弹性力学总复习

1、1-2 1-2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念基本概念：基本概念： 外力、应力、形变、位移。外力、应力、形变、位移。1. 外力外力体力、面力体力、面力（材力：集中力、分布力。）（材力：集中力、分布力。）(1) 体力体力 弹性体内弹性体内单位体积单位体积上所受的外力上所受的外力弹力弹力:（内容）（内容）弹性体在外力或温度作用下的应力、变弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。形、位移等分布规律。 （任务）（任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。 (2) 面力面力 作用于物体表面作用于物体表面单位面积单位面积上的外力上的外力2

2、. 应力应力应力：应力：由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa (兆帕)(2) 一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：xzxyx,y面的应力：面的应力：yzyxy,z面的应力：面的应力：zyzxz,xyyxxyzyyz剪应力互等定理剪应力互等定理应力符号的意义：应力符号的意义：xzzx第第1个下标个下标

3、 x 表示表示所在面的法线方向；所在面的法线方向；第第2个下标个下标 y 表示表示的方向的方向.应力应力正负号正负号的规定：的规定：正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。剪应力剪应力 坐标坐标正面正面上，与坐标正向一致时为正；上，与坐标正向一致时为正；坐标坐标负面负面上，与坐标正向相反时为正。上，与坐标正向相反时为正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx与材力中剪应力与材力中剪应力正负号正负号规定的区别：规定的区别：xyxyxyxyxyyxxy规定使得单元体顺时的剪应力规定使得单元体顺时的剪应力为为正，反之为负。正，反之为负。yxxy在用在用应力莫尔圆应力莫尔圆时

4、必须此规定求解问题时必须此规定求解问题3. 形变形变形变形变 物体的形状改变物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。）两线段间夹角的改变。PBCAzxy用线（正）应变用线（正）应变度量度量用剪应变用剪应变度量度量（剪应变（剪应变两垂直线段夹角两垂直线段夹角（直角）（直角）的改变量）的改变量）三个方向的线应变：三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：三个平面内的剪应变：zyx,zxyzxy,(1) 一点形变的度量一点形变的度量应变的正负：应变的正负：线应变：线应变： 伸长伸长时为时为正正，缩短缩短时为时为负负；剪应变：剪应变： 以直角以直角变小时为正变小

5、时为正，变大时为负变大时为负；弹性力学问题：弹性力学问题：已知已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、）、约束条件）、约束条件等，求解等，求解应力、应变、位移应力、应变、位移分量分量。需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；（2）几何学关系：）几何学关系：形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。3. 平面问题的求解平面问题的求解问题：问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外

6、力（体力、面力）、边界条件，求：求：xyyx,xyyx,vu, 仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系：）几何学关系：（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件：建立边界条件： 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1）应力边界条件；）应力边界条件；（2）位移边界条件；）位移边界条件；二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程（1）平衡微分方程）平衡微分

7、方程00YyxXyxyxyyxx（2-2）（假定：假定：小变形、小变形、连续性、均匀性）连续性、均匀性）（2）几何方程）几何方程yuxvyvxuxyyx（2-9）（假定：假定：小变形、小变形、连续性、均匀性）连续性、均匀性）（3）物理方程）物理方程)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2(2-15)（平面应力）（平面应力）(2-16)1(12yxxExyxyE)1 (2)1(12xyyE（平面应变）（平面应变）（假定：假定：小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）三、平面问题的基本求解方法及基本方程三、平面问题的基本求解方法及基本方程思路：思

8、路：（1）按位移求解）按位移求解以位移以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出得到以位移表示的基本方程，从中求出 u、v，再由几何方程、，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。物理方程求出其余未知量。基本方程：基本方程：021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-20）位移表示的平位移表示的平衡方程衡方程vvuuss,YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122（2-21）（2-17）位移表示的应位移表示的应力边界条件力边界条

9、件位移边界条件位移边界条件（2）按应力求解）按应力求解思路：思路： 以应力以应力 为基本未知量，将基本方程用只有为基本未知量，将基本方程用只有 的的3个方程，从中求出个方程，从中求出 ，再由物理方程、几何方程求出，再由物理方程、几何方程求出其余未知量。其余未知量。xyyx,xyyx,xyyx,基本方程：基本方程：00YyxXyxyxyyxx（2-2）平衡方程平衡方程yYxXxyyx)1 ()(2222（2-23）相容方程相容方程基本控制方程基本控制方程（平面应力情形）（平面应力情形）vvuuss,（2-17）YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18）位移边界条件位移边界条件应

10、力边界条件应力边界条件边值条件边值条件（3）两类平面问题物理方程的互相转换：）两类平面问题物理方程的互相转换：平面平面应力应力问题问题平面平面应变应变问题问题E21E1平面平面应变应变问题问题平面平面应力应力问题问题E2)1 ()1 (E1（4）边界条件）边界条件vvuuss（2-17）YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18） 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件)(uS)(S)(SSSu3. 应力函数应力函数 求解方法求解方法),(yx（1） 逆解法逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等）

