三角形中位线训练试题解答题

1、是AF的中点，连接 MB、ME .1,当CB与CE在同一直线上时，求证： MB / CF;1,若 CB=a, CE=2a，求 BM , ME 的长；如图如图F三角形中位线训练试题一.解答题(共30小题)1. ( 2013?常德)已知两个共一个顶点的等腰Rt ABC , Rt CEF , / ABC= / CEF=90 连接 AF , M(1)(2)第1页(共39页)D逆时针旋转90°得到线段DF,(1) 如图1, E为线段DC上任意一点，将线段 DE绕点连接CF,过点F作FH丄FC,交直线AB于点H .判断FH与FC的数量关系并加以证明;中的其他条件不变，你在(1)中(2) 如图2,

2、若E为线段DC的延长线上任意一点，(1)得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.R3. ( 2008?黄石)如图，/ ABM为直角，点 C为线段BA 个动点(不与点 B重合)，连接AD，作BE丄AD，垂足为 交BD于F.(1) 求证：BF=FD ;(2)的中点，点D是射线BM上的一 E,连接CE,过点E作EF丄CE,/A在什么范围内变化时，四边形/A在什么范围内变化时，线段ACFE是梯形，并说明理由；DE上存在点G,满足条件DG)DA，并说明理由.44. ( 2008?延庆县二模)(1)如图所示，BD , CE分别是 ABC的外角平分线，过点 A作 AF丄BD , AG丄CE,垂足

3、分别为F, G,连接FG ,延长AF , AG ,与直线BC分别交于点 M、N，那么线段FG与 ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG= (AB+BC+AC )(直接写出结果即可)LuCN(2)如图，若BD , CE分别是 ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明.(3) 线段 线段如图，若BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变,FG与 ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可不需要证明答：FG与 ABC三边之间数量关系是.5. ( 2013春？西城区期末)如图，在 ABC中，AC &g

4、t; AB , D点在AC上，AB=CD , E、F 分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点 G,若/ EFC=60 °联结 GD，判断 AGD的形状并证明.6.如图所示，已知 AB=CD , AN=ND , BM=CM，求证：/ 1= / 2.7.已知：如图， ABC中，/ A >/ B , CR是/ACB的平分线且交 AB于R, AQ丄CR,垂足为Q, P为AB的中点，求证：PQ(BC - AC ).2ABCD 中，CD > AB , AB 与 CD 不平行,E, F分另ij是AC, BD的9.如图，在ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边

5、AC、AB BE、CF交于点O .过点O作OP丄AC , OQ丄AB , P、Q为垂足.上,并且 / ABE= / ACF , 求证：DP=DQ .10.如图，在凸四边形 ABCD中，M为边AB的中点，且 MC=MD，分别过C, D两点, 作边BC, AD的垂线，设两条垂线的交点为 P.求证：/ PAD= / PBC .11如图，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近/B的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过 P点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的 BDE的面积最小？为什么？12.已知 ABC中，DE / BC交AB于D，交AC于E, AM为BC边上的中线，与 DE

6、相 交于N，求证：DN=NE .分别取 AB、AC的中点D、E,连接DE，沿DEE旋转180。后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四13操作1:如图1, 一三角形纸片 ABC , 将纸片剪开，并将其中的 ADE纸片绕点 边形纸片BCFD .,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 边的操作2:如图2, 一平行四边形纸片 ABCD中点，沿EF剪开并将其中的 BFE纸片绕点E旋转180。到 AF1E位置；沿HG剪开并将 其中的 DGH纸片绕点H旋转180。到 AG1H位置；沿FG剪开并将 CFG纸片放置于 AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G 则四边形（1）

7、如图3,如果四边形G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点.依次沿 EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片 EFGH 请判断四边形纸片 EFGH的形状，并说明理由.（2）你能将上述四边形纸片 ABCD经过恰当地剪切后拼合4上画出对应的示意图.ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片,（无重叠无缝隙）成一个平行四F、114G、H分别是四边形S1、S2、S3、S4，且 S1=2，ABCD各边的中点，若 AEH、 BEF、 CFG、S3=5,则四边形 ABCD是面积 DGH的面积分别为 是.（不要求说明理由）14. （2014春?张家港市校级期末） 如图，点D、E是Rt ABC两直角边A

