第三章线性系统的时域分析法(1)

1、第三章 线性系统的时域分析法 第三章 线性系统的时域分析法 3.1 系统的时域性能指标系统的时域性能指标 3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析 3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差计算控制系统的稳态误差计算 3.7 控制系统时域分析的控制系统时域分析的MATLAB方法方法第三章 线性系统的时域分析法 自动控制原理课程的任务与体系结构自动控制原理课程的任务与体系结构第三章 线性系统的时域分析法 时域分析法时域分析法: : 直接求出系统输出随时间变化的规律，并

2、以此评价系直接求出系统输出随时间变化的规律，并以此评价系统的性能。统的性能。 时域分析的主要手段：时域分析的主要手段： 系统输出的时间函数借助拉氏变换或者数值计算求得系统输出的时间函数借助拉氏变换或者数值计算求得 时域分析的特点：时域分析的特点： 直观，物理概念比较清晰，准确程度高。但是，在分直观，物理概念比较清晰，准确程度高。但是，在分析系统性能变化趋势方面不如图解法。析系统性能变化趋势方面不如图解法。第三章 线性系统的时域分析法 3.1 系统的时域性能指标系统的时域性能指标 一般以典型输入信号作为系统的输入信号进行时域分析一般以典型输入信号作为系统的输入信号进行时域分析 1、 典型输入信号

3、典型输入信号 1） 阶跃函数阶跃函数 阶跃函数的时域表达式为阶跃函数的时域表达式为 000)( 1)(tttRtr式中式中, R为常数为常数, 当当R1时时, 称称r(t)=1(t)为单位阶跃函数。为单位阶跃函数。 tr (t)01输入量输入量r(t)=1(t)时，系统输出特性称为单位阶跃响应。用时，系统输出特性称为单位阶跃响应。用h(t)表示表示 MATLAB指令：指令：step(Gs)第三章 线性系统的时域分析法 2） 斜坡函数斜坡函数(速度函数速度函数)斜坡函数斜坡函数, 也称速度函数也称速度函数(见图见图3-1(b)，其时域表达式为，其时域表达式为 000)(ttRttr式中式中, R

4、为常数。当为常数。当R1时时, 称称r(t)=t为为单位斜坡函数。因为单位斜坡函数。因为dr(t)/dt=R, 所以斜所以斜坡函数代表匀速变化的信号。坡函数代表匀速变化的信号。 tr (t)0MATLAB没有专用的斜坡响应指令，用任意输入的响应指令：没有专用的斜坡响应指令，用任意输入的响应指令：n=1;t=0:0.1:9;u=t.n; %n=0、1、2分别为阶跃、斜坡加速度函分别为阶跃、斜坡加速度函数数lsim(Gs,u,t)第三章 线性系统的时域分析法 3）加速度函数）加速度函数加速度函数加速度函数(见图见图3-1(c)的时域表达式为的时域表达式为 0002)(2ttRttr式中，式中，R为

5、常数。当为常数。当R1时时, 称称r(t)=t2/2为单位加速度函数。因为单位加速度函数。因为为d2r(t)/dt2=R, 所以加速度函数代表匀加速变化的信号。所以加速度函数代表匀加速变化的信号。 tr (t)0第三章 线性系统的时域分析法 4）脉冲函数）脉冲函数脉冲函数的时域表达式为脉冲函数的时域表达式为 0001)(thhthtr式中式中,h称为脉冲宽度称为脉冲宽度, 脉冲的面积为脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于零的极限若对脉冲的宽度取趋于零的极限, 则有则有 000)()(tttrt称此函数为理想脉冲函数称此函数为理想脉冲函数, 又称又称函数函数。tr (t)0h1h(t)第三章 线

6、性系统的时域分析法 因因函数的面积为函数的面积为1，即，即5）正弦函数）正弦函数正弦函数的时域表达式为正弦函数的时域表达式为 tAtrsin)(式中式中, A为振幅为振幅, 为角频率。为角频率。 1)(dtt所以，所以， 函数的拉氏变换为：函数的拉氏变换为：L(t)=1另外，另外，dttdt)( 1)(tr (t)0AMATLAB的单位脉冲响应专用指令为：的单位脉冲响应专用指令为：impulse(Gs)输入量输入量r(t)= (t)时，系统输出函数称为单位脉冲响应。用时，系统输出函数称为单位脉冲响应。用g(t)表示表示 第三章 线性系统的时域分析法 2 、动态过程和稳态过程、动态过程和稳态过程

7、 1） 动态过程动态过程 动态过程又称过渡过程或瞬动态过程又称过渡过程或瞬态过程态过程, 指系统在典型输入信号指系统在典型输入信号作用下作用下, 系统输出量从开始状态系统输出量从开始状态到最终稳定状态的响应过程。到最终稳定状态的响应过程。 系统的模态（响应形式）由闭环极点确定，闭环零点只影响系统的模态（响应形式）由闭环极点确定，闭环零点只影响响应的幅值。闭环极点的不同取值，动态过程有单调上升，衰减响应的幅值。闭环极点的不同取值，动态过程有单调上升，衰减振荡、发散振荡和等幅振荡四种形式。振荡、发散振荡和等幅振荡四种形式。 动态过程包含了系统的稳定性、快速性、动态过程包含了系统的稳定性、快速性、

