坡印亭定理和坡印亭矢量

1、5.4 5.4 坡印亭定理和坡印亭矢量坡印亭定理和坡印亭矢量 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律律坡印亭定理；坡印亭定理； 坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。5.4.1 5.4.1 坡印亭定理坡印亭定理（Poynting TheoremPoynting Theorem）在时变场中，电、磁能量相互依存，总能量密度为在时变场中，电、磁能量相互依存，总能量密度为HBED2121mewwwdVttwdV)2121()(HBEDdVdVttc)()()(EHJHEBHDEdVdVwWVV）（HB

2、ED21体积体积V内储存的能量内储存的能量设体积元设体积元 dV 中储存的能量中储存的能量 wdV 随时间的变化率为随时间的变化率为)()()(HEEHHE利利用用矢矢量量恒恒等等式式dVtwdVc)()(JEHE则则有有取体积分，得取体积分，得VcVSdVdwdVtJESHE)(dVdVtwdVccJEEHHEEHJHE)()(整整理理得得二二项项, ,代代入入上上式式第第将将eeE/JE,EEJ)(cc 物理意义物理意义：体积：体积V V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿出闭合面电磁能量的增加率，等于穿出闭合面S

3、 S的电磁功率。的电磁功率。 特殊情况特殊情况若体积内含有电源则若体积内含有电源则tWdVJdVdVccS2)(VJESHEe坡印亭定理坡印亭定理 它描述了空间一点电磁能量传输或流动特性。表示单位时间它描述了空间一点电磁能量传输或流动特性。表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，功率流密度，S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。方向。 定义坡印亭矢量定义坡印亭矢量（Poynting Vector）HESW/m25.4.2 5.4.2 坡印亭矢量

4、坡印亭矢量 tWdVJdVdVccS2)(VJESHEe以导体表面为闭合面，则导体吸收的功率为以导体表面为闭合面，则导体吸收的功率为SHEdPS)(eeLaaaIaI2)(2220222RIaLI表明表明，导体电阻所消耗的能量是由外部传递的，导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。HEStn例例 .1 导线半径为导线半径为a ，长为长为 l ，电导率为电导率为 ，试用坡印亭矢量计算导线损试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。耗的能量。HESnt电源提供的能量一部分用于导线损耗电源提供的能量一部分用于导线损耗另一部分传递给负载另一部分传递给负载P,ISHE设导体内导体内解：解：思路：思路

5、：电场强度电场强度zaIeJE2eH22 aI磁场强度磁场强度a0tStSnSnSSS图图5.4.3 导体有电阻时同轴电缆中的导体有电阻时同轴电缆中的E、H 与与S1R2RI HHnEURnEtEtEI图图5.4.2 计算导线损耗的量计算导线损耗的量I1RU1R2RI HHSSEEUR图图5.4.1 同轴电缆中的电磁能流同轴电缆中的电磁能流 I 例例 .2 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为R1 和和R2 。解：解： 理想导体内部电磁场为

6、零。电磁场分布如图所示。理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。电场强度电场强度e/lnE)(12RRUeH2I2122122RRAUIdRRUIdP/lnAS 穿出任一横截面的能量相等，穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。电源提供的能量全部被负载吸收。 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用导线只起导向作用。这表明这表明：zIRRUe/lnHES2)(12单位时间内流入内外导体间的横截面单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为的总能量为磁场强度磁场强度坡印亭矢量坡印亭矢量5.5.1 5.5.1 电磁场基本方程的相量

7、形式电磁场基本方程的相量形式5.5 5.5 正弦电磁场正弦电磁场 正弦电磁场的相量形式与正弦稳态电路中的相量类同，后者有三要正弦电磁场的相量形式与正弦稳态电路中的相量类同，后者有三要素：素：振幅振幅( (标量，常数标量，常数) )、频率频率和和相位相位。)sin(2)(tItijIejIj)90sin(2tIdttdi)(jIeI 前者也有三要素：前者也有三要素：振幅振幅（矢量、空间坐标的函数）（矢量、空间坐标的函数）, , 频率频率和和相相位。位。如果如果F F的三个分量初相位相同，则有的三个分量初相位相同，则有)sin(2)(tzyxtzyx,F,Fjezyx)(,FF)90sin()(2

8、tzyxt,FFiejjFF 1 1） 正弦时变场量的相量形式正弦时变场量的相量形式2 2）正弦电磁场基本方程组的相量形式）正弦电磁场基本方程组的相量形式SDJlHdjdSl)(0dSSBSldjdSBlEqdSSDDJHjcBEj0 B DEDHBEJc 5.5.2 5.5.2 坡印亭定理的相量形式坡印亭定理的相量形式在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为)sin(2)sin(2)(HEtttrHrEr,S)2(cos)(cos)(HEHEtHETHEavdttT0)cos()(1)(HEr,SrS称之为称之为平均功率流密度平均功率流密度。S 在一个周期