8、B、AC上的一点, 连接BE,已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点.（1 ）求/ FGH度数；（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8 , CE=6，求GM的长.H. ABC中，/ B, / C的平分线BE , CF相交于0, AG丄BE于G, AH丄CF于(1)求证：GH / BC ;(2 )若AB=9厘米，AC=14厘米,BC=18厘米，求GH .已知:女口图，AB=AC , AD 丄BC 于 D, DF / AE .求证：CE=2DF .1） , BD、CE分别是 ABC的外角平分线，过点 A作17. （2011秋？江都市期末）如图（AF丄BD , AG丄CE,垂足分别为

9、 F、G,连接FG ,延长 AF、AG ,与直线 BC相交于 M、 N.（1 ）试说明:FG=2 （AB+BC+AC ）;2（2）, BD、CE分别是 ABC的内角平分线； 如图（3）, BD为 ABC的 CE为 ABC的外角平分线.图（3）两种情况下，线段（2）如图 内角平分线， 则在图（2）、 的猜想，并对其中的一种情况说明理由.FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你第5页（共39页）18.（2010秋?茶陵县校级期末）如图，已知在F两点，DE、AF交于M , CE、BF交于N .?ABCD 中，EF/ BC,分别交 AB、CD 于 E、 求证：MINICAB .£1 ,

10、BD、CE分别是 ABC的外角平分线，过点 A作AF丄BD , AG丄CE,垂足分别为 F、G,连接FG ,延长 AF、AG，与直线 BC相交于 M、N.(1 )试说明：FG=2 (AB+BC+AC );2(2) 如图2,若BD、CE分别是 ABC的内角平分线，则线段 FG与ABC三边又有怎样 的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；(3) 如图3,若BD为 ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，则线段 FG与 ABC三边的数量关系是.第9页(共39页)20. (2007?江苏)如图，已知CH丄AB于H , CH交AD于(1) 求证：CD / AB ;(2) 求证： B

11、DE ACE ;AD 与 BC 相交于 E, / 1= / 2=/ 3, BD=CD , / ADB=90 ° F.(3)若0为AB中点，求证：OF=2bE .若D, F分别是BC , AB的中点，连接 FD，求证：EF=FD ;求证： AED是等边三角形.21. (2014春？江汉区期中)如图，已知 ABC是等边三角形，点 D , F分别在线段BC ,AB 上，连接 FC, AD , DE / FC, EF / DC(1)BC的中点，且 AB=CD，求证:22. (2013春？富顺县校级月考)如图， M、N分别为AD、 / 1= / 2.23. (2016春？梅河口市校级月考)如图

12、，在四边形 ABCD 中点，M是AD的中点，N是BC的中点.(1 )若AB=6，求PM的长；(2)若 / PMN=20 ° 求/ MPN 的度数.中，AB=DC , P是对角线 AC的接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点 示取BD的中点H，连接FH , HE作辅助线)(2)如图2,在ABC中，且O是 直线OE交BA的延长线于点G,若E, F分别是AB , BC , CA的中点，AH是边24. (2014?宿迁)如图，在 ABC中，点D,BC上的高.(1) 求证：四边形 ADEF是平行四边形；(2) 求证：/ DHF= / DEF .ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连

13、M、N，则/ BME= / CNE ,求证：AB=CD .(提CBC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点, AB=DC=5 , / OEC=60 ° 求 OE 的长度.26. (2011秋？武汉月考)两只大小不同的含 45。角的三角板 ABC和DBE如图摆放，直角顶 点重合，连接 AE , CD , F, M , N , G分别为线段 AC , CD, ED , AE的中点.(1) 如图，若三角形的两直角重合，判断四边形FMNG的形状，并证明你的结论；(2) 从(1)开始，三角板绕 B点顺时针旋转角度 a ( 0°< aV 360°时， 否仍然成立，若