8、平稳性等信息。平稳性等信息。第三章 线性系统的时域分析法 2） 稳态过程稳态过程 稳态过程是指时间稳态过程是指时间 t 趋近于无穷大时趋近于无穷大时, 系统输出状态的表系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度。现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度。 稳态过程包含系统的稳态误差等信息。稳态过程包含系统的稳态误差等信息。 3 动态性能指标动态性能指标 系统性能指标的计算只有系统是稳定的情况下才有意义，系统性能指标的计算只有系统是稳定的情况下才有意义，特别是稳态误差的计算，应检验系统的稳定性。特别是稳态误差的计算，应检验系统的稳定性。 动态性能指标通常根据系统的阶跃响应曲

9、线定义。动态性能指标通常根据系统的阶跃响应曲线定义。第三章 线性系统的时域分析法 1. 延迟时间延迟时间td：响应：响应曲线第一次达到其终值曲线第一次达到其终值一半所需时间。一半所需时间。2. 上升时间上升时间tr：响应：响应从终值从终值10%上升到终值上升到终值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。 p tr0.5 c(t)td tp01 tst稳态误差稳态误差第三章 线性系统的时域分析法 3. 峰值时间峰值时间tp：响应超过其：响应超过其终

10、值到达第一个峰值所需时间。终值到达第一个峰值所需时间。 4. 调节时间调节时间ts：响应到达并：响应到达并保持在终值保持在终值内所需时间。内所需时间。 5. 超调量超调量 %：响应的最大：响应的最大输出量输出量c(tp)与终值与终值c()之差的百分比，即之差的百分比，即 p tr0.5 c(t)td tp01 tst稳 态 误稳 态 误差差%100)()()(%cctcp第三章 线性系统的时域分析法 6. 振荡次数振荡次数N: 在在0tts内内, 阶跃响应曲线穿越稳态值阶跃响应曲线穿越稳态值c()次数的一半称为振荡次数。次数的一半称为振荡次数。 p tr0.5 y(t)td tp01 tst稳

11、态误差稳态误差 上述动态性能指标中上述动态性能指标中, 常用的指标有常用的指标有tr、ts和和。上升时间上升时间tr评价系统的响应速度评价系统的响应速度; %评价系统的运行平稳性或阻尼程度评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出应当指出, 除简单的一、二阶系统外除简单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。解析表达式是很困难的。 第三章 线性系统的时域分析法 4. 稳态性能指标稳态性能指标 稳态误差：稳态误差：时间趋于无穷时时间趋于无穷时, 系统输出与输入量或输

12、入函数系统输出与输入量或输入函数确定的量之间的差值确定的量之间的差值, 称为系统的稳态误差。称为系统的稳态误差。 稳态误差通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下稳态误差通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。进行测定或计算。 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。第三章 线性系统的时域分析法 3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 11)()()()()()(TssRsCsRCTtrtcdttdcT微分方程：微分方程：闭环传递函数：闭环传递函数：标准形式标准形式3.2.1 一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型一阶

13、系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。 第三章 线性系统的时域分析法 3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 对于单位阶跃输入对于单位阶跃输入 ssRttr1)(),( 1)(有有 11) 1(1111)()()(TsTsTsssTssRssC由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位阶跃响应由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位阶跃响应c(t)为为 )0(1)()()(/tetctctcTtts第三章 线性系统的时域分析法 j 0P = - -1/TS平面平面(a) 零极点分布零极点分布 h(t)0.6320.8650.950.98

14、2初始斜率为初始斜率为1/T h(t)=1-e-t/T0 tT2T3T4T1(b) 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 cs(t)=1是稳态分量是稳态分量, 由输入信号决定。由输入信号决定。 ct(t)=-e-t/T是瞬态分量是瞬态分量(暂态分量暂态分量), 它的变化规律由闭环传递它的变化规律由闭环传递函数的极点函数的极点 P = - -1/T 决定。当决定。当t时时, 瞬态分量按指数规律衰减瞬态分量按指数规律衰减到零。到零。T越小，响应曲线上升速度越快。越小，响应曲线上升速度越快。)0(1)()()(/tetctctcTtts第三章 线性系统的时域分析法 一阶系统的单位阶跃响应的特点：一阶系统

15、的单位阶跃响应的特点： 1）时间常数）时间常数T反映系统的快速性；反映系统的快速性； 2）初始斜率为）初始斜率为1/T； 3）无超调。稳态输出为）无超调。稳态输出为1。稳态误差。稳态误差ess=0 。 4) 若闭环传函的分子为若闭环传函的分子为K，则稳态输出为，则稳态输出为K，响应速度不变，响应速度不变 h(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为初始斜率为1/T h(t)=1-e-t/T0 tT2T3T4T1第三章 线性系统的时域分析法 根据动态性能指标定义，求一阶系统的动态性能指标根据动态性能指标定义，求一阶系统的动态性能指标a.求延迟时间求延迟时间td：因为因为h()=1，由

