工程电磁场(高等教育出版社,冯慈章主编).

1、第第 一一 章章静静 电电 场场1.7 1.7 镜像法与电轴法镜像法与电轴法Image Method and Electric Axis Method下 页上 页返 回镜像法与电轴法的基本思想镜像法与电轴法的基本思想 根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的复杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单复杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单分布电荷电场的问题。是一种间接计算方法。分布电荷电场的问题。是一种间接计算方法。1. 1. 点电荷对平面导体的镜像点电荷对平面导体的镜像场分布特点：场分布特点： 平面导体上产生负感应电荷平面

2、导体上产生负感应电荷 电场为两维子午平面场电场为两维子午平面场第第 一一 章章静静 电电 场场下 页上 页返 回边值问题边值问题0导板导板 SqSD d02 r04qr04 q上半空间的电位上半空间的电位导体平面上导体平面上040 rq方程相同，边界条件相同，解唯一。方程相同，边界条件相同，解唯一。感应电感应电荷产生荷产生的电位的电位第第 一一 章章静静 电电 场场上半场域的电位和电场上半场域的电位和电场201044rqrqp 下 页上 页返 回 - -q q 是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板上复杂分布的感应电荷的作用；上复杂分布的感应电荷的作用

3、；注意注意 镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外；镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外； 根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可作相应的镜像。作相应的镜像。pr1r22220121044rrperqerqE第第 一一 章章静静 电电 场场下 页上 页返 回q2q1q3q2q1q3-q2-q1-q3 - - 第第 一一 章章静静 电电 场场地面上感应电荷的总量为地面上感应电荷的总量为垂直地面的电场分量垂直地面的电场分量EEE204cos2rqE2/3220)(2xhqh2/3220)(2xhqhEDnpxxxhqhSSpd2)(2d02/32

4、2q试求空气中点电荷试求空气中点电荷q q 在地面引起的感应电荷分布。在地面引起的感应电荷分布。解解下 页上 页返 回例例应用镜像法，地面任意点应用镜像法，地面任意点 地面电荷分布第第 一一 章章静静 电电 场场镜像法小结镜像法小结 镜像法的理论依据是：镜像法的理论依据是： 镜像法的实质是：镜像法的实质是： 镜像法的关键是：镜像法的关键是：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。 用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电荷，使计算场域为无限大均匀媒质；荷，使计算场域为无限大均匀媒质；静电场唯一性定理；静电场唯一

5、性定理； 确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原场的边值确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原场的边值问题不变；问题不变； 应用镜像法解题时注意：应用镜像法解题时注意：下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场2. 2. 点电荷对球面导体的镜像点电荷对球面导体的镜像点电荷位于接地导体球外点电荷位于接地导体球外0球面r下 页上 页场分布特点：场分布特点： 球面上产生负感应电荷球面上产生负感应电荷 电场为两维子午平面场电场为两维子午平面场边值问题边值问题导体球外（导体球外（除除q q点）点）空间：空间：SqSD d02Sq球SD d第第 一一 章章静静 电电 场场0442010rqrqpc

6、os2cos222222221RbRbrRdRdr下 页上 页 确定镜像电荷的位置确定镜像电荷的位置 确定镜像电荷大小确定镜像电荷大小应用镜像法求解应用镜像法求解球面电位球面电位将 r1, r2 代入方程 ，得012rqrq镜像电荷放在求解的镜像电荷放在求解的场域外。场域外。第第 一一 章章静静 电电 场场0cos)(2)()(22222222bqdqRRdqRbq00)()(22222222bqdqRdqRbq联立求解得联立求解得qdRqdbqdRb2镜像电荷位置镜像电荷大小下 页上 页镜像电荷等于负感应电荷总量。镜像电荷等于负感应电荷总量。第第 一一 章章静静 电电 场场球外任一点球外任一