14、成立，画出一种情形，给出证明；若不成立，请说明理由. 的情形，并正确答题得 形并正确答题得(1)中的结论是 (若画出 a=180 若画出其它的情2分；若画出a=90。的情形，并正确答题得 4分; 请自主选择.)6 分.求证：CF II AB .28.在四边形 接EF分别交ABCD 中,BDACBD相交于0点，AC=BD , E、F分别是AB , CD的中点，连M、N，判断三角形 MON的形状，并说明理由.于AC、27.已知：如图，梯形 ABCD , AB II CD，以AC、AD为边向外作?ACED，联结BE，点F 是BE的中点，联结CF.29.如图，四边形ABCD 中，AB=CD , M、N

15、、E、F 分别是 BD、AC, BC、MN 的中点,30.如图，在 ABC中，BC=a 若D1, E1分别是 AB , AC的中点，贝U D1E1丄句；若D2,E2分别是D1B, E1C的中点，贝U D2E2冷 今呂）二糸；若D3, E3分别是D2B , E2C的中点，则 Da） +a=-a"若 DnEn 分别是 Dn-1B, En-lC 的中点，贝 U DnEnd 了 22的长是多少（n> 1，且n为整数，结果用含 a, n的代数式表示）？第9页（共39页）第13页(共39页)2016年05月30日WX98WX的初中数学组卷参考答案与试题解析一 解答题(共30小题)1. (

16、2013?常德)已知两个共一个顶点的等腰Rt ABC , Rt CEF , / ABC= / CEF=90 °连接 AF , M(1)(2)(3)如图如图如图是AF的中点，连接MB、ME .1,1,2,当CB与CE在同一直线上时，求证： MB / CF; 若 CB=a, CE=2a，求 BM , ME 的长；当 / BCE=45 °寸，求证：BM=ME .如答图1a,延长AB交CF于点D，则易知 ABC与 BCD均为等腰直角三角形, AB=BC=BD ,点B为线段AD的中点，又点M为线段AF的中点， BM 为ADF的中位线， BM / CF.证法二：如答图1b,延长BM交E

17、F于D,/ / ABC= / CEF=90 ° AB 丄 CE , EF丄 CE , AB / EF , / BAM= / DFM ,/ M是AF的中点， AM=MF ,在 ABM和 FDM中，f ZBM=ZDFHI ABM FDM (ASA ), AB=DF ,/ BE=CE - BC , DE=EF - DF , BE=DE , BDE是等腰直角三角形， / EBM=45 °在等腰直角 CEF中，/ ECF=45 ° / EBM= / ECF, MB / CF;(2 )解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知 BCD与 ABC为等腰直角三角形, A

18、B=BC=BD=a , AC=CDla,点B为AD中点，又点M为AF中点，BM= 2dF.2CG=CF= 2 近 a.分别延长FE与CA交于点G,则易知 CEF与CEG均为等腰直角三角形, CE=EF=GE=2a ,点E为FG中点，又点M为AF中点，.CG=CF= AG=DF= a, BM=ME= + ME= 2aG .2V2a, CA=CD=Va,解法二：如答图1b./ CB=a , CE=2a,- BE=CE - CB=2a - a=a,/ ABM FDM , BM=DM ,又 BED是等腰直角三角形, BEM是等腰直角三角形， BM=ME= £BE=£a；2 2(3

19、)证法一：如答图3a,延长AB交CE于点D，连接DF ,则易知 ABC与 BCD均为等腰直角三角形, AB=BC=BD , AC=CD ,点B为AD中点，又点M为AF中点, bm4df .延长FE与CB交于点G , CE=EF=EG , CF=CG ,连接AG ,则易知 CEF与厶CEG均为等腰直角三角形,点E为FG中点，又点M为AF中点, MEAG .在 ACG与 DCF中,AC 二 CDZACG=ZDCF=45'，,CG=CK ACGDCF (SAS), DF=AG , BM=ME .证法二：如答图3b,延长BM交CF于D,连接BE、DE, / BCE=45 ° / AC

