建筑力学(第三讲)

1、 建筑力学建筑力学（主干课）（主干课）东南大学继续教育主讲教师：张主讲教师：张 平平 第第 3 讲讲4-3、 平面弯曲时梁的挠度与截面转角计算平面弯曲时梁的挠度与截面转角计算（1）、积分法求梁的变形）、积分法求梁的变形对其积分一次：对其积分一次：根据挠曲线的近似微分方程：根据挠曲线的近似微分方程：EIxMdxyd)(22CdxxMEIdxdyEI)(再对其积分一次：再对其积分一次：DCxdxdxxMEIy)( 积分常数积分常数C、D需根据梁在支承处的边界条件以及挠需根据梁在支承处的边界条件以及挠曲线的连续性和光滑性条件来确定。曲线的连续性和光滑性条件来确定。原理：原理：先用积分法分别计算出每个

2、荷载单独作用时梁的转角和挠度，先用积分法分别计算出每个荷载单独作用时梁的转角和挠度，再求出它们的代数和，即为梁在所有荷载共同作用下的转角和挠度。再求出它们的代数和，即为梁在所有荷载共同作用下的转角和挠度。（2）、用叠加法求梁的变形）、用叠加法求梁的变形ABCqLL（3）、变形比较法求解超静定梁的应用图示连续梁为一次超静定体系。 竖向有三个未知反力，应用静 力平衡方程无法全部求出。考虑体系受约束限制，变形的趋势是在三个竖向支座处的竖向位移即挠度均为零：0CBAyyy利用梁变形的相关概念，选取相应的基本体系如图。ABCqCRABCBRq1）在荷载与反力RC共同作用下yC=02）在荷载与反力RB共同

3、作用下yB=0ABCqLL例2-3-11 作连续梁的内力图。EI是常数。ABCqCR解：1)由叠加法求梁的变形可知在荷载与反力RC共同作用下yC=0的情况相对求解简单。yC=0可按照图示分解，应用已有的叠加法表求解。ABCqCRB)(; 0);();();(16332433324243343343qlCEIlREIlREIlqRClRCqCCEIlRRCEIlREIllRlRBlRCEIlqEIlqqBqCRyyyyyllyllyCCCCCCCCCClRCCCR2)由叠加法求梁的变形ABCqCRABCCRABCqBCA162ql3)由叠加法求q和RC共同作用时的弯矩图M162ql简单图形的惯性

4、矩（对截面形心轴）简单图形的惯性矩（对截面形心轴）3121bhIz)1 (64144DIIzy矩形（或平行四边形）：水平轴为矩形（或平行四边形）：水平轴为Z轴，宽度轴，宽度b，高度，高度h：3121hbIy圆形：圆形：644DIIzy圆环形：圆环形：)1 (32144DIp其中：其中：Dd圆环形极惯性矩：圆环形极惯性矩：五、五、 平面图形的几何性质平面图形的几何性质六、组合变形六、组合变形 组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以上的基本变形组合而成的。土木工程常见组合变形的类型 ： （A） 斜弯曲 （B） 拉伸（压缩）与弯曲组合 - 偏心拉伸（压缩）先分解-应先分解为各种基本变形，分别计

5、算各基本变形。 后叠加-将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变形的结果。计算方法：弹性范围小变形情况下弹性范围小变形情况下 梁在发生弯曲变形时，其弯曲平面（即挠曲轴线所在平面）梁在发生弯曲变形时，其弯曲平面（即挠曲轴线所在平面）将与外力的作用平面相重合，这种弯曲叫做将与外力的作用平面相重合，这种弯曲叫做平面弯曲平面弯曲。 外力所在平面与变形曲线所在平面不重合的弯曲称为外力所在平面与变形曲线所在平面不重合的弯曲称为斜弯曲斜弯曲。 6-16-1、斜弯曲变形的应力和强度计算、斜弯曲变形的应力和强度计算斜弯曲研究方法：首先将外力分解为在梁的二形心主惯性平斜弯曲研究方法：首先将外力分解为在梁的二形心主惯

