电力负荷预测第六章趋势曲线预测

1、第六章第六章 趋势曲线预测法趋势曲线预测法 一. 概述 二. 直线预测模型 三. 多项式曲线预测模型 四. 指数预测模型 五.修正指数曲线预测模型 六.成长曲线预测模型教学要求 :掌握最小二乘法进行参数估计的方法（直线模型）。了解折扣最小二乘法的特点。掌握二次函数、三次函数预测模型及参数估计方法。掌握指数模型及其参数估计方法。教学重点：最小二乘法的参数估计方法。趋势曲线预测模型。教学难点：三点法、三段法参数估计。一.趋势曲线模型预测法简介适用于长期趋势的预测。基本思路： （1）曲线模型及参数估计 （2）模型外推二.直线模型 1.最小二乘法参数估计 2.算例1 3.折扣最小二乘法参数估计 2.算

2、例2tyabttty年或月；预测量；a,b-待估参数； （最小平方法或折扣最小平方法）直线模型的特点：1bconsttttyyy直线模型1.直线模型的最小二乘参数估计2()tQyab t即为 最 小2()ttQyy为最小2()02()0ttQyabtaQyabttb 注意： 令 的中点为时间原点，则： 当序列为奇数项时：t 取 -2 ， -1， 0， 1， 2， 当序列为偶数项时：t 取 -5， -3， -1， 1， 3 ， 52ttynabttyatbt2ttynaty bt2ttyantybtty0t 2.例1.建立基于最小二乘参数估计的直线模 型并作下一年度的预测。01002003004

3、00500600电量一阶差分电量265297333370405443474508541一阶差分3236373538313433197819791980 1981198219831984 198519860t 198740434.875578.35ytyan2ttybt标准误差： 查t分布表，取=0.05，n-m=9-2=7,to=5 的预测区间为0.0252(2)(7)2.365tnt0221987221()1()15578.352.3652.16911960578.356.34572.01 584.69yttyt Sntt即（，）2()2.1691tyyySnmty为03.基于折扣最小二乘法

4、的参数估计min 折扣系数（0 1) 大，折扣作用大 小，折扣作用小 =1失去折扣作用 采用优选方法优选方法定。21()nnttttQyy对误差予以不同的重视程度1112111nnnn tn tn tttttnnnn tn tn tttttyabttyatbta=?b=?解方程（二元一次方程）1112111nnnn tn tn tttttnnnn tn tn tttttyabttyatbt1112111nnnn tn tn tttttnnnn tn tn tttttyabttyatbt1112111nnnn tn tn tttttnnnn tn tn tttttyabttyatbt111211

5、1nnnn tn tn tttttnnnn tn tn tttttyabttyatbt4.例2：建立基于折扣最小二乘参数估计的直 线模型并作下一年度的预测。0t 由二元一次方程参数估计标准误差2()1.4983n ttyyySnm预测又1987231.183234.60345577.22y0.02520(2)(7)2.365,10tntt2222()27.6843200.840723.79334.3289n tn tn tn ttttt（）（）2201987221()1()1106.3952577.222.635 1.4983 1923.7933577.224.56yn tttyt Sntt（

6、）预测区间(572.66，581.78）27.68436.39524.3289n tn ttt加权平均 最小二乘与折扣最小二乘的比较最小二乘折扣最小二乘404231.183234.8734.6034578.35577.222.16911.4983预测区间572.01，584.69572.66，581.787ab1tyyS三.多项式曲线模型预测法 1.多项式曲线模型 2.最小二乘法 3.三点法 4.例题31.多项式曲线模型234tyabtctdtet多项式曲线预测模型的一般形式 直线预测模型是它的特殊形式。二次抛物线预测模型2tyabtct三次抛物线预测模型23tyabtctdt 2.最小二乘法