7、点P 的电位与电场为的电位与电场为201044rqrqp2122021044rrPrdqRrqeeE 球外的电场分布 球外的电场计算下 页上 页第第 一一 章章静静 电电 场场1.1.点电荷点电荷q q 对对不接地金属球的镜像。不接地金属球的镜像。 边值问题边值问题002SSSdD const球球 思路下 页上 页讨论导体球外（导体球外（除除q q点）点）空间：空间：第第 一一 章章静静 电电 场场则dRb qdRq2,)dd1(421222120rrrrRrRrqeeeE任一点电位任一点电位通量为零通量为零（ 大小相等）大小相等） - , qq球面等位（球面等位（ 位于球心）位于球心） q下

8、 页上 页导体球零电位导体球零电位10200444rrr qqqp球面电位球面电位dqRq0044 任一点场强任一点场强第第 一一 章章静静 电电 场场 点电荷位于不接地导体球附近的场图下 页上 页讨论2.2.点电荷点电荷q q 对对带有电荷带有电荷Q的金属球的镜像。的金属球的镜像。 第第 一一 章章静静 电电 场场下 页上 页 边值问题边值问题QSdD constSS 02思路导体球外（导体球外（除除q q点）点）空间：空间：+Q第第 一一 章章静静 电电 场场讨论下 页上 页3.3.点电荷点电荷q q 对对带有电压带有电压U0的金属球的镜像。的金属球的镜像。 边值问题边值问题QSdD US

9、S020 思路导体球外（导体球外（除除q q点）点）空间：空间：+QR4Q U0S qQRU4Q0第第 一一 章章静静 电电 场场讨论下 页上 页4.4.点电荷点电荷q q 在不在不带电的金属球壳内的镜像。带电的金属球壳内的镜像。 边值问题边值问题qSdD constSS 02思路导体球内（导体球内（除除q q点）点）空间：空间：R4qS q- -qb bd dqdRqdRb2第第 一一 章章静静 电电 场场3. 3. 点电荷对不同介质分界面的镜像点电荷对不同介质分界面的镜像下 页上 页 边值问题边值问题qSdDS002 上半空间（上半空间（除除q q点）点）：下半空间：下半空间：0002Sd

10、SD 分界面：分界面：ttEE21nnDD21第第 一一 章章静静 电电 场场ttEE21nnDD21cos4 cos4cos4222121rqrqrq解得解得sin4 sin4sin4222rqrqrq下 页上 页保证方程不变保证方程不变边界条件：边界条件：qq2121qq2122 第第 一一 章章静静 电电 场场 电场分布图 1 1中的电场由中的电场由q q 与与q q共同产生，共同产生，q q等等效替代效替代极化电荷的影响。极化电荷的影响。 2 2中的电场由中的电场由 q q” ” 决定，决定，q q” ” 等效替代自由电荷等效替代自由电荷与极化电荷的作用。与极化电荷的作用。 注意下 页

11、上 页第第 一一 章章静静 电电 场场4.4.电轴法电轴法（Electric Axis Method）问题下 页上 页 长直平行双传输线 在传输线系统中，导线之间的在传输线系统中，导线之间的静电感应作用使导线表面的电荷分静电感应作用使导线表面的电荷分布不均匀，直接求解电场分布很困布不均匀，直接求解电场分布很困难。难。边值问题导线以外的空间导线以外的空间02 BSASSdDSdD constconst导体导体BA 第第 一一 章章静静 电电 场场下 页上 页应用镜像法求解应用镜像法求解镜像电荷镜像电荷长直带电细导线替代感应电荷的作用长直带电细导线替代感应电荷的作用镜像电荷的位置镜像电荷的位置电轴

12、法电轴法第第 一一 章章静静 电电 场场 两根细导线产生的电位两根细导线产生的电位11001221CdQ lnCP120212 ln22022C ln下 页上 页 eE02细导线产生的电场细导线产生的电场第第 一一 章章静静 电电 场场以以 y 轴为参考电位轴为参考电位2222012022ybxybxP)()(lnln 令：令： 常数，等位线方程常数，等位线方程P22222Kybxybx)()(CP120212 ln下 页上 页返 回2222221211)()(KbKybKKx圆的方程圆的方程第第 一一 章章静静 电电 场场K 取不同值时，得到一族等电位圆。取不同值时，得到一族等电位圆。 K1