6、性平面内的分量，然后分别求解由每一外力分量引起的梁的平面面内的分量，然后分别求解由每一外力分量引起的梁的平面弯曲问题，将所得的结果叠加起来，即为斜弯曲问题的解答。弯曲问题，将所得的结果叠加起来，即为斜弯曲问题的解答。 两个互相垂直方向的平面弯曲的组合两个互相垂直方向的平面弯曲的组合受力特点：外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称面内。 变形特点：杆轴弯曲平面与外力作用平面不重合。平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲（1 1）、强度计算：、强度计算：.内力计算：Pzmm yxyzoozPxLK.外力分解：PycosPPysinPPz;sinsin;coscosMxPxPMMxPxPMzyyz应力计算：

7、应力计算：maxmaxmax.zIMyIMyyZZ 最大应力：最大应力：ZZyyIyMIzM)(/设yym-+z+zmymmxyz+-ymmxyz+-/zM/yMzzyyctWMWMmaxmaxmax,max,D1点：max,ttD2点：max,cc强度条件：强度条件：挠度：22zyffftantanyzyzIIff正方形zyII PPzPy新的中性轴 （2 2）、 梁在斜弯曲时荷载作用平面、挠曲线平面不重合。产生新的中性轴平面。6-2、轴向拉伸（或压缩）与弯曲的组合变形计算、轴向拉伸（或压缩）与弯曲的组合变形计算 杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生

8、的变形为拉（压）弯组合变形为拉（压）弯组合变形PxzPMzxzPMzMyyy内力：N=P, M=Pe;zMNIyMAN 应力：;minmax zWPeAP强度条件：+Ozy-ehbehp概念-受力特点：外力与杆轴线平行但不重合 变形特点：轴向拉压与纯弯曲组合的变形（1）、单向偏心压缩的应力计算：）、单向偏心压缩的应力计算：例6-2 图示为一厂房的牛腿柱，设由房顶传来的压力P1=100KN，由吊车梁传来压力P2=30KN，已知e=0.2m，b=0.18m，问截面边h为多少时，截面不出现拉应力。并求出这时的最大压应力。解：1.求内力： .280,9 .276; 0618. 010618. 0101

9、30263maxmmhmmhhhWMAPz取 MPaWMAPz13. 5628. 018. 010628. 018. 010130263max 2.求应力：byzohee2P1PhM=P2 e=6KN.m N=P1+P2=100+30=130KNP169-8-6解解：mmb100n-n截面：067. 067. 020ZWFAFAmmh1201)(33. 167. 067. 024000020800012000800020MpaZWFAFB31012120100A形心在60mm处36120100102402ZW例例6-16-1（2 2）、双向偏心拉伸（压缩）的应力计算）、双向偏心拉伸（压缩）的应

10、力计算 外力作用线与杆轴线平行，且作用点不在截面的任何一个形心主轴上，而且位于Z、Y轴的距离分别为 和 的某一点K处。这类偏心称为双向偏心拉（压）。下图为双向偏心拉伸：eyezxzypeyzexzyPeyze、轴向力P的作用：APANN、 的作用：mzyyImIMzzzzmz 、 的作用：myZImZIMyyyymyZIMyImAPyyzzZIPeyIPeAPyzzy强度条件强度条件：yzzyWPeWPeAPxzyoabcd(b)Pmyzm 在双向偏心拉（压）时，杆件横截面上任一点正应力计算方法与单向偏心拉（压）类似。 PxzPMzxzPMzMy矩形柱的双向偏心压缩：矩形柱的双向偏心压缩：yy

11、+矩形柱截面横向尺寸矩形柱截面横向尺寸b、h矩形柱的横截面轴心受压，各点压应力相同：矩形柱的横截面轴心受压，各点压应力相同：绕绕Z轴弯曲，横截面轴弯曲，横截面Y轴正向半截面受压：轴正向半截面受压：hbPANN221223hPhyhbhzzzzmzImIM绕绕Y轴弯曲，横截面轴弯曲，横截面Z轴正向半截面受压：轴正向半截面受压：221223bPbzbhbyyyymyImIMhbPhbPPPbPhPhbPbhAPzyAPbhbhbhyyzzyyzzImImIMIM7332222122122max33横截面上的最大压应力点就是危险点：横截面上的最大压应力点就是危险点：例例6-2 厂房的牛腿柱受到吊车竖