11、，假设各种满足相容方程（假设各种满足相容方程（2-27）的）的(x,y) 的形式；的形式；（2） 主要适用于主要适用于简单边界条件简单边界条件的问题。的问题。然后利用应力分量计算式（然后利用应力分量计算式（2-26），求出），求出 （具有待（具有待定系数）；定系数）；xyyx,（3）再利用应力边界条件式（再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数），来考察这些应力函数(x,y) 对对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求可以求解什么问题。解什么问题。（2）半逆解法半逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、

12、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式 ；xyyx,（2）根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求，求出出(x,y) 的形式；的形式；xyyx,04（3）最后利用式（最后利用式（2-26）计算出）计算出 并让其满足边界条件和并让其满足边界条件和位移单值条件。位移单值条件。xyyx, 半逆解法的数学基础：半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法数理方程中分离变量法。四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）yxxyxyyx22222（2-22）yYx

13、Xxyyx)1 ()(2222（2-23）（2-24）(平面应力情形平面应力情形)(平面应变情形平面应变情形)yYxXyxyx11)(22220)(2222yxyx（2-25）024422444yyxx(2-27)形变表示的形变表示的相容方程相容方程应力表示的应力表示的相容方程相容方程应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程(基本形式基本形式)(常体力情形常体力情形)适用情形适用情形： 小变形、任意小变形、任意弹塑弹塑性材料性材料。(常体力情形常体力情形)（5）按应力求解的）按应力求解的应力函数法应力函数法基本方程：基本方程：024422444yyxx(2-27)(2-26)（1）对多连体

14、问题，还须满足位移单值条件。）对多连体问题，还须满足位移单值条件。04vvuuss,（2-17）YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18）位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程应力函数表示应力函数表示的应力分量的应力分量Yyxy22Xxyx22yxxy2（对常体力情形）（对常体力情形）说明：说明：（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。要点：要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：）极坐标中平面问题的基本方程： 平衡微分方程、几何方程、物理方程、平衡微分方程、几何方程、物理方程、相容

15、方程、边界条件。相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应）极坐标中平面问题的求解方法及应用用应用：应用： 圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。平面体等的应力与变形分析。弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）rr1rrrr0rk021krrrrr几何方程：几何方程：rurrurrur1ruruurrr1（42）物理方程：物理方程：)(1rrE)(1rErrrEG)1 (21（43）(平面应力情形平面应力情形)边界条件：边界条件：位移边界条件：位移

16、边界条件： ,rsruuuus应力边界条件：应力边界条件：rsrsrkmlkmlssr弹性力学平面问题的极坐标求解归结为弹性力学平面问题的极坐标求解归结为:小结：小结：（1） 由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数),(r0112222224rrrr（46）（2） 由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：rr,22r22211rrrrrrr1（45）（3） 将上述应力分量将上述应力分量rr,满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件： ,rsruuuus应力边界条件：应力边界条件：rsrsrkmlkmlssruu

17、r,为边界上已知位移，为边界上已知位移，kkr,为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）barqbaraqabrb222222221111baqbaraqabrb222222221111（4-14）（1）若：）若：0, 0aqa,brqbq( 二向等压情况二向等压情况)（2）若：）若：)0(0abqq而arqabrb112222aqabrb112222)0(（压应力）（压应力）)0(（拉应力）（拉应力）r（3）若：）若：)0( , 0baqqbrqbara222211bqbara222211)0()0(（压应力）（压应力）（压应力）（压应力）r（4）若：

18、）若：)0(aqb 具有圆形孔道的无限大弹性体。具有圆形孔道的无限大弹性体。arqabrb112222aqabrb112222arqra22aqra22rr边缘处的应力：边缘处的应力：aqaq3. 斜方向应变公式的应用斜方向应变公式的应用（1） 已知一点的应变已知一点的应变 ，可计算任意方向的，可计算任意方向的应变应变 。 的最大值、最小值。主应变、主应的最大值、最小值。主应变、主应变方向等。变方向等。xyyx,NN（2）已知一点任意三方向的应变已知一点任意三方向的应变 ，可求得，可求得该点的应变分量该点的应变分量 。321,NNNxyyx,xyyxNxyyxNxyyxNmlmlmlmlmlm

19、l332323322222221121211xy453N1N2N若若 用用45应变花测构件表面应变：应变花测构件表面应变：2233 ml0, 111ml1,022ml2132NNNxy1Nx2Nyxyyx,120120120若若 用用120应变花测构件表面应变，即：应变花测构件表面应变，即：xy1N2N3N求得该点的应变分量求得该点的应变分量:321,NNNxyyx,作为作业！作为作业！xyyx,)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2例例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。水坝

