4.3线性定常离散系统的能控性和能观性

1、4.34.3线性定常离散系统的能控性和能观性线性定常离散系统的能控性和能观性目目 录录概述概述4.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性4.2 线性连续系统的能观性线性连续系统的能观性4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性线性定常离散系统的能控性和能观性4.4 对偶性原理对偶性原理4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消线性系统的结构性分解和零极点相消4.6 能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形4.7 实现问题实现问题4.8 Matlab问题问题本章小结本章小结线性定常离散系统的能控性和能观性线性定常离散系统的能控性和能观性(1/2)4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性线性

2、定常离散系统的能控性和能观性q 本节主要讲述线性离散系统的状态能控性/能观性的定义和判据。 由于线性连续系统只是线性离散系统当采样周期趋于无穷小时的无限近似,所以 离散系统的状态能控性/能观性的定义与线性连续系统的极其相似, 能控性/能观性判据则在形式上基本一致。线性定常离散系统的能控性和能观性线性定常离散系统的能控性和能观性(2/2)q 本节的关键问题为: 基本概念: 线性离散系统的状态能控性/能观性 基本方法: 线性离散系统状态能控性/能观性的判别方法离散化系统的能控性/能观性q 本节的主要内容为: 线性定常离散系统的状态能控性与能达性线性定常离散系统的状态能控性与能达性 线性定常离散系统

3、的能观性线性定常离散系统的能观性 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性离散化线性定常系统的状态能控性和能观性重点喔重点喔!线性定常离散系统的状态能控性线性定常离散系统的状态能控性(1/2)4.3.1 线性定常离散系统的状态能控性与能达性线性定常离散系统的状态能控性与能达性 q 状态能控性讨论的是系统输入对状态空间中任意初始状态控制到坐标原点(平衡态)的能力, 而状态能达性讨论的是系统输入对坐标原点(平衡态)的初始状态控制到状态空间中任意状态的能力。 对线性定常连续系统来说,状态能控性与能达性虽然定义不同,两者的判据却是等价的, 但对于线性定常离散系统来说,这两者无论定义还是判据有所不同。线性

4、定常离散系统的状态能控性线性定常离散系统的状态能控性(2/2)q 与线性连续系统的状态能控性问题一样,对线性离散系统的能控性与能达性问题也可只考虑系统状态方程,与输出方程和输出变量y(k)无关。 对线性定常离散系统,我们有如下 状态能控性与能达性定义状态能控性与能达性定义 线性定常离散系统的状态能控性判据线性定常离散系统的状态能控性判据 线性定常离散系统的状态能控性判据线性定常离散系统的状态能控性判据线性定常离散系统的能控性与能达性定义线性定常离散系统的能控性与能达性定义(1/4)能控性定义能控性定义1. 线性定常离散系统的能控性与能达性定义线性定常离散系统的能控性与能达性定义q 定义定义4-

5、1 对线性定常离散系统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 若对某个初始状态x(0),存在控制作用序列u(0),u(1), u(n-1),使系统在第n步上达到到原点,即x(n)=0,则称状态x(0)能控; 若状态空间中的所有状态都能控,则称系统状态完全能控; 即,若逻辑关系式x(0) u(k) (k0,n-1)(x(n)=0)为真,则称系统状态完全能控。线性定常离散系统的能控性与能达性定义线性定常离散系统的能控性与能达性定义(2/4)能控性定义能控性定义 若存在某个状态x(0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能控的,简称系统为状态不能控。 即,若逻辑关系式x(0) u(k) (k0,n-1

6、)(x(n)0)为真,则称系统状态不完全能控。 q 在上述状态能控性定义中,只要求在n步之内寻找控制作用,使得系统状态在第n步上到达原点。 这是因为,可以证明,若离散系统在n步之内不存在控制作用使得对任意初始状态控制到原点,则在n步以后也不存在控制作用使状态在有限步之内控制到原点。 故在上述定义中,只要求系统在n步之内寻找控制作用。线性定常离散系统的能控性与能达性定义线性定常离散系统的能控性与能达性定义(3/4)能达性定义能达性定义q 定义定义4-5(线性定常离散系统状态能达性定义) 对线性定常离散系统(G,H)， 若对某个最终状态x1,存在控制作用序列u(0),u(1), u(n-1),使得