12、向轮压力P=220kN，屋面架传至柱顶的水平力F=8kN，水平风荷载q=1kN/m的作用，P力的作用线离底部柱的中心线的距离e=40mm，柱子底部截面尺寸为1mX0.3m，计算底部危险点的应力。mme PFq3m6.5m解：1）组合变形内力分析qFPPehbPP62bhPePe62)5.63(bhFF 62221)5.63(bhqq221)5 . 63( q)5 . 63( FPPe右侧受压右侧受压左侧受压受压)(90.010)5.63(1610003003221)5.63(262221Mpabhqq2）组合变形应力分析)(52.16210003003362105.9108)5.63(Mpab

13、hFF)(73.01000300102203MpahbPP)(76.162100030036240010220MpabhPePe)(87.1-76.1-3.70-2.510.90-)(1.4076.13.70-2.51-0.90MpaMpa柱右侧柱左侧3）组合变形危险点在柱底部的右侧maxmax例6-3 厂房牛腿柱截面偏心受压如图，试求柱的最大压应力。长边=900mm，短边=400mm，屋架传递水力平F=10kN，吊车竖向轮压P=210kN，其作用线离底部柱的中心线偏心距e=40mm，计算柱横截面危险点的应力。H=12m。hmmePbm-meFP作用点HP例6-4 圆形截面水塔柱如图，水塔外径

14、D=2m，壁厚为0.5m，高度25m。风荷载q=1kN/m，水塔满水时的重力P=1800kN。材料的=8Mpa，校核其强度。q七、需注意的相关问题七、需注意的相关问题7-1、材料的性质、材料的性质（1）、塑性材料与脆性材料的确定）、塑性材料与脆性材料的确定%5为塑性材料；为塑性材料；%5为脆性材料为脆性材料延伸率：延伸率：（2）、）、材料力学性能的指标材料力学性能的指标屈服强度；屈服强度；0ssAF 0bbAF 抗拉强度；抗拉强度；材料强度指标：材料强度指标：（脆性材料仅有此项）（脆性材料仅有此项）材料塑性指标材料塑性指标: :%100001lll断后延伸率（伸长率）断后延伸率（伸长率）断面收

15、缩率断面收缩率%100010AAA塑性材料极限应力塑性材料极限应力: :su（屈服极限）（屈服极限）脆性材料极限应力脆性材料极限应力: :bu（强度极限）（强度极限）塑性材料的危险应力塑性材料的危险应力-屈服极限。屈服极限。脆性材料的危险应力脆性材料的危险应力-强度极限。强度极限。（3）、）、材料的极限应力材料的极限应力（4）、）、 低碳钢的拉伸实低碳钢的拉伸实 验验的四个阶段的四个阶段及相应特征指标及相应特征指标a) )弹性阶段：弹性阶段： p材料的材料的比例极限（应力）比例极限（应力） e材料的材料的弹性极限（应力）弹性极限（应力）b)屈服阶段：屈服阶段： s材料的材料的屈服极限（应力）屈

16、服极限（应力）c) )强化阶段：强化阶段：材料的材料的强化极限（应力）强化极限（应力） bd) )颈缩破坏阶段颈缩破坏阶段 （5）、）、 铸铁铸铁的拉伸实的拉伸实 验验及相应特征指标及相应特征指标强度极限强度极限为铸铁拉断时的最大应力。为铸铁拉断时的最大应力。应力与应变不应力与应变不成比例，无屈服、颈缩现象，变形很成比例，无屈服、颈缩现象，变形很 小且小且 b很低。很低。（6）、）、卸载定律及冷作硬化（屈服阶段以后）卸载定律及冷作硬化（屈服阶段以后）1 1、弹性范围内卸载、再加载、弹性范围内卸载、再加载oabcefPesb2 2、过弹性范围卸载、再加载、过弹性范围卸载、再加载ddghf 即材料

17、在卸载过程中即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，应力和应变是线形关系，这就是这就是卸载定律卸载定律。 材料的比例极限增高，脆材料的比例极限增高，脆性增加，延伸率降低，称之为性增加，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化（退火可冷作硬化或加工硬化（退火可消除）消除）。7-2、切应力互等定理：、切应力互等定理： 该等式表明：在单元体相互垂直的两个平面上，在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。背离该交线。-切应力互等定理切应力互等定理