13、01122ybKKhx,圆心坐标圆心坐标圆半径圆半径122KbKa下 页上 页返 回2222221211)()(KbKybKKx hb右半平面右半平面。左半平面左半平面。10 Khb a0 a0第第 一一 章章静静 电电 场场a、h、b满足关系满足关系2222222221112hbKKbKbKba)()(01122ybKKhx,圆心坐标圆心坐标圆半径圆半径122KbKa222hba下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场)(21 eeEP210112( ( 以以 y 轴为参考电位轴为参考电位) )例例b) 圆柱导线间的电场与电位圆柱导线间的电场与电位 解解a) 计算计算电轴位置电轴位

14、置1202 lnp22ahb下 页上 页返 回试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。第第 一一 章章静静 电电 场场xyEExydd42212212KbKyx)(E 线方程线方程下 页上 页返 回22221202yxbyxbplnln 根据根据E得到得到 Ex 和和 Ey 分量分量第第 一一 章章静静 电电 场场下 页上 页返 回小结电轴法的理论基础是场的唯一性定理；电轴法的理论基础是场的唯一性定理；电轴法的实质是用电轴上的线电荷替代圆电轴法的实质是用电轴上的线电荷替代圆柱上的不均匀分布电荷的作用；柱上的不均匀分布电荷的作用；电轴法用以解决一系列平

15、行圆柱的电场电轴法用以解决一系列平行圆柱的电场注意有效区域及电位的参考点注意有效区域及电位的参考点第第 一一 章章静静 电电 场场 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。daadhdaadh22212222222121下 页上 页返 回例例解解dhhbahbah122222222121Cp1202 ln第第 一一 章章静静 电电 场场已知平行传输线之间电压为已知平行传输线之间电压为U0, 试求电位分布。试求电位分布。222adb)()()(ln)()(lnahbahbahbahbU002 hdahb22221202 ln1202 ln)()(lna

16、hbahbU设电轴线电荷设电轴线电荷 ，任一点电位，任一点电位下 页上 页返 回例例解解计算计算电轴位置电轴位置第第 一一 章章静静 电电 场场1.1.两导体的电容两导体的电容Capacitance and Distributed Capacitance1.8 1.8 电容和部分电容电容和部分电容 UQC 定义：定义：F , F，Fp单位：下 页上 页返 回 线性系统中，带有等量异号电荷的两导体，其线性系统中，带有等量异号电荷的两导体，其电位差与电荷成正比，这个比值系数定义为两导体电位差与电荷成正比，这个比值系数定义为两导体的电容。的电容。-QQU+ +- -第第 一一 章章静静 电电 场场电

17、力电容下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场电力电容下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场2.2.两导体电容的计算两导体电容的计算dlEdSEdlEdSDUQC 电容的计算是电场的计算电容的计算是电场的计算 给出了计算电容的方式：给出了计算电容的方式：UQCUQl d lEE设设下 页上 页返 回说明UQC dSDQD E Us或设或设第第 一一 章章静静 电电 场场忽略边缘效应忽略边缘效应ablqddEUbabaln22 dSEdESEdSUqC0 试求平板电容器的电容。试求平板电容器的电容。下 页上 页返 回例例解解ablUqC0ln2 试求长圆柱形电容器的电容。试

18、求长圆柱形电容器的电容。例例解解b ba a设内导体的电荷密度为设内导体的电荷密度为 ，则，则第第 一一 章章静静 电电 场场设内导体的电荷为设内导体的电荷为 q q ，则，则qSdSDrrrqrqeEeD2024,4)(baqrdEUba1140 同心球壳间的电压同心球壳间的电压ababUqC04 球形电容器的电容球形电容器的电容 试求同心球壳电容器的电容。试求同心球壳电容器的电容。下 页上 页返 回同心球壳电容器例例解解第第 一一 章章静静 电电 场场ababUqC041 1）当）当 时时b孤立导体球的电容孤立导体球的电容下 页上 页返 回讨论aqUqC04 2 2）当）当 时时0dabd

