2014年暑假平面几何讲义：四点共圆(教师版)

1、四点共圆文武光华数学工作室潘成华平面几何中证四点共圆的几个根本方法方法一：平面上有四点 AB、C、D,假设AD,那么 AB、C、D 四点共圆方法二线段 AC、BD 交于 E 假设 AEECBEED,那么 A、B、C、D 四点共圆方法三线段 AC、BD 交于 E 假设 AEBECEED,那么 AB、C、D 四点共圆方法四：假设四边形 ABCD,AC180,B那么 AB、C、D 四点共圆内角时 BC180,外角时 BC,所以 AB、C、D 四点共圆托勒密定理：Tolemy托勒密定理假设四边形ABCD是圆O内接四边形,那么AD?BC+AB?CD=AC?BDABAC,且 BDDC,那么 AB、C、D证

2、实设 BAD,由于AD,DB匿所以iinsinBADsinCAD,所以知 sinC,证实在AC上取点E,使/EDC=ZADB,由于/ABD=ZACD,所以小BDEDC,AADEzBDC,于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD?BC+AB?DC=AE?BD+BD?CE=AC?BD例1、点 D、E 在 ABC 内,证实一文武光华数学工作室南京潘成华作 E 关于 BC、ARAC对称点P、R、Q,易知 BRDBPD,ARDAQD,于是DPDRDQ,所以 DCPDCQ,得至ljPCDQCD,进而 BCEACD.证实二作 BDS 外接圆交 AD 延长线于 S,可知 A

3、SCDBCABE,得至 UABEsASC,所以 ABSsAEC 彳马至 1ACEASBDSB,求证 ACDBCE.ABDCBE,BAECAD.所以 BCEACD.A.S例2、文武光华数学工作室南京潘成华E 是 ABC 内一点,点 D证实先证实-ABBE,过 E 作 AAC、BC 垂线 EF、EG、EL 交 AB、AC、BC 分别于ACECF、G、L,直线 EL、AD 交于 J,取 AF 中点 K,易知 RF、E、L 四点共圆,FLE、G、C、L 四点共圆,所以旭-sinC-B且旦CE1,B、C 是 ABC 的内ACsinB_LG_LGBECE角,由于 EDBADC,所以 ELLJ,于是 KL/

4、AJ,易知 A、F、E、G 四点共圆,圆心是 K,BAEDAC,所以 ADFG,进而 KL/FG,得到 KL 是 FG 中垂线,所以 FLLG,得然鲁BED180,由于sinAEC黑sinEAC,AEsinBAEABsinBAE,两式相除得BE所以,AECBED180证实二在 AB 取 H,使得 AHBPDB,所以AHDsAPC,易知 H、P、D、B 四点共圆,所以 APCBPDBHDAHD180在 BC 上,且 BAEDAC,EDBADC.那么 AECBED180卜面我们证实 AECsinAECsinBAEsinEACsinBADsinBAEsinDACABsinBADECBDECACsin

5、DACBECDBEsinsin聆由于AECBAEBEDDEC360J例3、叶中豪老师2021年国庆讲义一几何题我的解答,D 是 ABC 底边 BC 上任一点,P 是形内一点,满足 12,34.证实作 BPD、CPD 外接圆交 ARAC 分别于 H、I,易知 AHPsADC,所以AHDsAPC,所以镖-TAD-1,易知 APIsABD,进而彳 4 至 UABPsADI,PCDH所以需怨2,易知 A、H、P、I 四点共圆,所以 AHIAPIABC,所以BPDIHI/BC,IHDHDB3HDP3HBP4ADIIDCHID,所以HDID,进而根据1、2得到-PB 黑.PCAC例4、ABC 是锐角三角形

6、,AD 是 BC 边上中线,H 是 ABC 垂心,HIAD 于点 I,求证求证:PBPCABAC证实一：延长 AD 到 G 使得 AD=DG,易知四边形 ABGC 是平行四边形,由于CHAB,BHAC,所以 HBGRC、H、I 四点共圆证实二HACHBDBFD,所以 FD 是.AIHF切线,所以22_DCFDDIDA,所以 DICsDCA,得到 DCADACBHI,所以 RC、H、I 四点共圆第四题、第 51 届波兰数学奥林匹克,1999例 5、在 ABC 中,ABAC,点 P 在 ABC 内部,点 D 是 BC 中点,CBPACP.求证 BPDAPC180.BHCG90,得到卜 B、G、C、