7、最小二乘法232342234533456ttttynabtctdttyatbtctdtt yatbtctdtt yatbtctdt三次抛物线模型三次抛物线模型取中间为原点时35000ttt224224346ttttynacttybtdttyatctt ybtdt(四 元 一 次 方 程 组 ）例3.采用三次抛物线模型，预测下一年度的电量。特点：有两个拐点。-10-505101520电量一阶差分二阶差分三阶差分多项式 (电量)电量10111214151616141311131415一阶差分112110-2-1-2211二阶差分01-10-1-21-14-10三阶差分1-21-1-13-25-51

8、1974197519761977197819791980198119821983198419851986224224346ttttynacttybtdttyatctt ybtdt 参数估计0t 预测 预测区间3.三点法基本思想： 在二次抛物线上，选取三个代表点来求模 型的3个参数估计值。 当n15时，在首、中、尾各取5 个数，求出这5个数的加权平均数，并令其作为二次抛物线上的3个点。 当9n15时，在首、中、尾各取3 个数，求出这 3个数的加权平均数，并令其作为二次抛物线上的3个点。其目的在于利用较多的数据信息设n为数列的总项数且为奇数，则正中点d=(n+1)/2记左中右三点的坐标为M1(t1

9、,R)， M2(t2,S) ,M3(t3,T)1231(12 23 34 45 5)152373624233tntdtnn 12345211243211(12345)151(12345)151(12345)15dddddnnnnnRyyyyySyyyyyTyyyyy纵坐标横坐标5项加权平均用3项加权平均12311211(123)61(123)61(123)6dddnnnRyyySyyyTyyy1237337643tnttn纵坐标横坐标代入 （以5项加权平均为例）2tyabtctM1点M2点M3点2(2 )537531112139R TScnTRnbcnaRbc 2（） 参数估计同理，3项加权2

10、2(2 )(3)353374939R TScnTRnbcnaRbc 参数估计4.例3，选择预测模型进行预测。-50050100150200250电量一阶差分二阶差分多项式 (电量)电量54.564.176.492.3110.7132.2156.8183.6214一阶差分110-2-1-2211二阶差分-10-1-21-14-10197819791980198119821983198419851986二次抛物线解题步骤：1）选择模型；（二次抛物线）2）参数估计；（三点法）3）预测值；4）预测区间；22(2 )(3)353374939R TScnTRnbcnaRbc 注：三点法同样可以应用于直线和

11、三次抛物线预测模型，这时只需选取两个或四个代表点即可。故：三点法是广义的。四. 指数模型预测法 1.模型描述 2.最小平方法及其算例 3.三点法及其算例 1.指数模型描述111).2).lnlnln3).lnlnttttttyabbabyyatbybconst环比发展速度为一常数，可转化为对数直线模型，对数的一阶差分为一常数，ttyaba,b为待估参数2.最小二乘法及其算例最小二乘法及其算例0t t取y 的中点为时间原点，则2l gl gl gl gttyantybt取反对数，可得a,b的估计值。由最小二乘法得算例4指数模型的预测（最小平方法）020406080100120140电量指数 (电

12、量)电量5.677.099.5613.0716.7521.6228.3439.8654.1674.8494.38129.941978197919801981198219831984198519861987198819890t 参数估计 预测 预测区间（略）3.三点法（取2个点）5113TRbnaRb 373TRbnaRb 当n10时取5项加权平均当6n10时取3项加权平均2(2 )537531112139R TScnTRnbcnaRbc 2（）22(2 )(3)353374939R TScnTRnbcnaRbc 退化退化算例5指数模型预测（三点法）5113TRbnaRb 参数估计5项加权平均

13、预测注：三点法的预测结果较最小平方法要大，这是因为 三点法对远期，近期水平采取了不同的权数进 行了加权处理。五.修正指数曲线模型预测 1.预测模型及其特征 2.预测模型的参数估计 3.算例61.预测模型及其特征a,b,k为参数,t为时间ttyka b2ln (ln )ttttybyb b（）b一阶导数二阶导数(0);0,tttttyyka atbyk yk 的图形是凸的；在t=0时，在时，是它的渐近线；tyt随着 的增加而增加；增长速度先快后慢，最后接近于高限k;(0);0,tttttyyka atbyk yk 的图形是凹的；在t=0时，在时，是它的渐近线；tyt随着 的增加而减少；增长速度先

