圆的参数方程

1、圆的参数方程圆的参数方程湖南省永顺县第一中学湖南省永顺县第一中学授课人：授课人： 罗振明罗振明复习：复习：1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为，表示圆心坐标为 (a,b),半径为半径为r的圆。的圆。2.三角函数的定义？三角函数的定义？3.参数方程的定义？参数方程的定义？则设（终边上任意一点角,),rOPyxPxyryrxtan,sin,cos一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个都是某个变数变数t的函数，即的函数，即为参数）ttgy

2、tfx()()(探求：圆的参数方程探求：圆的参数方程点点P在在P0OP的终边上的终边上, , 如图如图,设设O的圆心在原点的圆心在原点,半径是半径是r.与与x 轴正半轴的交轴正半轴的交点为点为P0 ,圆上任取一点圆上任取一点P,若若OP0 按逆时针方向旋转到按逆时针方向旋转到OP位置位置所形成的角所形成的角P0 OP =,求求P点的坐标。点的坐标。根据三角函数的定义得根据三角函数的定义得sin,cos.yxrrcos ,sin .xryr ( cos ,sin ).P rr 解解: :设设P（x,y）,(1) 我们把方程组我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为叫做圆心为原点、半径为r的的圆的

3、参数方程。圆的参数方程。 其中参数其中参数表示表示OP0到到OP所成旋转角，所成旋转角， 。02例例1 如图如图, ,已知点已知点P是圆是圆O:O:x2+y2=16上的一个动点上的一个动点 , ,点点A是是x 轴轴上的定点上的定点 , ,坐标为坐标为( (12,0).).当点当点P在圆上运动时在圆上运动时, ,求线段求线段PA中点中点M的轨迹方程，并说明点的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？的轨迹图形是什么？解：解：则圆的参数方程为：取,xOP为参数）(.sin2,cos2yx由中点公式可得：）为（的坐标则点的坐标为（设点,sin2 ,cos2),PyxMsin2sin2, 3cos26c

4、os2yx所以，点所以，点M的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是为参数）（.sin, 3cosyx注意：注意：轨迹轨迹是指点运动所成的图形；是指点运动所成的图形； 轨迹方程轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。是指表示动点所成图形所满足的代数等式。 它表示（它表示（3,0）为圆心，）为圆心，1为半径的圆为半径的圆变式变式 已知点已知点P是圆是圆O:O:x2+y2=16上的一个动点上的一个动点 , ,点点B B是平面是平面上的定点上的定点 , ,坐标为坐标为( (12,2).).当点当点P在圆上运动时在圆上运动时, ,求线段求线段PB中点中点M的轨迹方程，并说明点的轨迹方程，并说明点M的

5、轨迹图形是什么？的轨迹图形是什么？解：则圆的参数方程为：取,xOP为参数）(.sin2,cos2yx由中点公式可得：）为（的坐标则点的坐标为（设点,sin2 ,cos2),PyxM1sin22sin2, 3cos26cos2yx所以，点所以，点M的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是为参数）（. 1sin, 3cosyx它所表示的图形是以（它所表示的图形是以（3,1）为圆心，）为圆心，1为半径的圆。为半径的圆。圆心为圆心为(a,b)、半径为半径为r的的圆的参数方程圆的参数方程为为x =a+rcosy =b+rsin (为参数为参数)得出结论：得出结论：探究过程请同学们课后完成探究过程请同学们课后

6、完成例例2说明：说明：本例说明了本例说明了圆的参数方程圆的参数方程在求最值时的应用；在求最值时的应用； sin23cos21sin23cos21(.sin23,cos214)3() 103222222yxPyxyxyxyx），（则为参数）其参数方程为（可化为解：圆)4sin(2213 已知点已知点P(x,y)是圆是圆 上的一个动点上的一个动点, ,求求: : x+y的最小值。的最小值。032222yxyx2213)(1)4sin(minyx时，当1.写出下列圆的参数方程写出下列圆的参数方程:(1)圆心在原点圆心在原点,半径为半径为 :_;3(2)圆心为圆心为(-2,-3),半径为半径为1: _

7、.3x = cosy = sin3x =-2+cosy =-3+sin2.若若圆的参数方程为圆的参数方程为 ,则其标准则其标准方程为方程为:_.x =5cos+1y =5sin-1(x-1)2+(y+1)2=253.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的则它的参数方程为参数方程为_.x =1+2cosy =-3+2sin圆心为圆心为(a,b)、半径为半径为r的的圆的参数方程圆的参数方程为为x =a+rcosy =b+rsin (为参数为参数)思考：思考：圆的参数方程有什么特点？圆的参数方程有什么特点？ (1)参数方程可以用来求轨迹问题. (2)参数方程可以用来求最值. (3)掌握圆参数方程和普通方程的互换.探求：探求：求圆心为求圆心为O1(a, ,b)、半径为半径为r 的的圆的参数方程圆的参数方程1.1.O1与与O有什么联系？有什么联系？O1 1是由是由O按向量按向量 =(=(a,b) )平移后得到。平移后得到。1OO 由平移公式得：由平移公式得：11,.xxayyb 11cos ,sin .xryr而 cos ,sin .xarybr 圆心为圆心为O1(a, ,b)、半径为