211211SZZ)M(ZUMj+_R1R2SUMj1Lj2LjLZ+_OCU+_OCULZ0Z112refZ)M(Z初级回路对次级初级回路对次级回路的反映阻抗回路的反映阻抗解：解：1. 1. 原边等效电路：原边等效电路：( (反射阻抗法反射阻抗法) )A105 j55 j50100Io1 例255

19、2I1Ij5j105求 ，1I2Ij10V0100+_V01I5j5100+_refZ)5 j5(45255510j)10(ZMZ22222ref2.2.副边等效电路：副边等效电路：A45255510jI10jZIMjIo12212552Ij101I10j+_例例3：求电路中：求电路中1.6 负载电阻经调整获得的最大功率。负载电阻经调整获得的最大功率。解：将解：将1.6 电阻断开，求戴维宁等效电路开路电压。电阻断开，求戴维宁等效电路开路电压。V 44.18325. 6V 3 j1102 jLjRUMjIMjU11S1ocW5 .12W8 . 04)325. 6(42o2ocmaxRUP) 8

20、. 0 j8 . 0()3 j142 j4 . 0( LjRMLjRZ112222o 当当 时获得最大功率时获得最大功率 )8 . 0 j8 . 0(ZZo*L14 - 4 14 - 4 理想变压器理想变压器一、理想变压器的定义和一、理想变压器的定义和VAR:VAR: 是一种特殊的全耦合、电感为无穷大的是一种特殊的全耦合、电感为无穷大的耦合线圈耦合线圈。空芯变压器空芯变压器（k k1 1）铁氧体芯变压器铁氧体芯变压器铁芯变压器铁芯变压器（k=1k=1）自自耦合耦合变压器变压器1 1、定义：、定义： 具有高导磁率的实际铁心变压器。具有高导磁率的实际铁心变压器。满足：满足： 全耦合全耦合 k =

21、1k = 1； L L1 1 , L , L2 2 。+u1i1+u2i2N1N211 = 21 dtdNu11dtdNu22n1NNuu2121n n 称为匝数比称为匝数比, ,是一个常数。是一个常数。12 = 22 电压比为匝数比电压比为匝数比 = 11 + 12 = 21 + 22 由耦合电感伏安关系：由耦合电感伏安关系：A) t (ni) t (i21n1LLMLNNiMNiLN12121121211111由于由于L1,dtdiLMdtdiLudtdiMdtdiLu211112111dtdindtdiLMdtdi2211nNNii1221电流比为负倒数匝数比电流比为负倒数匝数比1 :

22、ni1i2+u1+u21212in1inuu1 : ni1i2+u1+u21212in1inuu2、理想变压器符号及伏安关系：理想变压器符号及伏安关系：注：正、负号的确定注：正、负号的确定 两电压高电位与同名端一致时，电压比取正，两电压高电位与同名端一致时，电压比取正，反之取负；两电流从同名端流入，电流比取负，反之取负；两电流从同名端流入，电流比取负，反之取正。反之取正。 1. 1.原、副电压比是一个常数，与电流无关；原、副电压比是一个常数，与电流无关； 作用作用电压变换电压变换 2.2.原、副电流比也是个常数，与电压无关；原、副电流比也是个常数，与电压无关； 作用作用电流变换电流变换 3.3

23、.理想变压器理想变压器是是参数为参数为变比变比n n 的线性元件的线性元件； 4.4.理想变压器的瞬时功率：理想变压器的瞬时功率：0)in1(nuiuiuiup11112211说明：说明：它不储存能量、也不消耗能量，它不储存能量、也不消耗能量， 只传递能量。只传递能量。 二、理想变压器性能的二、理想变压器性能的特点与作用特点与作用：1212in1inuu 1. 1.与与电感、耦合电感不同：电感、耦合电感不同：它不是储能元件。它不是储能元件。 它在原边吸收能量，同时，在副边全部放它在原边吸收能量，同时，在副边全部放 出，本身只传递能量。出，本身只传递能量。理想变压器是不储存能量、不耗能的理想变压

