第七讲 直线回归与相关分析

1、060120180施氮量施氮量(kg N/ha)2468植物的生长量植物的生长量判断试验效应的真实性判断试验效应的真实性, , 分析现象间的关系：分析现象间的关系：一个变量的变化受另一个或几个变量的影响，如一个变量的变化受另一个或几个变量的影响，如病虫害发生时期受温度的影响，小麦单位面积产量受单位面积病虫害发生时期受温度的影响，小麦单位面积产量受单位面积穗数、每穗粒数、千粒重的影响。穗数、每穗粒数、千粒重的影响。即两个变量相互影响，互为因果，如小麦每穗粒即两个变量相互影响，互为因果，如小麦每穗粒数与千粒重之间的关系，株高与穗长之间的关系等。数与千粒重之间的关系，株高与穗长之间的关系等。研究因果

2、关系的相关变量间的关系。研究因果关系的相关变量间的关系。一元回归分析，多元回归分析，线性回归分析，非线性回归分析等。一元回归分析，多元回归分析，线性回归分析，非线性回归分析等。建立建立 相关变量间的回归方程，由自变量来预测、控制依变量。相关变量间的回归方程，由自变量来预测、控制依变量。回归设计广泛应用于化工、钢铁、机械、制药、农业等诸多领域。回归设计广泛应用于化工、钢铁、机械、制药、农业等诸多领域。研究平行关系的相关变量间的关系。研究平行关系的相关变量间的关系。直线相关分析（简单相关分析）、复相关分析、偏相关分析。直线相关分析（简单相关分析）、复相关分析、偏相关分析。不区分自变量、依变量不区分

3、自变量、依变量。总体：总体：yi + xi + i a 称为回归截距（称为回归截距（regression interceptregression intercept） b 称为回归系数（称为回归系数（regression coefficientregression coefficient）i 称为随机误差（称为随机误差（random errorrandom error）样本：样本：yi a + b xi + i回归方程：回归方程： a + b xy 在在x x、y y直角坐标平面上可以作出无数条直线，而直角坐标平面上可以作出无数条直线，而。bxayxbynxbnya-b =SPxy/SSx()

4、()xySPxxyy-离均差的乘积和：2()xSSxx-离均差平方和：v (1)作散点图（作散点图（scatter plot/diagram），判断直线性；），判断直线性；v (2)令令 ，计算回归系数，计算回归系数b和回归截距和回归截距a；v (3)以求得的以求得的a和和b值代入所令方程值代入所令方程 即得线性回归方程。即得线性回归方程。bxaybxay依变量依变量y 的波动（总变异）：的波动（总变异）：2()ySSyy-y与与x间直线关系引起的变异间直线关系引起的变异（回归平方和）：（回归平方和）：2()RSSyy-直线关系以外的原因引起的变直线关系以外的原因引起的变异（离回归平方和）：异

5、（离回归平方和）：2()rSSyy-yRrSSSSSSvF 检验：检验：2222()()()yxyRxrySSyySPSSyySSSSyy-的总平方和：回归平方和：离回归平方和：112yRrydfndfdfn-的总自由度：回归自由度：离回归自由方式：yRrSSSSSSyRrdfdfdfRrRrRrSSSSMSMSdfdf回归均方，离回归均方RyMSFMSvt 检验：检验：2/2xbyxxyyxyxSStb sbsSPSSSSsn -其中离回归标准误2dfn-自由度0:0,:0tHHA回归系数 的 检验：某地某地19911999年年3月下旬至月下旬至4月中旬平均温度累积值月中旬平均温度累积值（x

6、，单位：旬，单位：旬.度）和一代三化螟盛发期（度）和一代三化螟盛发期（y，以，以5月月10日为日为0）的资料如）的资料如表所示。建立一代三化螟盛发期表所示。建立一代三化螟盛发期y与与3月下旬至月下旬至4月中旬平均温度累积值月中旬平均温度累积值x的的直线回归方程。直线回归方程。年份年份199119921993199419951996199719981999积温积温x35.534.131.740.336.840.231.739.244.2盛发期盛发期y12169273139-1bxay()()159.0444xySPxx yy- -乘积和：2()144.6356xSSxx-离均差平方和：/37.0

7、778xx n/7.7778yy n/1.0996xyxbSPSS -48.5485aybx-48.5485 1.0996yx-回归方程的显著性还有待检验。回归方程的显著性还有待检验。174.8886/1=16.4074.6670/7RrMSFMSv F 检验：（步骤简略）检验：（步骤简略） 查查F 值表，得值表，得F0.01(1, 7)=12.25F，p0.01，表明一代三化螟盛发，表明一代三化螟盛发期期y与积温与积温x间存在极显著的直线关系。间存在极显著的直线关系。222()249.5556174.8886() =74.6670yxyRxrSSyySPSSSSSSyy-总平方和：回归平方和

8、：离回归/残差平方和：18127yRrydfndfdfn- -的总自由度：回归自由度：离回归自由方式：v t 检验：（步骤简略）检验：（步骤简略）=4.0527bbtdfns -， 查查t 值表，得值表，得t 0.01(7)=3.50 |t|，p0.01，表明一代三化螟盛发期，表明一代三化螟盛发期y与积温与积温x间存在极显著的直线关系。间存在极显著的直线关系。v 输入输入v 输出输出某地某地19911999年年3月下旬至月下旬至4月中旬平均温度累积值月中旬平均温度累积值（x，单位：旬，单位：旬.度）和一代三化螟盛发期（度）和一代三化螟盛发期（y，以，以5月月10日为日为0）的资料如）的资料如表

