蒙地卡罗模拟法在信用风险评量之应用

1、蒙地卡羅模擬法在信用風險評量之應用以資產價值模型為例東吳大學商用數學系副教授洪明欽一、前言新版巴賽爾協定預計將於 2003 年底定案， 2006 年施行，屆時對全球的金融機構之風險控管實務及資金成本均將產生重大的影響 。國內金融機構的風險控管操作在實務及理論探討方面均仍有待加強，有需要及早準備因應之道。在新版巴賽爾協定的風險類別中，又以信用風險部分對金融機構影響最大，但其量化的工作又遠較市場風險困難。影響信用風險的因子（ factor）很多，有些 因子 又 極難 量化 ，其 中包 括 違 約 機 率 （ default probability ）， 相 關 性（ correlation），償還

2、率（ recovery rate）的估計等。再者，我們可以透過向後測試（ backtesting）評估一個市場風險模型的績效，但信用風險的良窳則受限於衡量期間較長（ longer horizon）及資料的稀少性，較難評估。模擬法（ simulation method）主要乃相對於解析法（ analytic method）而言。解析法中的輸入（ input）與產出（ output）之間存在某種數學方程式的關係。在風險評量的領域中 ，經常由於市場的不確定性 、繁多的影響因子 、資料的不完整、及價值函數（ value function）的缺乏封閉解（ closed form solution）等等原

3、因，以致解析法通常無法完全滿足風險評量及管理上的需求 。在評估大量風險性資產之投資組合風險時，主要面臨的困難包括大量的風險影響因子（匯率、利率、指數等）及違約機率與市場風險因子間的相互影響問題。蒙第卡羅模擬法在市場風險及信用風險評量上已有廣泛的應用 ，本文主要以 JP Morgan的 CreditMetrics 為基礎，介紹蒙第卡羅模擬法應用在信用風險評量的操作流程及基本想法。二、信用風險評量架構 資產價值模型1、當投資組合只含單一（BBB 級）債券假設現有一張 5 年期，每年付息 6%的 BBB 級債券，我們可以用三個步驟說明此單一資產的信用風險評量過程：步驟一、信用評等移動。首先，我們需要

4、一個類似於表1 的信用轉換矩陣 -表中包含未來（此處為一年後）各項可能信用評等變化的發生機率。例如，表1 中的BBB 列及 A 欄的 5.95 代表在一年後一個BBB 級債券上升為A 級的機率為15.95%，而 BBB 列及違約欄的 0.18 代表在一年後一個 BBB 級債券發生違約的機率為 0.18%。此信用轉換矩陣可能來自於 S&P 、 Moody 或 KMV 等專業機構。表 1 一年期信用轉置矩陣（）初期一年後各種評等機率（）評等AAAAAABBBBBBCCC違約AAA90.818.330.680.060.12000AA0.7090.657.790.640.060.140.020A0.0

5、92.2791.055.520.740.260.010.06BBB0.020.335.9586.935.301.170.120.18BB0.030.140.677.7380.538.841.001.06B00.110.240.436.4883.464.075.20CCC0.2200.221.302.3811.2464.8619.79資料來源： Standard PoorsCreditWeek（1996）表 2 信用評等別之一年遠期零息殖利率（ forward zero curves,）例子Gategory1 年期2 年期3 年期4 年期AAA3.604.174.735.12AA3.654.22

6、4.785.17A3.724.324.935.32BBB4.104.675.255.63BB5.556.026.787.27B6.057.028.038.52CCC15.0515.0214.0313.52資料來源： JP Morgans CreditMetricstechnical document（1997）步驟二、評價。接下來則須對轉置（一年）後的各種信用狀態之新的個別資產價值重新評價（revaluation），因而需要各個信評等級的殖利率曲線。表 1 中各種可能的信用狀態共有八種（欄） ，其又可大分成兩類：A、 第一類為未發生違約（ 1 至 7 欄） -其評價則以各信用等級一年後的零息遠