7、系统状态从零状态在第n步上到达最终状态x1,即x(n)=x1,则称此系统的状态x1是能达的。 若系统对状态空间中所有状态都能达,则称系统状态完全能达,简称为系统能达。 即,若数学逻辑关系式x1 u(k)(k0,n-1 x(0)=0 x(n)=x1为真,则称系统状态完全能达。 若系统存在某个状态x1不满足上述条件,则称此系统是状态不完全能达的,简称系统为状态不能达。 线性定常离散系统的能控性与能达性定义线性定常离散系统的能控性与能达性定义(4/4)能达性定义能达性定义q 从能控性与能达性两者的定义可知,在系统控制问题中, 系统镇定问题多与能控性有关, 而跟踪、伺服问题多与能达性有关。线性定常离散

8、系统的状态能控性判据线性定常离散系统的状态能控性判据(1/9)2. 线性定常离散系统的状态能控性判据线性定常离散系统的状态能控性判据q 与线性定常连续系统不同,线性定常离散系统的状态能控性与能达性的判据两者不等价。 线性定常离散系统的状态能达性与连续系统的能控性/能达性判据形式上完全一致,而状态能控性的判据则有所区别。 下面给出并叙述线性定常离散系统状态能控性的秩判据定理。线性定常离散系统的状态能控性判据线性定常离散系统的状态能控性判据(2/9)-定理4-12q 定理4-12(线性定常离散系统能控性秩判据) 对线性定常离散系统(G,H),有如下状态能控性结论:1) 若系统矩阵G为非奇异矩阵，则

9、状态完全能控的充要条件为如下定义的能控性矩阵:Qc=H GH Gn-1H满秩，即rankQc=n2) 若系统矩阵G为非奇异矩阵，则为系统状态完全能控的充要条件为 rankQc=rankQc Gn线性定常离散系统的状态能控性判据线性定常离散系统的状态能控性判据(3/9 )-定理4-12q 证明证明 由第3章的线性定常离散系统的解理论,可得状态方程的解如下:101)()0()(kjjkkjHGGkuxx 设在第n步上能使初始状态x(0)转移到零状态,于是上式可记为101)()0(0njjnnjHGGux即11120(0)( )(0)(1).( -1)nnnjnnjGGHjGHGHHn xuuuu线

10、性定常离散系统的状态能控性判据线性定常离散系统的状态能控性判据(4/9 )-定理4-12 上式写成矩阵形式即为)0()0(.)2() 1(.1xuuunnGnnHGGHH 这是一个非齐次线性代数方程,由线性方程解的存在性理论可知,上式存在控制序列u(0),u(1),u(n-1)的充要条件为rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn x(0)11120(0)( )(0)(1).( -1)nnnjnnjGGHjGHGHHn xuuuu线性定常离散系统的状态能控性判据线性定常离散系统的状态能控性判据(5/9 )-定理4-12 考虑到系统的初始状态x(0)是属于n维状态空间中任意

11、一个状态,因此上式等价于rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn即证明了系统状态完全能控的充要条件为能控性矩阵满足rankQc=rankQc Gn即定理的结论2)得以证明。线性定常离散系统的状态能控性判据线性定常离散系统的状态能控性判据(6/9 )-定理4-12q 当系统矩阵G满秩时,显然有rankGn=n 因此rankH GH Gn-1H Gn=n所以由结论1可知,在系统矩阵G满秩时,系统状态完全能控的充要条件为rankQc=rankH GH Gn-1H=n线性定常离散系统的状态能控性判据线性定常离散系统的状态能控性判据(7/9)例例4-11)(01)(0010) 1

12、(kkkuxxq 解 由线性定常离散系统的能控性矩阵的定义有10001rankrankrankGHHQc但100000001rankrank2GQc因此rankQc=rankQc G2由定理4-12的结论2可知,该系统状态完全能控。q 例例4-11 试判断如下系统的状态能控性线性定常离散系统的状态能控性判据线性定常离散系统的状态能控性判据(8/9)例例4-12)(121)(011220001) 1(kkkuxxq 解 判断一：由系统状态能控性的代数判据有1111222111rankrankrank2HGGHHQc但3421406001111222111rankrank3GQcq 例例4-12