19、SdaababUqC020044 平板电容器的电容平板电容器的电容第第 一一 章章静静 电电 场场设设da，电轴与几何轴线重合，电轴与几何轴线重合aadUln021 aadUCln00 试求两线传输线之间的电容。试求两线传输线之间的电容。下 页上 页返 回例例解解aadln012 adaln022 注意 电容只与两导体的几何尺寸、相互电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。位置及周围的介质有关。第第 一一 章章静静 电电 场场3. 3. 部分（分布）电容部分（分布）电容（Distributed Capacitance) 三导体静电独立系统下 页上 页返 回 对于多导体系统，每两个导

20、体上的电压受到所有导体对于多导体系统，每两个导体上的电压受到所有导体上电荷的影响，这时系统中导体电荷与导体电压的关系不上电荷的影响，这时系统中导体电荷与导体电压的关系不能仅用一个电容来表示而需引入部分电容的概念。能仅用一个电容来表示而需引入部分电容的概念。第第 一一 章章静静 电电 场场多导体系统多导体系统静电独立系统静电独立系统线性系统线性系统讨论前提讨论前提下 页上 页返 回2n 0qN个导体的系统，各导体的电位个导体的系统，各导体的电位N1jjijiqa 电位系数电位系数3222110010qaqaqaqa 3322110020qbqbqbqb 3322110030qcqcqcqc l

21、电位系数电位系数第第 一一 章章静静 电电 场场31321211110qaqq32322212120qaqq33323213130qaqaqa下 页上 页返 回 q 矩阵形式矩阵形式 i , i 自有电位系数，表明导体自有电位系数，表明导体 i 上电荷对上电荷对自身自身 电位的贡献电位的贡献 i , j 互有电位系数，表示导体互有电位系数，表示导体j 上的电荷对上的电荷对导体导体i电位的贡献电位的贡献 )(jkqqakjiij0 电位系数的计算电位系数的计算)(321qqqq0第第 一一 章章静静 电电 场场下 页上 页返 回电位系数性质 电位系数均为正数；电位系数均为正数； 电位系数仅于导体

22、的几何形状、相互位置及电位系数仅于导体的几何形状、相互位置及介质分布有关；介质分布有关； 电位系数满足互易性；电位系数满足互易性； 自有自有电位系数大于互有电位系数；电位系数大于互有电位系数；第第 一一 章章静静 电电 场场333232131332322212123132121111 qqq 1q下 页上 页返 回 q i,i 自有感应系数，表示导体自有感应系数，表示导体 i 电位对自身电荷的贡献电位对自身电荷的贡献 i,j 互有感应系数，表示导体互有感应系数，表示导体 j 电位对导体电位对导体 i 电荷的贡献电荷的贡献l 感应系数感应系数感应系数感应系数第第 一一 章章静静 电电 场场下 页

23、上 页返 回)(jkqkjiij0 感应系数的计算感应系数的计算 自感应系数为正数；因自感应系数为正数；因 i 与与 qi 同号同号 感应系数仅于导体的几何形状、相互位置及感应系数仅于导体的几何形状、相互位置及介质分布有关介质分布有关, ,且满足互易性；且满足互易性； 互感应系数总是负值，因互感应系数总是负值，因+ + 总是在其他导体上总是在其他导体上产生负电荷产生负电荷； 自有自有感应系数大于与其相关的互有感应系数绝感应系数大于与其相关的互有感应系数绝对值；对值；ijii 01niij感应系数性质第第 一一 章章静静 电电 场场下 页上 页返 回3132121111 q）（）31132112