24、器是不储存能量、不耗能的无记忆的线性元件。无记忆的线性元件。2.2.与与电阻不同：电阻不同：它不是耗能元件。它不是耗能元件。 传递能量是全部放出，它本身不消耗能量。传递能量是全部放出，它本身不消耗能量。三、与其它元件比较：三、与其它元件比较：结论：结论：3.3.与空芯变压器与空芯变压器不同不同：空芯变压器：空芯变压器具有储存具有储存 能量、记忆作用，能量、记忆作用，是储能元件。是储能元件。四、理想变压器的相量模型：四、理想变压器的相量模型：1 : n+ 1U1I2U2I1212In1IUnU1 : n+ 1U1I2U2I1212In1IUnU14-5 14-5 含理想变压器电路的分析方法含理想

25、变压器电路的分析方法一、基本分析方法一、基本分析方法 利用理想变压器的利用理想变压器的VARVAR和其它约束关系，和其它约束关系，列写列写 电路方程电路方程，解方程组解方程组。 1212in1inuu例+_50 0 V1I2II1010j501: 2+_+_1I2I2U1U求 。I解：列写方程：50)(10102111IIUI050)(102212UIjII12U2U12I21I解得：22I145 A2I245 A21III45 2245 2245 A二、折合阻抗法二、折合阻抗法（当原、副边只有磁联系而没有电联系时）（当原、副边只有磁联系而没有电联系时）例1I2I1: n+_21I ,I2U+

26、_1U+_SUZLZ1求 。解：S111UUIZ12UnU12In1I2L2IZU11IZn1LZ1In1SUS1L21UIZn1ZL21S1Zn1ZUIZZUI11S1L21Zn1Z 折合阻抗折合阻抗+_SU原边等效电路：原边等效电路：1I+_1UZ1Z1求 。2I12In1IZZUn111S221SnZZUn1212SZZnUn副边戴维南等效电路：副边戴维南等效电路：SOCUnU1220ZnZZ1: n+_OCU+_SUZLZ12I+_SUnn2 Z1ZLL12S2ZZnUnI结论：结论：理想变压器折合阻抗计算：负载折合到初级理想变压器折合阻抗计算：负载折合到初级 除以除以 n n2 2；

27、初级折合到次级乘以；初级折合到次级乘以 n n2 2。122ZnZ次次级级：L21Zn1Z 初初级级：例例1: n+_100为使为使 100100 从从电路中获得最大电路中获得最大功率，功率，求求 n和和Pmax。90020 0 V解：原边等效电路解：原边等效电路+_20 0 V900100n1R2L此电路中此电路中R RL L 获得的获得的功率就是原电路功率就是原电路100100 电阻获得的最大功率电阻获得的最大功率 当当 RL = 900 时，时，电路电路获得最大功率获得最大功率 900100n1231n故31n W111.09004)20(R4UP2s2smax小结：小结： （1 1）

28、理想变压器的作用：理想变压器的作用：1. 1. 变电压；变电压；2. 2. 变电流；变电流；3. 3. 变阻抗。变阻抗。总的作用：总的作用： 传递能量或信号传递能量或信号（2 2）理想变压器的分析方法：）理想变压器的分析方法： 按理想变压器的相量模型，运用按理想变压器的相量模型，运用 折合阻抗法折合阻抗法或基本列解方程组法。或基本列解方程组法。1 : n1 : ni i1 1i i2 2+ +u u1 1 + +u u2 2 1 1、电路符号：、电路符号：2 2、伏安关系：、伏安关系：3 3、电压、电流比：、电压、电流比：4 4、阻抗变换：、阻抗变换：1212in1inuun1NNuu2121

