求数列通项及求和归纳总结

1、2. 知知 求求 1. 数列前几数列前几项项, ,写出数列的通项公式写出数列的通项公式观察法观察法 nanS11(1)(2)nnnSnaSSn思路：化为纯an关系或纯sn 关系注意：优先考虑n=1的情况求数列的通项公式题型分析求数列的通项公式题型分析3. 知相邻两项的递推关系求通项知相邻两项的递推关系求通项)(1nfaann（1）)(1nfaann（2）) 0)(, 1()(1nfAnfAaann（3）叠乘叠乘叠加思路：思路：整体代换转为特殊数列整体代换转为特殊数列，构造成新的等比数列，构造成新的等比数列an+1 +g（n）,其公比为其公比为A g（n）的求解方法）的求解方法 ：数列数列 g（

2、n）的类型与的类型与f（n）相同，在等式中，相同，在等式中，给给an+1和和an 分别加上与分别加上与g（n）第第n+1项、第项、第n项的表达式，展开求出参数项的表达式，展开求出参数例子：231nnaa)(31nnaannnaa231)2(3211nnnnaannnaa331特别的：特别的：313311nnnnaa313311nnnnaa若f（n）为等比数列，且公比与）为等比数列，且公比与A相等，则需除以相等，则需除以f（n），构造成相邻两项的差），构造成相邻两项的差（4）BAaaannn1分式结构，取分式结构，取倒数倒数化归化归rnnAaa1（5）高次结构，取高次结构，取对数对数化归化归)(

3、2nfaann（6）隔项关系，隔项关系，分分奇偶项讨论奇偶项讨论，化为相邻项关系，化为相邻项关系1231naann)( 3) 1(1qPnaqnPann以下结构可转变为前13型递推关系).(1qpndcaannn（7）除以除以 ，整体代换，整体代换 ndCBdAaannn1方法：比照条件与可解类型的差异，方法：比照条件与可解类型的差异，an，an-1前为常数，且次数为前为常数，且次数为1，f（n）必须是特殊数列必须是特殊数列,运用各种运算及整体代换思想化归运用各种运算及整体代换思想化归nnnBaAaa12（8）构造等比数列构造等比数列 ，公比为，公比为y ，参数求法如下：，参数求法如下：nnn

4、BaAaa12)(112nnnnxaayxaa12nnxaa连续三项递推关系连续三项递推关系 BAaDCaannn1（9）分式结构，取倒数后不可化归为分式结构，取倒数后不可化归为13型问题型问题不动点法不动点法：（1）求出不动点）求出不动点a，构造新数列构造新数列 )(1nnafa（2）构造方法：构造方法：化为标准式化为标准式 ，两边减去，两边减去a， 通分，取倒，分离常数，转为通分，取倒，分离常数，转为 ，相邻项递推关系，相邻项递推关系 aanaan4. 数学归纳法（先猜想后论证）数学归纳法（先猜想后论证）(2) (2) 假设当假设当n nk k 时结论正确时结论正确, , 证明当证明当n

5、nk k1 1时结论也正确。时结论也正确。论证时，先分析以上两个命题的关系，以便用上论证时，先分析以上两个命题的关系，以便用上n nk k的假设结论。的假设结论。(1) (1) 证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n = = n n0 0 时结论正确时结论正确; ;学会分析命题的结构形式：学会分析命题的结构形式：分析整体运算方式：分析整体运算方式：（1）各项是相加还是相乘）各项是相加还是相乘分析各项构造规律：（分析各项构造规律：（2）看头、尾是常量还是变量）看头、尾是常量还是变量 （ 3）相邻项的差异，明确下一项如何产生）相邻项的差异，明确下一项如何产生数列求和数列求和1 等差，等比数列

6、等差，等比数列公式法公式法2 anbn型，其中数列型，其中数列an，bn是等差或等比数列是等差或等比数列 分组求和法分组求和法3 anbn 型，其中型，其中an，bn分别是等差，等比数列分别是等差，等比数列错位相减法错位相减法步骤步骤：（：（1）列出）列出sn表达式，视为方程表达式，视为方程 （2） 乘上公比，为方程乘上公比，为方程 ，并用，并用 -得得 （3） 式中提出等比数列，并求和式中提出等比数列，并求和4. 通项可拆分为数列某两项差的形式，且原通项通项可拆分为数列某两项差的形式，且原通项常为分式型常为分式型 mnnaa1典型典型1：分式型：分式型 ，其中，其中an 为等差数列，为等差数

7、列，d为公差为公差通项可拆成等差数列通项可拆成等差数列an两项倒数之差：两项倒数之差：)11(11mnnmnnaamdaa裂项相消法：裂项相消法：先把通项拆成差形式，再列出和式，抵消相同项，先把通项拆成差形式，再列出和式，抵消相同项，剩下正数前剩下正数前m项，负数后项，负数后m项项 mnnnaab常见结构：常见结构：1) 1(1) 1()2(22nnan) 12)(12(1) 1 (nnan典型典型2：分式型：分式型 ，其中，其中an 为等差数列，为等差数列，d为公差为公差分析：通项可拆成数列分析：通项可拆成数列 两项之差；两项之差；mnnaa1)(1)(1mnnmnnmnnaamdaaaana例子例子: 22111111nnnnnannnn1223341111111111nnnnSn注：变形过程中用了注：变形过程中用了“分母有理化分母有理化”技巧技巧再举一例：再举