24、1131211 ()(131312121010UCUCUCl 部分电容部分电容第第 一一 章章静静 电电 场场2323202021212UCUCUCq3030323231313UCUCUCq U Cq 矩阵形式矩阵形式部分电容的性质部分电容的性质 静电独立系统中静电独立系统中n1个导体有个导体有 个部分电容个部分电容21)(nn下 页上 页返 回 部分电容均为正值；部分电容均为正值；第第 一一 章章静静 电电 场场 部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力线相连；部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力线相连； 部分电容可将场的概念与电路结合起来。部分电容可将场的概念与电路结合起来。下 页

25、上 页返 回 部分电容与电容网络结论第第 一一 章章静静 电电 场场试计算考虑大地影响时，两线传输线的部分电容及试计算考虑大地影响时，两线传输线的部分电容及等效电容。已知等效电容。已知da, 且且ah。3212221)()(nn21122010CCCC, 部分电容个数部分电容个数由对称性，得由对称性，得2201221221121101)()(CCCC(1)下 页上 页返 回例例解解第第 一一 章章静静 电电 场场电容与带电量无关，故电容与带电量无关，故, 0, 121则则ddhah2202014ln212ln21利用镜像法，两导体的电位利用镜像法，两导体的电位)( ,lnadrr1202 21

26、012122112110)(0)(1CCCC(2)下 页上 页返 回 两线输电线对大地的镜像第第 一一 章章静静 电电 场场联立解得联立解得两线间的等效电容：两线间的等效电容：)42ln(22202010201012dhddhCCCCCCeaddhhC2201042ln2222222012)4(ln)2(ln4ln2ddhahddhCddhChddhaCdhahdCahC2201022012220120104ln2124ln21042ln212ln211下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场202021212121210101UCUCqUCUCq所以所以2020210101 UCq

27、UCq，静电屏蔽在静电屏蔽在工程上有广泛应用工程上有广泛应用。 静电屏蔽 三导体系统的方程为：三导体系统的方程为： 4. 4. 静电屏蔽静电屏蔽当当 时，时，01q01212UC02112CC;010U 说明说明 1 1 号与号与 2 2 号导体之号导体之间无静电联系，实现了静电屏蔽。间无静电联系，实现了静电屏蔽。下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场1.9 1.9 静电能量与力静电能量与力1. 静电能量静电能量 (Electrostatic Energy)Electrostatic Energy and Force 用场源表示静电能量用场源表示静电能量下 页上 页返 回 电磁场是

28、一种特殊形式的物质，能量是物质的电磁场是一种特殊形式的物质，能量是物质的属性之一。电场能量是在建立电场过程中从与各导属性之一。电场能量是在建立电场过程中从与各导体相连接的电源中取得的，因此电场储能是外力做体相连接的电源中取得的，因此电场储能是外力做功形成的。功形成的。讨论前提讨论前提a)a) 线性系统；线性系统；b)b) 电场建立无限缓慢，忽略能量的辐射；电场建立无限缓慢，忽略能量的辐射；c)c) 没有动能，只考虑位能。没有动能，只考虑位能。第第 一一 章章静静 电电 场场VdmmqdWd VVdVdVmdmW 2110下 页上 页返 回 tt 000)(10m m )(10m m dmd 电

29、荷增量电荷增量Vdmdq 设设将将dq电荷电荷移至电场中外源做功移至电场中外源做功第第 一一 章章静静 电电 场场推广推广2 2： 若是带电若是带电导体导体系统，静电能量为系统，静电能量为iniiniSiiSqdSdSW 11212121推广推广1 1 ：若是连续分布的电荷，若是连续分布的电荷， lSVqd ,d ,ddVlS dldSdW212121V下 页上 页返 回VdVW 21注意上式建立在静电场是位场的基础上，只适用上式建立在静电场是位场的基础上，只适用于静电场。于静电场。第第 一一 章章静静 电电 场场推广推广3 3： 若是若是 n 个点电荷的系统，静电能量为个点电荷的系统，静电能

