大学微积分第一章函数

1、第一章第一章 函数函数一一. . 区间和邻域区间和邻域六六. . 基本初等函数基本初等函数三三. . 函数概念函数概念四四. . 函数的特性函数的特性五五. . 复合函数复合函数七七. . 初等函数初等函数八八. . 经济学中常用的函数经济学中常用的函数二二. . 映射映射一一. .区间和邻域区间和邻域【区间【区间】 是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数. .这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点. .,baRba 且且oxaboxab开区间开区间 bxaxba ),(闭区间闭区间 bxaxba ,预备知识预备知识oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区

2、间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离( (线段的长度线段的长度) )称为区间的长度称为区间的长度. . ),xba bxa ,(xba bxa 半开区间半开区间无限区间无限区间 ),xa xa ,(xb bx ),(x R x【邻域【邻域】设设 0则开区间则开区间 称为称为点点 的的 邻域。记作邻域。记作)(aaa |0|),(Uaxxa axaxa),( |axx其中其中, , a 称为邻域中心称为邻域中心 , , 称为邻域半径称为邻域半径 . .去心去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :, ),(aa 右右 邻域邻域 :. ),( aa x 0 axax 意味着意味着

3、注意，注意，【定义】以点【定义】以点 为中心的为中心的任何开区间称为点任何开区间称为点 的邻域。记作的邻域。记作a a )(aU),( aaa(1)【定义【定义4】 设设X, ,Y 是两个非空集合是两个非空集合, ,若存在一个对应规若存在一个对应规则则f , ,使得使得, Xx 有唯一确定的有唯一确定的Yy 与之对应与之对应 , ,则则称称 f 为从为从X 到到Y 的的映射映射, ,记作记作元素元素y 称为元素称为元素x 在映射在映射f 下的下的像像 , ,记作记作).(xfy 元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下的下的 原像原像 . .集合集合X 称为映射称为映射 f 的

4、的定义域定义域 ; ;记作记作Df =XY 的子集的子集 )(XfRf Xxxf )(称为称为 f 的的值域值域 . .XYfxyYXf :二、映射二、映射1 1、映射、映射【注意的问题【注意的问题】映射具备三要素映射具备三要素XDaf .定义域定义域YRXfbf )( . 值域值域 .fc 对应法则对应法则映射的特点映射的特点 中都有像中都有像在在任一任一YXx 必须唯一必须唯一的像的像 yx不一定唯一不一定唯一的原像的原像 xy)( YRYRff 不一定不一定值域值域对映射对映射YXf:若若YXf )(, ,则称则称 f 为为满射满射; ; XYf)(Xf 若若,2121xxXxx 有有

5、)()(21xfxf 则称则称f 为为单射单射; ;若若f 既是满射又是单射既是满射又是单射, , 则称则称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射. . XY)(Xff(2)【定义【定义】满射满射单射单射双射双射2. .【逆映射与复合映射【逆映射与复合映射】【逆映射【逆映射】YXf: 设设是是单射单射定义定义XXfg)(:称映射称映射 为映射为映射 的逆映射的逆映射gf【注【注】)( XfX 满且单满且单，故而是，故而是双射双射只有只有 f 是是单射单射才存在逆映射才存在逆映射. .1 f记作记作的映射的映射到到是指从值域是指从值域逆映射逆映射XXff)( 1 不一定是映射不一定是映射到到从

6、从XY【复合映射【复合映射】ZYfYXg21: , : 设有两个映射设有两个映射21YY 且且定义定义ZXgf: 构成的复合映射构成的复合映射和和为映射为映射称称fggf XxZxgfxgf ,)()(【注意【注意】 R)( )1(g不可少不可少：构成复合映射的条件构成复合映射的条件fDXg . )2(是有区别的是有区别的与与fggf1. .【定义【定义】因变量因变量函数值函数值, , )(Dxxfy 自变量自变量函数函数定义域定义域 )(,000处的处的为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx 函数值函数值 ),(称称为为函函数数的的函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集DxxfyyRf

7、 值域值域三、函数概念三、函数概念记记作作称称函函数数。上上的的一一个个一一元元函函数数，简简为为定定义义在在实实数数集集合合法法则则与与之之对对应应则则称称这这个个对对应应都都有有唯唯一一一一个个实实数数，使使得得对对于于每每一一个个若若存存在在一一个个确确定定的的法法则则，是是实实数数集集合合且且设设有有两两个个变变量量DfyDxfDDxyx )(, ()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f2. .【函数的两要素【函数的两要素】定义域定义域与与对应法则对应法则. .xyDfR【约定【约定】定义域定义域是自变量所能取的使算式有意义的是自变量所能取的使算式有意义的一切实