16、，由td的定义，当的定义，当t=td时，时，h(td)=0.5 代入一阶系统阶跃响应表达式，代入一阶系统阶跃响应表达式，；则则2ln2 ,15 . 0 TteedTtTtddTtTtdd69. 0, 2ln 所以：所以：b.求上升时间求上升时间tr由上升时间的定义，分别求出由上升时间的定义，分别求出h(t1)=0.1；h(t2)=0.9得：得：t1=0.1T；t2=2.3T所以：所以：tr=t2t1=2.2Tc.同理可求出同理可求出ts=3T (=5%) 或或 ts=4T (=2%) d.一阶系统没有超调，所以不需要求一阶系统没有超调，所以不需要求tP和和%。第三章 线性系统的时域分析法 解解

17、: (1) 与标准形式对比得：与标准形式对比得：T=0.1s，ts （5） =3T=0.3s 例例3.1 某一阶系统如图。某一阶系统如图。（1）求调节时间）求调节时间ts（5）（）（2）若要求）若要求 ts=0.1s,求反馈系数求反馈系数 Kh .11 . 0101 . 0)/100(1/100)()(1)()(ssssHsGsGs(2) 要求要求ts=0.1s，即即3T=0.1s, 即即 , 得得 11001/1/1001/100)(sKKsKsshhh31 . 01001hK3 . 0hK0.1C(s)R(s)E(s)100/s(- -) 解题关键：解题关键：化闭环传递函数为标准形式。化闭

18、环传递函数为标准形式。Kh第三章 线性系统的时域分析法 11)()()(TsSRSsC输出为传递函数的原函数输出为传递函数的原函数c(t)= g(t)=L-1G(s)。一阶系统的单。一阶系统的单位脉冲响应为位脉冲响应为 )0(1/1/1)(/1teTTsTLtgTt 输出量的拉氏变换与系统输出量的拉氏变换与系统传递函数相同传递函数相同, 即即 3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应 单位脉冲函数输入：单位脉冲函数输入： r(t)=(t), R(s)=1t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率为初始斜率为0.368/T0.05/T0t/TeT1g(t) T1g(t)

19、 impulse(1,1 1)2T1 单位脉冲响应可由单位阶跃响应求导得到单位脉冲响应可由单位阶跃响应求导得到: g(t)=d h(t)/dt第三章 线性系统的时域分析法 备注：备注：在初始条件为零的情况下，一阶系统的单位脉在初始条件为零的情况下，一阶系统的单位脉冲响应与系统闭环传递函数包含了相同的动态信息。冲响应与系统闭环传递函数包含了相同的动态信息。这一特点同样适用于其他各阶线性定常系统。这一特点同样适用于其他各阶线性定常系统。 因此，工程上常用因此，工程上常用测量系统的单位脉冲响应，来测量系统的单位脉冲响应，来求出被测系统的传递函数。求出被测系统的传递函数。 工程上无法得到理想单位脉冲函

20、数，一般用具有工程上无法得到理想单位脉冲函数，一般用具有一定脉宽一定脉宽b和有限幅度的矩形脉动函数来代替。一般和有限幅度的矩形脉动函数来代替。一般要求要求b0.1T。第三章 线性系统的时域分析法 3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应 对于单位斜坡函数对于单位斜坡函数 21)(,)(ssRttr可求得系统输出信号的拉氏变换为可求得系统输出信号的拉氏变换为 11111)(222TsTsTssTssC取拉氏反变换可得系统的单位斜坡响应为取拉氏反变换可得系统的单位斜坡响应为 TttsTeTttctctc/)()()()( (t0) c(t)r(t)c(t)TTTt0MATLAB指令

21、：指令：t =0:0.1:9; u= t ; lsim (1,1 1,u,t)第三章 线性系统的时域分析法 零初始条件下，单位斜坡响应可由单位阶跃响应积分得到。零初始条件下，单位斜坡响应可由单位阶跃响应积分得到。 系统的误差信号系统的误差信号e(t)为为 )1 ()()()(/TteTtctrte当当t时时, 。即一阶系统的单位斜坡响应的。即一阶系统的单位斜坡响应的误差误差为误差误差为T。 Tteet)(lim)( MATLAB指令：指令：t =0:0.1:9; r= t.2/2 ; lsim (1,1 1,r,t) 跟踪误差：跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T

22、) 随时间推移而增长，直随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。221)(ttr 输入输入)1(21)(/22TteTTtttc 输出输出3.2.4 一阶系统的单位加速度响应一阶系统的单位加速度响应第三章 线性系统的时域分析法 结论：结论： 一阶系统的典型响应与时间常数一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。密切相关。时间常数越小时间常数越小, 响应越快响应越快, 跟踪误差越小跟踪误差越小, 输出信号的滞后时间也越短，输出信号的滞后时间也越短， 一阶系统不能跟踪加速度函数。一阶系统不能跟踪加速度函数。 线性定常系统的等价关系：线性定常

23、系统的等价关系：对输入信号导数的响应对输入信号导数的响应, 等于对等于对输入信号响应的导数输入信号响应的导数; 对输入信号积分的响应对输入信号积分的响应, 等于输入信号响等于输入信号响应的积分应的积分, 积分常数由零初始条件确定。积分常数由零初始条件确定。 因此因此, 研究线性定常系统的时间响应研究线性定常系统的时间响应, 不必对每种输入信号不必对每种输入信号进行测定和计算进行测定和计算, 往往往往以一种典型输入进行研究。以一种典型输入进行研究。 )()()()( 1)( 1)(2222tcdtdthdtdtgttdtdtdtdt第三章 线性系统的时域分析法 二阶系统二阶系统：以：以二阶微分方