13、试判断如下系统的状态能控性线性定常离散系统的状态能控性判据线性定常离散系统的状态能控性判据(9/9) 因此rankQcrankQc G3由定理4-12的结论2可知,该系统状态不完全能控。q 判断二： 由于G为可逆矩阵rankQc =13=n,因此由定理4-12的结论1可判别出系统状态不完全能控。 线性定常离散系统的状态能达性判据线性定常离散系统的状态能达性判据(1/4)2. 线性定常离散系统的状态能达性判据线性定常离散系统的状态能达性判据q 由上述线性定常离散系统的状态能控性代数判据可知,离散系统的能控性与连续系统的能控性存在一定的差别。 由系统矩阵和输入矩阵组成的能控性矩阵的秩等于状态变量的

14、个数,对于线性定常连续系统，这是状态完全能控的充分必要条件, 而对于线性定常离散系统的状态能控性则仅是一个充分条件。线性定常离散系统的状态能达性判据线性定常离散系统的状态能达性判据(2/4) 造成线性连续系统和线性离散系统的状态能控性判据形式上有差别的原因在于： 线性连续系统的状态能控性和状态能达性是两个等价的概念,而线性离散系统的状态能控性和状态能达性则是两个不等价的概念。q 定理定理4-13(线性定常离散系统能达性秩判据) 对线性定常离散系统(G,H)状态完全能达的充分必要条件为能控性矩阵Qc=H GH Gn-1H满秩，即rank Qc=n线性定常离散系统的状态能达性判据线性定常离散系统的

15、状态能达性判据(3/4)q 定理定理4-14(线性定常离散系统能达性模态判据) 对约旦规范形的线性定常离散系统(G,H),有 1若系统矩阵G为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵,则系统能达的充分必要条件为 对应G的每个约旦块的H的分块的最后一行都不全为零。 若G为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统能达的充分必要条件为 对应于G的每个特征值的所有约旦块的H的分块的最后一行线性无关。 线性定常离散系统的状态能达性判据线性定常离散系统的状态能达性判据(4/4)q 定理定理4-15(线性定常离散系统能达性PHB秩判据) 线性离散连续系统(G,H)状态完全能控的充分必要条件为： 对于所有的复

16、数,下式成立rankI-G H=n C1 线性定常离散系统的能观性线性定常离散系统的能观性(1/9)4.3.2 线性定常离散系统的能观性线性定常离散系统的能观性q 与线性连续系统一样,线性离散系统的状态能观性只与系统输出y(t)以及系统矩阵G和输出矩阵C有关, 即只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。 下面我们先引入线性定常离散系统状态能观性的定义。 对初始状态x(0),根据在n个采样周期内采样到的输出向量y(k)的序列y(0),y(1),y(n-1)能唯一地确定系统的初始状态x(0),则称状态x(0)能观; 若对状态空间中的所有状态都能观,则称系统状态完全能观,简称为系统能观。 即,若数学逻辑

17、关系式线性定常离散系统的能观性线性定常离散系统的能观性(2/9)能观性定义能观性定义 q 定义定义4-3 若线性定常离散系统)()()() 1(kCkkGkxyxx)0()()1, 0()0(xyx唯一knk为真,则称系统状态完全能观。线性定常离散系统的能观性线性定常离散系统的能观性(3/9) 若存在某个状态x(0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能观的,简称系统为状态不能观。 q 在线性定常离散系统的状态能观性定义中,只要求以在n个采样周期内采样到的输出来确定系统的状态。 这是因为,可以证明: 如果由n个采样周期内的输出向量序列不能唯一确定系统的初始状态,则由多于n个采样周期的输出向量序

18、列也不能唯一确定系统初始状态。q 对线性定常离散系统,存在与线性定常连续系统在形式上完全一致的状态能观性的代数判据和模态判据。 下面我们先介绍代数判据。线性定常离散系统的能观性线性定常离散系统的能观性(4/9)能观性判据代数能观性判据代数1.noCGCGCQ满秩,即rankQo=n q 定理定理4-16 线性定常连续系统(G,C)状态完全能观的充分必状态完全能观的充分必要条件要条件为如下定义的能观性矩阵:线性定常离散系统的能观性线性定常离散系统的能观性(5/9)能观性判据证明能观性判据证明) 1(.) 1 () 0() 0(.) 0(1nCGCGCQnoyyyxxq 证明 本定理的证明可直接由

