第九讲无套利定价原理总结

1、第九讲第九讲 无套利定价原理总结无套利定价原理总结商业贸易中的套利行为商业贸易中的套利行为 15,000元元/吨吨贸易公司贸易公司卖方甲卖方甲买方乙买方乙17,000元元/吨吨铜铜铜铜在商品贸易中套利时需考虑的成本：在商品贸易中套利时需考虑的成本：（1）信息成本：）信息成本： （2）空间成本）空间成本 （3）时间成本）时间成本 金融市场中的套利行为金融市场中的套利行为u专业化交易市场的存在专业化交易市场的存在 信息成本只剩下交易费用信息成本只剩下交易费用 产品标准化产品标准化u金融产品的无形化没有空间成本金融产品的无形化没有空间成本u金融市场存在的卖空机制大大增加了套利机会金融市场存在的卖空机

2、制大大增加了套利机会 u金融产品在时间和空间上的多样性也使得套利更为便捷金融产品在时间和空间上的多样性也使得套利更为便捷 套利的定义套利的定义u套利套利 指一个能产生无风险盈利的交易策略。指一个能产生无风险盈利的交易策略。 这种套利是指纯粹的无风险套利。这种套利是指纯粹的无风险套利。u但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生无风险但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生无风险盈利的策略，可能会承担一定的低风险。盈利的策略，可能会承担一定的低风险。 “无套利定价无套利定价”原理原理“无套利定价无套利定价”原理原理 金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在套利机会。金融产品在市场的

3、合理价格是这个价格使得市场不存在套利机会。那什么是套利机会呢？那什么是套利机会呢？套利机会的等价条件套利机会的等价条件（1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（payoff）相同，但它们的成本却不同；损益：现金流不确定状态下：每一种状态对应的现金流（2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的支付。（3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。无套利定价原理无套利定价原理（1）同损益同价格如果

4、两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格。（2）静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证券的“复制组合”（replicating portfolio）。（3）动态组合复制定价：如果一个自融资（self-financing）交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。这称为动态套期保值策略（dynamic hedging strategy）。确定状态下无套利定价原理的应用确定状态下无套利定价原理的应用案例案例1 1： 假设两个零息票债券假设两个零息票债券A A和和B B，两者都

5、是在，两者都是在1 1年后的同一天支付年后的同一天支付100100元的面值。如果元的面值。如果A A的当前价格为的当前价格为9898元。另外，假设不考虑交易元。另外，假设不考虑交易成本。成本。 问题：问题： （1 1）B B的价格应该为多少呢？的价格应该为多少呢？ （2 2）如果）如果B B的市场价格只有的市场价格只有97.597.5元，问如何套利呢？元，问如何套利呢？ 应用同损益同价格原理：应用同损益同价格原理： B B的价格也为的价格也为9898元元 如果如果B B的市场价格只有的市场价格只有97.597.5元，卖空元，卖空A A，买进，买进B B案例案例2 2： 假设当前市场的零息票债券

6、的价格为： 1年后到期的零息票债券的价格为98元； 2年后到期的零息票债券的价格为96元； 3年后到期的零息票债券的价格为93元；另外，假设不考虑交易成本。 问题问题： （1）息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券的价格为多少呢？ （2）如果息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券价格为120元，如何套利呢？ 未来损益图：未来损益图：1年末年末2年末年末3年末年末1010110静态组合复制策略静态组合复制策略（1）购买0.1张的1年后到期的零息票债券，其损益刚好为1000.110元；（2）购买0.1张的2年后到期的零息票债券，其损益刚好为1000.110元；（3）购买1.1张

7、的3年后到期的零息票债券，其损益刚好为1001.1110元；根据无套利定价原理的推论根据无套利定价原理的推论 0.1980.1961.193121.7问题问题(2)(2)的答案：的答案： 市场价格为120元，低估B，则买进B，卖出静态组合（1）买进1张息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券；（2）卖空0.1张的1年后到期的零息票债券；（3）卖空0.1张的2年后到期的零息票债券；（4）卖空1.1张的3年后到期的零息票债券； 案例案例3 3： 假设从现在开始1年后到期的零息票债券的价格为98元，从1年后开始，在2年后到期的零息票债券的价格也为98元（1年后的价格）。另外，假设不考虑交易成