7、期合約殖利率曲線為基礎。表 2 為一個含有各信用等級的一年遠期零息殖利率曲線的例子。例如，表 2 中的 A 列及第 2 欄的 4.32 代表 A 級債券的兩年遠期零息殖利率為 4.32%。有關此債券重新評價的計算，舉例而言，如果一年後此 BBB 級債券上升為 A 級後（其機率由表 1 可知為 5.95%），則其現金流量價值之計算公式為66666100108.66(1).0372)(1.0432) 2(1.0493) 3(1.0532) 4(12此數字將在後面的表4 中使用（ A 列，第二欄）。B、另一種可能的信用狀態則為債權公司最不願意看到的現象-發生違約，此時需要估計其償還率（ Recove

8、ry Rate，如表 3）以作為資產的評價基礎。表3 包含不同類型（順位、擔保）債券之償還率 。由表 3 可知償還率的標準差很大， 亦即，償還率的估計相當不容易。表 3 不同順位別之償還率（ recovery rates,佔面值之百分比）順位等級平均數標準差Senior Secured53.8026.86Senior Unsecured51.1325.45Senior Subordinated38.5223.81Subordinated32.7420.18Junior Subordinated17.0910.90資料來源： Carty Lieberman（96） Moodys Investor

9、s Service表 4 導因於信用品質變化之BBB級債券價值波動的計算一年後評等各信用狀態之發生債券新價值機率（）AAA0.02109.37AA0.33109.19A5.95108.66BBB86.93107.55BB5.30102.02B1.1798.10CCC0.1283.64違約0.1851.13平均數 107.09變異數8.9477標準差 2.99資料來源：同表2步驟三、有了各種信用狀態的發生機率及價值（見表 4）後，我們就可以得到單一債券一年後的可能價值之分配，並可據以算出其平均數、標準差或是分配的第分位數（thquantile）。表 4 中第 1 欄的數字來自表1（信用轉置矩陣）

10、的第BBB 列，第二欄中前 7 個數字則由類似於公式（ 1）的計算而得，第 8 個數字則來自表 3。32、當投資組合中含有兩個（或以上的）債券續前例，如果我們的投資組合中另外有一張3 年期，每年付息 5%的 A 級債券，則可以仿照前例得到其一年後的可能價值之分配 （如表 5）。結合表 4 及表 5 可以得到表 6 中合計 82 64 種的各種可能之投資組合價值。例如， BBB 列及 A欄的213.85 代表當BBB 級債券及A 級債券同時維持在原來等級的價值（ 107.55+106.30）。表 5 信用評等變化後的A 級債券價值一年後評等各信用狀態債券新價值之發生機率機率（）AAA0.0910

11、6.59AA2.27106.49A91.05106.30BBB5.52105.64BB0.74103.15B0.60101.39CCC0.0188.71違約0.0651.13資料來源：同表2表 6兩個債券的投資組合一年後的所有可能價值債務人 2債務人 1AAAAAABBBBBBCCC違約106.59106.49106.30105.64103.15101.3988.7151.13AAA109.37215.96215.86215.67215.01212.52210.76198.08160.50AA109.19215.78215.68215.49214.83212.34210.58197.90160

12、.32A108.66215.25215.15214.96214.30211.81210.05197.37159.79BBB107.55214.14214.04213.85213.19210.70208.94196.26158.68BB102.02208.61208.51208.33207.66205.17203.41190.73153.15B98.10204.69204.59204.40203.74201.25199.49186.81149.23CCC83.64190.23190.13189.94189.28186.79185.03172.35134.77違約51.13157.72157.62

13、157.43156.77154.28152.52139.84102.26資料來源：同表2但是，為了評量此投資組合之風險，除了前述各種信用等級的價值外，我們仍須有各種可能評等組合的發生機率，而這將牽涉到信用評等共同移動的聯合機4RZCCC率分配之決定的問題。因此，在估計資產組合的信用風險時，會有兩個問題需要解決：A、如何估計信用評等共同移動的相關係數B、假設有 8 個信用狀態（如表 1），在兩個債券時共有 82 種信用狀態組合，在三個債券時共有 83 種信用狀態組合，則在 N 個債券時將會有 8N 種信用狀態組合，亦即，信用狀態組合的個數將隨債券的個數呈幾何級數增加。通常不同的債券發行公司會具有