8、数值一切实数值. .（自然定义域自然定义域）21xy 如，如， 1 , 1 :； D211xy )1 , 1(: D【注意【注意】两要素是判断两函数是否相同的唯一标准两要素是判断两函数是否相同的唯一标准. .【定义【定义】.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC Woxy),(yxxyD 如果自变量在定义如果自变量在定义域内任取一个数值时，域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做一个，这种函数叫做单单值函数值函数，否则叫，否则叫多值函多值函数数例如，例如，222ayx 【注意】微积分所研究的函数都是单值函数。【注意】微积

9、分所研究的函数都是单值函数。3.【函数图形【函数图形】4.【几个特殊的函数举例【几个特殊的函数举例】(1)【常数函数【常数函数】cy c c为常数为常数xyocy 图形是一条平行于图形是一条平行于 轴的直线轴的直线x(2)【绝对值函数【绝对值函数】 00 xxxxxyxy xyo (3) 【符号函数【符号函数】 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyoxxx sgn或或xxx sgn(4) 【取整函数【取整函数 】y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x该函数是数论中一个

10、该函数是数论中一个极为重要的函数极为重要的函数 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1x xy yo o(5) 【 狄利克雷函数狄利克雷函数】(6) 【取最值函数【取最值函数】)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, , 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数, ,称为称为分段函数分段函数. .(7)【分段函数【分段函数】 , 2使

11、得使得若若 K 四、函数的特性四、函数的特性1)(Kxf 1. .【函数的有界性【函数的有界性】有有若数集若数集,1XxKDX 2)( Kxf ) ( )( 1是其中的一个上界是其中的一个上界上有上界上有上界在在称函数称函数KXxf ) ( )( 2下界下界是其中的一个是其中的一个上有下界上有下界在在称函数称函数KXxf(1)【定义【定义】有有若数集若数集, 0,XxMDX 则称函数则称函数 f (x)在在X上上有界有界.否则称否则称无界无界.Mxf )(M-MyxoX0 xM-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界【结论【结论】f (x) 在在X上上无界无界MxfXxM )( , , 0 1

12、1使得使得上有界上有界在在Xxf)(界界上既有上界又有下上既有上界又有下在在 )(Xxf上有界上有界在在Xxf)(2【函数的单调性【函数的单调性】,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数, 2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI则称函数则称函数 f (x)在区间在区间I上是上是单调增加单调增加的的 .)(xfy )(1xf)(2xfxyoI,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有则称函数

13、则称函数 f (x)在区间在区间I上是上是单调减少单调减少的的 .,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数3【函数的奇偶性【函数的奇偶性】偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf图象关于图象关于 y 轴对称轴对称称称 f (x)为为偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设, DxD )()(xfxf 奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 图象关于图象关于原点原点对称对称称称 f (x)为为奇函数奇函数【说明【说明】 若若 f (x) 在在 x = 0 有定义有定义

14、 ,f ( (x) )为奇函数时为奇函数时, ,必有必有f (0)=0则当则当xyoxx【例如【例如】2)(xxeexfy xch 偶函数偶函数xyoxexexych 双曲余弦双曲余弦 记记xyo又如又如, ,2)(xxeexfy 奇函数奇函数xexe xysh xsh 双曲正弦双曲正弦 记记再如再如, ,xxychsh xxxxeeee 奇函数奇函数oyx11xth 双曲正切双曲正切 记记xyth 4【函数的周期性【函数的周期性】（通常说周期函数的周期是指其通常说周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期）. .2l 2l23l 23l,0, lDx且且,Dlx )()(xflxf 则称则称

15、f (x)为为周期函数周期函数 ,若若称称 l 为为周期周期【定义【定义】to)(tf22xo2y2周期为周期为 周期为周期为 2【注【注】 周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期 .【例如【例如】 常量函数常量函数Cxf )(狄里克雷函数狄里克雷函数 )(xfx 为有理数为有理数x 为无理数为无理数,1,0五、复合函数五、复合函数1【定义【定义】【说明】通常【说明】通常 f 称为外层函数，称为外层函数，g 称为内层函数称为内层函数.1),(Duufy ,),(Dxxgu 1)(DDg 且且则则Dxxgfy , )(设有设有函数链函数链称为由称为由, , 确定的确定的复合函数

16、复合函数, , u 称为称为中间变量中间变量. . 2【注意【注意】,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. .,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 三重复合函数三重复合函数1）构成复合函数的条件构成复合函数的条件 1)(DDg 不可少不可少. . （即：内层函数在（即：内层函数在复合函数定义域复合函数定义域D内的值域内的值域g(D)一定包含在外层函数的定义域一定包含在外层函数的定义域D1内）内）六、基本初等函数六、基本初等函数1. .【幂函数幂函数】)( 是常数是

17、常数 xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 幂函数、幂函数、 指数函数、指数函数、 对数函数、对数函数、 三角函数、三角函数、 反三角函数反三角函数2. .【指数函数【指数函数】)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 3. .【对数函数【对数函数】)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4. .【三角函数【三角函数】正弦函数正弦函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函

