拉格朗日中值定理和函数单调性

1、微分中值定理及其应用第六章数的单调性拉格朗日中值定理和函第一节理罗尔定理与拉格朗日定一罗尔罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该点的导数等于零， 即即0)( f证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由由此此得

2、得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)(,),(.ffbaff故由费马定理推知可导处在点内可导在又的极值点是从而注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2的一切条件的一切条件满足罗尔定理满足罗尔定理不存在外不存在外上除上除在在f . 0)(2-2 xf使使内内找找不不到到一一点点能能，但但在在区区间间;0,

3、 01 , 0(,1 xxxy.1 , 0, xxy又例如又例如,几何解释几何解释: :xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CAB1 2 Cab拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为

4、方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线., 两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF. 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧ab1 2 xxoy)(xfy ABNM).(

5、)(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf推论推论1例例1 1).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx例例2 2.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明

6、当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即).(lim)(,)(lim,)(,)()(3)()()(,)()(),()(,20000000 xfxfxfxfxUxUxfccxgxfxgxfIxgxfIgfxxxx且可导在点则极限存在且内可导在内连续的某邻域在点设函数导数极限定理推论为某一常数即只相差某一常数与上则在区间且上可导均在区间和若函数推论单调

7、函数二单调性的判别法).0(0)()()(,)(xfIxfIxfy的充要条件是减递增上在则上可导在设函数xyoxyo)(xfy abAB)(xfy 定理定理.0)()()(,),(,),(, 0)()(,. 0)(,. 0)()(,12122121210000000上为增函数在由此证得使得存在应用拉格朗日定理设则对任意上恒有在区间若反之即得令有时当则对每一为增函数若证IfxxfxfxfIxxxxIxxxfIxfxfxxxxxfxfxxIxf. 0)(),()();0)(0)(),()()(),(,),(不恒为内的任何子区间上在有对一切的充要条件是：递减递增内严格在则内可导在若函数定理xfbai

8、ixfxfbaxibafbaf).(),0)(0)(,严格递减上严格递增在则若上可微设函数在区间推论IfxfxfI问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点单调区间求法.,)()(0)(数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函

9、数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 方法方法: :例例3 3解解.31292)(23的单调区间确定函数xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx时，时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(时，时，当当21 x上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2, 0)( xf例例4 4证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可导，可导，且且上