20、D=45 °X2+45 °=135 ° / BAC+ / ACF=45 °+135 °180° AB / CF, / BAM= / DFM ,/ M是AF的中点， AM=FM ,在 ABM和 FDM中，r ZBM=ZDFH-M二冋,ZMB=ZIh ABM FDM (ASA ), AB=DF , BM=DM , AB=BC=DF ,在 BCE和 DFE中，fBC二DF:ZBCE=ZDFE=45', lcE=?E:. BCE DFE ( SAS), BE=DE , / BEC= / DEF , / BED= / BEC+ / CE

21、D= / DEF+ / CED= / CEF=90 ° BDE是等腰直角三角形，又 BM=DM , BM=ME= pBD，第15页（共39页）FDE答圏lbEA/B4第17页（共39页）2. （ 2010?顺义区）在 ABC 中，AC=BC , / ACB=90 ° 点 D 为 AC 的中点.（1）如图1, E为线段DC上任意一点，将线段 DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF, 连接CF,过点F作FH丄FC,交直线AB于点H .判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2） 如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中 得出的结论是

22、否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.34第21页(共39页)【解答】 解：（1） FH与FC的数量关系是：FH=FC . 证明如下：延长 DF交AB于点G,由题意，知 / EDF= / ACB=90 ° DE=DF , DG / CB ,点D为AC的中点， 点G为AB的中点，且DC乌民,DG为ABC的中位线,- DGBC./ AC=BC , DC=DG , DC - DE=DG - DF ,即 EC=FG./ / EDF=90 ° FH 丄 FC ,/ 1+ / CFD=90 ° / 2+/ CFD=90 ° , / 1 = / 2 . DEF与AD

23、G都是等腰直角三角形, / DEF= / DGA=45 ° , / CEF= / FGH=135 ° CEF BA FGH , CF=FH .(2) FH与FC仍然相等.理由：由题意可得出：DF=DE , / DFE= / DEF=45 ° AC=BC ,/ A= / CBA=45 °/ DF / BC , / CBA= / FGB=45 ° / FGH= / CEF=45 °点D为AC的中点，DF / BC, dg=2bc, dc=3ac ,2 2 DG=DC , EC=GF ,/ / DFC= / FCB , / GFH= / F

24、CE, 在 FCE和 HFG中f ZCEF=ZFGH:EC=GK,ZECK=ZGFH FCEHFG (ASA ), HF=FC .如图，/ ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一 B重合)，连接AD，作BE丄AD，垂足为E,连接CE,过点E作EF丄CE,3. ( 2008?黄石)个动点(不与点交BD于F.(1) 求证：BF=FD ;(2) / A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；(3) / A在什么范围内变化时，线段 DE上存在点G,满足条件DG)DA，并说明理由.【解答】（1）证明：在AC=BC ,Rt AEB 中, CE=CB=CE,./ CEB= /

25、 CBE .-/ CEF= / CBF=90 °./ BEF= / EBF, EF=BF ./ EBD+ / EDB=90 °,-/ BEF+ / FED=90 °./ FED= / EDF .bf=fd ;(2)解：由(1) BF=FD，而 BC=CA , CF / ad，即 AE / CF.若 AC / EF，贝U AC=EF , BC=BF . BA=BD , / A=45 ° 0°< / A < 90°且/ A却5°时，四边形 ACFE为梯形;(3)解：作GH丄BD，垂足为H，贝U GH / AB .DG

26、=3dA ,4 DH= 2dB .4又F为BD中点， H为DF的中点. gh为df的中垂线. / gdf= / gfd .点G在ED上， / efd 玄 gfd ./ / EFD+ / FDE+ / DEF=180 ° / GFD+ / FDE+ / def<180 度. 3/ EDF<180 度. / EDF <30 度.又/ A+ / EDF=9O ° 30° < A< 90°当 30°< A< 90°时，DE上存在点G,满足条件DGDA .4J.Z第23页(共39页)4. ( 2008?