8、本。 问题问题： （1）从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为多少呢？ （2）如果现在开始2年后到期的零息票债券价格为99元，如何套利呢？ (1) 从现在开始从现在开始1年后到期的债券年后到期的债券Z01第第1年末年末支付支付:100价格价格:98(2) 1年后开始年后开始2年后到期的债券年后到期的债券Z12第第2年末年末支付支付:100价格价格:98(3) 从现在开始从现在开始2年后到期的债券年后到期的债券Z02第第2年末年末支付支付:100价格价格:？动态组合复制策略动态组合复制策略：（1）先在当前购买0.98份的债券Z01；（2）在第1年末0.98份债券Z01到期，获得0.981009

9、8元；（3）在第1年末再用获得的98元去购买1份债券Z12；交易策略交易策略现金流现金流当前当前第第1 1年末年末第第2 2年末年末(1)(1)购买购买0.980.98份份Z Z0 01 1-98-980.98=-0.98=-96.0496.040.980.98100=100=9898(2)(2)在第在第1 1年末购买年末购买1 1份份Z Z1 12 2-98-98100100合计：合计：-96.04-96.040 0100100这个自融资交易策略的损益：这个自融资交易策略的损益：就是在第就是在第2 2年末获得本金年末获得本金100100元，这等同于一个现在开始元，这等同于一个现在开始2 2年

10、后到期的零息票债券的损益。年后到期的零息票债券的损益。这个自融资交易策略的成本为：这个自融资交易策略的成本为： 98980.980.9896.04 96.04 自融资交易策略自融资交易策略是指除了初始投资（initial investment）之外，在投资过程中，不追加任何投资，也不从投资中转移资本，只通过资产组合本身所含资产的等额买卖进行资产组合的结构调整。如果市价为如果市价为9999元，如何套利元，如何套利 构造的套利策略如下：构造的套利策略如下：（1）卖空1份Z02债券，获得99元，所承担的义务是在2年后支付100元；（2）在获得的99元中取出96.04元，购买0.98份Z01；（3）购

11、买的1年期零息票债券到期，在第一年末获得98元；（4）再在第1年末用获得的98元购买1份第2年末到期的1年期零息票债券；（5）在第2年末，零息票债券到期获得100元，用于支付步骤（1）卖空的100元； 交易策略交易策略现金流现金流当前当前第第1 1年末年末第第 2 2 年年末末(1)(1)卖空卖空1 1份份Z Z0 02 29999-100-100(2)(2)购买购买0.980.98份份Z Z0 01 1-0.98-0.9898 =-98 =-96.0496.040.980.98100 = 100 = 9898(3)(3)在第在第1 1年末购买年末购买1 1份份Z Z1 12 2-98-981

12、00100合计：合计：99-96.04 = 99-96.04 = 2.962.960 00 0不确定状态下的无套利定价原理的应用不确定状态下的无套利定价原理的应用u不确定状态不确定状态： 资产的未来损益不确定 假设市场在未来某一时刻存在有限种状态 在每一种状态下资产的未来损益已知 但未来时刻到底发生哪一种状态不知道案例案例4 4： 假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元,1年后的市场可能出现两种状态：状态1和状态2。状态1时，A的未来损益为105元，状态2时，95元。有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1时105元，状态2时95元。另外，假设不考虑交易成本。 问题：问题： （1）B

13、的合理价格为多少呢？ （2）如果B的价格为99元，如何套利？ 答案：答案：（1）B的合理价格也为100元；（2）如果B为99元，价值被低估，则买进B，卖空A。案例案例5 5： 假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元。 1年后的市场出现两种可能的状态：状态1和状态2。 状态1时，A的未来损益为105元，状态2时，95元。 有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1时120元，状态2时110元。 另外，假设不考虑交易成本，资金借贷也不需要成本。 问题：问题： （1）B的合理价格为多少呢？ （2）如果B的价格为110元，如何套利？证券未来损益图10010595风险证券风险证券AP PB B1

