平面向量数量积的物理背景及其含义杨冬梅

1、平面向量数量积的物平面向量数量积的物理背景及其含义理背景及其含义杨冬梅 阳谷县第三中学如果一个物体在力 作用下产生位移 ，那么所做的功为:表示力 的方向与位移 的方向的夹角。位移SOA问题情境FFSFSFFScos|SFW 学习目标：1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、理解平面向量数量积的几何意义，掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算和判断；下面请同学们阅读课本并思考如下问题：阅读课本103104页并思考如下问题：1、平面向量数量积如何定义？2、平面向量数量积是向量吗？平面向量的投影是向量吗？3、平面向量的数量积有什么样的几何意义？合作探究已知两个非零向

2、量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量叫做向量 与 的数量积（或内积),记作，即 . 并规定 acos|baba00acos|ba思考1：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法结果有什么本质区别？向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）.abbba 1、数量积的定义方向的投影；在叫做向量abbcos|.acos|方向的投影在叫做向量ba2、投影的定义cos|babaO1BBab数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 COSCOS的积 的几何意义：3、向量数量积的几何意义ObabaaababbaBcos|baba1B例题讲解 巩固知识例1 已知.120, 4|

3、, 5|bababa，求的夹角与解：120cos|baba10)21(45120cos45练习1、.135,90,45e6,|eaeaa时，求分别等于之间的夹角、为单位向量，当已知;2345ea时，当;090ea时，当;23-135ea时，当小试牛刀思考2：向量的数量积是一个数量，那么它 什么 时 候 为 正？ 什么时候为负？零呢？;0900ba时，当;090ba时，当;018090ba时，当.ba 此时.0)1(,bababa，则设非零向量共线时呢？与当ba|;|)2(bababa同向时，与当|;|-bababa反向时，与当.|2aaaaaa或特别的，的大小关系。与|)3(baba 思考：思

4、考：. |)3(baba4、数量积的性质;)1(abba);()()(2(bababa.)(3(cbcacba5、向量数量积的运算律分配律：分配律：()abca cb c 解析：解析：1111BAOAOB即证cbcacba )(要证要证A1B1AaBbab+CcO分配律证明：分配律证明：B1AaBbab+A1OCc21cos|cos|cos|b b| |a ab ba a即即上式两边同时乘以上式两边同时乘以 ，得，得| |c c| |c cb bc ca ac c) )b ba a( (任取点任取点O，作，作OBba，则c cOCOC, ,b bABAB, ,a aOAOA, ,B B, ,A

5、 A上上的的射射影影为为O O, ,c cB B在在向向量量A A, ,设设O O, ,1 11 1,1OAc方向上的投影在则向量O OA A,11BAc方向上的投影在则向量A AB B,1OBcOB方向上的投影在则向量1111BAOAOB又恒有、我们知道，对任意的例,2Rba.)()(2(;2)(1 (22222babababbaaba论？是否也有下面类似的结对任意向量,ba.)(2)(22222babababababa，例题讲解 巩固知识)()()(1 (2babababbabbaaa;222bbaabbabbaaababa)()(2(;-22ba解：因此，结论成立。例3 已知).3()2

6、(60, 4| , 6|babababa求，的夹角为与bbbaaababa6)3()2(解：724660cos466|660cos| 6|222222bbaabbaa例4 已知., 4| , 3|互相垂直与向量为何值时，不共线，与且bkabkakbaba解：0)()(bkabkabkabka互相垂直的条件是与向量022 bka即.43. 0169,164, 9322222kkba.43互相垂直与时，也就是说，当bkabkak（1）（2 2）（3） （4） （5） （6） 反馈练习:判断正误向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的cos|baba0,0baba有，则对任意向量0,0

7、baba有，则对任意非零向量若000bbaa，则，且若000baba或，则若22|,aaa有对任意向量., 0cbcabaa则且若小结 本节课你有什么收获？作业布置P1081，2，6，7谢谢大家！谢谢大家！ COSCOS叫做向量 在向量 上的投影。1B)(1B1B思考3：在下列各图中作出 COSCOS的几何图形，并说明它的几何意义是什么？OABOABAO过 的终点B作 的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得 =COS1BB1B1OB投影是向量吗投影是一个数值（实数），当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值。018090BbbbaaabOAabbbba时 COS时 COS时 COS0b

8、bbbb1、向量的夹角 已知两个非零向量 和 ，在平面上任取一点O，作 则 叫做向量 与 的夹角 )1800(AOB 指出下列图中两向量的夹角AOABBBB.AAOOO.2）4）3）1）abab, bOBaOA ， COSCOS叫做向量 在向量 上的投影。1B)(1B1B思考3：在下列各图中作出 COSCOS的几何图形，并说明它的几何意义是什么？OABOABAO过 的终点B作 所在直线的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得1BB1B投影是向量吗BbbbaaabOAbbbacos|1bOB 作业5已知 中a a5，b b8 ，C60，求BCCA解：BCCA a ab b=a ab bCOS

9、COS(180- 60) =5 8 cos 120 =-20ABCACB60120 a ab bDcos|baba1800或ab=aab bCOSCOS证明向量数量积性质4(4) a ab b aab b因为a ab=ab=ab bCOSCOS 所以a ab =ab =ab bCOSCOS又又COSCOS1 1所以 a ab b aab b思考：在什么情况下取等号？返回练习ab=aab bCOSCOS反馈练习（2）若a 0a 0，则对任意非零向量b b，有a a b b 0吗？分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角时a ab=b=090返回练习总结提炼总结提炼（1 1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义、性质及其运算律几何意义、性质及其运算律（2 2）向量的数量积的物理模型是力做功）向量的数量积的物理模型是力做功（3 3） 的结果是一个实数（标量）的结果是一个实数（标量）（4