18、acddxbdy 在图示的单元体中有：（2）、剪切胡克定律：、剪切胡克定律： 当切应力不超过材料的剪切比例极限时（当切应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，切应力与切，切应力与切应变成正比关系：应变成正比关系： G 对于各向同性材料有：对于各向同性材料有：)1 (2EG（1）、切应力互等定理切应力互等定理7-37-3、压杆稳定、压杆稳定（1 1）、压杆稳定与压杆失稳破坏）、压杆稳定与压杆失稳破坏 细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，将会由于平衡细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效，又的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效，又称为屈曲失效。

19、称为屈曲失效。 （2 2）、）、压杆的稳定平衡与不稳定平衡压杆的稳定平衡与不稳定平衡F横向扰动F横向扰动稳定平衡稳定平衡 若若干扰力撤消，直杆干扰力撤消，直杆能回到原有的直线能回到原有的直线状态状态 不稳定平衡不稳定平衡 若干扰力撤消，若干扰力撤消，直杆不能回到原直杆不能回到原有直线状态有直线状态理想压杆：材料绝对纯，轴线绝对直理想压杆：材料绝对纯，轴线绝对直, ,压力绝对沿轴线压力绝对沿轴线平衡构形平衡构形压杆的两种平衡形压杆的两种平衡形态态 (equilibrium configuration)PkPk （3 3）、）、判别弹性平衡稳定性的静力学准则判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （sta

20、tical criterion for elastic stability） PPk :在在扰动作用下，扰动作用下，直线平衡形直线平衡形态态转变为弯曲转变为弯曲平衡形平衡形态态，扰动除去后，扰动除去后，不能恢复到直线平衡形不能恢复到直线平衡形态态，则称原来的直线平衡形则称原来的直线平衡形态态是是不稳定的。不稳定的。PkPkP有受压后挠度有受压后挠度 。建立如图坐标系。建立如图坐标系。 （4 4）、杆端约束对细长压杆临界力的影响）、杆端约束对细长压杆临界力的影响22LEIPk2一端固定另端绞支一端固定另端绞支C为拐点为拐点 l ABkPCl 7 . 0227 . 0 lEIPk7 . 01两端固

21、定两端固定 l ABkPCD2l5 . 0kPll 222lEIPk3一端固定另端自由一端固定另端自由2225 . 0 lEIPk欧拉公式欧拉公式Pk22)( LEIPk杆端杆端约束对压杆临界力的影响约束对压杆临界力的影响-临界应力在线弹性范围内临界应力在线弹性范围内 压杆的临界应力公式压杆的临界应力公式 （临界应力欧拉公式）（临界应力欧拉公式）压杆受临界力压杆受临界力Pk作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力可按时，横截面上的压应力可按 = P/A 计算。计算。按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面按各种支承情况下压杆

22、临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为上的应力为：为压杆横截面对中性轴的惯性半径为压杆横截面对中性轴的惯性半径2222/ilEAlEIAPkkAIi 工程实际中，常将图形对某轴的惯性矩，表示为图形面积与某一长度平方的乘积，即 式中iz、iy分别称定义为平面图形对z轴和y轴的惯性半径，常用单位为米（m）或毫米（mm)。 惯性半径 2zz2yyI =i AI =i AAIizz,AIiyy(radius of gyration of an area)22iLEkiL22Ek称为压杆的柔度（长细比）。反映压杆长度，称为压杆的柔度（长细比）。反映压杆长度，杆端约束，截面尺寸和形状对杆端约束，截面尺寸

23、和形状对临界应力的影响。临界应力的影响。kkAP 越大，相应的越大，相应的 k 越小，压杆越容易失稳。越小，压杆越容易失稳。相当长度相当长度（equivalent length) l 的物理意义的物理意义(5)、压杆的临界应力（、压杆的临界应力（Critical stress)总图总图根据柔度的大小可将压杆根据柔度的大小可将压杆分为三类分为三类: :POk22EkPPbakSSPkEiLE22222222PEE 当当 p（大柔度压杆或细长压杆（大柔度压杆或细长压杆（slender column)）时，应用）时，应用欧拉公式。欧拉公式。pppEE2或或PsP 需应用经验公式。需应用经验公式。A.