27、延庆县二模)(1)如图所示，BD , CE分别是 ABC的外角平分线，过点 A作 AF丄BD , AG丄CE,垂足分别为F, G,连接FG ,延长AF , AG ,与直线BC分别交于点 M、N，那么线段FG与 ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG= 丄 (AB+BC+AC )?(直接写出结果即可)(2)如图，若BD , CE分别是 ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明.(3) 线段线段如图，若BD为厶ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变,FG与 ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可

28、.不需要证明.答：FG与 ABC三边之间数量关系是GF丄(AC+BC - AB )2【解答】(1) FG=± (AB+BC+AC );2(2)答：FG=2 ( AB+AC - BC);证明：延长 AG交BC于N，延长AF交BC于M/ AF 丄 BD , AG 丄 CE, / AGC= / CGN=90 ° / AFB= / BFM=90 °在 Rt AGC 和 Rt CGN 中/ AGC= / CGN=90 ° CG=CG , / ACG= / NCG AGC 也 Rt NGC AC=CN , AG=NG同理可证：AF=FM , AB=BM . GF是

29、AMN 的中位线MN .2 GF=/ AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN, BC=BN+MN+CM AB+AC - BC=MNA (AB+AC - BC);2 GF=1mn=2(3)线段FGgABC三边之间数量关系是：汽(AC+BC -AB).5. ( 2013春？西城区期末)如图，在 ABC中，AC > AB , D点在AC上，AB=CD , E、F 分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点 G,若/ EFC=60 °联结 GD，判断 AGD的形状并证明.【解答】解：判断： 证明：连接BD，取/ F是AD的中点， HF / AB , HF=2a

30、B , AGD是直角三角形. BD的中点H，连接HF、HE , / 1 = / 3,同理，HE / CD , HE=±CD , / 2= / EFC,AB=CD ,.HF=HE,./ 1 = / 2, / 3= / EFC,-/ EFC=60 °./ 3= / EFC= / AFG=60 ° agf是等边三角形, AF=FG ,/ AF=FD , gf=fd ,/ FGD= / FDG=30 ° / AGD=90 °即 agd是直角三角形.6.如图所示，已知 AB=CD , AN=ND , BM=CM，求证：/ 1= / 2.【解答】 解：连接

31、BD，取BD的中点G,连接MG, NG/ G、 gn NGN、M均为中点，是 ADB的AB对的中位线， GM是 BCD的CD对的中位线,/ AB , NG=2aB , GM / CD, GMCD,2 2 / 1 = / GNM , / 2= / GME , 又 AB=CD , MG=NG . / GNM= / GME . / 1 = / 2 .7.已知：如图， ABC中，/ A >/ B , CR是/ACB的平分线且交 AB于R, AQ丄CR,垂足为Q, P为AB的中点，求证：PQ节(BC - AC ).【解答】 解：延长AQ与BC交于D .CR是/ ACB的平分线，./ ACQ= /

32、DCQ .-/ AQC= / DQC=90 ° CQ=CQ ,. ACQDCQ . (ASA ) AQ=QD , AC=CD ,.BC - CD=BC - AC=BD .P是AB的中点，且 AQ=QD , PQ是三角形 ABD的中位线.Pq=ebd.第31页（共39页）&如图所示.连接 （已知EG, FG,E是AC的中点），在四边形 ABCD中，CD > AB , AB与CD不平行，E, F分别是 AC , BD的【解答】证明：取AD中点G, 在 ACD中，EG是它的中位线所以EG=在 EFG中，EF > EG FG .由，O.过点O作OP丄AC,点E、F分别在边

