余弦定理(上课用)

1、1.1.2余弦定理复习回顾复习回顾RCcBbAa2sinsinsinb ba aC CA AB B1.正弦定理正弦定理2.正弦定理的作用正弦定理的作用(1)已知三角形的两角和任一边已知三角形的两角和任一边,求其它求其它两边和另一角两边和另一角;(2)已知三角形的两边和其中一边的对角已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角求另一边的对角(从而进一步求出其它的从而进一步求出其它的边和角边和角).若已知三角形两边及其夹角，如何求出第三条边呢？若已知三角形两边及其夹角，如何求出第三条边呢？ 0 02 22 22 2 A AB B= = A AC C+ +2 2 A AC C C CB B c

2、co os s( (1 18 80 0 - - C C) )+ + C CB B证明：222222c = a +b -2abcosCc = a +b -2abcosC（一）向量法)()(CBACCBACABABCBACABCBCBCBACACAC2若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：bcABCaCabbaccos2222注注:当当C=90时，此结论即为勾股定理时，此结论即为勾股定理.bAacCB证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：( cos, sin)A bC bC222222c = a +b

3、-2abcosCc = a +b -2abcosCxy( ,0)B a(0,0)C（二）解析法(建系法)222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222ABCabcD当角C为锐角时（三）几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc 余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。 a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC你能用文字说明吗？CBAabc 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。问题问题1：勾股定理与余弦定理有

4、何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题问题2：公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;剖 析 定 理（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）(3)延伸变形：延伸变形：，bcacbA2cos222，cabacB2cos222。abcbaC2cos222注意注意: :余弦定理适用任何三角形余弦定理适用任何三角形. .剖 析 定 理中，在ABC推论推论:为直角；，则若Ccba222为锐角；，则若Ccba222为钝角；，则若Ccba222。abcbaC2cos222剖 析 定 理（4）能否把式子

5、转化为角的关系式？Abccbacos2222 分析：ARasin2: 得得RCcBbAa2sinsinsin: 由由正正弦弦定定理理BRbsin2 CRcsin2 :cos2222并并化化简简得得代代入入Abccba ACBCBAcossinsin2sinsinsin222 202000:sin 70sin 50sin70 sin50. 练练习习 求求的的值值2020000:sin 70sin 502sin70 sin50 cos60 解解 原原式式20sin 60 34 余弦定理的作用：余弦定理的作用：（1 1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角；（3 3）判断三角形的形状。）判断三角

6、形的形状。（2 2）已知两边和它们的夹角，求）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；第三边和其它两角；例1 、在 中,已知 求c,A ABC120, 4, 5Cba例2、在 中，已知ABC19, 2, 3cba求此三角形各个角的大小及其面积例3、 的顶点为A(6，5),B(-2，8)和C(4,1),求cosAABC1221835arcsin,61Ac233,19194arccos,38397arccos,32SBAC3653652cosA例6、在 中，若 判定三角形形状CBbcBcCbcoscos2sinsin2222ABC例5、在 中，若 判定三角形形状BACcossin2sinABC例4、已知a,b为 的两边，且 60, 2, 5CabbaABC求c19直角三角形等腰三角形 已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？aCcbABC求中，已知三角形,60,15, 432例4、已知 满足 判定三角形形状BbAacoscosABC例7、已知