24、程二阶微分方程作为运动方程的控制系统。作为运动方程的控制系统。 从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件。二阶系统的二阶系统的研究意义研究意义 现实中存在大量的系统，它们本身就属于二阶系统。现实中存在大量的系统，它们本身就属于二阶系统。 大量的高阶、复杂系统可以在一定的近似范围内简化大量的高阶、复杂系统可以在一定的近似范围内简化 为二阶系统，以便于系统的分析与设计。为二阶系统，以便于系统的分析与设计。 在校正系统时，往往把系统设计成一个二阶系统。在校正系统时，往往把系统设计成一个二阶系统。 分析和理解高阶系统动态响应的基础。分析和理解高阶系统动态

25、响应的基础。单自由度机械振动系统单自由度机械振动系统电枢控制直流电动机系统电枢控制直流电动机系统3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 第三章 线性系统的时域分析法 3.3.1 二阶系统的标准形式二阶系统的标准形式 控制系统的运动方程为二阶微控制系统的运动方程为二阶微分方程，称为二阶系统。分方程，称为二阶系统。KsTsKsRsC2)()(令令2n=K/T, 1/T=2n, 则可将二阶系统化为分析暂态性能的则可将二阶系统化为分析暂态性能的标准形式：标准形式：222 2)()(nnnsssRsCR(s)C(s)(- -) 2(2nnss标准形式标准形式R(s)C(s)(- -) 1(T ss

26、K闭环传递函数：闭环传递函数：其中：其中： 自然振荡频率；自然振荡频率； 阻尼比。阻尼比。标准形式标准形式第三章 线性系统的时域分析法 标准形式的二阶系统的开环传递函数为标准形式的二阶系统的开环传递函数为)2()(2nnsssG系统的系统的特征方程及特征根（即系统的闭环极点）可求得特征方程及特征根（即系统的闭环极点）可求得二阶系统的特征方程二阶系统的特征方程0222nnss二阶系统的特征根二阶系统的特征根122, 1nns0, ,两个正实部的特征根两个正实部的特征根，系统发散，系统发散10 , ,闭环极点为一对共轭复根，位于左半闭环极点为一对共轭复根，位于左半s平面平面1, ,两个相等的负实根

27、两个相等的负实根1, ,两个不相等的负实根两个不相等的负实根0, ,虚轴上，一对纯虚根虚轴上，一对纯虚根 第三章 线性系统的时域分析法 0 222nnss单位阶跃输入单位阶跃输入r(t)=1(t)时，时，其二阶的输出的拉氏变换为其二阶的输出的拉氏变换为)(12)()()(212222sssssssssRssCnnnn 3.3.2 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应1 22, 1snn显然，显然，随着阻尼比随着阻尼比的不同的不同, 二阶系统特征根二阶系统特征根(极点极点)也不相同，也不相同，系统的响应形式也不同系统的响应形式也不同 。 二阶系统的特征方程及二阶系统的特征方程及系统的两个特征根系

28、统的两个特征根(极点极点)为为 第三章 线性系统的时域分析法 (a) 闭环极点分布闭环极点分布 j 11223345 05二阶系统的阶跃响应性能仿真定性分析二阶系统的阶跃响应性能仿真定性分析66n 一定，一定， 与系统性能的关系：与系统性能的关系： a . 0 1过阻尼，单调上升过阻尼，单调上升 d . =0无阻尼，等幅振荡无阻尼，等幅振荡 取不同值的取不同值的MATLAB程序：程序：G1=tf(4,1 2*0 *2 4) G2=tf(4,1 2*0.4*2 4)G3=tf(4,1 2*0.8*2 4)G4=tf(4,1 2* 1 *2 4)G5=tf(4,1 2* 2 *2 4)step(G

29、1,G2,G3,G4,G5);axis(0,8,0,2)第三章 线性系统的时域分析法 0123456789101112 nt c(t)0.81.01.82.0 =02.0结论：结论： 越大，平稳性越好，但是，上升速度越慢，快速性越差。越大，平稳性越好，但是，上升速度越慢，快速性越差。 0.4 0.8，快速性和平稳性均较好。，快速性和平稳性均较好。第三章 线性系统的时域分析法 一定时，一定时，n 与系统性能的关系：与系统性能的关系： MATLAB程序：程序： G1=tf(16,1 2*0.3*4 16) G

30、2=tf(4,1 2*0.3*2 4) step(G1,G2)结论：结论： n越大，上升速度越大，上升速度和调节速度越快，且和调节速度越快，且n 的变化不改变系统的平的变化不改变系统的平稳性。稳性。1n4n2第三章 线性系统的时域分析法 1. 欠阻尼情况欠阻尼情况(01)在这种情况下在这种情况下,系统有一对共轭复极点：系统有一对共轭复极点：2222222) ( ) (112 )(dnddndnnnnnssssssssC式中式中, 称为称为阻尼自振角频率阻尼自振角频率。输出的时间函数为。输出的时间函数为 ：2 1 ndC (s)可以展成如下部分分式形式可以展成如下部分分式形式: =cos 0 s