9、内的平均值为在一个周期内的平均值为)()(HErSeavR容易证明容易证明)()()()(HEHEjjjeeeHErHrEHEavHEeRScosHEHE)()(EjEett)( )()sin()(rEErEr,EHje)(rHH 同理同理其实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度其实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度。HES定义定义坡印亭矢量的复数形式坡印亭矢量的复数形式)()(HErSeavR)(DJEHBHEjjc取体积分，利用取体积分，利用高斯散度定理高斯散度定理，有，有dVEHjdVJdVVcS)()(222SHE闭合面闭合面S S内吸收的功率为内吸收的功率为dVEHjdVJ

10、dVVcS)()(222SHE有功功率有功功率 无功功率无功功率DJDJHj)j(cc坡印亭定理的相量形式推导过程坡印亭定理的相量形式推导过程)()()(HEEHHES取散度，展开为取散度，展开为QjP此项可用于求解电磁场问题的此项可用于求解电磁场问题的等效电路参数等效电路参数dVJIdRIIPRVcS22221)(e1SHE*dVEHIdIIQXVS)(1)(122222SHEImdVEHjdVJdVVcS)()(222SHEQjP 例例 .1 平板电容器如图所示，当两极板间加正弦平板电容器如图所示，当两极板间加正弦工频工频交流电压交流电压 u(t) 时，试分析电容器中储存的

11、电磁能量。时，试分析电容器中储存的电磁能量。 解：忽略边缘效应及感应电场解：忽略边缘效应及感应电场, , 则则电场电场满足无旋性质满足无旋性质，可表示为，可表示为)(z-dUeE根据根据全电流定律全电流定律，由位移电流产生的磁场为，由位移电流产生的磁场为22dUjdjHdtdSSlSESDlH)(2eHdUj整理得整理得图图5.5.1 5.5.1 两圆电极的平板电容器两圆电极的平板电容器HeeeHES222)(2)(dUjdUjdUzeeSSadadUjdS2222222UCjUdaj 显然，电容器中储存电场能量，磁场能量忽略不计显然，电容器中储存电场能量，磁场能量忽略不计, ,电磁场近似为电

12、磁场近似为EQS场场。复坡印亭矢量复坡印亭矢量电容器吸收功率电容器吸收功率( (无功功率无功功率) )(z-dUeE)(2eHdUj图图5.5.1 5.5.1 两圆电极的平板电容器两圆电极的平板电容器 解：忽略边缘效应及位移电流，则时变磁场解：忽略边缘效应及位移电流，则时变磁场可用可用恒定磁场的方法恒定磁场的方法计算（为什么？）计算（为什么？）。202HjEeEHj20eHES202Hje22202dNIjdaadNIjdS222220SS22220LIjIdaNj显然，螺线管中储存磁场能量，电场能量忽略不计，显然，螺线管中储存磁场能量，电场能量忽略不计，电磁场近似为电磁场近似为MQS场场。z

13、dNIeH从从安培环路定律安培环路定律，得，得SHlEdjdS0l从从电磁感应定律电磁感应定律，得，得复坡印亭矢量复坡印亭矢量螺线管吸收的功率螺线管吸收的功率( (无功功率无功功率) )例例 .2 N匝长直螺线管，通有匝长直螺线管，通有正弦正弦交流电流交流电流i(t)。试分析螺线管储试分析螺线管储存的电磁能量。存的电磁能量。图图5.5.2 长直螺线管长直螺线管EH结束结束注：磁铁与静电荷注：磁铁与静电荷 产生的磁、电场不构成能量的流动。产生的磁、电场不构成能量的流动。在静态场中，场量是动态平衡下的恒定量，在静态场中，场量是动态平衡下的恒定量，坡印亭定理坡印亭定理为为dVJdVd

14、VccS2)(VJESHEe在静态场中，场域内无源即在静态场中，场域内无源即: : Ee =0 =0 坡印亭定理坡印亭定理为为dVJdVcS2)(SHE在静态场中，场域内无源且为非导体即：在静态场中，场域内无源且为非导体即： =0 =0 坡印亭定理坡印亭定理为为0)(SHEdStWdVJdVdVccS2)(VJESHEe一般情况下的一般情况下的坡印亭定理坡印亭定理求解求解绝缘介质绝缘介质中的中的电场，设介质中的漏电流为电场，设介质中的漏电流为I)(2221RRlIIlJds eJsJ12222121RRlIdlIdURRRRlnlE又又122RRUlIln/因此因此代入代入（1 1）则：则：)(221RRlIeJE（1 1）e/lnE)(12RRU得得+U-1R2RI、EI设单位长度有设单位长度有 n 匝线圈匝线圈, ,应用安培环路定律，有应用安