30、量为iniiqW121下 页上 页返 回只含互有能只含互有能固有能和相互作用能固有能和相互作用能固有能固有能把某一区域的电荷从无穷远聚拢到把某一区域的电荷从无穷远聚拢到给定分布所需的功。给定分布所需的功。互有能互有能把各区域的电荷放置到各自给定位把各区域的电荷放置到各自给定位置所需的功。置所需的功。第第 一一 章章静静 电电 场场设空间有两个电荷分布区设空间有两个电荷分布区下 页上 页返 回 说明要把一定量的电荷压缩到几何上的一个说明要把一定量的电荷压缩到几何上的一个点需要克服无穷大的斥力，需要作无穷大的功。点需要克服无穷大的斥力，需要作无穷大的功。同理，线电荷的固有能也为无穷大。对点、线电同

31、理，线电荷的固有能也为无穷大。对点、线电荷只研究互有能。荷只研究互有能。点电荷点电荷q qV1 1V2 2 2102121iViiiiVi)dV(dVW 2102121iVViiiiiiidVdV 0iiiWW 当当0iVi iiiW 第第 一一 章章静静 电电 场场 半径为半径为a a的球面带电荷的球面带电荷Q，球心放一点电荷球心放一点电荷q，求静电求静电能量。能量。互互固固WWW总a4Qar0 )(a4qQ0 aQ0124 球面电荷的固有能球面电荷的固有能21122121 QqW互互下 页上 页返 回例例解解 qa8QdSdSW02SS 221固固Q在在球面产生的电位球面产生的电位Q在在球

32、心建立的电位球心建立的电位aq 0214 q q在在球面产生的电位球面产生的电位把点电荷从把点电荷从 移至球面移至球面电荷中心所电荷中心所需作的功需作的功第第 一一 章章静静 电电 场场下 页上 页返 回 用场量表示静电能量用场量表示静电能量能量能量VVd21DVVWd21 DDD)()（矢量衡等式矢量衡等式VVVVWd d) (21DDVSVd21d21EDSDVSdSdW2121V若用公式计算若用公式计算第第 一一 章章静静 电电 场场J dEDWVV21定义能量密度定义能量密度3 J/mEDw21下 页上 页返 回各向同性均匀媒质各向同性均匀媒质DEw222121适用适用于静于静电场电场

33、和时和时变场变场VdEDSdDWVS2121 因因 当时，面积分为零，故当时，面积分为零，故,1 3rDr,2rs第第 一一 章章静静 电电 场场 半径为半径为a a的球面带面电荷的球面带面电荷Q，球心放一点电荷球心放一点电荷q，求静求静电能量。电能量。aQ)(qaq02024421下 页上 页返 回例例解解 qadrrrq022200442VVdVEdEDW20221VadrrrQq22200442aQqa8Q0024点电荷的固有能点电荷的固有能第第 一一 章章静静 电电 场场)qq(qWKKKe2211212121 221CU下 页上 页返 回 试求平板电容器的静电能量。试求平板电容器的静

34、电能量。例例 平行板电容器解解带电带电导体导体系统系统qUqq212121)( 电容能量电容能量的计算式的计算式EDESdqUVWwe212121第第 一一 章章静静 电电 场场 试求真空中体电荷密度为试求真空中体电荷密度为 的介质球产生的静电能量。的介质球产生的静电能量。rrErrVd421d4212122202021 aaVeEdEDWarraarrrreeE20333）（05215192a由场量求静电能量由场量求静电能量下 页上 页返 回例例解一解一第第 一一 章章静静 电电 场场 由场源求静电能量由场源求静电能量球内任一点的电位球内任一点的电位)22(3 d43/4d43/402222

35、0323ararrarrraar)(05215192 a dWVV21下 页上 页返 回解二解二rrrdaaWa2022202422321 )(第第 一一 章章静静 电电 场场 原子可看成由带正电荷原子可看成由带正电荷q的原子核被体电荷分布的负的原子核被体电荷分布的负电荷云电荷云-q包围，试求原子结合能。包围，试求原子结合能。体点总WWW520体154aW0202202)3(2)0(arar2002483234aqaaq20283aq)0(qW点前例前例中当中当 时时 ， 0aqaqaW0202520总40983154下 页上 页返 回 原子结构模型例例解解第第 一一 章章静静 电电 场场2.