14、某些共同的總體經濟變數，例如，位於同一個國家或區域內、相同的產業別等，因此其信用評等或違約機率的變化將具有某種程度的相關性。但由於實際違約資料的稀少特性，以致很難直接觀察或估計信用等級的聯合變動狀況。令 R 表示資產報酬率 。CreditMetrics 將債券的信用等級變動與發行公司的權益價值變動相連結，透過原有的信用轉置機率，將信用評等的變化轉換成由一些相對應的資產報酬率門檻值（ threshold）來表示。其背後的基本想法為：發債公司於債務到期時，未來將以其所擁有的資產償還，因此不同的公司資產價值將可以間接反應出不同的公司償債能力及其背後所隱含的可能信用評等變動 ，因此我們可以假設如果在一

15、年後公司的資產價值低於某個水準時 ，將導致無法償付債款而發生違約（或信用評等產生變化） 。信用評等與資產報酬率間的關係可由圖 1及表 7 展現出來。圖 1 中橫軸的不同 Z 值表示各評等的資產報酬率之門檻值，例如， RZ Def 表示債務人發生違約， Z Def表示發債公司的評等被降為CCC 等級。圖 1 資產報酬率分配及信用評等變化門檻值Z DefZCCC Z BZ BB Z BBB Z A Z AA未來一年可能之資產報酬率 （資料來源：同表 2，修正後）假設我們現在的投資組合中含有多個債券，其中一個為BB 等級債券（註：5不同於前例之 BBB 等級債券），以下我們將以此 BB 級債券說明債

16、券評等的報酬率門檻值之決定過程。表 7 中的第 1 欄為 BB 評等債券未來一年的轉置機率（數字來自表1 的 BB列）。假設資產報酬率R 服從常態分配，則我們可以計算各信用評等（及違約）的發生機率如下1.06%Pr(違約 )Pr(R Z Def )(Z Def / )Z Def1 (0.0106)2.30,1.00%Pr(CCC)Pr(Z DefRZCCC )(ZCCC /)(Z Def /)(ZCCC /) 0.01000.01060.0206Z CCC2.04,由以上推導，依次可求得各評等之報酬率門檻值 ，如表 7 之第 3 欄。上式中的 ( ) 代表標準常態分配之累積分配函數 。表 7

17、的債券評等之報酬率門檻值將會在下一節的蒙第卡羅模擬法中用到。表 7 BB 評等發債公司之轉置機率及報酬率門檻值信用轉置矩陣 資產價值模型之發生機率評等機率AAA0.031ZAA /AA0.14Z AA/Z A /A0.67Z A /ZBBB /BBB7.73ZBBB /Z BB/BB80.53Z BB/Z B /B8.84Z B /ZCCC /CCC1.00ZCCC /Z Def/違約1.06Z Def/資料來源：同表2資產報酬率門檻值Z AA 3.43ZA 2.93Z BBB 2.39Z BB 1.37Z B 1.23ZCCC 2.04Z Def 2.30而在多（ n）個債券的信用評等之聯合

18、移動部分，資產價值模型則透過其相對應的資產報酬率之相關係數加以描述。假設這些債券所對應的資產報酬率R1 , R2 , Rn 服從多元常態（ multivariate normal）分配 MN (,) ，其中61221121n112121n1n222,1222 n121222 n n 2n221n2nn1n1n2 n n 2n其中 ij代表第 i 債券及第 j 債券所對應的發債公司資產報酬率之相關係數。這裡要特別強調此處ij 代表的是資產報酬率的相關係數，而不是債券評等的相關係數。我們可以先估計個別資產報酬率的變異數 （標準差）及其相互間的樣本相關係數後，再透過蒙第卡羅模擬法模擬未來資產報酬率，

19、間接決定未來債券評等之（聯合）走勢。三、蒙地卡羅模擬法之應用CreditMetrics 主要透過蒙地卡羅模擬法處理前述在估計（大量）債券資產組合的信用風險時所面臨的兩個問題。以下我們將以一個包含三張債券的投資組合進行說明，前兩張債券為前節所提及的4 億 BBB 評等債券及 2 億 A 評等債券，第三張則為一個CCC 評等公司所發行的兩年期，面值1 億，年息 10%的債券。有關資產價值模型的蒙第卡羅模擬法之執行過程，可以歸納成以下7 個步驟：1、由表 1 的 BBB 列， A 列及 CCC 列可以得到這三張債券的信用轉置機率如表 8 所示。表 8轉置機率（）信用評等轉置機率（）公司 1（BBB）