7、H,所以BPD,DPC,APB,APC,由于 BDCD,可知BPsinPCsin,可知sinysinsinxsin,(1),-APAP,可知n-ysinx得至 IjABACsinsinsinysinsinxsin(2),根据(1)、(2)得雪sn180,即sinsinBPDAPC180o证实二文武光华数学工作室潘成华给出延长 CP交以 A 为圆心,AB 为半径的圆于 F,直线 FA 交 BP 于 G,FACPPBC,因此 GPCB,于是 G 在.A 上,PFGsPBC,所以 APFsDPB,可知 APFBPD,即 BPDAPCAPFAPC180 彳马证证实文武光华数学工作室南京潘成华设 ACP

8、x,ABPy,实用标准文案文档DE例 6、M 是 ABC 边 BC 中点,AM交ABC 外接圆.O 于 D,过点 D 作 DE/BC 交.于 E,在 AD 上取点 F,使得 FCAC.求证 AFCEFCAFCEFC.P证实一文武光华数学工作室南乐潘成华由于 DE/BC,点 M 是 BC 中点,所以ABEC 是调和四边形,易知直线 AE、过点 B、C 切线共点,得到 MC 平分AMC,ECF90ABEOAEPME-1EMF,因止匕 C 是 EMF 旁心,进而实用标准文案文档DE证实二由于 M 是 ABC 边 BC 中点,所以SABDSACD,得到 ABBDACCD,易知BCED 是等腰梯形,所以

9、 ABCEACBE,根据托勒密定理可知2ABCEABCE+ACBE=AEBC2BMAE,得至 UABCEBMAE,ABMAEC,所以 ABMsAEC,所以 EACBAD,可知 EABCAD,取 AE 中点 S,同理可得ACSECBBAEDAC,所以 CS 与 AD 交点设为CN/EF,于是 EFCNCFAFCN,那么 N 为 AF 中点,所以MFB实用标准文案证实三田开斌老师作 CJ/BD 交 AD 于 J,所以CJBDCE,JCEBDCBCE,AFC90DAC90DBC90ECBJEC,所以J、F、E、C 四点共圆,由于 JCEC,所以 AFCEFCB例 7、AD 是 ABC 角平分线交 B

10、C 于 D,ABD、ACD、ABC 外心分别是实用标准文案01、02、0,求证010=002证实易知01AB90A01090ADC90B1BAC20ACDACBA0901A0B290CDA.？,所以01Ao=O2AO(1)A00ADC、AO2OADB日THA00+AO2OADC+ADB=180,所以A、.1、02、0四点共圆, 根据1)得至IJ010=002证实二 记 ABC 三角 AB、C,设直线B01、C02交于E,BCECAC02C(90ADC)C(90A,同理EBC-BA,所以BECE,B00ADC、C020ADB,B010+C020ADC+ADB=180文档A实用标准文案所以E、.1

11、、.2、O四点共圆得到OQ=OO2例8、OP、.交于 A、B,四边形 ABCD 是平行四边形,C 在.O 上,PFBC 交 AB 于 F,直线 CF 交.于 G.证实延长 DA 交.P 于点 K,连接 KE、KB,易知 AKBE 是等腰梯形,DKEC 是等腰梯形,CFFGAFFBEFFK,所以 K、G、E、C 四点共圆,因此K、G、E、C、D 五点共圆,进而 E、G、D、C 四点共圆ABAC2BC,例9、O、I 分别是ABC 外心,内心,求证 OIAI 的充要条件是实用标准文案实用标准文案文档证实延长AI交圆.于D,根据托勒密定理,AB?DC+AC?BD=AD?BC(1),由于OILAI,所以

12、AI=ID,由(1)得：(AB+AC)?BD=BC?2DI,由于/BID=/IBD,于是BD=DI,所以AB+AC=2BC此题,假设O,I分别是zABC外心,内心,AB+AC=2BC,求证OIXAI证实方法是一样的例 10、P 为 ABC 外接圆上一点,是AD、BE 中点.证实 DELM.P 在 BC、AC 上的射影为 D、E.点 L、M 分别证实取 AB 中点 N,连接 MN、NL、AP、BP,易知 BPDsAPE,所以旧言噌PEAE所以悭 IN；,可知 MNLsEPD,所以 DELM实用标准文案文档第十题、M 是 ABC 边 BC 中点,AM 交 ABC 外接圆.O 于 D,过点 D 作