31、1 n- n s2 j j d 22, 1 1 jsnndj=二阶系统的解析定量分析二阶系统的解析定量分析第三章 线性系统的时域分析法 上式还可以改写为上式还可以改写为 )0()sin( 11sin cos 111)(2 22 ttettetcdtddtnn式中式中, )/ 1arctan(2)0(sin 1 cos1sin cos1)()(2 1tttetetesCLtcddtdtdndtnnn =cos 0 s1 n- n s2 j j d 阻尼角阻尼角第三章 线性系统的时域分析法 欠阻尼二阶系统的单位阶响应由欠阻尼二阶系统的单位阶响应由和和两部分组成：两部分组成： a. 瞬态部分瞬态部分

32、是衰减的正弦振荡曲线，衰减速度取决于特征根是衰减的正弦振荡曲线，衰减速度取决于特征根实部的绝对值实部的绝对值 n ( 即即，特征根实部），特征根实部）的大小的大小, b. 振荡角频率为阻尼振荡角频率振荡角频率为阻尼振荡角频率 d（特征根虚部），其值（特征根虚部），其值由阻尼比由阻尼比和自然振荡角频率和自然振荡角频率 n 决定。决定。 c. 振荡周期：振荡周期： d. 稳态部分等于稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；，表明不存在稳态误差；2 122Tndd21 nd)0()sin( 11)(2 ttetcdtn第三章 线性系统的时域分析法 2. 无阻尼情况无阻尼情况(=0)=0时，时，系统有两个

33、纯虚根：系统有两个纯虚根： s1、s2 =j n 系统的单位阶跃响应为系统的单位阶跃响应为 ttcncos1)(二阶系统在无阻尼情况下的阶跃响应是等幅正二阶系统在无阻尼情况下的阶跃响应是等幅正(余余)弦振荡曲线，弦振荡曲线，振荡角频率是振荡角频率是n。 2222211)(nnnssssssC-j j n0 s1 s2 j j n 第三章 线性系统的时域分析法 3. 临界阻尼情况临界阻尼情况(=1)当当=1时时,系统有两个相等的负实数极点：系统有两个相等的负实数极点： s1、s2 = - - n nnnnnssssssC1)(1)()(222对上式进行拉氏反变换得对上式进行拉氏反变换得 )0()

34、 1(1)(tettctnn二阶系统临界阻尼情况下的单位阶跃响应是一条无超调的单调二阶系统临界阻尼情况下的单位阶跃响应是一条无超调的单调上升曲线。是振荡与不振荡的临界点。上升曲线。是振荡与不振荡的临界点。调节时间调节时间ts4.7/ n 0 s1- - n s2 j 第三章 线性系统的时域分析法 4. 过阻尼情况过阻尼情况(1)这种情况下这种情况下, 系统存在两个不等的实根系统存在两个不等的实根, 即即 nnss)1 (,)1 (2221系统输出的拉氏变换系统输出的拉氏变换C(s)为为 )1 ()1 (1)()(23221212sCsCsCssssssCnnn0 s1 s2 j 第三章 线性系

35、统的时域分析法 式中式中, )1(121,)1(121, 12232221ccc取拉氏反变换可得过阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为取拉氏反变换可得过阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为 ttnneetc)1(22)1(2222)1(121)1(1211)(t0) 第三章 线性系统的时域分析法 a. 过阻尼二阶系统无超调，系统很平稳。过阻尼二阶系统无超调，系统很平稳。nst)1(432 b. 当当2时时, 二阶系统可近似为一个以靠近虚轴的极点二阶系统可近似为一个以靠近虚轴的极点s1所所表示的一阶系统。表示的一阶系统。 过阻尼二阶系统的特点：过阻尼二阶系统的特点：)1 (1 11)(2TTssGn

36、，c. 过阻尼二阶系统的响应速度很慢。过阻尼二阶系统的响应速度很慢。调节时间近似值为调节时间近似值为 第三章 线性系统的时域分析法 )0()sin(11)(2 ttetcdtn 21 ndrt阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。1. 动态性能指标计算动态性能指标计算 上升时间上升时间 tr单位阶跃响应单位阶跃响应 0)sin(12 rdttern 即即 得得 此时此时1)( rtc3.3.3 欠阻尼二阶系统的欠阻尼二阶系统的21arctan第三章 线性系统的时域分析法 单位单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。阶跃响应超过稳态值达到第一个

37、峰值所需要的时间。 21 ndpt 峰值时间峰值时间 tp0)( pttdttdc 由由 得得单位单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。 %100)()()(% cctcp 超调量超调量 %100)sin(12 pdttepn 由由)0()sin(11)(2 ttetcdtn %100%21 e第三章 线性系统的时域分析法 单位单位阶跃响应进入阶跃响应进入 误差带的最小时间。误差带的最小时间。 调节时间调节时间 ts 欠阻尼二阶系统的一对包络线如图欠阻尼二阶系统的一对包络线如图 c(t)t0121e1nt-21e1n t-包络线包络线nst5 . 3（ =5%

