2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目影子定位

1、2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题太阳影子定位如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模

2、型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4. 附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？太阳影子定位摘要本文通过分析物体的太阳影子变化，利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点和日期的模型。针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主

3、要影响参数为：当地的经度九、纬度申、时刻t、直杆长度l、季节J（日期N）等，引入地理学参数：太阳赤韦5、时角一及太阳高度角h0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数间关系的模型：1t二15.sinhsinQ-sin6300九+arccos(o)cosp-cos6；其次以实例对模0型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后求解出满足条件影子长度12时15分是最短，大约3.674米（表3）。影子长度的变化曲线（图5），9时至12时15分影子长度呈现下降趋势，12时15分之15时影子长度呈现上升趋势；最后考虑太阳照射中发生折射现

4、象的推广。针对问题二，关键词一、问题重述：如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3. 根

5、据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二、问题分析：针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度九、纬度申、时刻t、直杆长度1、季节J（日期N）等，引入地理学参数：太阳赤纬5、时角及太阳高度角h，建立一个能够刻画影子长度变化和各个

6、参数0间关系的模型；其次以实例对模型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而根据所建模型分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后做出影子长度的变化曲线；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。针对问题二，三、模型假设：1、求解此问题时忽略地球的自转2、不考虑太阳光线在穿过大气层时的折射、太阳的视面角、高山阻挡、海拔高度等因素。3、认为照射到地球上的太阳光可以看成是平行光线，地球上某地的水平地面是地球球面上过该地的切面。四、符号说明：5：太阳赤纬a:太阳时角申：表示某地的地理纬度九：表示某地的地理经度h：太阳高度角0五、问题一的模型建立与求解5.1影响影子长度参数的确定1、太阳赤纬太阳赤

7、纬是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角且以年为周期，在周年运动中任何时刻的赤纬值5都是严格已知的，可用下式计算：5=0.3723+23.2567sin9+O.1149sin20-O.1712sin30-O.758cos0+O.3656cos20+0.0201cos39（1）式中9称为日角，即9二2兀t/365.2422，这里t=N-N0，式中N为积日，就是日期在年内的顺序号（例如1月1日其积日为1，平年1212月31日的积日为365，闰年则为366等）。N0=79.6764+0.2422x（年份-1985）-INT（年份-1985）/4）(式中INT表示取整数部分)故如果已知某日期的

8、年、月、日，代入式(1)，即可求得此日期的太阳赤纬值5。2、时角时角表示一天体是否通过了当地的子午圈，其数值表示该天体与当地子午圈的角距离，并借用时间的单位以小时来计量，其中当地时间12点时的时角为零,令上午的时角为正，下午为负。某地t的时角a计算式如下：0a=(t-12)x360(2)024故若给定某地时刻t的值，代入式(2)，即可求出此时的时角值a03、太阳高度角太阳高度角，是指太阳光线与地平面的夹角。应用球面三角形余弦公式cosa=cosbcosc+sinbsinccosA，结合图形，可以推出任意时刻太阳高度角h的0计算公式为：cos(90。-h)=cos(90。-5)cos(90。q)

9、+sin(905)osin(90q)cosa(3)R5忖地和w日下中天、Q图2任意时刻太附奇度的计算I日上中天进一步可以得到:sinh=sin8sin屮+cosScoscosa(4)0式中，申表示当地的地理纬度,8表示太阳赤纬，a表示太阳时角、h表示0太阳高度角。申、8的取值为北正南负。故若已知某地的地理纬度申、太阳赤纬8、太阳时角a,代入式(4)，即可求得太阳高度角。4、直杆的长度直杆的影子始终在物体背着光源的一面，光从物体顶端照射到地面形成影子，直杆的长度l直接影响着影子长度的变化。05.2模型一的建立首先分析影子长度变化直接受直杆长度1和太阳高度角h的影响，其00关系式为:5)l1=ta

10、nh0其中1表示影子的长度。然后以太阳高度角与太阳赤纬、时角、地理纬度的关系为基础，即式(4)引进参数当地的经度，构建影子长度变化模型如下:1t=一300九+arccos(1511=tanh0式中九、p、8、h、t分别代表当地的经度、纬度、太阳赤纬、太阳高度0(6)sinhsinp-sin80)cosp-cos8角和时刻(北京时间)。编写程序计算时注意到，当1时,sinhsinp-sin8cosp-cos8反余弦函数值才存在，应采用判断，当其大于t时则进行下一个t的计算。5.3 模型一的检验以实际某地情况为例，已知当地的经度为，纬度为，5.4 影子长度关于各个参数的变化规律根据影子长度变化模型