13、DE/BC 交.于 E,在 AD 上取点 F,使得 FCAC.求证 AFCEFC例11、文武光华数学工作室南京潘成华.0、.I 外切于 5,.0 弦八 8 切.I 于 T,点 P是 AI 延长线上一点,求证 BPAB 充要条件是 TSSP.2021688:49于镇江大港中学证实文武光华数学工作室南京潘成华过 S 作两圆公切线交 AT 于Q,线段AS、QI交于 R,TSSP 等价于 IR/PS,等价于假设黑,由于APASQTRQSAABS,得至 UTR/BS,因此,条AR等价于-AE 晶,等价于APASAPAPIT/BP,即 BPAB例12、刚刚看了一下2021年第5期?中等数学?数学奥林匹克问

14、题高383,不难,我把解答写一下 H 是锐角 ABC 的垂心,以 AH、AB 为直径的圆交 BHC 外接圆于 D、E,直线 AD 交 BC 于 G,直线 AE、HC 交于 F,求证 GF/BH实用标准文案文档证实文武光华数学工作室南京潘成华设 BHC 外接圆为.O,直线 AG 交.O 于 N,所以 H、RN 共线,延长 CH 交 AB 于点 M,易知AM、H、D 四点共圆,所以 BADDHCANC,所以 AB/CN,同理 BN/AC,所以 ABNC 是平行四边形,得到 G 是 BC、AN 中点,连接 AF 交.于 J,由于 BEAF,可知 B、RJ 共线,所以 OG 是 AHN、BJC 中位线

15、,得至 AH、CJ 平行且相等,所以 F 是 HC 中点,可知 GF/BH例13、文武光华数学工作室南京潘成华设 ABC 周长为2p,AEAFpAC,求证 ABC 的 C旁切圆与 ABC 外接圆外切.2021-6-128:56证实设 ABC 的 C 旁切圆切直线 EF、 ARAC 于 D、 L、 M,AC 交 AEF 外接圆于 N,直线 AD 交 ABC的 C 旁切圆于 K,AF2AL2ADAK,所以 AFDsAKF,所以AKFAFDAEF180ANF 所以点 K 在 AEF 外接圆外接圆上,由于 A 是BAF中点,所以点 K 是两圆的切点,即 ABC 的 C 旁切圆与 ABC 外接圆外切.实

16、用标准文案文档证实一延长 CD 交.于 J,延长 ED 交 BJ 于 K,根据蝴蝶定理可知 DEDK,根据鸭BJDDHE.爪定理可知 DHDJ 所以 HE/BJ,等腰 BAC证实二在 BD 取 S 使得 DSAD 所以 SCDCBODBT,根据等角共食点性质,可知 CDTDBHACDCDS,可知 C、D、S、H 四点共圆DHEDHTCSDABC例15、第47届 IMO 预选,2006年例14、CDAB 于 D,H、O 是 ABC 垂心,外心,ODDE 交 AC 于 E,求证 BACDHECACDBCO,设 BH、CS 交于 T,实用标准文案文档证实一由于错称,易知AD、QP、DC共点,设为 O

17、,KBLC设AQ交圆.(DCQ)于 J,CQDBADODC,因止匕QD是圆.(QDC)切线,APDADCDJC,所以 DJ/AP,证实二文武光华数学工作室潘成华由于AK/KB=DL/LC,AB/CD,根据位似知识可知 AD、QL、BC 的延长线共点,设为 E 过点 L 作 LX/AP 交 AD于 X,作 LY/PB 交 BC 于 Y,因此 XY/AB,设 XL、DQ 交于 S,LY、QC 交于 T,根据 Menelaus 定理可知(XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL),于是 ST/XY,/SQT+/SLT=/DAB+ADC=180,所以

18、L、S、Q、T 四点共圆,如图,在梯形 ABCD 中,AB/CD,ABCD,点 K、L 分别在线段 AB、CD 上,且AKKB联,P、Q分别在直线 KL 上,且 APBLCADC,CQDBAD.求证A、D、P、Q四点共圆所以PADODJAQP,因此A、D、P、Q四点共圆实用标准文案文档易知/SQL=ZSTL=XYL=ZABP=180-ZAPB-ZBAP=180-ZADC-/BAP/DAP,进而 A,D,P,Q 四点共圆例16、2021年西部数学奥林匹克几何题4ABC 外心、垂心分别是 O、H,ADBC 于 D,证实文武光华数学工作室南京潘成华取 OH、BC 中点 M、K,根据欧拉定理可知 AH