24、直线型经验公式直线型经验公式 P S 时：时：skbassbabak界应力用经验公式求的杆为中柔度杆，其临 PsskkiL bakPSbass PPE 2 临界应力总图临界应力总图（total diagram of critical stress)22Ek211bak时时，由由此此式式求求临临界界应应力力 c 我国建筑业常用：我国建筑业常用： P s 时：时：pPscr)(il o22Ek经验公式经验公式B.抛物线型经验公式抛物线型经验公式2)(1csk临界应力总图临界应力总图（total diagram of critical stress)S S 时：时：界应力为屈服极限的杆为小柔度杆，其

25、临 Ssk影响影响压杆承载能力的因素压杆承载能力的因素:22LEIPkAPkkAbaAAAPnkku（6） 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施压杆的合理截面压杆的合理截面提高提高压杆承载能力的主要途径压杆承载能力的主要途径 为了提高压杆承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的为了提高压杆承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影响。可能的措施有以下几方面：合理性以及材料性能等因素的影响。可能的措施有以下几方面：尽量尽量减少压杆杆长减少压杆杆长对于细长杆，其临界荷载与杆长平方成反比。因此，减少杆长可对于细长杆，其临界荷载与杆长平方成反比。因此，减少杆长可以显著地提

26、高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变结构或增以显著地提高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变结构或增加支点可以达到减小杆长从而提高压杆承载能力的目的。加支点可以达到减小杆长从而提高压杆承载能力的目的。)(aPCBA)(bPCBA两种桁架中的、杆均为压杆，但图两种桁架中的、杆均为压杆，但图b b中压杆承载能力要远远中压杆承载能力要远远高于图高于图a a中的压杆。中的压杆。支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大。如，将支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大。如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将呈数两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将呈数倍

27、增加。倍增加。增强增强支承的刚性支承的刚性)(aPCBA)(bPCBA当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时条件时,压杆将在刚度最小的平面内弯曲压杆将在刚度最小的平面内弯曲.这时如果这时如果只增加截面某个反方向的惯性矩只增加截面某个反方向的惯性矩,并不能提高压杆的并不能提高压杆的承载能力承载能力,最经济的办法是将截面设计成空的最经济的办法是将截面设计成空的,且尽量且尽量使从而加大截面的惯性矩使从而加大截面的惯性矩.并使截面对各个方向轴的并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同惯性矩均相同.因此因此,对一定的横截面面积对一定的横截面面积,正方形截

28、面正方形截面或圆截面比矩形截面好或圆截面比矩形截面好,空心截面比实心截面好空心截面比实心截面好.合理合理选择截面形状选择截面形状当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时,应采应采用最大与最小惯性矩不等的截面用最大与最小惯性矩不等的截面,并使惯性矩较小的平面并使惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束内具有较强刚性的约束.在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高细长压杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压细长压杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载

29、荷。但是，普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性杆的临界载荷。但是，普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。 合理选用材料合理选用材料 对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷限或屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。有所提高。例例7-1 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受图

30、示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，的压力最大， 哪一根的最小？哪一根的最小？al2)(1al3 . 1)(2aal12. 16 . 17 . 0)(3aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a 321 lll因为因为又又22lEIPk可知可知321kkkPPP（1）杆承受的压力最小，最先失稳；）杆承受的压力最小，最先失稳；（3）杆承受的压力最大，最稳定。）杆承受的压力最大，最稳定。压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，（压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，（ ）和）和（ ）对临界压力的综合影响。）对临界压力的综合影响。例例7-2 两根细长压杆两根细长压杆a a与与b b的

31、长度、横截面面积、约束状的长度、横截面面积、约束状态及材料均相同，若其横截面形状分别为正方形和圆形，态及材料均相同，若其横截面形状分别为正方形和圆形，则二压杆的临界压力则二压杆的临界压力FakFak和和FbckFbck的关系为（的关系为（ ）。）。A.PA.Pakak=P=Pbkbk；B.PB.PakakF FPkPk；C.PC.PakakP Pbkbk；D.D.不确定不确定例例7-3 材料和柔度都相同的两根压杆（材料和柔度都相同的两根压杆（ ）。）。A. A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；临界应力一定相等，临界压力不一定相等；B. B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；临界应力不一定相等，临界压力一定相等；C. C. 临界应力和压力都一定相等；临界应力和压力都一定相等；D. D. 临界应力和压力都不一定相等。临界应力和压力都不一定相等。例例7-4 图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时（图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时（ ）。）。A.A.临界压力