29、nNNii1221 （3）理想变压器电路模型和公式：理想变压器电路模型和公式：122ZnZ次次级级：L21Zn1Z 初初级级：14 - 6 实际铁心变压器的电路模型实际铁心变压器的电路模型1. 1. 一级模型一级模型 理想变压器理想变压器效率：效率：1PP12转移电压比及其频率特性：转移电压比及其频率特性：nUUA12uO|AV| L1 ( )的全耦合电感等效为一个理想变压器。的全耦合电感等效为一个理想变压器。 210t211112ni) t (inidtuL1) t (inuu2. 二级模型二级模型 全耦合变压器全耦合变压器 ( k = 1，L1 , L2 为有限值为有限值)1 : n+u1

30、Lm+u2i1i2i101mLL211112InLjUIUnU磁化电感磁化电感它反映在副边开路时，变压它反映在副边开路时，变压器原边要取一定的电流，称器原边要取一定的电流，称为磁化电流。为磁化电流。效率：1PP12转移电压比及其频率特性：转移电压比及其频率特性：同上同上1PP12效率：3. 三级模型三级模型有漏磁的一般变压器有漏磁的一般变压器1 : n+u1Lm+u2i1i2imLS1LS2i1)nii (dtdnLdtdiLu)nii (dtdLdtdiLu21m22S221m11S1O|AV|nLLnLm1Sm转移电压比及其频率特性：转移电压比及其频率特性：oLLm1Sm12LjRRLLn

31、LUULS1，LS2 漏电感，不是全耦合，有一定的漏磁通，漏电感，不是全耦合，有一定的漏磁通， 漏磁通有相当一部分是通过空气的漏磁通有相当一部分是通过空气的1PP12效率：4. 四级模型四级模型有漏磁、有损耗的一般变压器有漏磁、有损耗的一般变压器)nii (dtdnLdtdiLiRu)nii (dtdLdtdiLiRu21m22S22221m11S1111 : n+u1Lm+u2i1i2R1LS1LS2R2 转移电压比及其频率特性：转移电压比及其频率特性：O|AV|nR1，R2 原、副边串联电阻，原、副边串联电阻， 它们体现线圈有电阻，它们体现线圈有电阻，当变压器流有电流时，将产生损耗，即所谓

32、当变压器流有电流时，将产生损耗，即所谓铜损铜损本章小结本章小结 1.1.掌握耦合电感、理想变压器的伏安关系，同名端、掌握耦合电感、理想变压器的伏安关系，同名端、 的概念；的概念；3.3.了解耦合电感、空心变压器、理想变压器的区别了解耦合电感、空心变压器、理想变压器的区别 与联系；与联系；2.2.熟练掌握耦合电感、空心变压器电路分析，包括：熟练掌握耦合电感、空心变压器电路分析，包括： 网孔法、网孔法、反映阻抗法、反映阻抗法、戴维南定理；戴维南定理；4.4.熟练掌握理想变压器电路分析；包括：熟练掌握理想变压器电路分析；包括： 网孔法、网孔法、折合阻抗法、折合阻抗法、戴维南定理。戴维南定理。5.5.

33、了解实际变压器模型。了解实际变压器模型。1 1、本章、本章介绍了两种电路元件，它们都是从具有互感耦介绍了两种电路元件，它们都是从具有互感耦 合的线圈抽象出的理想电路元件，为什么要提出两合的线圈抽象出的理想电路元件，为什么要提出两 种电路元件？它们之间的关系如何？种电路元件？它们之间的关系如何？习习 题题 课课 一个是双口动态元件，一个是双口动态元件，是无源的储能元件，是实际是无源的储能元件，是实际中使用的空芯变压器；中使用的空芯变压器；另一个是双口元件，另一个是双口元件，是是一种无记忆、不储能、不耗能的线性元件，是实际一种无记忆、不储能、不耗能的线性元件，是实际铁芯变压器的理想化模型。铁芯变压器的理想化模型。2 2、同名端同名端在列写伏安关系是非常重要的。在列写伏安关系是非常重要的。 须注意自感、互感电压的正负号。须注意自感、互感电压的正负号。 * *理想变压器理想变压器同名端：同名端： 两电压高电位与同名端一致时，电压比取正，两电压高电位与同名端一致时，电压比取正， 两电流从同名端流入，电流比取负；反之取正。