20、公司 2（A）公司 3（ CCC）AAA0.020.090.22AA0.332.270.00A5.9591.050.22BBB86.935.521.30BB5.300.742.38B1.170.2611.24CCC0.120.0164.86違約0.180.0619.79資料來源：同表22、由類似於公式（ 1）的計算、表2 的一年遠期零息殖利率曲線及債券面7值三者，可以得到如表9 的債券在各種信用狀態（含違約）之價值。例如，表 9 中第 A 列及公司 1 欄的 4.346 等於公式（1）所得的 108.66（）乘以債券面值 4 億而得。表 9 未來不同信用評等之債券價值一年後之公一年後債券價值司

21、信用狀態公司 1公司 2公司 3AAA4.3752.1321.162AA4.3682.1301.161A4.3462.1261.161BBB4.3022.1131.157BB4.0812.0631.142B3.9242.0281.137CCC3.3461.7741.056違約2.1251.0230.551資料來源：同表 23、接下來，仿照表7 中各信用評等的資產報酬率門檻值之計算方法求得表10。值得注意的是表10 中的門檻值中並未包含如表7 中的，其原因為我們在以下的模擬中可以採用標準化的資產報酬率，因此不需用到，且在下一個步驟中有關信用評等共同移動的部分也只需用到報酬率的相關係數。表 10

22、資產報酬率門檻值門檻值公司 1公司 2公司 3Z AA3.543.122.86Z A2.781.982.86Z BBB1.53-1.512.63Z BB-1.49-2.302.11Z B-2.18-2.721.74ZCCC-2.75-3.191.02ZDef-2.91-3.24-0.85資料來源：同表24、假設投資組合內的債券所對應的資產報酬率具有多元常態分配，表示為MN (,) ，一般又假定各資產的報酬率平均數0 。我們可以使用各8公司的資產報酬率之歷史資料，先估計出樣本標準差及相關係數，?i , ?ij ,i, j 1,2, , n，則可求得樣本變異共變異矩陣 （variance-cova

23、riance matrix ）， ? 。接下來，進一步將 ? 標準化成樣本相關係數矩陣，也就是說，將原來的 ? 之第 i 列及第 j 行之元素（element）分別除以 ?i ?j 。經由這些步驟，我們可以得到這些債券所對應的標準化資產報酬率R1 , R2 , , Rn 服從 MN (0, ?) ，其中 ? 為資產報酬率的樣本相關係數矩陣。5、首先，由 MN (0, ?) 模擬產生（ 6 個）不同情境的資產報酬率資料如表 11左半部之數字所示，其次，將這些數字與表 10 之各信用評等的門檻值相比較，以決定這些模擬所得的資產報酬率資料之新的信用評等等級，如表 11 中間部分之等級所示。例如，表

24、11 中第 2 情境及公司 1 欄的資產報酬率為（-2.106），對照表 10 的第 1 欄為介於 Z B 2.18 2.106 1.49 Z BB 之間，因此其所對應的新債券評等為表 11 中新信用評等的 BB 級。接下來，由表 9 可以得到此公司 1 債券之重新評等價值為 4.081（表 11 右方的新評價之公司 1 欄第 2 列），最右一欄的投資組合價值則為三張債券的新評等價值之總合。6、重複執行步驟5 多次，例如， 10000 次，則我們可以得到10000 個可能的未來投資組合價值，將之由小到大排序，形成一個一年後的可能資產價值樣本分配。7、評估投資組合所面臨的信用風險並進行風險管理。例如，如果我們想計算第 1 個百分位數（ 1stpercentile level）所需要的經濟資本（economiccapital），也就是說，希望有 99%的把握在一年內的投資組合信用風險損失不會超過此一金額，則第 100（一萬的百分之一）低的投資組合價值與目前投資組合價值的差額也就是我們想計算的經濟資本。表 11資產報酬率