33、 AC、AB 上,并且/ ABE= / ACF , OQ丄AB , P、Q为垂足.求证： DP=DQ .【解答】证明：如图，取/ D为BC的中点9.如图，在ABC中，D为BC的中点,BE、CF交于点OB 中点 M , OC 中点 N，连接 MD , MQ , DN , PN. DM /OC, DM=-OC,DN OB , dn4OB .同理，由F, G分别是BD和AD的中点，从而，FG是 ABD的中位线, 所以fg=1ab2，得 EF丄(CD AB )2在 Rt BOQ 和 Rt OCP 中，QM=OB, PN节OC . DM=PN , QM=DN . / QMD= / QMO+ / OMD=

34、2 / ABO+ / FOB , / PND= / PNO+ / OND=2 / ACO+ / EOC ./ / ABO= / ACO , / FOB= / EOC , / QMD= / PND . QMD DNP , DQ=DP .10.如图，在凸四边形 作边BC, AD的垂线， 求证：/ PAD= / PBC .ABCD中，M为边AB的中点，且 MC=MD，分别过 C, D两点, 设两条垂线的交点为 P.【解答】证明：如图：取 AP , BP的中点分别为F, E;并连接DF, MF , EC, ME ;根据三角形的中位线定理得:mfJbp=pe , me=3ap=pf ,2 2四边形MF

35、PE为平行四边形 / MFP= / MEP ,/ PD 丄 AD , PC丄 BC , / ADP= / BCP=90 ° °DF=AF=PF=¥a , CE=BE=PE=¥P,在 Rt APD 与 Rt BPC 中, 1_. DF=EM=PF , FM=PE=CE ,-MC=MD , MDF CME ( SSS), / DFM= / MEC ,./ DFP= / CEP, FA=FD , CE=BE ,./ DAF= / FDA , / ECB= / CBE ,./ DFP=2 / DAP , / CEP=2 / CBP,-/ DFP= / CEP,.

36、/ PAD= / PBC .11.如图，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近/B的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过 P点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的 BDE的面积最小？为什么？【解答】 解：过P作直线GF / AB，交BC于G,交AC于F,在BC上取点E, 使GE=BG，延长EP交AB于点D，则 BDE的面积最小.若过P任作一直线，交 BC于M，交AB于N ,过D作DK / BC ,交MN于K,/ GP / AB , BG=GE , DP : PE=BG : GE, PD=PE ,又 DK / BC , / KDP= / MEP , / PKD= / P

37、ME , MPF KPG ,- Sa npg> Sa mp f,- Sabmn > Sabfg, - BDE的面积最小.12.已知 ABC中，DE / BC交AB于D，交AC于E, AM为BC边上的中线，与 DE相 交于 N，求证：DN=NE .【解答】 证明：在 ABC中，/ DE / BC ADN sA aBM，且 a AEN sA aCM ,AN DU p, AN EH.二 , 且.二 ,幅Br 觥a， DN EUBW CI M是BC的中点，所以 BM=CM , DN=NE .13.操作1:如图1, 一三角形纸片 ABC , 将纸片剪开，并将其中的 ADE纸片绕点 边形纸片B

38、CFD .操作2:如图2, 一平行四边形纸片 ABCD分别取 AB、AC的中点D、E,连接DE，沿DEE旋转180。后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 边的中点，沿EF剪开并将其中的 BFE纸片绕点E旋转180。到 AF1E位置；沿HG剪开并将 其中的 DGH纸片绕点H旋转180。到 AG1H位置；沿FG剪开并将 CFG纸片放置于 AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G 则四边形操作、思考并探究：（1）如图3,如果四边形G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点.依次沿 EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片 E

39、FGH .请判断四边形纸片 EFGH的形状，并说明理由.（2）你能将上述四边形纸片 ABCD经过恰当地剪切后拼合4上画出对应的示意图.ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片,（无重叠无缝隙）成一个平行四F、 DGH的面积分别为 要求说明理由）圉4G、H分别是四边形S1、S2、S3、S4,且S1=2, S3=5,则四边形 ABCD是面积是ABCD 各边的中点，若 AEH、 BEF、 CFG、2L.（不【解答】解：操作2:连接BD.EH / BD , EH=根据三角形的中位线定理，得 ,FG / BD , FGBD ,根据旋转的性质，得 F1G1 / EH , F1G1=EH .所以

