平稳时间序列预测

1、1第六章 平稳时间序列预测n第一节 平稳时间序列预测概念n第二节 最小均方误预测n第三节 条件期望预测n第四节 适时修正预测2第一节 平稳时间序列预测的概念).(,)0(,1lxltlxtxxxtxttlttttt为预测值记的预测为原点向前期步长为以这种预测称为进行预测以后的观察值对时刻用序列以前的观察值为及在时刻且零均值平稳序列设当前时刻为3第二节 最小均方误预测(正交投影预测)4一、最小均方误差预测概念.)2(min)()( :,) 1 (:)()(:,)0(,)(221值的函数预测值是过去时间序列即预测误差的方差最小足如下两条件准则步最小均方误预测要满所谓其预测误差记为进行的预测对的条件

2、下为已知设lxxEleEllxxlelxxxlxtltttlttltttt（若预测函数是线性的，则称线性最小均方误预测）5二、平稳ARMA模型最小均方误预测的推导011110111111002211001:1:)()()(:)()(:jjtjltlltlttltltlltltlttttjjtjtttttGGGGGGGGGxltGGGGGBGBBxBxBARMA代入上式得将下标其中如下此模型写成其传递形式模型如下设有平稳6由于预测只能建立在到t时刻为止的可用信息的基础上，因此，根据最小均方误预测的第二个准则，以及平稳可逆序列可以表示成传递函数形式的论断，可以将预测值 表示成能够估计的项t，t-1

3、，的加权和的形式：)( lxt2*21*1*0*)(tltltljjtjltGGGGlx.*达到最小的意义下确定可以在预测误差的方差系数权式中jlG7由上得以t为原点，向前l步的预测误差为：0*11110)()()(jjtjljltlltlttlttGGGGGlxxle由于t是白噪声，故有：002jjoEajtt02*2102222)()()(:jjljlaljjattltGGGleElxxE预测误差的方差为所以.,:*上式达到最小值时当很容易看出jljlGG因此可得xt+l的最小均方误预测为：2211)(tltltltGGGlx预测误差为：11110)()(tlltlttlttGGGlxxl

4、e误差方差为：102221222122)1 ()(ljjalatGGGGleE9由上推导可知，（1）最小均方误预测误差的方差和预测步长l有关，而和预测的时间原点无关。（2）预测步长l越大，预测误差的方差也越大，即预测的准确性越差。1010n进一步地，在正态分布假定下，有 n由此可以得到 预测值的95%的置信区间为 或者 22221011,t ltttlXXXN x lGGGt lX 1.96 var,1.96 varttttx le lx le l 1 21 22222220110111.96,1.96tltlx lGGGx lGGG11222121196. 1) 3(:,3196. 1)2(

5、:,296. 1) 1 (:%951GGxlGxlxlatatat有时当有时当的预测区间为时的当根据预测置信区间的公式得：可见：随着预测步长的加大，预测误差的置信区间也越大，预测结果越不准确。12第三节 条件期望预测13一、条件期望预测的一般公式值的条件期望作为其预测取条件下指在已知条件期望预测)0(,:21lxxxxltttt用公式表示如下：),|()(21tttlttxxxxElx14有关xt和t的条件期望有如下性质：)0()()0(),|() 1 (21llxlxxxxxEtlttttlt)0(0)0(),|()2(21llxxxElttttlt由于：0111101111110jjtjl

6、tlltlttltltlltltltGGGGGGGGGx利用条件期望的性质，对上式两端求条件期望，得xt+l 的条件期望预测为：221121),|()(tltltltttlttGGGxxxxElx可见， xt+l 的条件期望预测和它的最小均方误预测是一致的。16二、用条件期望进行预测n1.AR模型的条件期望预测n设AR(1)模型如下:tttxx11(1)以t为原点，向前一步预测公式(l=1)ttttttttttttttttttttttxxxxExxxxExxxxExxxxExxx1211211211211111),|(),|(),|(),|() 1 (:得对上式两端求条件期望由(2) 向前二步

7、预测公式(l=2) 1 (),|(),|()2(1212112122112ttttttttttttttxxxxxExxxxExxx(3) 向前l步预测公式(l2) 1(),|(),|()(1211121111lxxxxxExxxxElxxxttttltlttttlttltltlt18由上推导可见，对于l0，条件期望预测值 满足如下差分方程： )( lxtltttttltttttxlxxcxxclxxxlxlx111111)(:) 1 (:)(:0:)0(0) 1()(所以得由于是即得为此差分方程的特征方程11t lt lpt lpt lXXX 1111,tt lttt lp t l pt lt

8、tx lE X X XEXXX X lpl11tptx lx lppl 对于AR(p)模型当 时，)()()1(12211ptptllltlltltltxxxxxx),|()(12211ttptpltlttxxxxxElx当前时刻为t的一步预测为当 ，当前时刻为t的 步预测)() 1 ()2() 1(121ptptltlttxxxlxlx20预测举例：n例1：利用对mlpm所建立的模型进行预测。n先对原序列零均值化，先对原序列零均值化，n然后建模如下：ttttaxxx21224. 0785. 042. 9,yyyxyttt则设原序列为21已知：78. 3,58. 4249250 xx置信区间以