18、数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数xycsc 5. .【反三角函数【反三角函数】xyarcsin xyarcsin 反正弦函数反正弦函数2,2,1 , 1 值值域域：定定义义域域：xyarccos xyarccos 反余弦函数反余弦函数, 0,1 , 1 值值域域：定定义义域域： xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数2 2 2,2),( 值值域域：定定义义域域：【定义【定义1】 幂函数幂函数, ,指数函数指数函数, ,对数函数对数函数, ,三角三角函数和反三角函数统称为函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数. .xycot 反反余余切切函

19、函数数arcxycot arc o, 0),( 值值域域：定定义义域域： 七、初等函数七、初等函数1. .【初等函数【初等函数】【定义【定义2】由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过有限次有限次四四则运算和则运算和有限次有限次的函数复合步骤所构成并可用的函数复合步骤所构成并可用一一个式子个式子表示的函数表示的函数, ,称为称为初等函数初等函数. .否则称为否则称为非初等函数非初等函数.Znnxn ,12. .【非初等函数举例【非初等函数举例】符号函数符号函数取整函数取整函数xy 当当,n xyo134212 010001sgnxxxxy当当当当当当 CQxQxxDy, 0, 1)(有

20、理数点有理数点无理数点无理数点1x xy yo o狄里克雷函数狄里克雷函数1-1xyo分段函数（略）：分段函数（略）：一般一般是非初等函数是非初等函数. .八、经济学中的常用函数八、经济学中的常用函数 如果价格是决定需求量的最主要因素，如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为可以认为 Q 是是 P的函数。记作的函数。记作)(PfQ 则则 f 称为称为需求函数需求函数.1、需求函数、需求函数,bPaQ 线线性性需需求求函函数数：常见的需求函数：常见的需求函数：2cPbPaQ 二二次次曲曲线线需需求求函函数数：bpAeQ 指指数数需需求求函函数数：( 其中其中 a,b,c,Aa,b,c,A 0

21、)0, ba幂函数：幂函数：0,0, kAkPQA其其中中例例 1设某商品的需求函数为设某商品的需求函数为 )0,( babaPQ.00时的价格时的价格时的需求量和时的需求量和讨论讨论 QP解解,0bQP 时时它表示价格为零时的它表示价格为零时的需求量为需求量为 b ，称为称为饱和需求量饱和需求量；,0abPQ 时时它表示价格为它表示价格为,时时ab无人愿意购买此商品无人愿意购买此商品.2、供给函数、供给函数 如果价格是决定供给量的最主要因素，如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为可以认为 Q 是是 P 的函数。记作的函数。记作)(PGQ 则则 G称为称为供给函数供给函数. 一般地，供给函

22、数可以用以下简单一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：函数近似代替：线性函数：线性函数：0, babaPQ其中其中幂函数：幂函数：指数函数：指数函数：0,0, kAkPQA其其中中0,0, bAaeQbP其中其中 在同一个坐标系中作出需求曲线在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供和供给曲线给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为供需平衡价格该点的横坐标称为供需平衡价格 .E0P0Q供需平衡点供需平衡点供需平供需平衡价格衡价格3、生产函数、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之

23、要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系间的关系.一般说来，生产要素包括资金一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素和劳动力等多种要素 .为方便起见，我为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况他投入皆为常量的情况 .例例 2)(22)2()()(xgcxxgcxxgxgxaaaa 由由于于间间的的函函数数关关系系为为与与产产出出设设投投入入时，时，可见，当可见，当1 a规模报酬规模报酬不变；不变；时，时，当当1 a 如果投入增加一倍，产出增如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即加不到一倍，即规模报酬规模报酬递减；递减；时，时，

24、当当1 a 如果投入增加一倍，产出增如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即加不止一倍，即规模报酬规模报酬递增递增 .4、成本函数、成本函数 成本是生产一定数量产品所需要的成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成它由固定成本与可变成本两部分组成.可可变变固固总总CCC 支付固定生产支付固定生产要素的费用要素的费用支付可变生产支付可变生产要素的费用要素的费用产产量量可可变变成成本本固固定定成成本本产产量量总总成成本本平平均均成成本本 QQCQCQQCACC)()(21 即即.81000)(2QQC 解解由题意

25、，求产量为由题意，求产量为100时的总成本时的总成本,225081001000)100(2 C5 .221002250)100( AC平平均均成成本本为为5、收益函数、收益函数 总收益是生产者出售一定数量产品所得到总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入的全部收入. 用用 Q 表示出售的产品数量表示出售的产品数量，R 表表示总收益示总收益, 表示平均收益，则表示平均收益，则RQQRRQRR)(,)( 如果产品价格如果产品价格 P 保持不变，则保持不变，则PRPQQR ,)(解解,43100QP 价价格格函函数数为为,43100)(2QQQPQR 所所以以总总收收益益为为1003()().4QAP QP Q 平均收益为平均收益为六、利润函数六、利润函数 利润是生产中获得的总收益