36、2.静电力静电力 (Electrostatic Force)下 页上 页返 回1 1） 根据电场定义计算静电力根据电场定义计算静电力Edqfd Edqf注意上式使用的条件 只适用于均匀介质只适用于均匀介质 式中的电场式中的电场E不包括不包括dq本身的贡献本身的贡献矢量积分矢量积分第第 一一 章章静静 电电 场场 多导体系统 ( K 打开 )虚位移法虚位移法下 页上 页返 回2 2） 根据电场能量计算静电力根据电场能量计算静电力 在多导体系统中，导体在多导体系统中，导体p发生位移发生位移dg后后, ,系统发生的功系统发生的功能过程为：能过程为：外源提供能量 = 静电能量增量 + 电场力所作功gd

37、fWdWde 常电荷系统（常电荷系统（K打开）打开）gdfWde0eWdgdf第第 一一 章章静静 电电 场场 取消外源后，电场力做功必须靠减少电场取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。中静电能量来实现。.cunstqekgWf下 页上 页返 回表明 常电位系统（常电位系统（K 闭合）闭合） 多导体系统( K 闭合 )pkkqdWd 外源提供能量的增量外源提供能量的增量第第 一一 章章静静 电电 场场 外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。另一半用于电场力做功。constekgWf 下 页上 页返 回gdfqdqd

38、kkkk 21表明ekkWddqgdf 21注意 dg广义坐标：距离、面积、体积、角度。距离、面积、体积、角度。第第 一一 章章静静 电电 场场广义力广义坐标 =功 广义坐标 距 离 面 积 体 积 角 度 广义力 机械力 表面张力 压强 转矩 单 位 N N/m N/m2 N m f广义力：企图改变某一个广义坐标的力。企图改变某一个广义坐标的力。下 页上 页返 回满足满足对应关系：对应关系： 广义力是代数量广义力是代数量 ，根据，根据 f 的的“”号判断力的号判断力的方向。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。方向。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。第第 一一 章章静静 电电 场场常电位系统

39、cedWf0222022dSUdCU221CUWedSC0试求图示平行板电容器两极板间的电场力。试求图示平行板电容器两极板间的电场力。平行板电容器取取d 为广义坐标（相对位置坐标）为广义坐标（相对位置坐标） 负号表示电场力的方向企图使负号表示电场力的方向企图使 广义坐标广义坐标d 减小，即电容增大。减小，即电容增大。下 页上 页返 回例例解一解一第第 一一 章章静静 电电 场场常电荷系统SdqCqCUWe022222121 0202SqdWfcq 当满足所设条件，两种计算结果相同当满足所设条件，两种计算结果相同2200220022222dUSESSDS 下 页上 页返 回解二解二第第 一一 章

40、章静静 电电 场场 图示一球形薄膜带电表面，半径为图示一球形薄膜带电表面，半径为a ，其上带电荷为，其上带电荷为q，试求薄膜单位面积所受的电场力。试求薄膜单位面积所受的电场力。 取体积为广义坐标取体积为广义坐标CqWe221aC04)34(3aWVWfecqe)412(4022aqaaf 的方向是广义坐标的方向是广义坐标V V 增加的方向，表现为膨胀力。增加的方向，表现为膨胀力。0324022aqN/m2下 页上 页返 回 球形薄膜例例解解第第 一一 章章静静 电电 场场下 页上 页返 回根据库仑定律，点电荷根据库仑定律，点电荷q q处的电场处的电场应用虚位移法应用虚位移法图示为半径为图示为半径为R、接电压、接电压U0的导体球位于点电荷的导体球位于点电荷q的电的电场中场中，试求导体球所受的电场力。，试求导体球所受的电场力。 应用镜像法应用镜像法例例解解2200044)(bdqdRU1E004URQ Q2220204)(RdqdRdqRUqEf2kkeqW 21)(qdRRUU0