9、及预测的求%95)3(),2(),1 (:250250250 xxx45. 2a222512492501250224. 0785. 0axxx解：749. 278. 3224. 058. 4785. 0224. 0785. 0),|() 1 (249250249250251250 xxxxxEx132. 158. 4224. 0749. 2785. 0224. 0) 1 (785. 0),|()2(250250249250252250 xxxxxEx23同理：273. 0749. 2224. 0132. 1785. 0) 1 (224. 0)2(785. 0),|()3(25025024925

10、0253250 xxxxxEx240)2(22. 0) 1(78. 0)(:)2(22. 0) 1(78. 0)(250250250250250250lxlxlxlxlxlx即2l当 时，预测值满由模型自回归部分决定的差分方程：解此差分方程即可求出预测函数。25求例1中各步预测值的95%的置信区间：392. 0224. 0785. 0785. 0785. 01:)2(224. 0,785. 0224. 0785. 021121102121GGGGARxxxtttt模型的格林函数得于是由由于45. 2a已知：26802. 4749. 245. 296. 1749. 296. 1) 1 (:%95

11、1250axl的预测区间为时的当12. 6132. 1785. 0145. 296. 1132. 1196. 1)2(:,2221Gxlat有时当42. 6273. 0392. 0785. 0145. 296. 1273. 0196. 1) 3(:,3222221GGxlat有时当于是以t=250为原点，向前一步、二步、三步预测的95%的置信区间分别为：27yxyyyyxtttt所以因为,42. 9,所以对于原序列，以t=250为原点向前一步，二步、三步的预测分别为：42. 6693. 9)3(12. 6552.10)2(802. 4169.12) 1 (250250250yyy28n2、MA

12、模型的条件期望预测n设MA(1)模型如下：11tttx(1) 向前一步预测 (l=1)ttttttttttttttxxxExxxxExx12111211111),|(),|() 1 (:得由(2) 向前二步预测 (l=2)0),|()2(2121122ttttttttxxxxExx(3) 向前l步预测公式(l2)0),|()(21tttlttxxxxElx3030MA模型的预测模型的预测n对于MA(q)模型 我们有 n当预测步长 ， 可以分解为n当预测步长 ， 可以分解为11tttqt qX 11t lt lt lqt l qX lqt lX1111t lt lt lltltqt l qX l

13、qt lX 1111,tt lttt lt lqt l qttx lE XXXEXX 0 1,tt lttltqt l qx lE XXX 3131nMA(q)模型预测方差为 2221122211var1ltqlqe llq32ARMA(p,q)模型条件期望预测的一般结果n设：qtqttptptttxxxx112211（1）向前一步预测(l=1)：qiqtitpiititxx111111对上式两端求条件期望得：qtqtptpttttttxxxxxxEx11112111),|() 1 (33(3)向前l步预测公式(lp，且l q)qiqltiltpiiltiltxx11qltqtlpltptlt

14、lttttlttxxxlxlxxxxElx) 1 ()2() 1(),|()(1211(4)向前l步预测公式(lp，且l q)qiqltiltpiiltiltxx11)()2() 1(),|()(211plxlxlxxxxElxtpttttltt34ARMA(p,q)条件期望预测的置信区间n前已证明，条件期望预测与最小均方误预测是一致的，因此，预测误差和误差方差也是相同的。n因此，条件期望的预测误差为：11110)()(tlltltlttlttGGGlxxle351,)()(,) 1, 2 , 1(.0012GBGBBljGajjjjta且确定可由为格林函数的方差为白噪声预测误差的方差为：10

15、2221222122)1 ()()(ljjalattGGGGleEleD其中：36=1时的预测误差为：11) 1 () 1 (ttttxxe于是有：) 1 () 1 (11ttttxxe可见ARMA模型中白噪声项t其实就是以xt-1为原点，向前一步预测误差。预测误差和白噪声项的关系：再由预测误差方差的公式得：22122)()()1 ()1 (ttattEEeEeD可见：向前一步预测误差的方差其实就是白噪声项的方差。可见：向前一步预测误差的方差其实就是白噪声项的方差。l37例2n已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型（单位：万）：n最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：n预测未来5

16、年该地区常住人口的95置信区间3212 . 06 . 08 . 0100tttttx年份统计人数预测人数20021041102003108100200410510938随机扰动项的计算4109105) 1 (8100108) 1 (6110104) 1 (20032004200220031200120022xxxxxxttt39估计值的计算100)5(100)4(8 .1002 . 0100) 3(962 . 06 . 0100)2(2 .1092 . 06 . 08 . 0100) 1 (121tttttttttttxxxxx40预测方差的计算51)1 ()5(51)1 ()4(50)1 (

