微分几何曲面的第一基本形式

1、第二节第二节 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式 1、 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (c)：u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r u (t) ,v (t) = r (t)，若 s 表示弧长有 所以 称为曲面的第一基本形式。其中称为第一类基本量。( )uvdudvr trrdtdt 或uvdrr dur dv2222222()22uvuuuvvvdsdrr dur dvrr durr dudvr r dvEduFdudvGdv vvvuuurrGrrFrrE,3、用显函数样 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式222222)1 (

2、2)1 (1,1., 1 , 0, 0 , 1),(,dyqpqdxdydxpqrrGpqrrFprrEyzqxzpqrpryxzyxryyyxxxyx4、第一基本形式是正定的。事实上，也可从 直接得到。. 0)(, 0, 0222222vuvuvuuurrrrFEGrGrrrE2ds 1、把两个向 量 和 间的交角称为方向（ ）和（ ）间的角。dvrdurdrvuvrurrvudvdu:vu:2、设两方向的夹角为 ，则22222222)()(cosvGvuFuEGdvFdudvEduvGdvudvvduFuEdurdrvrurdvrdurrdrrdrvuvu3、特别 （1）（2）对于坐标曲线

3、的交角，有故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。0)()()(vGdvudvvduFuEdudEGFrrrrrdrrdrvuvucos2、3 正交曲线簇和正交轨线 设有两曲线 如果它们正交，则 或 即0),(),(,0vvuDuvuCBdvAdu0)(vGdvudvvduFuEdu0)(uvdudvGuvdudvFE0)(DCBAGDCBAFE 若另给出一簇曲线 则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程 是 即 ,0 BdvAdu0)()(uvBAGuvBAFEAGBFAFBEuv2、4 曲面域的面积),( vuP),(vduu),(dvvu ),(dvvduudurudv

4、rv 如图,用坐标曲线把曲面分成若干小块,每块的面积为DDvuDvuvududvFEGdudvrrddudvrrdvrdurd2其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，0)()(22222FEGrrrrrrvuvuvu从前面的讲解中知道第一类基本量有关，都可以用第一类基本向量E、F、G 来表示，这类量非常重要，要知道定义定义 曲面上仅由第一类基本量表示的量称为曲面的内蕴量内蕴量,曲面上仅由第一类基本量有关的性质称为曲面的内蕴性质内蕴性质一个问题是什么样的问题必须使不同的2、5 等距变换等距变换 1) 曲面 S 到 S1 的变换 给定两曲面： S： S1：如果其对应点的参数之间存在一一对应关

5、系： ， 其中 连续，有连续的偏导数，且这种一一对应关系称为曲面 S 到 S1 的变换。),(vurr),(1111vurr),(11vuuu ),(11vuvv ),(),(11vuvvuu0),(),(11vuvu 由于这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中我们总假定在对应点有相同的参数。),(),(),(),(:111111111vurvuvvuurvurrS2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意对应曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。定理：两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当的参数选择后，他们具有相同的第一基本形式。（内蕴性质）例

6、：证明平面和圆柱面等距分析只要找到一个参数变换使证：平面和圆柱面的22222,IdudvIR ddz平圆柱22222IR ddzdudvI平圆柱1uRzv作 其雅可比行列式不为零有2.6 保角变换定义 曲面之间的一个变换，如果使曲面上对应曲线的交角相等，则这个变换称为保角变换(保形变换)与等距变换一样，下面假定曲面在对应点有相同参数。什么样的两曲面保角呢？有下定理：定理：两个曲面之间变换是保角变换的充要条件是第一基本形式成比例。充分性：设两个曲面的第一基本形式为：由此可知即第一基本量成比例：22112.duFdudvG dv11IE111E : E = F : F = G : G .222.d

7、uFdudvGdvIE2( , ) , ( , )0,u vu v1I:du dvuv1对 和上任意两方向和有22221112222111111()cos.22()cos.22coscosEdu uF du vdv uGdv vEduFdudvGdvE uF u vG vE du uF du vdv uG dv vE duFdudvG dvE uF u vG v 所以保角111111111111111()0,()0()()0,()()0,0,0Edu uF du vdv uGdv vE du uF du vdv uG dv vEduFdvuFduGdvvE duFdvuFduG dvvEduFdvFduGdvuvE duFdvFduG dvFGFEEduFGFE必要性“”：已知保角保正交有非零解取取dv111FGEFG 特别：等距变换是它的特例。定理：在局部范围内，任何曲面总可以和