11、，以影子长度l为因变量，依次选择各个参数为自变量，其余参数看为固定值，进而描述出影子长度关于各个参数变化规律。1、影子长度关于直杆长度的变化规律以直杆长度l为自变量，以影子长度为因变量，太阳高度角h为固定值，00取直杆长度为05米，间隔为0.5米，根据公式（5），得到h与l之间的关系,00画出关系图像如图1：由图1我们可以很直观的的看出，在其他参数不变时，直杆长度越长，影子长度越长，且两者的比值是不变的。2、影子长度的日变化规律以每日的时间t作为自变量，影子长度为因变量，其它参数为固定值，取为2015年10月22日北京时间8:00-16:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度

12、23分29秒）3米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的日变化规律。%9101112131415詔寸刻图2:影子长度和日的关系由于地球是个固体球,且自西向东自转,因此太阳高度也呈现出与之对应的日变化规律:地球上观察太阳为东升西落,早晨太阳从东方地平线上升起,晨昏线上太阳高度为0，随着太阳的逐渐升高,太阳高度是逐渐增大的，影子的长度逐渐减小。当某地经线正对太阳光时,地方时为正午12点，即为北京时间12时15分,此时太阳高度角达到一天中的最大，影子长度最小。之后太阳逐渐西落,太阳高度也慢慢变小，影子逐渐变长,到西方地平线落下时,没有影子。3、影子长度随纬度变化规律以纬度作为自变量，影子长度为因变

13、量。其它参数为固定值，由于正午太阳高度角最能反映太阳辐射的强弱变化,故取2015年10月22日北京时间12时东经116度23分29秒3米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的随纬度的变化规律。正午太阳高度由直射点向南北两侧递减，故影子长度由直射点向南北两侧递增。夏至：申二+23。26,影子长度从北回归线向南北两侧递增；同样冬至:申=-23。26，影子长度从南回归线向南北两侧递增;春秋分:申二0。，影子长度从赤道向南北两侧递增,且离直射点距离越近,与直射点纬度差越小,影子长度就越小。4、影子长度随季节的变化规律以季节作为自变量，影子长度为因变量。由于正午太阳高度角最能反映太阳辐射的强弱变化,故

14、取2015年北京时间12时天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的随季节的变化规律。图4：影子长度和季节的关系北回归线及以北地区,6月22日正午太阳高度达一年中最大值，此时影子长度最小,12月22日达一年中最大值;南回归线以南地区,12月22日达一年中最小值,6月22日达一年中最大值;南北回归线之间,一年中因有两次太阳直射机会,赤道至北回归线之间12月22日的正午影子长度达一年中最大值,而赤道至南回归线之间6月22日达一年中最大值。5.5 问题一的求解求解步骤：1）将2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广

15、场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆符号化为九二+39907。，申=116.491。，1=3；02）计算太阳赤纬：已知年份为2015年，积日为295，代入公式得：N0二79.6764+0.2422x（年份-1985）-INT（年份-1985）/4）二79.9424t二N-N0二215.067。二2兀t/365.2422二3.69968=0.3723+23.2567sin9+0.1149sin29-0.1712sin30-0.758cos9+0.3656cos20+0.0201cos39=-10.8627。得到太阳的赤纬角为-10.8627。3/计算太阳时角：需将当

16、地时间转化为北京时间，对应北京时间t，将t代a=360xt+九-30024得到2015年10月22日北京时间天安门广场时角值（如表1）,其中九二+39.907。表1：2015年10月22日北京时间天安门广场时角统计表时刻9:009:3010:0010:3011:0011:1211:24时角/度-48.61-41.11-33.61-26.11-18.61-15.61-12.61时刻11:3611:4812:0012:1212:1512:2412:36时角/度-9.61-6.61-3.61-0.610.142.395.39时刻12:4813:0013:3014:0014:3015:00时角/度8.

17、3911.3918.8926.3933.8941.394）计算太阳高度角：将所得到的申、5、a分别代入公式（4），得到2015年10月22日北京时间天安门广场太阳高度角值（如表2）表2：2015年10月22日北京时间天安门广场太阳高度角统计表时刻9:009:3010:0010:3011:0011:1211:24太阳高度角/度22.1626.5330.4333.7536.3737.2037.89时刻11:3611:4812:0012:1212:1512:2412:36太阳高度角/度38.4538.8639.1239.2239.2339.1838.98时刻12:4813:0013:3014:001