19、线性代数方程组的解唯一性线性代数方程组的解唯一性理论给出。 由第3章中线性定常离散系统的状态空间模型的求解公式,可得y(0)=Cx(0)y(1)=Cx(1)=CGx(0) y(n-1)=Cx(n-1)=CGn-1x(0) 将上述n个方程写成矩阵的形式,有线性定常离散系统的能观性线性定常离散系统的能观性(6/9)例例20 因此,由线性方程的解存在性理论可知,无论输出向量的维数是否大于1,上述方程有x(0)的唯一解的充分必要条件为rankQo=n 由能观性的定义可知,上式亦为线性定常离散系统(G,C)状态完全能观的充要条件。 于是定理得证。 线性定常离散系统的能观性线性定常离散系统的能观性(7/9

20、)例例4-13)(010001)()(210021302) 1(kkkkxyxxq 例4-13 试判断如下系统的状态能观性q 解 由状态能观性的代数判据有3.302010001rankrankrank2CGCGCQo 对线性定常离散系统的状态能观性,还有如下模态判据。线性定常离散系统的能观性线性定常离散系统的能观性(8/9)能观性模态判据能观性模态判据q 对线性定常离散系统的状态能观性,还有如下模态判据。q 定理4-17 对为约旦规范形(对角线规范形为其特例)的线性定常连续系统(G,C),有:1) 若G为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵,则系统能观的充要条件为对应 G的每个约旦块的的每个约

21、旦块的C的分块的第一列都不全为零的分块的第一列都不全为零;2) 若G为某特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统能观的充要条件为对应G的每个特征值的 所有约旦块的所有约旦块的C的分块的第一列线性无关的分块的第一列线性无关。 线性定常离散系统的能观性线性定常离散系统的能观性(9/9)能观性模态判据能观性模态判据nCGIrankq 定理4-18 线性定常离散系统(G,C)状态完全能观的充要必状态完全能观的充要必条件条件为: 对于所有的复数,下式成立:离散化线性定常系统的状态能控性和能观性离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(1/11)4.3.3 离散化线性定常系统的状态能控性和能观离散化线性定常

22、系统的状态能控性和能观性性q 这里所要讨论的离散化线性定常系统的状态能控性/能观性问题,是指:1. 线性定常连续系统经离散化后是否仍能保持其状态能控性/能观性?2. 离散化系统能控性和能观性与原连续系统的能控性/能观性之间的关系? 该问题是计算机控制中一个十分重要的问题。q 在具体讨论之前,先看一个例子。离散化线性定常系统的状态能控性和能观性离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(2/11)例例21xyuxx 10010110q 解解 1. 求原连续系统的能控性和能观性。求原连续系统的能控性和能观性。 因为nABB21001rankranknCAC20110rankrank故原连续系统是状态完

23、全能控且完全能观的。q 例4-14 判断如下线性定常连续系统离散化后的状态能控性和能观性。离散化线性定常系统的状态能控性和能观性离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(3/11)2. 求连续系统的离散化系统求连续系统的离散化系统. 由第3章中的离散化步骤,有)-)(111-|-|2jsjssssAsI即系统特征值为s1=j,s2=-j,由求矩阵指数函数的有限项矩阵法有ttjjssttjtjttstssincosee11ee11)()(11211021因此,有离散化线性定常系统的状态能控性和能观性离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(4/11)即经离散化后的系统状态空间模型为TTTTATITG

24、ATcossinsincos)()(e101-cossin01dcossin-sincosde00TTttttttBHTTAt)(10)()(1cossin)(cossinsincos) 1(kkykTTkTTTTkxuxx离散化线性定常系统的状态能控性和能观性离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(5/11)TTCGCQTTTTTTTTGHHQoccossin-10cos-sin-cos1-cossincos2sin-sin223. 求离散化后的系统的状态能控性和能观性。求离散化后的系统的状态能控性和能观性。 由上述离散化后系统的状态方程,有如下状态能控性矩阵和能观性矩阵: 由于系统矩阵G=

25、eAT为可逆矩阵,故由定理4-12和定理4-13可知, 离散化系统的状态完全能控和完全能观的充分必要条件为能控性矩阵Qc和能观性矩阵Qo均满秩。离散化线性定常系统的状态能控性和能观性离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(6/11)因此,此时离散化系统是既不能控又不能观的。 若取Tk(k=1,2,),即sinT0,cosT1,则有|Qc|=sinT(-sin2T-cos2T+2cosT-1)=2sinT(cosT-1)0|Qo|=sinT0即Qc和Qo均为满秩矩阵,则此时离散化系统状态完全能控又完全能观。nQnQoc211010rankrank21111100rankrank 若取T=k(k=1,2,),即sinT=0,cosT=1,则有离散化线性定常系统的