19、2OK、AH/OK,所以 MFOK、MF/OK,所以 MKOFAF,又易知实用标准文案文档MDMK,所以 AFMD,因此 AFMD 是等腰梯形,可知 AF、M、D 四点共圆,因为 A、F、E、D 四点共圆,所以 M 在 AEF 外接圆上,即 AEF 外接圆过 OH 中点 M.证实文武光华数学工作室南京潘成华设两圆圆心 O,延长 AB、AC 交 ARAC 分别交大圆于 S、D,所以 BC 是 ASD 中位线,DAEDSEBEC,BSEADE,所以 ADEESB,222DE器,所以需器,结论等价于景器,等价于BSDCDEDCDCCEDC2BECE,由于DC2DO2OC2EO2OC2BECE得证例1

20、8、2004年日本数学奥林匹克几何题如图,点 D、E 分别是 AB、AC 上两点,且等D需过点 D、E 分别作DBAEAC、AB 的平行线交过点 A 作 ABC 外接圆的切线分别于 H、I,延长直线 DE 交ABC 外接圆于 F、G例17、两同心圆,从大圆上一点A 作 ARAC 切小圆于 RC,2直线 AC 交大圆于 D.求证-A|BECE所以AEBEAE实用标准文案文档求证1H、F、G、I 四点共圆,BC 是.HFG切线证实由于 HG/AC,AD/EI,由于黑-CE-,所以直线 DH、EI 交点必在 BC 上设DBAE为 J,ABCIACAHJ,所以 AH、B、J 四点共圆,同理 AI、C、

21、J 四点共圆 ADDBHDDJGDDF 因止匕 H、 F、 J、 G 四点共圆同理 I、 F、 J、 G 四点共圆,于是 H、 F、 G、 I 四点共圆,AJBACBHABAIJ,所以 BC 是.HFG切线例19、ARAC 分别是圆.O 两切线、RC 是切点,CD 平分 ACB,交AB 于 D,DF 切.O 于 E,交 BC 延长线于 F.求证 BC3CF证实文武光华数学工作室南京潘成华连接 AO 交 BC 于 I,BE、DO 交于 K,设线段 CD 交.O实用标准文案文档于 H,易知卜 K 分别是 BC、BE 中点,AH、I、O 共线,根据实用标准文案文档配位中线知识可知 ECDBCK,所以

22、EKCHBCHCBECB,进而 BE得到 BF2EF4CF,即 BC3CF.ECAHCB,又 BECBHC,所以2KE2EC,又 ECFsBFE,证实二ED2DHDCDKDO,所以 DKEsDCO,DKHDCO,所以HKEHBC,所以HKESHBC,可知HCEACHACEBCHCBCHBC于是 BKHCEH 彳导至 ICEBKKE,下面同证法例 20、答复广州陈泽桐老师几何题OJ 是 ABC 的 A 旁切圆,D、E 是切点,点 F 是 DE 延长线上一点,CF 交 AB 于 G.那么-FCACABRC的充要条件是 FGABFGACBC实用标准文案文档证实文武光华数学工作室南京潘成华设 JC、D

23、E 交于 S,BS 延长线交直线 AE 于R,CS 交直线 AD 于点 T,三角形三角 AB、C,根据 Menelaus 定理华察-CEDGCFAE1,所CFCEABFGDGACBCABCSE90AEBD,RS、J、 D 四点共圆,可知 BSCS,可知BS1ABC=DBJDCJ 所以SR,根据 Menelaus 定理,ERABADBDSR1,所以ERBD,AC旭BCABAEBDABARsin-2sin(B-C-)FCFGABAC3方成立的充要条件BC旦.ECsing正sin(B知ECDGECJCDGsinyJG,FGAB 等价于JTCTGsinGCTsin(A),即ECDGsin-2sin-C