17、)3(41)1 ()2(25)1 (22322212232221222212212ttttteVareVareVareVareVar41置信区间的计算预测年份95置信区间2005（99，119） 2006（83，109） 2007（87，115） 2008（86，114） 2009（86，114） 42例3. 对一个包含250个数据的序列xt建立下ARMA(2,1)模型：12158. 055. 097. 0tttttxxx58. 0,55. 0,097121则已知：03. 1,083. 0,336. 2,008. 1,024. 0,172. 0248247248249250axxxx的置信区间

18、以及预测值求%95)2(),1 (:250250 xx43（1）求预测值解：)3(),2(),1 (250250250 xxx25024925024925025025124925024925025125058. 055. 097. 0),|58. 055. 097. 0(),|() 1 (xxxxxxExxxEx250未知，故需先将其求出。由已知数据得：379. 0)083. 0(58. 0)34. 2(55. 0)008. 1(97. 0024. 058. 055. 097. 0248247248249249xxx44578. 0)379. 0(58. 0)008. 1(55. 0)0236

19、. 0(97. 0172. 058. 055. 097. 0249248249250250 xxx同理：因此：51. 0)578. 0(58. 0)024. 0(55. 0172. 097. 058. 055. 097. 0) 1 (250249250250 xxx4540. 0172. 055. 051. 097. 055. 0) 1 (97. 0),|58. 055. 097. 0(),|()2(250250249250251252250251249250252250 xxxxxxExxxEx46（2）求预测值的95%的置信区间：12213021121110172. 055. 039. 0

20、97. 039. 058. 097. 01GGGGGGGG由ARMA(2,1)模型的格林函数得：47所以预测值的95%的置信区间为：02. 251. 003. 196. 151. 096. 1) 1 (250ax17. 240. 039. 0103. 196. 140. 0196. 1)2(221250Gxa03. 1 a由于48第四节 适时修正预测49一、问题的提出.,),3(),2(, 3, 2,1,) 3(),2(),1 (,111于是提出适时修正预测信息才是最新的而并未利用时刻及以前的信息因为它们只利用了就不能再用原来的等时刻的预测这时对于已成为已知的时候而当到了时刻可得到为原点进行向

21、前预测以时刻在实际进行预测时ttttttttxxtxxttxtxxxt50二、适时修正预测公式n1、适时修正预测公式的推导n（1）适时修正预测公式)1 () 1()(11ttlttxxGlxlx2、适时修正预测公式的推导：112312112111) 1() 1 (:) 1()(:tltttltltlttltltltGlxxGGGlxGGGlx于是可得由最小均方误预测公式1110) 1 () 1 (:,1,)()(:,ttttljjltjtlttxxelGlxxleltARMA向前一步预测误差为时当特别地预测误差为步的最小均方误向前为原点模型以时刻又已知52综合上述推导，可得适时修正预测公式为：

22、)1 () 1()(11ttlttxxGlxlx上述公式说明：新的预测值是在旧的预测值的基础上，加上一个修正项推算出来的，而这一个修正项比例于旧的一步预测误差，比例系数随着预测超前步数的变化而变化。)2(),1 (:0 . 3251251251xxx试计算假设已知例：对于例1中的AR(2)模型。解：)1 () 1()(11ttlttxxGlxlx适时修正预测公式为：所以：362. 1)787. 23(79. 0194. 1)1 ()2() 1 (2502511250251xxGxx416. 0)787. 23(404. 033. 0)1 ()3()2(2502512250251xxGxx54利

23、用Eviews软件对ARMA模型进行预测n在Eviews中利用ARMA模型进行预测。n（1）Eviews中进行预测时的两个选项。Dynamic动态预测。（含义）nStatic一步超前预测。（含义）nDynamic选项从预测样本的第一项开始，计算多步预测值（multi-step forecasts）.nStatic选项则计算一系列向前一步的预测值(1-step-ahead forecast)，此时，每生成一个预测值，就将样本范围向前移动一个观测值，以便将真实值而非预测值作为滞后因变量。56n对于ARMA模型：n若对序列进行拟合分析(即追溯预测)，则选static。n若向前l步预测，则要选dyna

24、mic，并且要先对工作区间、样本区间进行调整如下： (1)expand first t+l (2)smpl t+1 t+l具体操作见演示。57磨轮剖面例，根据前面的分析，由1-250期间的样本数据建立AR(2)模型nLs mlpm c ar(1) ar(2)58在模型窗口点击forecasts，对序列进行拟合：保存预测值保存预测值保存预测值的标准差保存预测值的标准差对原序列进行拟合，对原序列进行拟合，选择静态预测选择静态预测输出预测图及预测评价结果输出预测图及预测评价结果样本区间样本区间59-4048121620255075100125150175200225250MLPMF 2 S.E.Forecast: MLPMFActual: MLPMForecast sample: 1 250Adjusted sample: 3 250In