38、时）时） 工程上通常用工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。包络线代替实际曲线来估算。 2 1 etn解得 2111111nntnsnst4 . 4或（ =2%时）时）第三章 线性系统的时域分析法 振荡次数振荡次数N 根据振荡次数的定义, 有 2. 结构参数结构参数对单位阶跃响应性能的影响对单位阶跃响应性能的影响 阻尼比阻尼比越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间t ts s长；长； 过大时，系统响应迟钝，调节时间过大时，系统响应迟钝，调节时间t ts s也长，快速性差；也长，快速性差； =0.707=0.707，调节时间最短，快速性最好，而超调量，调节时

39、间最短，快速性最好，而超调量 %5%02) 赫尔维茨行列式全部为正，即赫尔维茨行列式全部为正，即1. 劳斯劳斯-赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据设特征方程为设特征方程为主对角线元素为主对角线元素为naaaa221 、每列从主对角线元素开始，上到每列从主对角线元素开始，上到an，下到，下到a0，其余填，其余填0。第三章 线性系统的时域分析法 q 当系统特征方程的次数较高时，应用赫尔维茨稳定判当系统特征方程的次数较高时，应用赫尔维茨稳定判据的计算工作量较大。据的计算工作量较大。q 已经证明，在特征方程各项系数大于零时，赫尔维茨已经证明，在特征方程各项系数大于零时，赫尔维茨奇次行列式全为正，则赫尔维

40、茨偶次行列式必全为正奇次行列式全为正，则赫尔维茨偶次行列式必全为正；反之亦然（李纳德；反之亦然（李纳德-戚帕特稳定判据）。戚帕特稳定判据）。第三章 线性系统的时域分析法 设控制系统的特征方程式为设控制系统的特征方程式为 0)(1110nnnnasasasasD 必要条件必要条件: 控制系统特征方程式的所有系数控制系统特征方程式的所有系数ai(i=0, 1, 2, , n)均大于零，小于零或者等于零均大于零，小于零或者等于零 （缺项）系统必不稳定。（缺项）系统必不稳定。 充分条件充分条件:劳斯表中第一列的元素均劳斯表中第一列的元素均大于零大于零时，系统时，系统稳定稳定；反之，如果第一列出现反之，

41、如果第一列出现小于零小于零的元素时，系统就的元素时，系统就不稳定不稳定。第一。第一列元素符号的改变列元素符号的改变次数次数，代表特征方程的正实部根的，代表特征方程的正实部根的个数个数。第第一列出现一列出现0元素，系统临界稳定元素，系统临界稳定。 2. 劳斯判据劳斯判据第三章 线性系统的时域分析法 劳斯表制作方法劳斯表制作方法设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：a0sn+a1sn-1+.+an-1s+an=0 根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表:131201a|aaaa|b151402a|aaaa|b121311b|bbaa|c131511b|bba

42、a|c121211c|ccbb|d131312c|ccbb|d10112123214n3213n3212n5311n420ngsfseesdddscccsbbbsaaasaaas 前两行第一列元素与前两行后一列元素构成的行列式前两行第一列元素与前两行后一列元素构成的行列式 上一行第一列元素上一行第一列元素用一个正整数去除或乘某一行用一个正整数去除或乘某一行, 不改变稳定性结论。不改变稳定性结论。第三章 线性系统的时域分析法 当劳斯表中第一列的所有数都当劳斯表中第一列的所有数都大于零大于零时，系统时，系统稳定稳定；反之，；反之，如果第一列出现如果第一列出现小于零小于零的数时，系统就的数时，系统就

43、不稳定不稳定。第一列各系数符。第一列各系数符号的改变号的改变次数次数，代表特征方程的正实部根的，代表特征方程的正实部根的个数个数。 劳斯稳定判据劳斯稳定判据u 第一列符号改变次数第一列符号改变次数= =系统特征方程含有正实部根的个数系统特征方程含有正实部根的个数控制系统稳定的充分必要条件：控制系统稳定的充分必要条件：劳斯阵列第一列元素不改变符号。劳斯阵列第一列元素不改变符号。注：通常注：通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为：因此，劳斯稳定判据可以简述为： 劳斯阵列表中第一列的各数均劳斯阵列表中第一列的各数均大于零，大于零，系统系统稳定稳定。第一列元素若变号系统不稳定第一列元素若变号系统不

44、稳定!第一列元素变号的第一列元素变号的次数次数为特征根在为特征根在s右半平面的右半平面的个数个数!第三章 线性系统的时域分析法 第一列元素的符号变化了两次第一列元素的符号变化了两次, 因此该方程中有两个根在复因此该方程中有两个根在复平面的右半平面平面的右半平面, 故系统不稳定。故系统不稳定。impulse (1 2,1 2 3 4 5) 例例3.4 设系统特征方程为设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 试用劳斯稳定判据试用劳斯稳定判据判别系统稳定性。判别系统稳定性。 解：解：列出劳斯表列出劳斯表4s3s2s1 124*135 520*151234501s0s5 560*156