24、-sin(A-C-)sin(B另)根据1结论成立P 作切线 PA、PB 及害 U 线PCD,自 C 作 PA 的平：自.O 外一点例 21、CEEF.CA实用标准文案证实：联结 OAOBO,作 OMCD 于 M.由垂径定理知 CMMD.由 OAPOBPOMP90,得 A、B、M 都在以 PO 为直径的圆上,即 P、AM、B 四点共圆,：ABMAPM.而 CE/PA,得 APMECM 由止匕 ABMECM,推出 RC、E、M 四点共圆.得 EMCEBC、而 EBCD,故 EMCD,.EM/AD.在 CDF 中,由中位线逆定理即得 ECEF.例 22、A 为.O 上一点,B 为圆外一点,BC、BD

25、 分别与.O 相切于C、D,DEAO 于 E,DE 分别交 AB、AC 于 F、GB证实：设 AB 交.O 于 K,联结 ORCD 交于 M.那么 OB 垂直平分 CD,即 M 是 CD 中点.联 KM、KD、MF.由BKBABD2BMBO,得 BKMsBOA,于是 BMKBAO,由此 DMKAFEKFD,得 K、M、F、D 四点共圆,于是 DMFDKFDCA,：MF/CA.因 M 是 DC 中点,故 F 也是 DG 中点,即 DFFG.证毕例 23、PA、PB 是.O 切线,AB 是切点,PCD 是割线,DJ/AP 交 AB 于 J,直线 JC 交 AP于 I,求证 AIPI(2021111

26、121:30)A实用标准文案证实作 OKPD 于 K,延长 AC、DJ 于 L,易知 A、P、B、K、O 五点共圆,可知JDPADPABK,所以 B、K、D、J 四点共圆,于是 AJKCDBCAJ,于是 ACA/BK,易知 CKDK,所以 LJDJ,进而根据相似知识可知 AIPI.例24、ABC 是等边三角形,AD/BE,BDDE,连接 CE,取 CE 中点 F,求证 ADF120证实田开斌给出延长 ED 至 1K,使得 DK=DB,KDADEBDBEADB,所以实用标准文案文档ABD里CBY 所以 XYBXDB 彳导至 UX、D、Y、B 四点共圆,于是 YXD60,得到XY、BE 夹角 60

27、,可知 XYE90,所以 YECFEF,所以 ADF180FDEDBE,易知 DFEY,得到 FDEDBE60,进而ADF120证实文武光华数学工作室南京潘成华取 BC 中点 M,连接 OM,AH、DE,设 AH、DE 交于点 N,连接 ON,HM,ZBHC=180-ZBAC=ZADH,ZHAD=/CBH,所以 AAHDs/BCH,于是HDNyHN,进而 ZHND=ZCMH,根据 Euler 定理,四边形 ONHM 是平行四边形,得到/ONH=ZOMH,所以 ZOND=/OMC=90,所以OE=OD.于是 YDFEDF,ABDEBDBED,ABC 中,H、例 25、O 是ABC 垂心,外心,H

28、D/AB 交 AC 于实用标准文案文档文武光莘.如图如图, ,ABCABC中中, ,H H为垂心为垂心,.,.为外心为外心, ,HDABHDAB交交M M于于D,HE#ACD,HE#AC交好于交好于E,E,求证求证: :OD=OE4OD=OE4+ +1 1iiP 月;如图,作 AAEC 外接圆.,连结 HE、成,设曰.半径为几那么根据圆累定理知;0E2=R2-AEAB=R2-HDBEJOD2=R:-ADCD=R2-HE*CD*又由于 HjAABC 垂心了所以BHEsAc 叫所以 HD.BE=HE-CD;所以0D=0EQ 直例 26、四边形 ABCD 是.O 内接四边形,且第-BC-,AC、BD

29、 交于点 J,ADCD点 I、H 分别是 ABJ、ADJ 外心.xC求证 AO 平分 BDD实用标准文案文档证实(文武光华数学工作室南京潘成华)/BAI=ZHAD,所以/IAH=ZBAD,(AB/2AI)=sinZAJB=sinZAJD=(AD/2AH),可知(AI/AH)=(AB/AD)(1),所以 AAIHBD,/AIO=90+/BAI=90+90-ZAJB=ZBJC,ZAIO=ZABD=ZACB,所以/IAO=/DBC,同理/HAO=/BDC,设 AO、JH 交于点 M,即证实 IM=MH,也就是 AlsinZIAO=AHsinZHAO,等价于(AI/AH)=(sinZHAO/sinZI