18、4:3015:00太阳高度角/度38.6338.1436.2933.6333.8926.375）求解影子长度变化应用建立的模型厂1t=15.sinhsinQ-sin5300九+arccos(o)cosqcos5lianh将就得各个参数值代入模型，可以得到2015年10月22日北京时间9:00-15:00天安门广场3米高直杆的影子长度（见表3）,通过Matlab软件画出直杆的太阳影子长度的变化曲线（如图5）表3：2015年10月22日北京时间天安门广场3米高直杆的影子长度统计表时刻9:009:3010:0010:3011:0011:1211:24影长/米7.3676.0095.1074.4904

19、.0733.9523.854时刻11:3611:4812:0012:1212:1512:2412:36影长/米3.7783.7243.6893.6753.6743.8543.778时刻12:4813:0013:3014:0014:3015:00影长/米3.7543.8214.0864.5095.1356.050图5：2015年10月22日北京时间天安门3米高直杆的影子长度变化曲线结合图5和表3，可以看出2015年10月22日北京时间12点15分天安门3米高直杆的影子长度是最短的，大约3.674米。9时至12时15分影子长度呈现下降趋势，12时15分至15时影子长度呈现上升趋势。六、问题二的模型

20、建立与求解&直杆影长的计算已知某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标(x,y)，根据勾股定理表示出影长l:/=、：x2+y2(7)6.3问题二的求解：根据附件1中北京时间14：42-15:42之间影长的横、纵坐标，通过勾股定理导出：l=说2+y2计算出21个时刻对应的影长(见表4)表4：中北京时间当地该直杆影子长度统计表时刻14:4214:4514:4814:5114:5414:5715:00影长/米1.1501.1821.2151.2491.2831.3181.353时刻15:0315:0615:0915:1215:1515:1815:21影长/米1.3891.4261.4631.5011

21、.5401.5801.620时刻15:2415:2715:3015:3315:3615:3915:42影长/米1.6611.7031.7461.7901.8351.8811.9286.2经度确定模型6.2.1确定地区经度与时差的关系地球从00经线划分，向东为：0。180。E，向西为：0。180。W，地球一周就是：360。地球自转一周的时间为24h，所以可得地球每小时转过的角度为:360。十24二15o6.2.2建立二次拟合模型根据附件一算出的影长，画出时刻-影长的变化曲线，如图6：图6：附件一所求影长与时刻关系图以影长为因变量，时刻为自变量，用poltfit函数进行二次拟合，得到的二次函数为：

22、l二0.1489t2-3.7519t+24.1275。式中/为影长，t为时刻，去自变量tg12,16画图，得到影长与时刻的二次拟合曲线,图7：影长与时刻的二次拟合曲线6.2.3 确定当地经度因为二次拟合的曲线为抛物线，根据抛物线函数的对称轴公式：bt二-,其中a二0.1489,b二3.15792a求解得到t=12.5984,即北京时间：12:36,可以判定该地在北京的西边，因为北京所在经度为120o，所以确定该地所在经度为120-(12.5984-12)x15=111.024。，即111。126”E。6.3 纬度确定模型6.3.1影长比例不变原理图8：同一地区不同杆在不同时间下的影子示意图意图

23、因为太阳光是平行的，所以ZAPA=ZBMB=a,ZAQA=ZBNB=p,又因1111为AAPA,AAQA,ABMB,ABNB均为直角三角形，所以PA=AA1tanaAAtanPPA_tanPQAtana，同理得到罟tanPtana进而得到_QAMBNB11116.3.2遍历模型根据附件中的得到的21个影长l,i_1,2,21，用后一时刻的影长比上前一时刻的影长li+1.；,i_ii,b0201,2,20得到20个比值b,b0102,附件1中各相邻时刻影长比例统计表标号1234567比值1.028331.028001.027771.027341.027121.026841.02662标号8910

24、11121314比值1.026461.026121.026021.025811.025721.025501.02538标号151617181920比值1.025291.025201.025111.025121.024991.02501对于问题二给定杆长l为定值，在任意给定一个纬度值申，根据公式(6)0求得21个影长l,i_1,2,21，并求得20个影长比值bz,bz,bz。根据i1112120之前的比例不变原理，如果bz_bz,i_1,2,.,20，认为两个杆处在同一位置，0i1i但由于附件一的影子顶点坐标的测量出来的，所以影长比值不可能完全相等，可能会存在一定误差，所以做修正S，定义如下：S_(bz-bz)20i1ii_1对所有纬度进行求解，每一个纬度值都对应一个S,求所有S中的最小值，得到纬度值，即该地所处纬度。求解结果，S的最小值为：7.2502X10-6，所处纬度为：13.5。N，即13。30。6.3 其余可能点的确定已知2015年春分日是3