复变函数工科第八讲续.

1、1 1 柯西定理柯西定理一、复习一、复习1.柯西定理柯西定理定理定理3.13.1设f(z)是单连通区域D内的解析函数，设C是D内任一条简单闭曲线，那么其中,沿曲线C的积分是按逆时针方向取的。 设设f (z)在在单连通区域单连通区域D内解析内解析，则对任意，则对任意两点两点z0, z1D, 积分积分c f (z)dz不依赖于连接起点不依赖于连接起点z0与终点与终点z1的曲线，的曲线，即积分与路径无关。即积分与路径无关。10)()(zzCdzzfdzzf0)(Cdzzf1C2C0z1z复合闭路定理复合闭路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区

2、域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 , )( 内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C则：则：,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; kCC其其中中及及均均取取逆逆方方向向2 .复连通区域内的复连通区域内的Cauchy定理定理d12(2)( )0.nC CCCf zz 意义意义 1.1.揭示了解析函数的一个性质揭示了解析函数的一个性质在一定条件下，在一定条件下， 解析函数沿多连通区域边界的积分等于零；解析函数沿多连通区域边界的积分

3、等于零； 2.2.提供了一种计算函数沿围线积分的方法提供了一种计算函数沿围线积分的方法DC1C2C3C,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; kCC其其中中及及均均取取逆逆方方向向d12(2)( )0.nC CCCf zz 例例3 3. , ,d)(1 1为整数为整数的任一简单闭路的任一简单闭路为含为含求求nazazn 解：解： , 内部内部在曲线在曲线因为因为 a a , 故可取很小的正数故可取很小的正数 , : 1内部内部含在含在使使 az1 由由闭闭路路变变形形原原理理， 1 d)(1 d)(1 11zazzaznn,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)( n

4、iieie 20d ninie由复合闭路定理由复合闭路定理,11111dd()()nnCCzzzaza a 1 故12,01 d()0,0.nCinzzan 此结论非常重要此结论非常重要, 用起来很方用起来很方便便, 因为因为 不必是圆不必是圆, a也不必也不必是圆的圆心是圆的圆心, 只要只要a在简单闭曲在简单闭曲线线 内即可内即可.重要重要积分积分公式公式2,00,0.inn 解解221 d , 1 . Czz Czzz 计计算算积积分分为为包包含含圆圆周周在在内内的的任任何何正正向向简简单单闭闭曲曲线线, 1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为

5、函数依题意知依题意知, xyo 1CC也也包包含含这这两两个个奇奇点点，例例4 412 C ,CC在在内内作作两两个个互互不不包包含含也也互互不不相相交交的的圆圆周周和和 , 0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 , 1 2 zC 只包含奇点只包含奇点根据复合闭路定理根据复合闭路定理,1C2C12:+则构成复围线CCC 挖奇点法挖奇点法xyo 1 1C2C221dCzzzz 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i Cauchy定理定理重要重要公式公式Cauchy定理定理重要重要公式公式注1：此法也称“挖奇点”法。注2：

6、较复杂的函数积分通过分解化为较简单的函数的积分来计算。C1C2C012| | 531zzdzzz例 计算22 002 26iii 212311101.145zzzzzCzCz解：函数有两个奇点：及作:| |与:|21222131313CCCdzzzzdzzzzdzzzz则221111211121CCCCdzzdzzdzzdzz2 Cauchy2 Cauchy公式公式新课新课0000( ): :| z-z | ( ).Cf zCzf z dz 设设在在以以圆圆（ ，）为为边边界界的的闭闭圆圆盘盘上上解解析析. .由由柯柯西西定定理理知知：000( )f zzDzCzz 但但函函数数在在 处处不不