45、615*240第三章 线性系统的时域分析法 例例 3-4 设有一个三阶系统的特征方程设有一个三阶系统的特征方程 0322130asasasa式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是a1a2a0a3。 证明证明 上式对应的劳斯表为上式对应的劳斯表为 30130211312203asaaaaasaasaas 根据劳斯判据根据劳斯判据, 系统稳定系统稳定的充要条件是劳斯表第一列的充要条件是劳斯表第一列系数均大于零。系数均大于零。 所以有所以有 a1a2a0a3 第三章 线性系统的时域分析法 例例 3-5 考虑图示的系统考虑图示的系统, 确定使系统稳

46、定的确定使系统稳定的K的取值范围。的取值范围。 )2)(1(2ssssKR(s)C(s)解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 KssssKsRsC)2)(1()()(2所以系统的特征方程为所以系统的特征方程为 0233)(234KsssssD由稳定的必要条件可知由稳定的必要条件可知, K0。第三章 线性系统的时域分析法 KsKsKssKs012347923702331列劳斯表如下列劳斯表如下:根据劳斯判据根据劳斯判据, 系统稳定必须满足：系统稳定必须满足： 0792 , 0KK因此因此, 使系统闭环稳定的使系统闭环稳定的K的取值范围为的取值范围为 9140 K当当K=14/9时时,

47、系统处于临界稳定状态。系统处于临界稳定状态。 impulse (14/9,1 3 3 2 14/9) 第三章 线性系统的时域分析法 例例 3-6 对例对例3-5，要求所有闭环极点距虚轴有，要求所有闭环极点距虚轴有0.1个单位的个单位的稳定裕量，稳定裕量， 确定确定K的取值范围。的取值范围。解解 将将 S=W- -0.1代入特征方程，在代入特征方程，在w域使用域使用劳斯判据，若稳定，则在劳斯判据，若稳定，则在s域至少有一个域至少有一个单位的稳定裕量。单位的稳定裕量。sw0.10233)(234KsssssD0) 1 . 0(2) 1 . 0(3) 1 . 0(3) 1 . 0(234Kwwwww

48、4 + 2.6 w3 + 2.16 w2 + 1.486 s +K- - 0.1729=0第三章 线性系统的时域分析法 01729. 0059. 1)1729. 0(6 . 2486. 11729. 059. 1)1729. 0(6 . 2486. 11729. 059. 10486. 16 . 21729. 016. 2101234KKKsKsKssKs0.1729K1.08pzmap (1,1 3 3 2 0.1729)pzmap (1,1 3 3 2 1.08)第三章 线性系统的时域分析法 需要指出需要指出, 在运用劳斯稳定判据分析系统的稳定性时在运用劳斯稳定判据分析系统的稳定性时, 有

49、时有时会遇到下列两种特殊情况会遇到下列两种特殊情况: (1) 在劳斯表的某一行中在劳斯表的某一行中, 出现出现第一个元为零第一个元为零, 而其余各元而其余各元均不为零均不为零, 或部分不为零的情况或部分不为零的情况; (2) 在劳斯表的在劳斯表的某一行均为零某一行均为零。 在这两种情况下在这两种情况下, 表明系统在复平面表明系统在复平面内存在两个大小相等内存在两个大小相等符号相反的实根或两个共轭纯虚根符号相反的实根或两个共轭纯虚根, 系统处在临界稳定状态或系统处在临界稳定状态或不稳定状态。不稳定状态。 第三章 线性系统的时域分析法 例如例如, 系统的特征方程为系统的特征方程为 01632)(2

50、34sssssD劳斯表为劳斯表为 126106213101234sssss因为劳斯表第一列元素因为劳斯表第一列元素的符号改变了两次的符号改变了两次, 所所以系统不稳定以系统不稳定, 且有两且有两个正实部的特征根。个正实部的特征根。 roots(1 2 3 6 1)解决方法解决方法：用一个足够小：用一个足够小的正数的正数 代替为零的代替为零的项，然后继续计算劳项，然后继续计算劳斯表余下系数。斯表余下系数。第三章 线性系统的时域分析法 例如例如, 系统的特征方程为系统的特征方程为 022)(23ssssD劳斯表为劳斯表为 20022110123ssss辅助方程辅助方程2s2+2=0 辅助方程求导后

51、辅助方程求导后4s+0=0 由以上可以看出由以上可以看出, 劳斯表第一列元素符号均大于零劳斯表第一列元素符号均大于零, 故系统不含故系统不含具有正实部的根具有正实部的根, 而含一对纯虚根而含一对纯虚根, 可由辅助方程可由辅助方程2s2+2=0解出解出s1、2=j。 roots(1 2 1 2) ans = -2, j, - j4第三章 线性系统的时域分析法 例：设系统特征方程为例：设系统特征方程为s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1= -8-82

52、41 2 第一列出现零元素时，第一列出现零元素时，用正无穷小量用正无穷小量代替。代替。 71 2 7 -87一行可同乘以或同除以某正数一行可同乘以或同除以某正数变号系统不变号系统不稳定稳定28 2+87 028(28)70解：解：第三章 线性系统的时域分析法 06655)(2345ssssssD5432100001561565/262/56ssssss求导求导06s5s24010413ss2js2, 13js4, 3辅助方程辅助方程由辅助方程求得根：由辅助方程求得根：4100可知闭环系统有位于虚轴上的根。可知闭环系统有位于虚轴上的根。 所以系统不稳定。但第一列元素未所以系统不稳定。但第一列元素