20、的应力边界条件。左侧面：左侧面：0, 1ml0YXYlmXmlsxysysxysx)()()()(代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式0hxxyhxxy右侧面：右侧面：0, 1ml0,YyX代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有00hxxyhxx上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy0)(sinP对对O点的力矩等效：点的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：xyy,必须按正向假设！必须按正向假设！yPxyyx上端面：上端面：

21、（方法（方法2）取图示微元体，取图示微元体，0yFdxyhhy0sin0Pdxhhyy0sinP 0OMxdxyhhy00sin2hPxdxyhhy0)(sin2hP 0 xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP可见，与前面结果相同。可见，与前面结果相同。注意：注意：xyy,必须按正向假设！必须按正向假设！由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，0arr0arr0brr0brr00badr00bardrMrdrba000badrPdrbar000bardrPdrba000bardrMrdrba00arr0arr0brr0brr0arr0arr0brr0brrrrrrrrrra

22、0000r01800180r0cossincos0Padarrarr0sincossin0Padarrarr00adaarr0 xF0yF0OM0000r01800180rrra0sincos0adarrarr0cossin0adarrarr00Madaarr0 xF0yF0OM取半径为取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：的半圆分析，由其平衡得：作作 业业补充题：补充题： 列写下列平面问题的应力边界条件。列写下列平面问题的应力边界条件。2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题1. 平面应力问题平面应力问题(1) 几何特征几何特征xyyztba 一个方向的尺寸比另两

23、个一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。btat , 平板平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2) 受力特征受力特征外力外力（体力、面力）和（体力、面力）和约束约束，仅，仅平行于板面作用平行于板面作用，沿沿 厚度厚度 方向不变化。方向不变化。xyyztba(3) 应力特征应力特征如图选取坐标系，以板的中面如图选取坐标系，以板的中面为为xy 平面，垂直于中面的任一直线平面，垂直于中面的任一直线为为 z 轴。轴。由于板面上不受力，由由于板面上不受力，由02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 轴

24、方向不变。轴方向不变。0z0zx可认为可认为整个薄板的整个薄板的各点各点都有：都有：由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有0zy0yzzy0 xzzx结论：结论：平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。2. 平面应变问题平面应变问题(1) 几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸两个方向的尺寸大得多大得多，且且沿长度方向几何形状和沿长度方向几

25、何形状和尺寸不变化尺寸不变化。 近似认为无限长近似认为无限长(2) 外力特征外力特征 外力外力（体力、面力）（体力、面力）平行于横截面平行于横截面作作用，且用，且沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。 约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。(3) 变形特征变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。 设设 z方向为无限长，则方向为无限长，则, u, x, x沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x，y 的函数。的函数。任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面水坝水坝因为任一横截面均可视为

26、对称面，则有因为任一横截面均可视为对称面，则有0w所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移问题平面位移问题0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy 平面应变问题平面应变问题注：注：(1)平面应变问题中平面应变问题中0z但是，但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：平面应变问题中应力分量：)0(,zyzxxyzyx 仅为仅为 x y 的函数。的函数。 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问

27、题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题弹性力学平面问题的基本理论弹性力学平面问题的基本理论小结小结一、两类平面问题及其特征一、两类平面问题及其特征名名 称称平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量位位 移移应应 变变应应 力力外外 力力几何形状几何形状xyyx,0zxyz)(yxzExyyx,0zxyz0zxyyx,0zxyz0zxyyx,0zxyz)(yxzvu,0wvu,0w体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。平面，且沿板厚不变化。体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于

28、xoy平面，且沿平面，且沿 z 向不变化。向不变化。z 方向的尺寸远方向的尺寸远小小于板面内的于板面内的尺寸（等厚度薄平板）尺寸（等厚度薄平板）z 方向的尺寸远方向的尺寸远大大于于xoy平面平面内的尺寸（等截面长柱体）内的尺寸（等截面长柱体）六、其它六、其它（1）常体力情况下简化）常体力情况下简化将将体力体力转化为等效的转化为等效的面力面力：mYyYYlXxXX（2）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算。最小剪应力计算。（3）任意方向的正应变计算。）任意方向的正应变计算。xyyxNlmml22xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(

29、22222122xyyxyxyxyxyx2211tan,tan221minmaxmax、 min 的方向与的方向与1 （ 2 ）成成45。2.圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物体的若把物体的一小部分边界上的面力一小部分边界上的面力，变换为分布，变换为分布不同但不同但静力等效的面力静力等效的面力，则，则近处近处的应力分布将有的应力分布将有显著改变，而显著改变，而远处远处所受的影响可忽略不计所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2APAPAP2.应力边界条件的列写与圣维南原理的应用应力边界条件的列写与圣维南原理的应用YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18） 圣维南原理：圣维南原理： 若把物体的若把物体的一小部分边界上的面力一小部分边界上的面力，变换为分布不同但，变换为分布不同但静力等效的面力静力等效的面力，则，则近处近处的应力分布将有显著改变，而的应力分布将有显著改变，而远处远处所受的影响可忽略不计所受的影响可忽略不计。注意事项：注意