7、解解析析，所所以以在在 内内沿沿围围绕绕 的的一一条条封封闭闭曲曲线线 的的积积分分0( )Cf zdzzz 一一般般不不为为零零，那那它它又又为为多多少少呢呢？0z根根据据闭闭路路变变形形定定理理，这这个个积积分分沿沿着着任任何何一一条条围围绕绕 的的简简单单闭闭曲曲线线都都是是相相同同的的，000zzz 我我们们取取以以 为为中中心心，半半径径为为 的的很很小小的的圆圆周周（) )取取其其正正向向）作作为为积积分分( )( )Cf zCf z 曲曲线线 ，由由于于函函数数的的连连续续性性，在在 上上函函数数的的值值将将随随 的的缩缩小小00( )Cf zzdzzz 而而逐逐渐渐接接近近于于

8、它它的的圆圆心心 的的值值，从从而而可可以以猜猜想想：积积分分 的的值值也也将将随随 的的缩缩小小而而逐逐渐渐接接近近于于0000( )1()2()CCf zdzf zdzif zzzzz 一、问题的提出一、问题的提出0 0zC00( )f zzzz在 处不解析100( )( )CCf zf zdzdzzzzz 由闭路变形定理：1C2C3CnC200( )( )nCCf zf zdzdzzzzz( )f z由于函数的连续性,0( )(),f zf z00002()( )().CCf zf zdzdzif zzzzz 猜想：定理定理4.1001( ) ()d .2Cf zf zzizz 二、柯西

9、积分公式二、柯西积分公式( )f zC设函数在简单闭曲线 所围成的区域0DDDCzD内解析，在上连续， 为 内任意一点，则0zK , 0时时当当 zz . )()(0 zfzf, :)( , 00的内部的内部全在全在的正向圆周的正向圆周半径为半径为为中心为中心设以设以CRzzKRRz Czzzzfd)( 0则则 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(2000证证 , )( 0连续连续在在因为因为zzf, 0 则则, 0)( 0zKR Kzzzzfzfd)()(00 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR上不等式表明

10、上不等式表明, 只要只要 足够小足够小, 左端积分的模就可以任左端积分的模就可以任意小意小.证毕证毕 Czzzzfizfd)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明: :(1) 把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示内部任一点的值用它在边界上的值表示. (这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3

11、) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值., 0 ieRzzC 是圆周是圆周如果如果.d)(21)(2000 ieRzfzf例例 1 1解解 44.d3211)2( ;dsin(1) zzzzzzzz求下列积分求下列积分 4dsin(1)zzzz , sin)( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zzf , 4 0内内位于位于 zz 4dsinzzzz; 0 由由Cauchy积分公式积分公式0sin2 zzi 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 例例 2 2 2.d1 zzzze计算积分计算

12、积分解解 , )( 在复平面内解析在复平面内解析zezf , 2 1内内位于位于 zz由由CauchyCauchy积分公式积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 例例 3 3.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 内解析内解析在在因为因为 izzf,0iz 由由CauchyCauchy积分公式积分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 课堂练习课堂练习.d)1( 32 zzzzze计算积分计算积分答案答案1, 1, 0 zzz有三个

13、奇点有三个奇点).2(d)1( 132 eeizzzezz问题：问题： 解析函数的导函数一定为解析函数？解析函数的导函数一定为解析函数？ 若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？ 观察下列等式观察下列等式 下面的定理给予了回答下面的定理给予了回答 三、解析函数的高阶导数三、解析函数的高阶导数定理定理6.16.1 解析函数解析函数f(z)的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数, ,它的它的n阶导数为阶导数为: :( )010!( )()d (1,2,)2()nnCnf zfzz nizz 其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线, 而且

14、它的内部全含于D.一个解析函数不仅有一阶导数一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数而且有各高阶导数, 它的值也可用它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续它的导数在这区间上是否连续也不一定也不一定,更不要说它有高阶导数存在了更不要说它有高阶导数存在了.说明三、解析函数的无穷次可微性三、解析函数的无穷次可微性( )1!( )( ),(1,2,).2()nnCnffzdniz证明：证明：1zDn 设设 为为 内内的的任