14、20110风险证券风险证券B1 111资金借贷资金借贷 静态组合策略：静态组合策略：要求 x 份的证券A和 y 份的资金借贷构成B解得解得： x= 1, y = 15 所以所以： B的价格为： 1*100+15*1 = 115第(2)个问题： 当B为110元时，如何构造套利组合呢？套利组合套利组合： 买进B，卖空A，借入资金15元。1101201195105yx期初时刻的期初时刻的现金流现金流期末时刻的现金流期末时刻的现金流第 一 种第 一 种状态状态第二种状第二种状态态(1)(1)买进买进B B-110-110120120110110(2)(2)卖空卖空A A100100-105-105-9

15、5-95(3)(3)借入资金借入资金1515元元1515-15-15-15-15合计合计5 50 00 0案例案例6 6： 假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元。1年后的市场出现三种可能的状态：状态1、2和3。状态1、2和3时，A的未来损益分别为110.25，99.75，90.25元。 有一证券B，它在1年后的未来损益也是：状态1、2和3时，分别为125，112.5和109元。 另外，假设不考虑交易成本，资金借贷的年利率为5.06，半年利率为2.5。问题：问题： （1）B的合理价格为多少呢？ （2）如果B的价格为110元，如何套利？证券未来损益图证券未来损益图100110.2599.7

16、5风险证券风险证券A风险证券风险证券B资金借贷资金借贷90.25PB125112.51091 1.05061.05061.0506 构造静态组合：构造静态组合：x 份A和 y 份资金借贷构成B1095.1121250506.10506.10506.125.9075.9925.110yx方程无解！方程无解！ 动态组合复制动态组合复制 动态：动态：我们把1年的持有期拆成两个半年，这样在半年后就可调整组合假设证券A在半年后的损益为两种状态，分别为105元和95元 证券B的半年后的损益不知道110.2599.75风险证券风险证券A风险证券风险证券B90.2510010595PBB1B212512511

17、2.51091.05061.05061.050611.0251.025 构造如下的组合：构造如下的组合：（1 1）1 1份的证券份的证券A A；（；（2 2）持有现金）持有现金13.5613.56。 5.1041145.1240506.10506.10506.156.1325.9075.9925.1101在半年后进行组合调整在半年后进行组合调整 (1)(1)证券证券A A的损益为的损益为105105时：时： 再买进0.19份的证券A，需要现金19.95元（0.1910519.95） 持有的现金13.56，加上利息变为：13.561.02513.90。半年后的组合变为： 1.19份证券A 现金6

18、.05 （13.90 19.95） 在在1 1年后此组合损益状态为：年后此组合损益状态为： 5 .112125025.1025.105.675.9925.11019.1(2)(2)证券证券A A的损益为的损益为9595时：时： 卖出0.632份的证券A，得到0.6329560.04元持有的现金13.56，加上利息变为：13.561.02513.90半年后的组合变为： 0.368份证券A 现金73.94 （13.9060.0473.94 ）1095.112025.1025.194.7325.9075.99368.0在在1 1年后此组合损益状态为：年后此组合损益状态为：110.2599.7590.

19、2510010595原始组合：原始组合：(1)持有持有1份份A( 2 ) 持 有 现 金持 有 现 金13.56操作：卖出操作：卖出0.632份份A组合为：组合为：(1)持有持有0.368份份A(2)持有现金持有现金73.94操作：买进操作：买进0.19份份A组合为：组合为：(1)持有持有1.19份份A(2)持有现金持有现金-6.05组合的支付为：组合的支付为：125112.5109半年后的组合调整是如何得到呢？半年后的组合调整是如何得到呢？ 动态策略调整方法：动态策略调整方法：多期的静态复制策略从后往前应用静态复制策略110.2599.75风险证券风险证券A风险证券风险证券B90.2510010595PBB1B2125125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（1 1）证券在中期价格为）证券在中期价格为105105时：时：解得：解得： x = 1.19，y5.90 此时B的价格为： B11.191055.901.025118.90 5.1121250506.10506.175.9925.110yx110.2599.75风险证券风险证券A风险证券风险证