14、快后慢，最后接近于低限k; 修正指数曲线模型的特征是 时间序列的一阶差分的环比为一常数。2.参数估计三段法第1段第3段第2段共N=3n个数据当分析序列yt可用修正指数来描述，则可近似认为每个yt都满足模型，即 (0 ,1,31)ttyka btn2101121(.)1ttnnnnnt nbyynk ab bbbnk abb1011101(.)1ttnnntbyynka bbbnkab0312112321()1ttnnnnntnbyynkabbbbnkabb对三段分别求和，有：式（1）式（2）式（3）2123211(1)1ttttnnnbyyabbyyabb推导则2121()(1)ttnbayy

15、b3221ttttnyybyy111()1ntbkyanb3221ttttnyybyy式（4）式（5）主要利用求和运算3.算例6基于修正指数曲线模型的预测解题步骤：模型选择，计算一阶差分环比；参数估计（三段法）；预测（代入修正指数模型）；预测区间（略）；参数估计预测模型320.8011 1(16.41 14.64)(0.8011)1)a310.80111(14.64( 1.4912)6.094330.8011 1k 317.32 16.410.801116.41 14.64b6 .0 9 4 3(1 .4 9 1 2 )( 0 .8 0 1 1)tty预测以t=9和t=10代入预测模型，有：6

16、 .0 9 4 3(1 .4 9 1 2 )( 0 .8 0 1 1)tty919866.0943( 1.4912)(0.8011)y 5.89171019876.0943( 1.4912)(0.8011)y 5.932001234567原始数据4.64.95.145.335.485.65.75.785.84预测曲线4.64.95.145.335.485.65.75.785.845.895.93渐近线6.096.096.096.096.096.096.096.096.096.096.0919771978197919801981198219831984198519861987渐近线6.09修正指

17、数模型预测曲线六.成长曲线模型预测1.龚柏兹（Compertz)及算例72.罗吉斯蒂（Loistic)及算例81.1.龚柏兹曲线（S型曲线）令 ，拐点k,a,b参数,且0a0,0a1,0b1时拐点,增长率由大变小0)ttyy为增函数（lna0,lnb0,0;0,0)tttbttykatyba 时，时，（0,1)ttbttyk ba 时，（渐近线渐近线修正指数函数对龚柏兹模型 取对数，有,lglg ,lgtty Kk Aa令YttYKAblglg(lg )ttyka btbtyka龚柏兹模型的特征是 时间序列的对数的一阶差分的环比为一常数。仿照修正指数曲线模型参数估计方法，有32212121lg

18、lglglg1lg(lglg)(1)11lg(lg)lg1tttttntnntyybyybayybbkyanb例8应用compertz模型进行预测。参数估计预测模型020406080100120原始数据25.8532.80444.47756.00264.9672.0880.28285.83589.9预测曲线24.23234.48545.13355.41464.80173.01579.97185.71990.37894.197.042渐近线107.127 107.127 107.127 107.127 107.127 107.127 107.127 107.127 107.127 107.127

19、 107.12719761977197819791980198119821983198419851986预测渐近线107.127compertz预测模型曲线2.2.罗吉斯蒂曲线（生长理论）（S型曲线）k,a,b参数,t为时间1ttykab1ttkaby223ln()(ln )()()tttttttabkykabab b kabykab一阶导数 二阶导数 或0ty令lnln1(,)ln2kabk拐 点 为修正指数0)ttyy为增函数（lnb0,0a1,0b1时拐点且对称渐近线渐近线参数估计（三段法）罗吉斯蒂模型的特征是 时间序列的倒数的一阶差分的环比为一常数。例9 应用(logistic)模型进行预测。参数估计预测模型预测020004000600080001000012000原始数据 4702 4811 4948 5057 5175 5268 5355 5427 5502 5593 5681 5780 5884 5987 6075 6166 6253 6346预测曲