15、任意意一一点点，先先证证明明的的情情况况，即即21( )( ).2()Cffzdiz0()( )( )limzf zzf zfzz 根根据据导导数数定定义义：，由由柯柯西西积积分分公公式式得得：1( )( ),2Cff zdiz1( )()2Cff zzdizz01112( )lim( )Czfzfdi zzzz 012( )lim()()Czfdizzz 高阶导数公式高阶导数公式212( )()() ()Cfzzzdizzz 由由221122( )( )()() ()CCfzfddizizzz 设设后后一一个个积积分分为为 ，那那么么212( )() ()Czfdzzz 212( )()()

16、Cz fdszzz ( ),f zCCC因因为为在在 上上解解析析，所所以以 上上连连续续，故故在在 上上有有界界0( ).因因此此一一定定存存在在一一个个，使使Mf zM11,zdzd那么有，| |,2dzzzz 于是12|zzd3,()MLzLCd 所以为 之长00z 当时，从而有21( )( ),2()Cffzdiz.这这证证明明了了解解析析函函数数仍仍是是解解析析函函数数12dzCzzd设 为从 到曲线 各点的最短距离，并且取适当小，使满足，( )( )()( )kkfzzfzz 2211122()!( )()!( )()()kkCCkfkfddzizziz 102102()!( )(

17、).()kkCkfzfzdiz当当时时，有有 说明：（说明：（1 1）此公式可理解为把柯西公式）此公式可理解为把柯西公式 1( )( )2Cff zdizzn两两边边对对 求求 阶阶导导，右右边边在在积积分分号号内内求求导导，即即12( )!( )( )()nnCnffzdiz nk要完成定理的证明，只需应用数学归纳法，设时公式成立，1nk证明时也成立，即证明下式： Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)( .,)()(无无穷穷次次可可导导内内解解析析即即在在具具有有各各阶阶导导数数内内在在内内解解析析平平面面上上在在定定理理表表明明 DDzfDzzf一个解析函数的导数仍为解析函数

18、。一个解析函数的导数仍为解析函数。)(!2)()(:0)(10zfnidzzzzfnCn可计算积分用途不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, , 而在于而在于通过求导来通过求导来求积分求积分. .例例1 1解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225为正向圆周为正向圆周其中其中计算下列积分计算下列积分 , 1 )1(cos )1(5处不解析处不解析内内在在函数函数 zCzz , cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 Czzzd)1(cos5;125i 1)4()(cos

19、)!15(2 zzi , )1( )2(22处不解析处不解析内的内的在在函数函数izCzez 1C2Cxyo iCi , 1CiC为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周内以内以在在 , 2Ci为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周以以 , , )1( 2122围成的区域内解析围成的区域内解析在由在由则函数则函数CCCzez 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze1C2Cxyo iCi 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei 2d)1( 22Czzze同

20、理可得同理可得,2)1( iei Czzzed)1( 22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i例例2 2.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求积分求积分解解 , 1 )1(3在复平面内解析在复平面内解析函数函数 z , 2 10内内在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz131! 32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 12dcos)2(zzzzze , cos 在复平面内解析在复平面内解析函数函数zez , 1 00内内在

21、在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 例例5 5. )( , 0d)( , )( 内解析内解析在在证明证明都有都有内任何一条简单闭曲线内任何一条简单闭曲线且对于且对于内连续内连续在单连通域在单连通域设函数设函数BzfzzfCBBzfC (Morera定理定理)证证 , , 0内任意一点内任意一点为为内取定一点内取定一点在在BzzB依题意可知依题意可知 , d)(00的路线无关的路线无关和和的值与连接的值与连接zzfzz , d)()( 0 zzfzF 定义了一个单值函数定义了一个单值函数参照本章第四节定理二参照本章第四节定理二, 可证明可证明),()(zfzF , )( 内一个解析函数内一个解析函数是是所以所以BzF因为解析函数的导数仍为解析函数因为解析函数的导数仍为解析函数