30、AO)=(sinZCDB/sin/CBD)=(CB/CD),由于(AB/AD)=(BC/CD),实用标准文案文档根据1结论显然成立例27、 .是ABC外接圆,DP/AN,MPEF交AB、AC 分别于 E、求证 EPFPMNMN 是 ABC 边 BC 中垂线所在的弦,F.LM一一 F二实用标准文案文档M、L、F、P 四点共圆,/MBC=ZLAM=ZMXL=ZMCB,所以 ME=MF,进而 PF=PE证法三作 MXLAB 于 X,所以/ABM=ZANM=易知 M、B、D、X 四点共圆,所以/ABM=ZXDMX、P、D 共线,易知 M、E、P、X 四点共圆,所以ZBME=ZAEM-ZABM=ZMPX

31、-ZMDP=ZDMP,同ZCME=ZDMP,MB=MC,进而MEB?MCF,因止匕ME=MF,得至 UPE=PF例 28、PE、PF 是以 AB 为直径的半圆.JMEF=ZMAB=ZBAM=ZMFEMO 两切线,E、F 是切 N,BE、AF明苏州学生方法过 M 作 ML,AC 于 L,MXAB 于 X,根据 Simson 线可知：L、X、D 共线,易知 AL=AX,所以 DL/AN,因此 P 在直线 DL 上,M、E、P、X 四点共圆,XTD,PB 父.OTC.求证 P、E、D、/点飞圆AOEP,一AO实用标准文案文档实用标准文案文档证实(文武光华数学工作室南京潘成华)/EDA=ZEBA+/D

32、AB=(1/2)(/FOB+/EOA)=(1/2)(180-/EOF)=(1/2)/EPF,PE=PF,所以 P 是圆(DEF)圆心,所以 PE=PD,可知/PDE=ZPED=ZBAE=ZPCE,于是 P、E、D、C 四点共圆例 29、如图,AB 是圆 O 的切线,ADE 为圆 O 的割线,D 介于 A,E 之间.M 为 AO 的中点,圆 M 为小 BO 的外接圆,BD 交圆 M 于 F.求证：EB 为 OM 的切线,当且仅当 BD=DF.证实：上海曹珏先生解答设 ADE 交圆 M 于 K.由/AKO=90,OE=OD 知：DK=KEBDSAEB=SVAB-BD2-AD-=BE2-Al-BD2

33、SVAEBBEAEAD-AEADDKEAEK=BE 为圆 M 的切线AD必要性.假设 EB 是圆 M 的切线设八口 1 交圆 M 于 Ko 由/AKO=90,OE=OD 知:DK=KEAA实用标准文案文档据题意知：/ABD=/BED,/EBK=/BAK=BDS/BEK 据题意知：/BEO=/EBO=ZBAO=ZABM=ABMS/BEO 于是 D,K 是对应点,又由于/OKE=90,故/MDB=90.又由于 MB=MF,故 BD=DF.证实文武光华数学工作室南京潘成华设 AE 交.M 于 H,ZBOD=2ZBED=2ZABF=ZAMF,所以 ABODsMF,可知 AFXBO=BDXAM(1),由

34、于/MBO=ZBOM=ZAFD,BE 是切线等价于/EBH=/BAH,等价于/BHD=ZBDH,A所以/AFD=/ADF,因止匕 BE 是 EB 为 OM 的切线等价F于 ABOMS/DFA,等价于 AFXBO=BMXDF,由于 BM=AM,根据1可知 BD=DF例 30、E、F 是圆内接四边形 ABCD 对边 ARCD 的中点,点,自 E 分别作 BC、AD 的垂线,垂足记为P、Q.求证：MPMQ证实：自 F 分别作 BC、AD 的垂线,垂足记为 S、T,联 ST、PQM 是 EF 的中实用标准文案文档易知 Rt 好 CSRt 在 AQ,RtFDTRtEBP,得(FS/EQ)=(FC/EA)=(FD/EB)=(FT/EP),又/SFT=/PEQ,：行TSS/EPQ.得/FTS=/EPQ,于是/QPS+/STQ=180,从而 P、S、T、Q 四点共圆.在直角梯形 EPSF 中,M 是腰 EF 的中点,故 M 落在线段 PS 的中垂线上；同理,M 也落在线段 QT 的中垂线上.故 M 就是 P、S、T、Q 四点所共圆的圆心.：MP=MQo例31、设 H 是 ABC