40、F1G1 / FG, F1G1=FG ,所以四边形FF1G1G的形状是平行四边形.第33页(共39页)(1) 连接BD .根据三角形的中位线定理，得EH / BD , EH誌BD , FG / BD , FG誌BD , 则 EH / FG, EH=FG ,则四边形纸片EFGH的形状是平行四边形.(2) 见上述操作2;(3) 28.14. (2014春?张家港市校级期末) 如图，点D、E是Rt ABC两直角边AB、AC上的一点, 连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点.(1 )求/ FGH度数；(2)连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8 , CE=6，求GM的长.DE、BE

41、、BC的中点, FG / DB , GH / EC./ DBE= / FGE , / EHG= / AEG ./ FGH= / FGE+/ EGH= / ABE+ / BEA=180/ A=18090 °90 °(2)如图所示：连接 FM、HM ./ M、 MN同理:H分别是BC和DC的中点，/ BD , MN=2bD.GF/ BD , GF专B1).四边形FGHM为平行四边形. G、H、M分别是BE、BC、DC的中点,-酬=-瓦=3，珊号IM， 由(1)可知：/ FGH=90 °四边形FGHM为矩形. / GHM=90 °外M 生 V*+42=5 ./

42、 C的平分线BE , CF相交15. (2014春？团风县校级期中)如图所示. ABC中，/ B, 于0, AG丄BE于G, AH丄CF于(1)求证：GH / BC ;BC=18厘米，求GH .(2 )若AB=9厘米，AC=14厘米，【解答】解：(1)证明：分别延长平分/ ABM , BG 丄 AM，所以 ABGMBG (ASA ).从而，G是AM的中点.同理可证 ACH NCH (ASA ), 从而，H是AN的中点.所以 GH是 AMN的中位线，从而，AG , AH 交 BC 于 M , N ,在 ABM中，由已知，BGHG / MN，即 HG / BC.（2）解：由（1）知， ABG MB

43、G 及ACH NCH , 所以AB=BM=9 厘米，AC=CN=14 厘米.又BC=18厘米，所以 BN=BC - CN=18 - 14=4 （厘米）,MC=BC - BM=18 - 9=9 （厘米）.从而 MN=18 - 4 -9=5 （厘米），16.（ 2012春？萍乡校级期中）已知：如图，AB=AC , AD丄BC于D, DF / AE.求证：CE=2DF .第28页（共39页） BD=CD , DF / AE ,BF=EF ,DF是 BEC的中位线,.CE=2DF .17. （2011秋?江都市期末）如图（1） , BD、CE分别是 ABC的外角平分线，过点 A作AF丄BD , AG丄

44、CE,垂足分别为 F、G,连接FG ,延长 AF、AG，与直线 BC相交于 M、 N.（1 ）试说明:FG=2 （AB+BC+AC ）;2（2）, BD、CE分别是 ABC的内角平分线； 如图（3）, BD为 ABC的 CE为 ABC的外角平分线.图（3）两种情况下，线段（2）如图 内角平分线， 则在图（2）、 的猜想，并对其中的一种情况说明理由.FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你(3)【解答】 解：(1)证明：/ AF丄BD , / ABF= / MBF , / BAF= / BMF , MB=AB , AF=MF ,同理可说明：CN=AC , AG=NG FG是 AMN的中位线，

45、 FG=号MN=4 ( MB+BC+CN ) 冷(AB+BC+AC )(2)解：图(2)中，FG=2 (AB+AC - BC)图（3）如图 由（1） FG=中，FG=d (AC+BC - AB )2(2),延长AF、AG,与直线BC相交于M、N ,中可知， MB=AB , AF=MF , CN=AC , AG=NG , MN=2 ( BM+CN - BC) 丄(AB+AC - BC),2 2 2 如图(3)延长AF、AG ,与直线BC相交于 M、N ,同样由(1)中可知，MB=AB , AF=MF ,CN=AC , AG=NG ,丄MN=2 FG=专(CN+BC - BM ) W (AC+BC