9、所示。建立一代三化螟盛发期表所示。建立一代三化螟盛发期y与与3月下旬至月下旬至4月中旬平均温度累积值月中旬平均温度累积值x的直线回归方程。的直线回归方程。年份年份199119921993199419951996199719981999积温积温x35.534.131.740.336.840.231.739.244.2盛发期盛发期y12169273139-1采用碘量法测定还原糖，用采用碘量法测定还原糖，用0.05 mol/L硫代硫酸硫代硫酸钠滴定标准葡萄糖溶液，记录耗用硫代硫酸钠体积数（钠滴定标准葡萄糖溶液，记录耗用硫代硫酸钠体积数（mL），得到），得到如下数据，试求如下数据，试求y对对x的线性回

10、归方程。的线性回归方程。硫代硫酸钠体积（硫代硫酸钠体积（x）/mL0.92.43.54.76.07.49.2葡萄糖体积（葡萄糖体积（y）/mg.mL-12468101214 根据根据x、y的实际观测值计算表示两个相关变量的实际观测值计算表示两个相关变量x与与y直线相关程度和性质的统计量直线相关程度和性质的统计量，并进行假设检验。并进行假设检验。2222/() /()/()xyxyRyyyySPSSSS-回归平方和 总平方和/xyxyRSPSS SS0R2 1，-1 R 1正相关，负相关正相关，负相关 R 是样本相关系数，是双变量正态总体的总体相是样本相关系数，是双变量正态总体的总体相关系数的估

11、计值。关系数的估计值。22212(1)=/(2)12RRRF Rssndfdfn-，相关系数标准误，v F 检验：检验：v t 检验：检验：=2rRtdfns-，研究某小麦品种的单株有效穗数（研究某小麦品种的单株有效穗数（x）与单株籽粒）与单株籽粒产量（产量（y, 单位：单位：g）关系的资料，现取得）关系的资料，现取得10对观察值（见表），试分对观察值（见表），试分析两个变量的相关性。析两个变量的相关性。单株有效穗数（单株有效穗数（x）2.92.53.02.93.13.54.03.63.54.0单株籽粒产量（单株籽粒产量（y）4.54.24.74.94.75.76.35.15.25.62222

12、2/() /()/()2.570 /(2.240 3.589)0.822xyxyRyyyySPSSSS-回归平方和 总平方和/0.906xyxyRSPSS SS单株有效穗数（单株有效穗数（x）与单株籽粒产量（）与单株籽粒产量（y）间相关系数（）间相关系数（R）为）为0.90622212(1)0.149(2)=/128RRRsnF Rsdfdfn-相关系数标准误=36.836，v F 检验：检验： 查查F 值表，得值表，得F0.01(1, 8)=11.26F，P0.01，表明单株有效穗数，表明单株有效穗数（x）与单株籽粒产量（）与单株籽粒产量（y）间相关系数）间相关系数R达极显著水平。达极显著水

13、平。 确切地说，确切地说，小麦品种的单株有效穗数与单株籽粒产量呈极显小麦品种的单株有效穗数与单株籽粒产量呈极显著正相关（相关系数著正相关（相关系数R=0.906），单株有效穗数越多，单株籽粒产），单株有效穗数越多，单株籽粒产量越高量越高。v t 检验：检验：=28RRtdfns-=6.069， 查查t 值表，得值表，得t 0.01(8)=3.355 |t|，P0.01，表表明单株有效穗数，表表明单株有效穗数（x）与单株籽粒产量（）与单株籽粒产量（y）间相关系数）间相关系数R达极显著水平。达极显著水平。 确切地说，确切地说，小麦品种的单株有效穗数与单株籽粒产量呈极显小麦品种的单株有效穗数与单株籽

14、粒产量呈极显著正相关（相关系数著正相关（相关系数R=0.906），）， 单株有效穗数越多，单株籽粒产单株有效穗数越多，单株籽粒产量越高量越高。v 输入输入v 输出输出研究某小麦品种的单株有效穗数（研究某小麦品种的单株有效穗数（x）与单株籽粒）与单株籽粒产量（产量（y, 单位：单位：g）关系的资料，现取得）关系的资料，现取得10对观察值（见表），试分对观察值（见表），试分析两个变量的相关性。析两个变量的相关性。单株有效穗数（单株有效穗数（x）2.92.53.02.93.13.54.03.63.54.0单株籽粒产量（单株籽粒产量（y）4.54.24.74.94.75.76.35.15.25.6采用

15、碘量法测定还原糖，用采用碘量法测定还原糖，用0.05 mol/L硫代硫酸钠硫代硫酸钠滴定标准葡萄糖溶液，记录耗用硫代硫酸钠体积数（滴定标准葡萄糖溶液，记录耗用硫代硫酸钠体积数（mL），得到如），得到如下数据，试分析两个变量的相关性。下数据，试分析两个变量的相关性。硫代硫酸钠体积（硫代硫酸钠体积（x）/mL0.92.43.54.76.07.49.2葡萄糖体积（葡萄糖体积（y）/mg.mL-12468101214回归分析回归分析相关分析相关分析区别区别依变量依变量Y Y随自变量随自变量X X变化而变化而变化变化两个变量处于同等地位，即两个变量处于同等地位，即呈现共同变化呈现共同变化揭示揭示X X对对Y Y的影响大小，并的影响大小，并可由回归方程进行预测和可由回归方程进行预测和控制控制主要描述两个变量之间线性主要描述两个变量之间线性关系的密切程度关系的密切程度b b为回归系数为回归系数r r的取值在的取值在-1,1-1,1联系联系1.r1.r与与b b值可相互换算；值可相互换算；2.r2.r与与b b正负号一致；正负号一致；3.r3.r与与b b的假设检验等价；的假设检验等价；4.4.回归可解释相关。回归可解释相关。案例：采用紫外分光光度计测定水样的紫外吸光度数值案