53、未改变符号，所以系统没有位于改变符号，所以系统没有位于S右右半平面的根。半平面的根。解：解：劳劳 斯斯 表表第三章 线性系统的时域分析法 小结小结 (1) (1) 系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型、形式无关。系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型、形式无关。 (2) (2) 闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。nnnmsCsCsCssszszszsKs 22112121)()()()(*)(tntetneCCeCtk 2121)( 闭环零点影响系数闭环零点影响系数C Ci i ，只会改变动态性能。，只会改变动态性能。 闭环极点决定

54、稳定性，也决定模态，同时影响稳定性闭环极点决定稳定性，也决定模态，同时影响稳定性和动态性能。和动态性能。 (3) (3) 闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系。闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系。 第三章 线性系统的时域分析法 u 稳态误差是系统的稳态性能指标，是对系统控制精度稳态误差是系统的稳态性能指标，是对系统控制精度的度量；的度量；u 对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。误差应以系统稳定为前提。 本节只讨论系统由于结构、输入作用和类型所产生的本节只讨论系统由于结构、输入作用和类型所产生的稳态

55、误差，即稳态误差，即原理性误差原理性误差，不考虑由于非线性因素引起的，不考虑由于非线性因素引起的系统稳态误差系统稳态误差（附加稳态误差或结构性稳态误差）。（附加稳态误差或结构性稳态误差）。 通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为称为无差系统无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为；而把有原理性稳态误差的系统称为有差系有差系统统。 3.6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差第三章 线性系统的时域分析法 3.6.1 误差与稳态误差误差与稳态误差 系统误差是系统输出量的系统误差是系统输出量的期望值与实际值之差期望值与实际值之差, 即即 )(

56、)()(1tctctercr(t)是与系统设定输入量是与系统设定输入量r(t)相应的期望输出量。相应的期望输出量。 这种定义物理意义明确这种定义物理意义明确, 但在实际系统中往往不可测量。但在实际系统中往往不可测量。 E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(- -)E(s)G(s)C(s)R(s)E1(s)(- -)H(s)1/H(s)Cr (s)第三章 线性系统的时域分析法 E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(- -)按输入端定义的误差按输入端定义的误差 ( )( )( )E sR sB sE(s)误差（偏差），可以量测。误差（偏差），可以量测。按输出端定义的误差按输

57、出端定义的误差 由图所示，误差定义有两种方式：由图所示，误差定义有两种方式： 系统输出量的希望值与实际值系统输出量的希望值与实际值之差之差R(s)-C(s)R(s)-C(s)，无法量测，无法量测，只有数学意义。只有数学意义。单位反馈时两种定义相同单位反馈时两种定义相同( )( )( )( )( )( )R sE sE sC sH sH s两种定义误差方法，存在内在联系。两种定义误差方法，存在内在联系。第三章 线性系统的时域分析法 稳态误差稳态误差:指一个稳定的系统在设定的输入或扰动作用下指一个稳定的系统在设定的输入或扰动作用下, 经历过渡过程进入稳态后的误差经历过渡过程进入稳态后的误差, 即即

58、 )(limteetss3.6.2 稳态误差计算稳态误差计算)()(11)()()(sHsGsRsEse )()(1)(lim)()(lim)(lim000sHsGssRsRssssEesessssE(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(- -)若满足若满足sE(s)的极点均位于的极点均位于s左半平面。根据左半平面。根据终值定理终值定理 当当sE(s)在坐标原点具有极点在坐标原点具有极点 时，结果正巧与实际应有的结果一时，结果正巧与实际应有的结果一致，公式仍可使用。致，公式仍可使用。误差传递函数误差传递函数为：为：第三章 线性系统的时域分析法 使用该公式应满足使用该公式应满足sE(s

59、)在在s右半平面及虚轴上解析的条件，即右半平面及虚轴上解析的条件，即 sE(s)的极点均位于的极点均位于s左半平面。当左半平面。当sE(s)在坐标原点具有极点在坐标原点具有极点 时，时，虽不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得无穷大的结果正巧与虽不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得无穷大的结果正巧与实际应有的结果一致，因此实际应用时实际应有的结果一致，因此实际应用时 可用此公式。可用此公式。 系统的稳态误差除了与系统本身的结构和参数有关外，还与系系统的稳态误差除了与系统本身的结构和参数有关外，还与系统输入信号的形式和大小有关。统输入信号的形式和大小有关。第三章 线性系统的时域分析法 1） , 符

60、合终值定理应用条件。符合终值定理应用条件。2） , 符合终值定理应用条件。符合终值定理应用条件。为为 1）r(t)=t ，2) r(t)=t2/2，3) r(t)=sint，求系统稳态误差。，求系统稳态误差。 解：解：误差传递函数为误差传递函数为TsTssHsGsRsEse 1)()(11)()()()1()(,1)(2TssTsEssR TTsTssEessss 1lim)(lim00)1()(,1)(23TssTsEssR )1(1lim)(lim00TssssEessss例例3.7 设单位反馈系统开环传递函数为设单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts,输入信号分别输入信号分别第三章