46、 - AB ),解答正确一种即可18. （2010秋?茶陵县校级期末）如图，已知在?ABCD 中，EF/ BC,分别交 AB、CD 于 E、 求证：MN誌AB .£CD / AB , AD / BC,/ EF / BC, EF / BC / AD ,四边形ADFE、CFEB是平行四边形, FM=AM , FN=BN , MN= B .19. (2010秋？仪征市校级期末)如图 1 , BD、CE分别是 ABC的外角平分线，过点 A作AF丄BD , AG丄CE,垂足分别为 F、G,连接FG ,延长 AF、AG ,与直线 BC相交于 M、N.(1 )试说明：FG=2 (AB+BC+AC

47、);2(2) 如图2,若BD、CE分别是 ABC的内角平分线，则线段 FG与ABC三边又有怎样 的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；(3) 如图3,若BD为 ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，则线段 FG与第45页（共39页）【解答】解：（1） / BD丄AF , / AFB= / MFB=90 ° 在 ABF和 MBF中 r ZAFB=ZHFB :胡二BF,ZABK=ZMBF ABF MBF （ASA ） MB=AB AF=MF ,同理：CN=AC , AG=NG , FG是 AMN 的中位线 FG=亏（MB+BC+CN）,=上（AB+BC+AC）.

48、(2)图(2)中,FG（AB+AC-BC）解：如图（2）,延长AF、AG ,与直线BC相交于/ AF 丄 BD , / ABF= / MBF , / BAF= / BMF , 在 ABF和 MBF中fZAFB=ZMFB5 BF二BF,lZABF=ZflBF ABF MBF (ASA ) MB=AB , AF=MF , 同理：CN=AC , AG=NG FG=MN ,2=2(BM+CN - BC),=2(AB+AC - BC),答:线段FG与 ABC三边的数量关系是 FG（AB+AC2(3)解:FG(AC+BC - AB ),2/ AF 丄 BD , / ABF= / MBF ,理由是： / B

49、AF= / BMF , 在 ABF和 MBF中ZAFB=ZMFB j BF二BF,lzABF=ZflBF ABF BA MBF (ASA ) MB=AB , AF=MF , 同理：CN=AC , AG=NG如N， FG=诗(CN+BC - BM ),与BC相交于芍(AC+BC - AB).5D20. （2007?江苏）如图，已知 CH丄AB于H ， CH交AD于F.ADE, / 1= / 2=/ 3, BD=CD , / ADB=90 °(1)(2)求证：CD / AB ;求证： BDE ACE ;求证：ofJbe .2若O为AB中点, / BCD= / 1;/ / 1 = / 2,

50、 / BCD= / 2; CD / AB .(2) / CD / AB , / CDA= / 3./ / BCD= / 2= / 3, BE=AE .且 / CDA= / BCD , DE=CE .在 BDE和 ACE中，r DE=CE:上 DE 旳 ZCEA.Ibe=ae BDE ACE (SAS);(3) / BDE ACE , / 4= / 1 , / ACE= / BDE=90 ° / ACH=90 / BCH ;又 CH 丄 AB , / 2=90。- / BCH ;/ ACH= / 2= / 仁/ 4, AF=CF ;/ / AEC=90 °- / 4, / ECF=90 °- 又 / ACH= / 4, / AEC= / ECF ; CF=EF ; EF=AF ;/ O为AB中点， OF为 ABE的中位线；挺./ ACH ,OF=若D, F分别是BC, AB的中点，连接 FD，求证：EF=FD ;CDEF是平行四边形,21. （2014春？江汉区期中）如图，已知 ABC是等边三角形，点 D